Kiến thức

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất-Toán lớp 12

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất

  • Đồng giá 250k 1 khóa học lớp 3-12 bất kỳ tại VietJack!

Trang trước

Trang sau

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Bạn đang xem: Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất-Toán lớp 12

I. Định nghĩa, công thức tích phân

Quảng cáo

1. Khái niệm tích phân

* Định nghĩa:

Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số:

F(b) – F(a)

Được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

* Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a; b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

* Định lí: Cho hàm số y = f(x) liên tục; không âm trên đoạn [a;b]. Khi đó, diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b là:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Quảng cáo

2. Tính chất của tích phân

Giả sử cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có :

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Xem thêm: Chuyên đề: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC, TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC-Sách Toán

II. Một số phương pháp tính tích phân

1. Phương pháp đổi biến số

1.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1

Định lí

Nếu:

1) Hàm x = u(t) có đạo hàm liên tục trên [α;β].

2) Hàm hợp f [u(t)] được xác định trên [α;β].

3) u(α) = a; u(β) = b.

Khi đó: Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Quảng cáo

Phương pháp chung

Bước 1: Đặt x = u(t).

Bước 2: Tính vi phân hai vế: x = u(t) ⇒ dx = u'(t)dt.

Đổi cận: Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t.

Vậy:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

1.2. Phương pháp đổi biến dạng 2

Định lí

Nếu hàm số u = u(x) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho f(x)dx = g(u(x))u'(x)dx = g(u)du thì:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Phương pháp chung

Bước 1: Đặt u = u(x) ⇒ du = u’(x)dx

Bước 2: Đổi cận: Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo u.

Vậy:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

2. Phương pháp tích phân từng phần

a. Định lí

Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [a;b] thì:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

b. Phương pháp chung

Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv = u.v’dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv = v'(x)dx

Bước 2: Tính du = u’dx và v = ∫dv = ∫v'(x)dx

Bước 3: Tính Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

* Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12<!–

Quảng cáo

–>

<!– (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); –>

III. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản

3.1. Tích phân hàm hữu tỉ

Dạng 1

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

(với a ≠ 0)

Chú ý: Nếu

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Dạng 2

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

(ax2 + bx + c ≠ 0 với mọi x ∈ [α;β])

Xét Δ = b2 – 4ac.

• Nếu Δ > 0 thì Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

thì:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

• Nếu Δ = 0 thì:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

thì:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

• Nếu Δ < 0 thì:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Dạng 3

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

(trong đó Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 liên tục trên đoạn [α;β])

• Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

• Ta có:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Tích phân:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Tích phân: Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 thuộc dạng 2.

Dạng 4

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 với P(x) và Q(x) là đa thức của x.

• Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức.

• Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:

• Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn α1, α2, α3 … thì đặt

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

• Khi Q(x) có nghiệm đơn và vô nghiệm:

Q(x) = (x – α)(x2 + px + q), Δ = p2 – 4q < 0 thì đặt:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

• Khi Q(x) có nghiệm bội:

Q(x) = (x – α)(x – β)2 với α ≠ β thì đặt:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Q(x) = (x – α)2(x – β)3 với α ≠ β thì đặt:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

3.2. Tích phân hàm vô tỉ

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 – trong đó R(x; f(x)) có dạng:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Dạng 1

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Khi đó ta có:

• Nếu Δ < 0, a > 0 ⇒ f(x) = a(u2 + k2)

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

• Nếu: Δ = 0

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

• Nếu: Δ > 0

    Với a > 0: f(x) = a(x – x1)(x – x2)

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

    Với a < 0: f(x) = -a(x1 – x)(x2 – x)

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Căn cứ vào phân tích trên, ta có một số cách giải sau:

Phương pháp:

* Trường hợp: Δ < 0, a > 0 ⇒ f(x) = a(u2 + k2)

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Khi đó đặt:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

* Trường hợp: Δ = 0

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Khi đó:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

* Trường hợp: Δ > 0, a > 0. Đặt:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

* Trường hợp: Δ > 0, a < 0. Đặt:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Dạng 2

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Phương pháp:

Bước 1:

Phân tích:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Bước 2:

Quy đồng mẫu số, sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A, B

Bước 3:

Giải hệ tìm A, B thay vào (1)

Bước 4:

Tính:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Trong đó Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 đã biết cách tính ở trên.

Dạng 3

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Phương pháp:

Bước 1:

Phân tích:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Bước 2:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Bước 3:

Thay tất cả vào (1) thì I có dạng:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Tích phân này chúng ta đã biết cách tính.

Dạng 4

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

(Trong đó: R(x,y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x, y và α, β, γ, δ là các hằng số đã biết)

Phương pháp:

Bước 1:

Đặt: Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Bước 2:

Tính x theo t: Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x = φ(t).

Bước 3:

Tính vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt và đổi cận.

Bước 4:

Tính: Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

3.3. Tích phân hàm lượng giác

3.3.1. Một số công thức lượng giác

* Công thức cộng

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

* Công thức nhân đôi

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

* Công thức hạ bậc

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

* Công thức tính theo t

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

* Công thức biến đổi tích thành tổng

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

* Công thức biến đổi tổng thành tích

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

* Công thức thường dùng:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Hệ quả:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

3.3.2. Một số dạng tích phân lượng giác

• Nếu gặp dạng Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 ta đặt t = sinx.

• Nếu gặp dạng Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 ta đặt t = cosx.

• Nếu gặp dạng Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 ta đặt t = tanx.

• Nếu gặp dạng Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12 ta đặt t = cotx.

Dạng 1

I1 = ∫(sinx)n dx; I2 = ∫(cosx)n dx

* Phương pháp

• Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc.

• Nếu n = 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi.

• Nếu n lẻ (n = 2p + 1) thì thực hiện biến đổi:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Dạng 2

I = ∫sinmx.cosnx dx (m, n ∈ N)

* Phương pháp

• Trường hợp 1: m, n là các số nguyên

a. Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.

b. Nếu m chẵn, n lẻ (n = 2p + 1) thì biến đổi:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

c. Nếu m lẻ (m = 2p + 1), n chẵn thì biến đổi:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Dạng 3

I1 = ∫(tanx)n dx; I2 = ∫(cotx)n dx (n ∈ N)

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Xem thêm: Giải hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Hệ phương trình nâng cao toán 9

IV. Ứng dụng tích phân

1. Diện tích hình phẳng

a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định: Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định: Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

– Nếu trên đoạn [a;b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

– Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối.

– Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y),x = h(y) và hai đường thẳng y = c; y = d được xác định:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay

a. Thể tích vật thể

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm a (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Thể tích của B là:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

b. Thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số y = f(x) liên tục; không âm trên [a;b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b quay quanh trục Ox tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích của nó là:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

– Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), trục tung và hai đường thẳng y = c; y = d quay quanh trục Oy là:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

– Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x); y = g(x) và hai đường thẳng x = a; x = b quay quanh trục Ox:

Công thức tích phân đầy đủ, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

  • Bài tập về tính chất của tích phân

  • Bài tập tính tích phân cơ bản

  • Tính tích phân hàm đa thức, phân thức bằng phương pháp đổi biến số

  • Tính tích phân hàm lượng giác bằng phương pháp đổi biến số

  • Tính tích phân hàm số mũ, logarit bằng phương pháp đổi biến số

  • Tính tích phân hàm chứa căn thức bằng phương pháp đổi biến số

  • Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số loại 2

Xem thêm: Giáo án Toán 6 bài 7: Lũy thừa với số mũ tự nhiên. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số. Luyện tập mới nhất

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại

khoahoc.vietjack.com

  • Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán có đáp án

  • Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa có đáp án chi tiết

  • Gần 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý có đáp án

  • Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Tiếng Anh có đáp án

  • Kho trắc nghiệm các môn khác

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất – CHỈ TỪ 399K tại

khoahoc.vietjack.com

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Luyện thi THPT QG môn Hóa – Thầy Trần Thế Anh

4.5 (243)

799,000đs

599.000 VNĐ

Luyện thi THPTQG môn Tiếng Anh – Cô Vũ Thanh Hoa

4.5 (243)

799,000đ

599.000 VNĐ

Luyện thi THPTQG môn Sinh – Thầy Nguyễn Viết Trung – Mục tiêu 8+

4.5 (243)

799,000đ

599.000 VNĐ

Luyện thi THPTQG môn Lý – Thầy Hoàng Cường – MỤC TIÊU 8+

4.5 (243)

799,000đs

599.000 VNĐ

Luyện thi THPTQG môn Toán – Thầy Nguyễn Quý Huy – MỤC TIÊU 8+

4.5 (243)

799,000đ

599.000 VNĐ

Luyện thi THPT QG môn Toán – Thầy Trần Xuân Trường

4.5 (243)

799,000đ

599.000 VNĐ

xem tất cả

Trang trước

Trang sau

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
  • Soạn Văn 12

  • Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)

  • Văn mẫu lớp 12

  • Giải bài tập Toán 12

  • Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)

  • Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)

  • Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)

  • Giải bài tập Vật lý 12

  • Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)

  • Chuyên đề: Lý thuyết – Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)

  • Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)

  • Giải bài tập Hóa học 12

  • Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao

  • Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)

  • Giải bài tập Sinh học 12

  • Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)

  • Chuyên đề Sinh học 12

  • Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)

  • Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)

  • Giải bài tập Địa Lí 12

  • Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)

  • Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12

  • Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)

  • Giải bài tập Tiếng anh 12

  • Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm

  • Giải bài tập Lịch sử 12

  • Giải tập bản đồ Lịch sử 12

  • Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)

  • Giải bài tập Tin học 12

  • Giải bài tập GDCD 12

  • Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)

  • Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)

  • Giải bài tập Công nghệ 12

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button