Kiến thức

Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số-Toán học, vật lý, hóa học phổ thông

1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bạn đang xem: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số-Toán học, vật lý, hóa học phổ thông

Định nghĩa: 

Cho hàm số (y = fleft( x right)) xác định trên (K) ((K) có thể là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

– Hàm số (y = fleft( x right)) được gọi là đồng biến trên (K) nếu (forall {x_1},{x_2} in K:{x_1} < {x_2} Rightarrow fleft( {{x_1}} right) < fleft( {{x_2}} right))

– Hàm số (y = fleft( x right)) được gọi là nghịch biến trên (K) nếu (forall {x_1},{x_2} in K:{x_1} < {x_2} Rightarrow fleft( {{x_1}} right) > fleft( {{x_2}} right)).

Định lý:

Cho hàm số (y = fleft( x right)) xác định và có đạo hàm trên (K)

a) Nếu(f’left( x right) > 0,forall x in K)thì hàm số (y = fleft( x right)) đồng biến trên (K)

b) Nếu(f’left( x right) < 0,forall x in K)thì hàm số (y = fleft( x right)) nghịch biến trên (K)

Xem thêm: 6. SÁNG TẠO BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TỪ NHỮNG BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Định lý mở rộng:

Giả sử hàm số (y = fleft( x right)) có đạo hàm trên (K)

a) Nếu(f’left( x right) ge 0,forall x in K)và (f’left( x right) = 0) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên (K)

b) Nếu(f’left( x right) le 0,forall x in K)và (f’left( x right) = 0) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên (K)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

– Bước 2: Tính đạo hàm (f’left( x right)), tìm các điểm ({x_1},{x_2},…,{x_n}) mà tại đó đạo hàm bằng (0) hoặc không xác định.

– Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+ Các khoảng mà (f’left( x right) > 0) là các khoảng đồng biến của hàm số.

+ Các khoảng mà (f’left( x right) < 0) là các khoảng nghịch biến của hàm số.

Xem thêm: Chất hữu cơ trong nước? Tác hại, nhận biết và cách xử lý.

Một số trường hợp đặc biệt:

Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Dạng 2: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính $f’left( x right)$.

– Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán:

+ Hàm số $y = fleft( x right)$ đồng biến trên $R Leftrightarrow y’ = f’left( x right) geqslant 0,forall x in R$ và $y’ = 0$ tại hữu hạn điểm.

+ Hàm số $y = fleft( x right)$ nghịch biến trên $R Leftrightarrow y’ = f’left( x right) leqslant 0,forall x in R$ và $y’ = 0$ tại hữu hạn điểm.

– Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm $m$.

Cho hàm số $fleft( x right) = a{x^2} + bx + cleft( {a ne 0} right)$. Khi đó:

$begin{gathered}fleft( x right) geqslant 0,forall x in R Leftrightarrow left{ begin{gathered}a > 0 hfill \Delta  leqslant 0 hfill \ end{gathered}  right. hfill \fleft( x right) leqslant 0,forall x in R Leftrightarrow left{ begin{gathered}a < 0 hfill \Delta  leqslant 0 hfill \end{gathered}  right. hfill \ end{gathered} $

Dạng 3: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D cho trước.

Xem thêm: Đề số 4_ Đề thi học kì 2 môn Toán 10 Trường THPT Nguyễn Huệ Huế năm 18-19-ToanthayCu.Com

Phương pháp:

– Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:

+ Hàm số $y = fleft( x right)$ đồng biến trên $D Leftrightarrow y’ = f’left( x right) geqslant 0, forall x in D$.

+ Hàm số $y = fleft( x right)$ nghịch biến trên $D Leftrightarrow y’ = f’left( x right) leqslant 0, forall x in D$.

– Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm $m$.

Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng:

– Rút $m$ theo $x$ sẽ xảy ra một trong hai trường hợp: $m geqslant gleft( x right),forall x in D$ hoặc $m leqslant gleft( x right),forall x in D$.

– Khảo sát tính đơn điệu của hàm số $y = gleft( x right)$ trên $D$.

– Kết luận: $begin{gathered}m geqslant gleft( x right),forall x in D Rightarrow m geqslant mathop {max }limits_D gleft( x right) hfill \m leqslant gleft( x right),forall x in D Rightarrow m leqslant mathop {min }limits_D gleft( x right) hfill \ end{gathered} $

– Bước 3: Kết luận.

Dạng 4: Tìm m để hàm số (y = dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}) đồng biến, nghịch biến trên khoảng (left( {alpha ;beta } right))

– Bước 1: Tính (y’).

– Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến:

+ Hàm số đồng biến trên (left( {alpha ;beta } right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y’ = f’left( x right) > 0,forall x in left( {alpha ;beta } right)\ – dfrac{d}{c} notin left( {alpha ;beta } right)end{array} right.)

+ Hàm số nghịch biến trên (left( {alpha ;beta } right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y’ = f’left( x right) < 0,forall x in left( {alpha ;beta } right)\ – dfrac{d}{c} notin left( {alpha ;beta } right)end{array} right.)

– Bước 3: Kết luận.

 

Bài cùng chủ đề:

  • Dùng đơn điệu hàm số để giải và biện luận phương trình và bất phương trình

  • Bài tập trắc nghiệm Sự tương giao của hai đồ thị hàm số, toán 12

  • 11 Dạng bài tập cực trị của hàm số

  • Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

  • Đồ thị hàm bậc bốn trùng phương

Share

Share

VẬT LÝ 10

|

VẬT LÝ 11

|

VẬT LÝ 12

|

TÀI LIỆU VẬT LÝ

TOÁN 10

|

TOÁN 11

|

TOÁN 12

|

HỌC247

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button