Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số-Toán học, vật lý, hóa học phổ thông

1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bạn đang xem: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số-Toán học, vật lý, hóa học phổ thông

Định nghĩa: 

Cho hàm số (y = fleft( x right)) xác định trên (K) ((K) có thể là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

– Hàm số (y = fleft( x right)) được gọi là đồng biến trên (K) nếu (forall {x_1},{x_2} in K:{x_1} < {x_2} Rightarrow fleft( {{x_1}} right) < fleft( {{x_2}} right))

– Hàm số (y = fleft( x right)) được gọi là nghịch biến trên (K) nếu (forall {x_1},{x_2} in K:{x_1} < {x_2} Rightarrow fleft( {{x_1}} right) > fleft( {{x_2}} right)).

Định lý:

Cho hàm số (y = fleft( x right)) xác định và có đạo hàm trên (K)

a) Nếu(f’left( x right) > 0,forall x in K)thì hàm số (y = fleft( x right)) đồng biến trên (K)

b) Nếu(f’left( x right) < 0,forall x in K)thì hàm số (y = fleft( x right)) nghịch biến trên (K)

Xem thêm: Khóa: TOÁN 12-ÔN THI THPQG 2020

Định lý mở rộng:

Giả sử hàm số (y = fleft( x right)) có đạo hàm trên (K)

a) Nếu(f’left( x right) ge 0,forall x in K)và (f’left( x right) = 0) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên (K)

b) Nếu(f’left( x right) le 0,forall x in K)và (f’left( x right) = 0) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên (K)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

– Bước 2: Tính đạo hàm (f’left( x right)), tìm các điểm ({x_1},{x_2},…,{x_n}) mà tại đó đạo hàm bằng (0) hoặc không xác định.

– Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+ Các khoảng mà (f’left( x right) > 0) là các khoảng đồng biến của hàm số.

+ Các khoảng mà (f’left( x right) < 0) là các khoảng nghịch biến của hàm số.

Xem thêm: Công suất của mạch điện xoay chiều, ý nghĩa hệ số công suất

Một số trường hợp đặc biệt:

Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Dạng 2: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính $f’left( x right)$.

– Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán:

+ Hàm số $y = fleft( x right)$ đồng biến trên $R Leftrightarrow y’ = f’left( x right) geqslant 0,forall x in R$ và $y’ = 0$ tại hữu hạn điểm.

+ Hàm số $y = fleft( x right)$ nghịch biến trên $R Leftrightarrow y’ = f’left( x right) leqslant 0,forall x in R$ và $y’ = 0$ tại hữu hạn điểm.

– Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm $m$.

Cho hàm số $fleft( x right) = a{x^2} + bx + cleft( {a ne 0} right)$. Khi đó:

$begin{gathered}fleft( x right) geqslant 0,forall x in R Leftrightarrow left{ begin{gathered}a > 0 hfill \Delta  leqslant 0 hfill \ end{gathered}  right. hfill \fleft( x right) leqslant 0,forall x in R Leftrightarrow left{ begin{gathered}a < 0 hfill \Delta  leqslant 0 hfill \end{gathered}  right. hfill \ end{gathered} $

Dạng 3: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D cho trước.

Xem thêm: Air cooler là gì? Nguyên lý hoạt động và cấu tạo của máy làm mát không khí bằng nước

Phương pháp:

– Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:

+ Hàm số $y = fleft( x right)$ đồng biến trên $D Leftrightarrow y’ = f’left( x right) geqslant 0, forall x in D$.

+ Hàm số $y = fleft( x right)$ nghịch biến trên $D Leftrightarrow y’ = f’left( x right) leqslant 0, forall x in D$.

– Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm $m$.

Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng:

– Rút $m$ theo $x$ sẽ xảy ra một trong hai trường hợp: $m geqslant gleft( x right),forall x in D$ hoặc $m leqslant gleft( x right),forall x in D$.

– Khảo sát tính đơn điệu của hàm số $y = gleft( x right)$ trên $D$.

– Kết luận: $begin{gathered}m geqslant gleft( x right),forall x in D Rightarrow m geqslant mathop {max }limits_D gleft( x right) hfill \m leqslant gleft( x right),forall x in D Rightarrow m leqslant mathop {min }limits_D gleft( x right) hfill \ end{gathered} $

– Bước 3: Kết luận.

Dạng 4: Tìm m để hàm số (y = dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}) đồng biến, nghịch biến trên khoảng (left( {alpha ;beta } right))

– Bước 1: Tính (y’).

– Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến:

+ Hàm số đồng biến trên (left( {alpha ;beta } right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y’ = f’left( x right) > 0,forall x in left( {alpha ;beta } right)\ – dfrac{d}{c} notin left( {alpha ;beta } right)end{array} right.)

+ Hàm số nghịch biến trên (left( {alpha ;beta } right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y’ = f’left( x right) < 0,forall x in left( {alpha ;beta } right)\ – dfrac{d}{c} notin left( {alpha ;beta } right)end{array} right.)

– Bước 3: Kết luận.

 

Bài cùng chủ đề:

  • Dùng đơn điệu hàm số để giải và biện luận phương trình và bất phương trình

  • Bài tập trắc nghiệm Sự tương giao của hai đồ thị hàm số, toán 12

  • 11 Dạng bài tập cực trị của hàm số

  • Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

  • Đồ thị hàm bậc bốn trùng phương

Share

Share

VẬT LÝ 10

|

VẬT LÝ 11

|

VẬT LÝ 12

|

TÀI LIỆU VẬT LÝ

TOÁN 10

|

TOÁN 11

|

TOÁN 12

|

HỌC247

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button