Kiến thức

Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng

Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng

Xét bài toán: cho hàm số $y = fleft( {x,m} right)$  với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng $k$.

Phương pháp chúng: ta áp dụng điều kiện cần và đủ về tính đơn điệu của hàm số:

Hàm số $y = fleft( x right)$ đồng biến trên khoảng $k$ $ Leftrightarrow f’left( x right) ge 0,forall x in k$

Hàm số $y = fleft( x right)$ nghịch biến trên khoảng $k$ $ Leftrightarrow f’left( x right) le 0,forall x in k$

Trong định lý trên, $f’left( x right)$ chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm trên $k$.

Vì dụ 1. Tìm m để hàm số $y = frac{{mx + 4}}{{x + m}}$ đồng biến trên khoảng $left( {1; + infty } right).$

Ta thấy điều kiện xác định của hàm số là $x ne – m$, vì vậy để hàm số xác định trên $left( {1; + infty } right)$ thì $ – m le 1$.

Đồng thời để hàm số đồng biến thì ta cần điều kiện $y’ > 0$ $ Leftrightarrow {m^2} – 4 > 0$ (vì với hàm số $y = frac{{ax + b}}{{cx + d}}$  đạo hàm không thể bằng 0).

Vậy tóm lại, để hàm số đồng biến trên $left( {1; + infty } right)$ thì $left{ begin{array}{l}
– m le 1\
{m^2} – 4 > 0
end{array} right. Leftrightarrow m in left( {2; + infty } right).$

Ví dụ 2. Tìm m để hàm số $y = frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + mx – 2$ đồng biến trên $left( { – infty ;1} right)$.

$y’ = {x^2} – 4x + m$

Để hàm số đồng biến trên $left( { – infty ;1} right)$ thì $y’ ge 0,,forall x in left( { – infty ;1} right)$

Vì hệ số $a = 1 > 0$ nên $y’ ge 0,,forall x in left( { – infty ;1} right)$ khi và chỉ khi phương trình $y’ = 0$ vô nghiệm hoặc nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1.

y’=0 vô nghiệm

y’=0 nghiệm kép

y’=0 có hai nghiệm phân biệt

TH1. Phương trình $y’ = 0$ vô nghiệm hoặc nghiệm kép

$ Leftrightarrow Delta ‘ le 0 Leftrightarrow 4 – m le 0 Leftrightarrow m ge 4$

TH2. Phương trình $y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1.

$Delta ‘ > 0 Leftrightarrow 4 – m > 0 Leftrightarrow m < 4$

Phương trình $y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = 2 – sqrt {4 – m} $ và ${x_2} = 2 + sqrt {4 – m} $

Ta cần $2 – sqrt {4 – m} ge 1 Leftrightarrow sqrt {4 – m} le 1 Rightarrow m ge 3$

$ Rightarrow m in left[ {3;4} right)$

Kết hợp hai trường hợp ta được $m ge 3$.

Nhận xét: với ví dụ 2, cách giải như trên khá dài, ta có thể sử dụng phương pháp sau để giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng trong trường hợp có thể rút m theo $x$ trong bất phương trình $y’ ge 0,$ (hay $y’ le 0$) (hay còn gọi là cô lập m).

Ta giải lại ví dụ 2:

$begin{array}{l}
y’ = {x^2} – 4x + m ge 0,,forall x in left( { – infty ;1} right)Leftrightarrow m ge – {x^2} + 4x,,forall x in left( { – infty ;1} right) (*)
end{array}$

Xét hàm số $gleft( x right) = – {x^2} + 4x$, ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên trên, ta suy ra $left( * right) Leftrightarrow m ge – 3$.

Ví dụ 3. Tìm m để hàm số $y = – frac{1}{3}{x^3} + left( {m – 1} right){x^2} + left( {m + 3} right)x + 4$ nghịch biến trên $left( {0;3} right)$.

Hướng dẫn giải

$begin{array}{l}
y’ = – {x^2} + 2left( {m – 1} right)x + left( {m + 3} right)\
y’ le 0,,forall x in left( {0;3} right) Leftrightarrow – {x^2} + 2left( {m – 1} right)x + left( {m + 3} right) le 0,,,forall x in left( {0;3} right)\
Leftrightarrow – {x^2} + 2mx – 2x + m + 3 le 0,,,forall x in left( {0;3} right)\
Leftrightarrow – {x^2} – 2x + 3 le mleft( { – 2x – 1} right),,,,forall x in left( {0;3} right)\
Leftrightarrow m le frac{{ – {x^2} – 2x + 3}}{{ – 2x – 1}},,,forall x in left( {0;3} right)(*)
end{array} $

(vì $ – 2x – 1 < 0,,forall x in left( {0;3} right)$ nên khi chia hai vế cho $ – 2x – 1$ ta phải đổi chiều bất phương trình)

Xét hàm số $gleft( x right) = frac{{ – {x^2} – 2x + 3}}{{ – 2x – 1}}$ ta có bảng biến thiên trên đoạn ${left[ {0;3} right]}$:

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra $left( * right) Leftrightarrow m le – 3$.

Tham khảo: 

  • Tính đơn điệu của hàm số và các dạng toán thường gặp

  • Bài tập tính đơn điệu của hàm số

Quý thầy cô và bạn đọc muốn đóng góp tài liệu hoặc bài viết cho website TOANPT, vui lòng gửi về:

1. Fanpage:

Toán phổ thông

2. Email: admin@toanpt.com

Chúng tôi trận trọng mọi đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Xin cảm ơn!

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button