Kiến thức

Cực trị của hàm số-Toán học, vật lý, hóa học phổ thông

1. Cực trị của hàm số

Cực trị của hàm số

Bạn đang xem: Cực trị của hàm số-Toán học, vật lý, hóa học phổ thông

Định nghĩa:

Cho hàm số (y = fleft( x right)) xác định và liên tục trên khoảng (left( {a;b} right)) và điểm ({x_0} in left( {a;b} right)).

a) Hàm số(fleft( x right))đạt cực đại tại ({x_0} Leftrightarrow exists h > 0,fleft( x right) < fleft( {{x_0}} right),forall x in left( {{x_0} – h;{x_0} + h} right)backslash left{ {{x_0}} right})

Khi đó $f(x_0)$ là giá trị cực đại của hàm số.

b) Hàm số (fleft( x right)) đạt cực tiểu tại

({x_0} Leftrightarrow exists h > 0,fleft( x right) > fleft( {{x_0}} right),forall x in left( {{x_0} – h;{x_0} + h} right)backslash left{ {{x_0}} right}) Khi đó $f(x_0)$ là giá trị cực tiểu của hàm số.

Cần phân biệt các các khái niệm:

  • Điểm cực trị ({x_0}) của hàm số.
  • Giá trị cực trị của hàm số.
  • Điểm cực trị (left( {{x_0};{y_0}} right)) của đồ thị hàm số.

Nếu (y = fleft( x right)) có đạo hàm trên (left( {a;b} right)) và đạt cực trị tại ({x_0} in left( {a;b} right)) thì (f’left( {{x_0}} right) = 0).

Xem thêm: Mạch nối tiếp và song song – Wikipedia tiếng Việt

Định lý 1:

Giả sử hàm số (y = fleft( x right)) liên tục trên khoảng (K = left( {{x_0} – h;{x_0} + h} right)) và có đạo hàm trên (K) hoặc (Kbackslash left{ {{x_0}} right}left( {h > 0} right)).

a) Nếu(left{ begin{array}{l}f’left( x right) > 0,forall x in left( {{x_0} – h} right)\f’left( x right) < 0,forall x in left( {{x_0} + h} right)end{array} right.) thì ({x_0}) là một điểm cực đại của hàm số.

b) Nếu (left{ begin{array}{l}f’left( x right) < 0,forall x in left( {{x_0} – h} right)\f’left( x right) > 0,forall x in left( {{x_0} + h} right)end{array} right.)  thì ({x_0}) là một điểm cực tiểu của hàm số.

Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.

Định lý 2:

Giả sử (y = fleft( x right)) có đạo hàm cấp 2 trong (left( {{x_0} – h;{x_0} + h} right)left( {h > 0} right)).

a) Nếu(left{ begin{array}{l}f’left( {{x_0}} right) = 0\f”left( {{x_0}} right) > 0end{array} right.)thì ({x_0}) là một điểm cực tiểu của hàm số.

b) Nếu(left{ begin{array}{l}f’left( {{x_0}} right) = 0\f”left( {{x_0}} right) < 0end{array} right.)thì ({x_0}) là một điểm cực đại của hàm số.

2. Tìm cực trị của hàm số

Xem thêm: DƯ ĐỊA CHÍ HUYỆN TRẠM TẤU, TỈNH YÊN BÁI

Phương pháp:

Có thể tìm cực trị của hàm số bởi một trong hai quy tắc sau:

Quy tắc 1: (suy ra từ định lý 1)

– Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

– Bước 2: Tính (f’left( x right)), tìm các điểm tại đó (f’left( x right) = 0) hoặc không xác định.

– Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì đó là điểm cực đại của hàm số.

Xem thêm: Cách học hiệu quả ở Đại học, giá mà biết khi là sinh viên! ~ FuSuSu

Quy tắc 2: (suy ra từ định lý 2)

– Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

– Bước 2: Tính (f’left( x right)), giải phương trình (f’left( x right) = 0) và kí hiệu ({x_1},…,{x_n}) là các nghiệm của nó.

– Bước 3: Tính (f”left( x right)) và (f”left( {{x_i}} right)).

– Bước 4: Dựa và dấu của (f”left( {{x_i}} right)) suy ra điểm cực đại, cực tiểu:

+ Tại các điểm ({x_i}) mà (f”left( {{x_i}} right) > 0) thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm ({x_i}) mà (f”left( {{x_i}} right) < 0) thì đó là điểm cực đại của hàm số.

Đối với các bài toán tìm cực trị của hàm số lượng giác thì dùng quy tắc 2 sẽ thuận tiện hơn, tránh được việc xét dấu đạo hàm.

Bài cùng chủ đề:

  • Sự tương giao của hai đồ thị hàm số, toán phổ thông 12

  • Bài tập trắc nghiệm Sự tương giao của hai đồ thị hàm số, toán 12

  • Bài tập cực trị chuyên đề khảo sát hàm số

  • Cực trị hàm trùng phương, toán 12

  • Dùng đơn điệu hàm số để giải và biện luận phương trình và bất phương trình

Share

Share

VẬT LÝ 10

|

VẬT LÝ 11

|

VẬT LÝ 12

|

TÀI LIỆU VẬT LÝ

TOÁN 10

|

TOÁN 11

|

TOÁN 12

|

HỌC247

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button