Kiến thức

Cách viết số phức dưới dạng lượng giác cực hay, chi tiết-Toán lớp 12

Cách viết số phức dưới dạng lượng giác cực hay, chi tiết

  • Đồng giá 250k 1 khóa học lớp 3-12 bất kỳ tại VietJack!


Trang trước

Trang sau


Cách viết số phức dưới dạng lượng giác cực hay, chi tiết

Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

Cần chú ý hai công thức quan trọng sau

Công thức 1:

(cos x + i sin x). (cosy + i sin y) = cos(x + y) + isin(x +y)

Công thức 2 : (cos X + i sin x)n = cos nx + i sin nx

Số phức z = a + bi ta có: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

= |z| (cosφ +i sinφ) = r(cosφ + isinφ)

Với r = |z| và góc φ được gọi là argument của z, ký hiệu là arg(z) . Ngược với phép luỹ thừa ta có phép khai căn

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Viết số phức z = -2 + 2i dưới dạng lượng giác?

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Quảng cáo

Ví dụ 2:Viết các số phức z = √6 – √2i dưới dạng lượng giác . Từ đó hãy viết dạng đại số của z2012

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ 3:Viết các số phức Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án dưới dạng lượng giác . Từ đó hãy viết dạng đại số của z2012

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp ánToán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ 4:Tìm các số nguyên dương n để số phức z = (1-i)n là số thực?

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án . Tìm môđun của số phức z + iz

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Quảng cáo

Ví dụ 6:. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy phần thực của z là 2 và phần ảo của z là 2.

Ví dụ 7:Tính A = (1+i)12 + (1-i)12

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp ánToán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ví dụ 8:Cho số phức z1; z2 thỏa mãn Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Đặt Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án và w = a + bi ; khi đó:

|z1 – z2| = |z1| = |z2| > 0 tương đương với |w – 1| = |w| = 1 tức (a-1)2 + b2 = a2 + b2 = 1 hay Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp ánToán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

B. Bài tập vận dụng

Câu 1:Tìm các số nguyên dương n để số phức z = (√3 + i)n là số thực ?

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Để số z là số thực khi

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 2:Tìm các số nguyên dương n để số phức z=(-1 – √3i)2là số ảo?

Ta có: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Để z là số ảo thì n phải thỏa mãn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Do 3 + 6k là số lẻ nên (3 + 6k) không chia hết cho 8.

Vậy không tồn tại n để z là số ảo.

Câu 3:Gọi z1; z2 là nghiệm của phương trình: z2 – (1 + √3)(1 -i)z – 4i = 0 . Tính giá trị biểu thức Q = z12012 + z22012

Phương trình: z2 – (1 + √3)(1 -i)z – 4i = 0 có biệt số Δ = 2i(4-2√3)

Dễ thấy 4-2√3 = (√ – 1)2 . 2i = (i + 1)2 . Khi đó Δ = [(√ – 1)(i + 1)]2

Suy ra phương trình cho có 2 nghiệm z1 = √3 – i , z2 = 1 – i√3

Mặt khác Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Khi đó : Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

<!–

Quảng cáo

–>

<!– (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); –>

Câu 4: Tìm số phức z sao cho z5Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án là hai số phức liên hợp.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp ánToán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Do đó Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án là hai số phức liên hợp khi và chỉ khi Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hay là: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vì φ ∈ (0;2r) nên k = {0;1;2}.

Vậy số phức cần tìm là Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 5:Giải phương trình Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đặt z = cosx + i.sinx thế thì Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Phương trình cho trở thành: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hay z6 – z5 + z4 – z3 + z2 – z = 0

Vì z = 1 không là nghiệm phương trình, nên ta có:

(*) <=> (z + 1)(z6 – z5 + z4 – z3 + z2 – z + 1) = 0 <=> z7 + 1 = 0

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vì z ≠ 1 nên không nhận giá trị k = 3

Vậy, phương trình cho có nghiệm:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp ánToán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 6:Giải phương trình : cosx + cos3x + cos5x + cos7x + cos9x = Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ta có cosx = ± 1 không là nghiệm của phương trình.

Đặt z = cosx + i.sinx với x ∈ (0;2r)

Ta có z ≠ ±1,z-1 = cosx – i sinx và:

2cosx = z + z-1, 2cosnx = zn + -n

Vậy phương trình đã cho trở thành:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp ánToán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Do đó nghiệm của phương trình đã cho là Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp ánToán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Suy ra nghiệm cần tìm là Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy các nghiệm của phương trình là: Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp ánToán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 7:Viết các số phức sau dưới dạng đại số Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp ánToán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 8: Viết các số phức sau dưới dạng đại số Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp ánToán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp ánToán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

  • Dạng 1: Tìm căn bậc hai của số phức

  • Dạng 2: Giải phương trình bậc 2 số phức

  • Trắc nghiệm giải phương trình bậc 2 số phức

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại

khoahoc.vietjack.com

  • Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán có đáp án

  • Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa có đáp án chi tiết

  • Gần 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý có đáp án

  • Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Tiếng Anh có đáp án

  • Kho trắc nghiệm các môn khác

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất – CHỈ TỪ 399K tại

khoahoc.vietjack.com

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Bạn đang xem: Cách viết số phức dưới dạng lượng giác cực hay, chi tiết-Toán lớp 12

Luyện thi THPT QG môn Hóa – Thầy Trần Thế Anh

4.5 (243)

799,000đs

599.000 VNĐ

Xem thêm: Tìm hiểu một số ứng dụng ánh sáng lân quang trong cuộc sống

Luyện thi THPTQG môn Tiếng Anh – Cô Vũ Thanh Hoa

4.5 (243)

799,000đ

599.000 VNĐ

Luyện thi THPTQG môn Sinh – Thầy Nguyễn Viết Trung – Mục tiêu 8+

4.5 (243)

799,000đ

599.000 VNĐ

Xem thêm: Màu sắc một số chất kết tủa và dung dịch thường gặp trong hóa học

Luyện thi THPTQG môn Lý – Thầy Hoàng Cường – MỤC TIÊU 8+

4.5 (243)

799,000đs

599.000 VNĐ

Xem thêm: Chuyên đề: Hàm số và đồ thị

Luyện thi THPTQG môn Toán – Thầy Nguyễn Quý Huy – MỤC TIÊU 8+

4.5 (243)

799,000đ

599.000 VNĐ

Luyện thi THPT QG môn Toán – Thầy Trần Xuân Trường

4.5 (243)

799,000đ

599.000 VNĐ

xem tất cả


Trang trước

Trang sau

so-phuc.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác
  • Soạn Văn 12

  • Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)

  • Văn mẫu lớp 12

  • Giải bài tập Toán 12

  • Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)

  • Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)

  • Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)

  • Giải bài tập Vật lý 12

  • Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)

  • Chuyên đề: Lý thuyết – Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)

  • Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)

  • Giải bài tập Hóa học 12

  • Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao

  • Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)

  • Giải bài tập Sinh học 12

  • Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)

  • Chuyên đề Sinh học 12

  • Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)

  • Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)

  • Giải bài tập Địa Lí 12

  • Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)

  • Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12

  • Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)

  • Giải bài tập Tiếng anh 12

  • Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm

  • Giải bài tập Lịch sử 12

  • Giải tập bản đồ Lịch sử 12

  • Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)

  • Giải bài tập Tin học 12

  • Giải bài tập GDCD 12

  • Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)

  • Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)

  • Giải bài tập Công nghệ 12

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button