Kiến thức

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay-Toán lớp 12

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay

  • Đồng giá 250k 1 khóa học lớp 3-12 bất kỳ tại VietJack!

Trang trước

Trang sau

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

+ Tính Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12 , đường thẳng d nhận vecto Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12 làm vecto chỉ phương ( có thể chọn một vecto cùng phương vớiCách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12 làm vecto chỉ phương.

+ Đường thẳng d đi qua A và nhận vecto Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12 làm vecto chỉ phương

=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Δ đi qua A (1; 1; 3) và B (2; 0; 5). Tìm mệnh đề sai?

A. phương trình tham số của Δ là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

B. Phương trình chính tắc của Δ là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

C. Đường thẳng Δ đi qua điểm H( 0; 2; 1)

D. Đường thẳng Δ đi qua điểm K( – 4; – 6; – 7)

Hướng dẫn giải

Ta có: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Δ đi qua A và B nên vectơ chỉ phương của Δ là u =Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Vậy phương trình tham số của Δ là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Phương trình chính tắc của Δ là:Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Cho t= – 1 ta được điểm H( 0;2; 1) thuộc đường thẳng Δ.

Cho t= -5 ta được điểm M( – 4; 6; – 7) thuộc đường thẳng Δ

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A(1; -2; 5), B(3; -1; 4), C(4; 1; -3). Chọn mệnh đề sai về phương trình đường trung tuyến AM

A. phương trình tham số của AM là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

B. Phương trình chính tắc của AM là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

C. Phương trình tham số của AM là:Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

D. Phương trình chính tắc của AM là:Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

Trung điểm M của BC làCách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12 =>vectơ chỉ phương của AM là Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Vậy phương trình tham số của AM là:Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Phương trình chính tắc của AM là:Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Do vecto Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12 là vecto chỉ phương của đường thẳng AM nên vecto Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12 cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng AM.

=> Đường thẳng AM cũng có phương trình chính tắc là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Chọn C.

Ví dụ 3:Viết phương trình chính tắc của đường thẳng Δ biết Δ đi qua A (2; 1; 3) và B (1; -2; 1)?

A.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

B.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

C.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

D.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

Vì đường thẳng Δđi qua 2 điểm A (2; 1; 3) và B (1; -2; 1) nên có véc tơ chỉ phương là u=Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12 =(1;3;2)

Đồng thời đường thẳng Δ đi qua điểm A (2; 1; 3) nên có phương trình là Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Chọn B.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A( 3; 3; -1) và B( 6;4; 0)?

A.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

B.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

C.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên có vectơ chỉ phương Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Vậy phương trình chính tắc của AB là:Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A( 1; 2; 3) ; B( 0; -2; 1) và C( 2; 0; 2). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình đường thẳng AG là.

A.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

B.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

C.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

D.Không có phương trình chính tắc

Hướng dẫn giải

G là trọng tâm tam giác ABC nên tọa độ điểm G: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Đường thẳng AG đi qua điểm G( 1; 0; 2) và có vectơ chỉ phương Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

=> Đường thẳng AG không có phương trình chính tắc.

Chọn D.

Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12 . Gọi I là giao điểm của d1; d2. Phương trình đường thẳng OI là (O là góc toạ độ )

A.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

B.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

C.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

D.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

Ta có I∈d1 Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12I∈d2Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Khi đó Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12 là vecto chỉ phương của đường thẳng OI

Suy ra phương trình OI là:Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Chọn D.

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A(1; 2; -1); B( 3; 2; 3) và C( -3; 0; 3). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Viết phương trình đường thẳng MN?

A.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

B.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

C.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

D.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Hướng dẫn giải

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12 .

+ Tương tự do N là trung điểm của AC nên tọa độ N ( -1; 1; 1)

+ Đường thẳng MN đi qua M( 2; 2; 1) và có vecto chỉ phương Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12 làm vecto chỉ phương

=> Phương trình tham số của đường thẳng Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Đường thẳng d không có phương trình chính tắc.

Chọn B.

<!–

Quảng cáo

–>

<!– (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); –>

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua A ( -2; 0; 3) và B (1; 1; 5). Tìm mệnh đề sai?

A. Phương trình tham số của d là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

B. Phương trình chính tắc của d là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

C. Đường thẳng d đi qua điểm H( – 5; -1; 1)

D. Đường thẳng d đi qua điểm K( -11; -3; -3)

Ta có: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Đường thẳng d đi qua A và B nên vectơ chỉ phương của d là u=Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Vậy phương trình tham số của d là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Phương trình chính tắc của d là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Cho t= – 1 ta được điểm H( -5; -1; 1) thuộc đường thẳng d.

Cho t= -3 ta được điểm M( -11;- 3; – 3) thuộc đường thẳng d

Chọn A.

Câu 2:

Cho tam giác ABC có A(2; -1; 3), B(0; 5; 3), C(2; 1; 4). Chọn mệnh đề sai về phương trình đường trung tuyến CN

A. phương trình tham số của CN là:Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

B. Phương trình chính tắc của CN là:Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

C. Phương trình tham số của CN là:Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

D. Phương trình chính tắc của CN là:Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Trung điểm A của AB là N(1;2 ;3)

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12=>vectơ chỉ phương của CN là u  =(1; -1;1)

Vậy phương trình tham số của CN là:Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Phương trình chính tắc của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Do vecto u   (-1;1; -1)là vecto chỉ phương của đường thẳng CN nên vecto v    (-1; 1; -1) cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng CN.

=> Đường thẳng CN cũng có phương trình chính tắc là:Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Chọn D.

Câu 3:

Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2; 0) và B( -2;3; 4). Trong các vecto sau vecto nào là vecto chỉ phương của đường thẳng d

A. ( -3; 1; – 4)

B. ( 6; -2; -8)

C.( 3; -1; -4)

D. (9; -3; -12)

Ta có: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12 là một vecto chỉ phương của đường thẳng AB.

Mà vecto Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12 cùng phương với các vecto Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12 ; Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12 nên ba vecto uX; v; t cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng d

Chọn A.

Câu 4:

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng Δ biết Δ đi qua A (2; 1; 5) và B (4; -2; 6)?

A.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

B.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

C.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

D.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Vì đường thẳng Δ đi qua 2 điểm A (2; 1; 5) và B (4; – 2; 6) nên có véc tơ chỉ phương là u=Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12 =(2; -3 ;1)

Đồng thời đường thẳng Δ đi qua điểm A (2; 1; 5) nên có phương trình là Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Chọn B.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm O(0; 0;0) và A(-1; 2; -4)?

A.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

B.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

C.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

D. Tất cả sai

Đường thẳng OA đi qua hai điểm O và A nên có vectơ chỉ phương Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Vậy phương trình chính tắc của AB là:Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Chọn B.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A( -2; 3; 4) ; B( 2; 1; 3) và C(0;2; 2). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình đường thẳng AG là.

A.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

B.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

C.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

D.Không có phương trình chính tắc

G là trọng tâm tam giác ABC nên tọa độ điểm G:

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12 => G( 0;2; 3)

Đường thẳng AG đi qua điểm G( 0; 2; 3) và có vectơ chỉ phương Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

=> Đường thẳng AG có phương trình chính tắc: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Chọn C.

Câu 7:

Cho hai đường thẳng d1:Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12và d2:Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12Gọi I là giao điểm của d1; d2. Phương trình đường thẳng OI là (O là góc toạ độ )

A.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

B.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

C.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

D.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Ta có I∈d1Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12 và I∈d2Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Khi đó Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12 =2(1;1;1) là vecto chỉ phương của đường thẳng OI

Suy ra phương trình OI là:Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Chọn B.

Câu 8:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A(2; 3; 5); B( 0; -1; -3) và C( 4; -1; -3). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Viết phương trình đường thẳng MN?

A.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

B.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

C.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

D.Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12 => M( 1; 1; 1).

+ Tương tự do N là trung điểm của AC nên tọa độ N ( 3; 1; 1)

+ Đường thẳng MN đi qua M(1; 1; 1) và có vecto chỉ phương Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12 làm vecto chỉ phương

=> Phương trình tham số của đường thẳng d:Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay - Toán lớp 12

Đường thẳng d không có phương trình chính tắc.

Chọn A.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

  • Các công thức về đường thẳng, phương trình đường thẳng trong không gian

  • Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có vecto chỉ phương u

  • Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng

  • Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng

  • Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại

khoahoc.vietjack.com

  • Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán có đáp án

  • Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa có đáp án chi tiết

  • Gần 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý có đáp án

  • Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Tiếng Anh có đáp án

  • Kho trắc nghiệm các môn khác

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất – CHỈ TỪ 399K tại

khoahoc.vietjack.com

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Bạn đang xem: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực hay-Toán lớp 12

Luyện thi THPT QG môn Hóa – Thầy Trần Thế Anh

4.5 (243)

799,000đs

599.000 VNĐ

Xem thêm: Cách giải bài tập Định luật bảo toàn khối lượng cực hay, chi tiết

Luyện thi THPTQG môn Tiếng Anh – Cô Vũ Thanh Hoa

4.5 (243)

799,000đ

599.000 VNĐ

Luyện thi THPTQG môn Sinh – Thầy Nguyễn Viết Trung – Mục tiêu 8+

4.5 (243)

799,000đ

599.000 VNĐ

Xem thêm: Góc giữa hai mặt phẳng-Cộng đồng học tập 24h, học,học mọi lúc, học mọi nơi.

Luyện thi THPTQG môn Lý – Thầy Hoàng Cường – MỤC TIÊU 8+

4.5 (243)

799,000đs

599.000 VNĐ

Xem thêm: [DATABASE] Hướng dẫn sử dụng từ khóa ALL và ANY trong mệnh đề SQLSERVER

Luyện thi THPTQG môn Toán – Thầy Nguyễn Quý Huy – MỤC TIÊU 8+

4.5 (243)

799,000đ

599.000 VNĐ

Luyện thi THPT QG môn Toán – Thầy Trần Xuân Trường

4.5 (243)

799,000đ

599.000 VNĐ

xem tất cả

Trang trước

Trang sau

phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
  • Soạn Văn 12

  • Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)

  • Văn mẫu lớp 12

  • Giải bài tập Toán 12

  • Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)

  • Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)

  • Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)

  • Giải bài tập Vật lý 12

  • Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)

  • Chuyên đề: Lý thuyết – Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)

  • Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)

  • Giải bài tập Hóa học 12

  • Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao

  • Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)

  • Giải bài tập Sinh học 12

  • Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)

  • Chuyên đề Sinh học 12

  • Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)

  • Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)

  • Giải bài tập Địa Lí 12

  • Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)

  • Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12

  • Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)

  • Giải bài tập Tiếng anh 12

  • Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm

  • Giải bài tập Lịch sử 12

  • Giải tập bản đồ Lịch sử 12

  • Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)

  • Giải bài tập Tin học 12

  • Giải bài tập GDCD 12

  • Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)

  • Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)

  • Giải bài tập Công nghệ 12

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button