Kiến thức

Bài tập trắc nghiệm phương trình và bất phương trình Logarit-Toán học, vật lý, hóa học phổ thông

Phương trình và bất phương trình Logarit

Bài tập trắc nghiệm phương trình và bất phương trình Logarit

1. Định nghĩa

  • Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.
  • Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

2. Phương trình và bất phương trình lôgarit cơ bản: cho a, b > 0, a ≠ 1

  • Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: ({log _a}f(x) = b)
  • Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng: ({log _a}f(x) > b;,,{log _a}f(x) ge b;,,{log _a}f(x) < b;,,{log _a}f(x) le b)

3. Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit
Đưa về cùng cơ số

  • ({log _a}f(x) = {log _a}g(x) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}f(x) > 0\f(x) = g(x)end{array} right.), với mọi 0 < a, a ≠ 1.
  • Nếu (a > 1) thì ({log _a}f(x) > {log _a}g(x) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}g(x) > 0\f(x) > g(x)end{array} right.).
  • Nếu (0 < a < 1) thì ${log _a}f(x) > {log _a}g(x) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}f(x) > 0\f(x) < g(x)end{array} right.$.
  • Dùng đơn điệu hàm số để giải và biện luận PT và BPT chứa tham số

  • Các dạng bài tập hàm bậc ba, toán 12

Bạn đang xem: Bài tập trắc nghiệm phương trình và bất phương trình Logarit-Toán học, vật lý, hóa học phổ thông

Bài tập trắc nghiệm phương trình và bất phương trình Logarit

Câu 1. Điều kiện xác định của phươg trình ({log _{2x – 3}}16 = 2) là:
[A]. (x in mathbb{R}backslash left[ {dfrac{3}{2};2} right]).
[B]. (x ne 2).
[C]. (dfrac{3}{2} < x ne 2).
[D]. (x > dfrac{3}{2}).

Hướng dẫn

Biểu thức({log _{2x – 3}}16) xác định$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2x – 3 > 0\2x – 3 ne 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > dfrac{3}{2}\x ne 2end{array} right. Leftrightarrow dfrac{3}{2} < x ne 2$

[Ẩn HD]

Câu 2. Điều kiện xác định của phươg trình ({log _x}(2{x^2} – 7x – 12) = 2) là:
[A]. (x in left( {0;1} right) cup left( {1; + infty } right)).
[B]. (x in left( { – infty ;0} right)).
[C]. (x in left( {0;1} right)).
[D]. (x in left( {0; + infty } right)).

Hướng dẫn

Biểu thức ({log _x}(2{x^2} – 7x – 12)) xác định$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\x ne 1\2{x^2} – 7x + 12 > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\x ne 1\2left[ {{{(x – dfrac{7}{4})}^2} + dfrac{{47}}{{16}}} right] > 0end{array} right. Leftrightarrow x in (0;1) cup (1; + infty )$

[Ẩn HD]

Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình ({log _5}(x – 1) = {log _5}dfrac{x}{{x + 1}})là:
[A]. $x in left( {1; + infty } right)$.
[B]. (x in left( { – 1;0} right)).
[C]. (x in mathbb{R}backslash {rm{[}} – 1;0]).
[D]. (x in left( { – infty ;1} right)).

Hướng dẫn

Biểu thức ({log _5}(x – 1))và ({log _5}dfrac{x}{{x + 1}}) xác định$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}dfrac{x}{{x + 1}} > 0\x – 1 > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x < – 1 vee x > 0\x > 1end{array} right. Leftrightarrow x > 1$
chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 4. Điều kiện xác định của phươg trình({log _9}dfrac{{2x}}{{x + 1}} = dfrac{1}{2}) là:
[A]. $x in left( { – 1; + infty } right)$.
[B]. (x in mathbb{R}backslash {rm{[}} – 1;0]).
[C]. $x in left( { – 1;0} right)$.
[D]. (x in left( { – infty ;1} right)).

Hướng dẫn

Biểu thức ({log _9}dfrac{{2x}}{{x + 1}}) xác định :
$ Leftrightarrow dfrac{{2x}}{{x + 1}} > 0 Leftrightarrow x < – 1 vee x > 0 Leftrightarrow x in ( – infty ; – 1) cup (0; + infty )$

[Ẩn HD]

Câu 5. Phương trình ({log _2}(3x – 2) = 2)có nghiệm là:
[A]. (x = dfrac{4}{3}).
[B]. (x = dfrac{2}{3}).
[C]. x = 1.
[D]. x = 2.

Hướng dẫn

PT$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}3x – 2 > 0\3x – 2 = 4end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > dfrac{3}{2}\x = 2end{array} right. Leftrightarrow x = 2$.

[Ẩn HD]

Câu 6. Phương trình({log _2}(x + 3) + {log _2}(x – 1) = {log _2}5) có nghiệm là:
[A]. x = 2.
[B]. x = 1.
[C]. x = 3.
[D]. x = 0.

Hướng dẫn

PT$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x – 1 > 0\(x + 3)(x – 1) = 5end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 1\{x^2} + 2x – 8 = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 1\left[ begin{array}{l}x = – 8\x = 2end{array} right.end{array} right. Rightarrow x = 2$.

[Ẩn HD]

Câu 7. Phương trình ({log _3}({x^2} – 6) = {log _3}(x – 2) + 1) có tập nghiệm là:
[A]. (T = {rm{{ }}0;3} ).
[B]. (T = emptyset ).
[C]. (T = {rm{{ }}3} ).
[D]. $T = {rm{{ }}1;3} $.

Hướng dẫn

PT$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{x^2} – 6 > 0\x – 3 > 0\{x^2} – 6 = 3(x – 3)end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x < – sqrt 6 vee x > sqrt 6 \x > 3\left[ begin{array}{l}x = 0\x = 3end{array} right.end{array} right. Rightarrow x in emptyset $.

[Ẩn HD]

Câu 8. Phương trình $log _2^{}x + {log _2}(x – 1) = 1$ có tập nghiệm là:
[A]. (left{ { – 1;3} right}).
[B]. (left{ {1;3} right}).
[C]. (left{ 2 right}).
[D]. (left{ 1 right}).

Hướng dẫn

PT$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\x – 1 > 0\{log _2}left[ {x(x – 1)} right] = 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 1\{x^2} – x – 2 = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 1\left[ begin{array}{l}x = – 1\x = 2end{array} right.end{array} right. Leftrightarrow x = 2$, chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 9. Phương trình $log _2^2(x + 1) – 6{log _2}sqrt {x + 1} + 2 = 0$ có tập nghiệm là:
[A]. (left{ {3;15} right}).
[B]. (left{ {1;3} right}).
[C]. (left{ {1;2} right}).
[D]. (left{ {1;5} right}).

Hướng dẫn

PT( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x + 1 > 0\{log ^2}_2(x + 1) – 3{log _2}(x + 1) + 2 = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > – 1\left[ begin{array}{l}{log _2}(x + 1) = 1\{log _2}(x + 1) = 2end{array} right.end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > – 1\left[ begin{array}{l}x = 1\x = 3end{array} right.end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 1\x = 3end{array} right.).

[Ẩn HD]

Câu 10. Số nghiệm của phương trình({log _4}left( {{{log }_2}x} right) + {log _2}left( {{{log }_4}x} right) = 2) là:
[A]. 0.
[B]. 2.
[C]. 3.
[D]. 1.

Hướng dẫn

PT$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\{log _2}x > 0\{log _4}x > 0\{log _{{2^2}}}left( {{{log }_2}x} right) + {log _2}left( {{{log }_{{2^2}}}x} right) = 2end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 1\dfrac{1}{2}{log _2}left( {{{log }_2}x} right) + {log _2}left( {dfrac{1}{2}{{log }_2}x} right) = 2end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 1\dfrac{1}{2}{log _2}left( {{{log }_2}x} right) + {log _2}dfrac{1}{2} + {log _2}left( {{{log }_2}x} right) = 2end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 1\dfrac{3}{2}{log _2}left( {{{log }_2}x} right) – 1 = 2end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 1\{log _2}left( {{{log }_2}x} right) = 2end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}x > 1\{log _2}x = 4end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}x > 1\x = 16end{array} right. Rightarrow x = 16$.

[Ẩn HD]

Câu 11. Số nghiệm của phương trình({log _2}x.{log _3}(2x – 1) = 2{log _2}x) là:
[A]. 2.
[B]. 0.
[C]. 1.
[D]. 3.

Hướng dẫn

PT$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\2x – 1 > 0\{log _2}x.{log _3}(2x – 1) = 2{log _2}xend{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > dfrac{1}{2}\{log _2}xleft[ {{{log }_3}(2x – 1) – 2} right] = 0end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > dfrac{1}{2}\left[ begin{array}{l}{log _2}x = 0\{log _3}(2x – 1) = 2end{array} right.end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > dfrac{1}{2}\left[ begin{array}{l}x = 1\x = 5end{array} right.end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 1\x = 5end{array} right.$.

[Ẩn HD]

Câu 12. Số nghiệm của phương trình({log _2}({x^3} + 1) – {log _2}({x^2} – x + 1) – 2{log _2}x = 0)là:
[A]. 0.
[B]. 2.
[C]. 3.
[D]. 1.

Hướng dẫn

PT$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\{x^3} + 1 > 0\{x^2} – x + 1 > 0\{log _{{2^{}}}}({x^3} + 1) – {log _2}({x^2} – x + 1) – 2{log _{{2^{}}}}x = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}({x^2} – x + 1)}} = 0end{array} right.$$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\dfrac{{(x + 1)({x^2} – x + 1)}}{{{x^2}({x^2} – x + 1)}} = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\x + 1 = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\x = – 1end{array} right. Rightarrow x in emptyset $.

[Ẩn HD]

Câu 13. Số nghiệm của phương trình ${log _5}left( {5x} right) – {log _{25}}left( {5x} right) – 3 = 0$là :
[A]. 3.
[B]. 4.
[C]. 1.
[D]. 2.

Hướng dẫn

PT$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\{log _5}(5x) – {log _{25}}(5x) – 3 = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 1\{log _5}(5x) – dfrac{1}{2}{log _5}(5x) – 3 = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 1\dfrac{1}{2}{log _5}(5x) – 3 = 0end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 1\{log _5}(5x) = 6end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 1\5x = {5^6}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 1\x = {5^5}end{array} right. Leftrightarrow x = {5^5}$.

[Ẩn HD]

Câu 14. Phương trình({log _3}(5x – 3) + {log _{dfrac{1}{3}}}({x^2} + 1) = 0) có 2 nghiệm ({x_1},{x_2}) trong đó ({x_1} < {x_2}).Giá trị của (P = 2{x_1} + 3{x_2}) là
[A]. 5.
[B]. 14.
[C]. 3.
[D]. 13.

Hướng dẫn

PT$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}5x – 3 > 0\{log _3}(5x – 3) + {log _{dfrac{1}{3}}}({x^2} + 1) = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > dfrac{3}{5}\{log _3}(5x – 3) – {log _3}({x^2} + 1) = 0end{array} right.$$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > dfrac{3}{5}\{log ^{}}_3(5x – 3) = {log ^{}}_3({x^2} + 1)end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > dfrac{3}{5}\5x – 3 = {x^2} + 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > dfrac{3}{5}\{x^2} – 5x + 4 = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > dfrac{3}{5}\left[ begin{array}{l}x = 1\x = 4end{array} right.end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 1\x = 4end{array} right.$Vậy (2{x_1} + 3{x_2} = 2.1 + 3.4 = 14).

[Ẩn HD]

Câu 15. Hai phương trình (2{log _5}(3x – 1) + 1 = {log _{sqrt[3]{5}}}(2x + 1)) và ({log _2}({x^2} – 2x – 8) = 1 – {log _{dfrac{1}{2}}}(x + 2)) lần lượt có 2 nghiệm duy nhất là ({x_1},{x_2}). Tổng ({x_1} + {x_2}) là?
[A]. 8.
[B]. 6.
[C]. 4.
[D]. 10.

Hướng dẫn

PT1:(2{log _5}(3x – 1) + 1 = {log _{sqrt[3]{5}}}(2x + 1))
PT$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}3x – 1 > 0\2x + 1 > 0\2{log _5}(3x – 1) + 1 = {log _{sqrt[3]{5}}}(2x + 1)end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > dfrac{1}{3}\{log _5}{(3x – 1)^2} + {log _5}5 = 3{log _5}(2x + 1)end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > dfrac{1}{3}\{log _5}5{(3x – 1)^2} = {log _5}{(2x + 1)^3}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > dfrac{1}{3}\5{(3x – 1)^2} = {(2x + 1)^3}end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > dfrac{1}{3}\5(9{x^2} – 6x + 1) = 8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > dfrac{1}{3}\8{x^3} – 33{x^2} + 36x – 4 = 0end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > dfrac{1}{3}\left[ begin{array}{l}x = dfrac{1}{8}\x = 2end{array} right.end{array} right. Rightarrow {x_1} = 2$
PT2:({log _2}({x^2} – 2x – 8) = 1 – {log _{dfrac{1}{2}}}(x + 2))
PT( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{x^2} – 2x – 8 > 0\x + 2 > 0\{log _2}({x^2} – 2x – 8) = 1 – {log _{dfrac{1}{2}}}(x + 2)end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x < – 2 vee x > 4\x > – 2\{log _2}({x^2} – 2x – 8) = 1 + {log _2}(x + 2)end{array} right.)( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 4\{log _2}({x^2} – 2x – 8) = {log _2}2(x + 2)end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 4\{x^2} – 2x – 8 = 2(x + 2)end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 4\{x^2} – 4x – 12 = 0end{array} right.)
( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 4\left[ begin{array}{l}x = – 2\x = 6end{array} right.end{array} right. Rightarrow {x_2} = 6)
Vậy ({x_1} + {x_2} = 2 + 6 = 8).

[Ẩn HD]

Câu 16. Gọi ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${log _x}2 – {log _{16}}x = 0$. Khi đó tích${x_1}.{x_2}$ bằng:
[A]. – 1.
[B]. 1.
[C]. 2.
[D]. – 2.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện:(0 < x ne 1)
PT$ Leftrightarrow {log _x}2 – {log _{16}}x = 0 Leftrightarrow {log _x}2 – {log _{{2^4}}}x = 0 Leftrightarrow {log _x}2 – dfrac{1}{4}{log _2}x = 0$
$ Leftrightarrow {log _x}2 – dfrac{1}{{4{{log }_x}2}} = 0 Leftrightarrow dfrac{{4{{({{log }_x}2)}^2} – 1}}{{4{{log }_x}2}} = 0 Leftrightarrow 4{({log _x}2)^2} – 1 = 0$
$ Leftrightarrow {({log _x}2)^2} = dfrac{1}{4} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{log _x}2 = dfrac{1}{2}\{log _x}2 = – dfrac{1}{2}end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}2 = {x^{dfrac{1}{2}}}\2 = {x^{ – dfrac{1}{2}}}end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{x_1} = 4\{x_2} = dfrac{1}{4}end{array} right.$
Vậy ({x_1}.{x_2} = 4.dfrac{1}{4} = 1).
[Phương pháp trắc nghiệm]
Đáp án B,D có tích âm thì có thể ({x_1} < 0)hoặc({x_2} < 0)thì không thỏa mãn điều kiện của (x)nên loại.

[Ẩn HD]

Câu 17. Nếu đặt (t = {log _2}x) thì phương trình(dfrac{1}{{5 – {{log }_2}x}} + dfrac{2}{{1 + {{log }_2}x}} = 1) trở thành phương trình nào?
[A]. ({t^2} – 5t + 6 = 0).
[B]. ({t^2} + 5t + 6 = 0).
[C]. ({t^2} – 6t + 5 = 0).
[D]. ({t^2} + 6t + 5 = 0).

Hướng dẫn

Đặt (t = {log _2}x)
PT$ Leftrightarrow dfrac{1}{{5 – t}} + dfrac{2}{{1 + t}} = 1 Leftrightarrow dfrac{{1 + t + 2(5 – t)}}{{(5 – t)(1 + t)}} = 1 Leftrightarrow 1 + t + 2(5 – t) = (5 – t)(1 + t)$
$ Leftrightarrow 11 – t = 5 + 4t – {t^2} Leftrightarrow {t^2} – 5t + 6 = 0$.

[Ẩn HD]

Câu 18. Nếu đặt (t = lg x) thì phương trình$dfrac{1}{{4 – lg x}} + dfrac{2}{{2 + lg x}} = 1$ trở thành phương trình nào?
[A]. ({t^2} + 2t + 3 = 0).
[B]. ({t^2} – 3t + 2 = 0).
[C]. ({t^2} – 2t + 3 = 0).
[D]. ({t^2} + 3t + 2 = 0).

Hướng dẫn

Đặt (t = lg x)
PT$ Leftrightarrow dfrac{1}{{4 – t}} + dfrac{2}{{2 + t}} = 1 Leftrightarrow dfrac{{2 + t + 2(4 – t)}}{{(4 – t)(2 + t)}} = 1 Leftrightarrow 2 + t + 2(4 – t) = (4 – t)(2 + t)$
$ Leftrightarrow 10 – t = 8 + 2t – {t^2} Leftrightarrow {t^2} – 3t + 2 = 0$.

[Ẩn HD]

Câu 19. Nghiệm bé nhất của phương trình ({log _2}^3x – 2{log ^2}_2x = {log _2}x – 2) là:
[A]. (x = 4).
[B]. $x = dfrac{1}{4}$.
[C]. x = 2.
[D]. $x = dfrac{1}{2}$.

Hướng dẫn

TXĐ:x > 0
PT$ Leftrightarrow {log _2}^3x – 2{log _2}^2x = {log _2}x – 2 Leftrightarrow {log _2}^3x – 2{log _2}^2x – {log _2}x + 2 = 0$
$ Leftrightarrow {log _2}^3x – {log _2}x – 2{log _2}^2x + 2 = 0 Leftrightarrow {log _2}x({log ^2}_2x – 1) – 2({log ^2}_2x – 1) = 0$
$ Leftrightarrow ({log ^2}_2x – 1)({log _2}x – 2) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{log ^2}_2x – 1 = 0\{log _2}x – 2 = 0end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{log _2}x = 1\{log _2}x = – 1\{log _2}x = 2end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 2\x = dfrac{1}{2}\x = 4end{array} right.$
$ Rightarrow x = dfrac{1}{2}$là nghiệm nhỏ nhất.

[Ẩn HD]

Câu 20. Điều kiện xác định của bất phương trình ({log _{dfrac{1}{2}}}(4x + 2) – {log _{dfrac{1}{2}}}(x – 1) > lo{g_{dfrac{1}{2}}}x)là:
[A]. $x > – dfrac{1}{2}$.
[B]. x > 0.
[C]. x > 1.
[D]. x > – 1.

Hướng dẫn

BPT xác định khi:(left{ begin{array}{l}x > 0\4x + 2 > 0\x – 1 > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\x > – dfrac{1}{2}\x > 1end{array} right. Leftrightarrow x > 1).

[Ẩn HD]

Câu 21. Điều kiện xác định của bất phương trình ({log _2}(x + 1) – 2{log _4}(5 – x) < 1 – {log _2}(x – 2))là:
[A]. 2 < x < 5.
[B]. 1 < x < 2.
[C]. 2 < x < 3.
[D]. – 4 < x < 3.

Hướng dẫn

BPT xác định khi :$left{ begin{array}{l}x + 1 > 0\5 – x > 0\x – 2 > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > – 1\x < 5\x > 2end{array} right. Leftrightarrow 2 < x < 5$.

[Ẩn HD]

Câu 22. Điều kiện xác định của bất phương trình ({log _{dfrac{1}{2}}}left[ {{{log }_2}(2 – {x^2})} right] > 0)là:
[A]. (x in {rm{[}} – 1;1]).
[B]. (x in left( { – 1;0} right) cup left( {0;1} right)).
[C]. (x in left( { – 1;1} right) cup left( {2; + infty } right)).
[D]. (x in left( { – 1;1} right)).

Hướng dẫn

BPT xác định khi :$left{ begin{array}{l}2 – {x^2} > 0\{log _2}(2 – {x^2}) > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – sqrt 2 < x < sqrt 2 \2 – {x^2} > 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – sqrt 2 < x < sqrt 2 \1 – {x^2} > 0end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – sqrt 2 < x < sqrt 2 \ – 1 < x < 1end{array} right. Leftrightarrow – 1 < x < 1$.

[Ẩn HD]

Câu 23. Bất phương trình${log _2}({2^x} + 1) + {log _3}({4^x} + 2) le 2$ có tập nghiệm là:
[A]. ${rm{[}}0; + infty )$.
[B]. (( – infty ;0)).
[C]. $( – infty ;0]$.
[D]. $left( {0; + infty } right)$.

Hướng dẫn

Xét (x > 0 Rightarrow {2^x} > {2^0} = 1 Rightarrow {2^x} + 1 > 2 Rightarrow {log _2}left( {{2^x} + 1} right) > {log _2}2 = 1left( 1 right))
(x > 0 Rightarrow {4^x} > {4^0} = 1 Rightarrow {4^x} + 2 > 2 + 1 = 3 Rightarrow {log _3}left( {{4^x} + 2} right) > {log _3}3 = 1left( 2 right))
Cộng vế với vế của(left( 1 right))và(left( 2 right))ta được:${log _2}({2^x} + 1) + {log _3}({4^x} + 2) > 2$
Mà BPT: ${log _2}({2^x} + 1) + {log _3}({4^x} + 2) le 2$ nên (x > 0left( {loai} right))
Xét (x le 0 Rightarrow {2^x} le {2^0} = 1 Rightarrow {2^x} + 1 le 2 Rightarrow {log _2}left( {{2^x} + 1} right) le {log _2}2 = 1left( 3 right))
(x le 0 Rightarrow {4^x} le {4^0} = 1 Rightarrow {4^x} + 2 le 2 + 1 = 3 Rightarrow {log _3}left( {{4^x} + 2} right) le {log _3}3 = 1left( 4 right))
Cộng vế với vế của(left( 3 right))và(left( 4 right))ta được:${log _2}({2^x} + 1) + {log _3}({4^x} + 2) le 2left( {tm} right)$
Vậy (x le 0)hay (x in left( { – infty ;0} right]).

[Ẩn HD]

Câu 24. Bất phương trình ({log _2}left( {{x^2} – x – 2} right) ge {log _{0,5}}left( {x – 1} right) + 1) có tập nghiệm là:
[A]. (left[ {1 + sqrt 2 ; + infty } right)).
[B]. (left[ {1 – sqrt 2 ; + infty } right)).
[C]. (left( { – infty ;1 + sqrt 2 } right]).
[D]. (left( { – infty ;1 – sqrt 2 } right]).

Hướng dẫn

TXĐ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{x^2} – x – 2 > 0\x – 1 > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x < – 1 vee x > 2\x > 1end{array} right. Leftrightarrow x > 2$
BPT$ Leftrightarrow {log _2}left( {{x^2} – x – 2} right) ge {log _{0,5}}left( {x – 1} right) + 1 Leftrightarrow {log _2}left( {{x^2} – x – 2} right) ge {log _{{2^{ – 1}}}}left( {x – 1} right) + 1$
$ Leftrightarrow {log _2}left( {{x^2} – x – 2} right) + {log _2}left( {x – 1} right) – 1 ge 0 Leftrightarrow {log _2}dfrac{{left( {{x^2} – x – 2} right)left( {x – 1} right)}}{2} ge 0$
$ Leftrightarrow dfrac{{left( {{x^2} – x – 2} right)left( {x – 1} right)}}{2} ge 1 Leftrightarrow left( {{x^2} – x – 2} right)left( {x – 1} right) ge 2 Leftrightarrow xleft( {{x^2} – 2x – 1} right) ge 0$
$ Leftrightarrow {x^2} – 2x – 1 ge 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x le 1 – sqrt 2 left( {loai} right)\x ge 1 + sqrt 2 left( {tm} right)end{array} right. Rightarrow x ge 1 + sqrt 2 $

[Ẩn HD]

Câu 25. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình ({log _2}left( {{{log }_4}x} right) ge {log _4}left( {{{log }_2}x} right)) là:
[A]. 6.
[B]. 10.
[C]. 8.
[D]. 9.

Hướng dẫn

BPT$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\{log _2}x > 0\{log _4}x > 0\ + {log _2}left( {{{log }_{{2^2}}}x} right) ge {log _{{2^2}}}left( {{{log }_2}x} right)end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 1\ + {log _2}left( {dfrac{1}{2}{{log }_2}x} right) ge dfrac{1}{2}{log _2}left( {{{log }_2}x} right)end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 1\ + {log _2}left( {dfrac{1}{2}{{log }_2}x} right) ge dfrac{1}{2}{log _2}left( {{{log }_2}x} right)end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 1\{log _2}left( {{{log }_2}x} right) – 1 ge dfrac{1}{2}{log _2}left( {{{log }_2}x} right)end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 1\dfrac{1}{2}{log _2}left( {{{log }_2}x} right) ge 1end{array} right.$$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 1\{log _2}left( {{{log }_2}x} right) ge 2end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}x > 1\{log _2}x ge 4end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}x > 1\x ge 8end{array} right. Rightarrow x ge 8$

[Ẩn HD]

Câu 26. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình({log _3}left( {1 – {x^2}} right) le {log _{dfrac{1}{3}}}left( {1 – x} right))là:
[A]. x = 0.
[B]. x = 1.
[C]. $x = dfrac{{1 – sqrt 5 }}{2}$.
[D]. $x = dfrac{{1 + sqrt 5 }}{2}$.

Hướng dẫn

BPT$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}1 – {x^2} > 0\1 – x > 0\{log _3}left( {1 – {x^2}} right) le – {log _3}left( {1 – x} right)end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – 1 < x < 1\x < 1\{log _3}left( {1 – {x^2}} right) + {log _3}left( {1 – x} right) le 0end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – 1 < x < 1\{log _3}left( {1 – {x^2}} right)left( {1 – x} right) le 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – 1 < x < 1\{log _3}left( {1 – {x^2}} right)left( {1 – x} right) le 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – 1 < x < 1\left( {1 – {x^2}} right)left( {1 – x} right) le 1end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – 1 < x < 1\x({x^2} – x – 1) le 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – 1 < x < 1\x le dfrac{{1 – sqrt 5 }}{2} vee 0 le x le dfrac{{1 + sqrt 5 }}{2}end{array} right. Leftrightarrow – 1 < x le dfrac{{1 – sqrt 5 }}{2} vee 0 le x < 1$
( Rightarrow x = 0)là nghiệm nguyên nhỏ nhất.

[Ẩn HD]

Câu 27. Tập nghiệm của bất phương trình ({log _2}({x^2} – 3x + 1) le 0) là:
[A]. (S = left[ {0;dfrac{{3 – sqrt 5 }}{2}} right) cup left( {dfrac{{3 + sqrt 5 }}{2};3} right]).
[B]. (S = left( {0;dfrac{{3 – sqrt 5 }}{2}} right) cup left( {dfrac{{3 + sqrt 5 }}{2};3} right)) .
[C]. (S = left[ {dfrac{{3 – sqrt 5 }}{2};dfrac{{3 + sqrt 5 }}{2}} right]).
[D]. (S = emptyset ).

Hướng dẫn

BPT( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{x^2} – 3x + 1 > 0\{log _2}({x^2} – 3x + 1) le 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{x^2} – 3x + 1 > 0\{x^2} – 3x + 1 le 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{x^2} – 3x + 1 > 0\{x^2} – 3x + 1 le 1end{array} right.)
( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x < dfrac{{3 – sqrt 5 }}{2} vee x > dfrac{{3 + sqrt 5 }}{2}\0 le x le 3end{array} right. Leftrightarrow x in left[ {0;dfrac{{3 – sqrt 5 }}{2}} right) cup left( {dfrac{{3 + sqrt 5 }}{2};3} right])

[Ẩn HD]

Câu 28. Điều kiện xác định của phương trình ({log _2}(x – 5) + {log _3}(x + 2) = 3)là:
[A]. $x ge 5$.
[B]. x > – 2.
[C]. – 2 < x < 5.
[D]. x > 5.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
PT xác định khi và chỉ khi: (left{ begin{array}{l}x – 5 > 0\x + 2 > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 5\x > – 2end{array} right. Leftrightarrow x > 5)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính ({log _2}(X – 5) + {log _3}(X + 2) – 3)
Nhấn CALC và cho $X = 1$ máy tính không tính đượ
[C]. Vậy loại đáp án B và
[C].
Nhấn CALC và cho $X = 5$(thuộc đáp án D) máy tính không tính đượ
[C]. Vậy loại
[D].

[Ẩn HD]

Câu 29. Điều kiện xác định của phương trình (log ({x^2} – 6x + 7) + x – 5 = log (x – 3))là:
[A]. $x > 3 + sqrt 2 $.
[B]. x > 3.
[C]. $left[ begin{array}{l}x > 3 + sqrt 2 \x < 3 – sqrt 2 end{array} right.$.
[D]. $x < 3 – sqrt 2 $.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện phương trình: (left{ begin{array}{l}{x^2} – 6{rm{x + 7}} > 0\x – 3 > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left[ begin{array}{l}x > 3 + sqrt 2 \x < 3 – sqrt 2 end{array} right.\x > 3end{array} right. Leftrightarrow x > 3 + sqrt 2 )
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính (log ({X^2} – 6X + 7) + X – 5 – log (X – 3))
Nhấn CALC và cho $X = 1$ máy tính không tính đượ
[C]. Vậy loại đáp án C và [D].
Nhấn CALC và cho x = 4(thuộc đáp án B) máy tính không tính đượ
[C]. Vậy loại [B].

[Ẩn HD]

Câu 30. Phương trình ${log _3}x + {log _{sqrt 3 }}x + {log _{dfrac{1}{3}}}x = 6$có nghiệm là:
[A]. x = 27.
[B]. x = 9.
[C]. $x = {3^{12}}$.
[D]. .$x = {log _3}6$..

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
${log _3}x + {log _{sqrt 3 }}x + {log _{dfrac{1}{3}}}x = 6 Leftrightarrow {log _3}x + 2{log _3}x – {log _3}x = 6 Leftrightarrow {log _3}x = 3 Leftrightarrow x = 27$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính ({log _3}X + {log _{sqrt 3 }}X + {log _{dfrac{1}{3}}}X – 6)
Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng.

[Ẩn HD]

Câu 31. Phương trình $ln dfrac{{x – 1}}{{x + 8}} = ln x$có nghiệm là:
[A]. x = – 2.
[B]. $left[ begin{array}{l}x = 4\x = – 2end{array} right.$.
[C]. x = 4.
[D]. x = 1.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
$ln dfrac{{x – 1}}{{x + 8}} = ln x Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\dfrac{{x – 1}}{{x + 8}} = xend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\left[ begin{array}{l}x = 4\x = – 2end{array} right.end{array} right. Leftrightarrow x = 4$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính (ln dfrac{{X – 1}}{{X + 8}} – ln X)
Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng.

[Ẩn HD]

Câu 32. Phương trình $log _2^2x – 4{log _2}x + 3 = 0$có tập nghiệm là:
[A]. $left{ {8;2} right}$.
[B]. $left{ {1;3} right}$.
[C]. $left{ {6;2} right}$.
[D]. $left{ {6;8} right}$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
$log _2^2x – 4{log _2}x + 3 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{log _2}x = 1\{log _2}x = 3end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 2\x = 8end{array} right.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính (log _2^2X – 4{log _2}X + 3)
Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng.

[Ẩn HD]

Câu 33. Tập nghiệm của phương trình $dfrac{1}{2}{log _2}{left( {x + 2} right)^2} – 1 = 0$là:
[A]. $left{ 0 right}$.
[B]. $left{ {0; – 4} right}$.
[C]. $left{ { – 4} right}$.
[D]. $left{ { – 1;0} right}$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $x ne – 2$
$pt Leftrightarrow {log _2}left| {x + 2} right| = 1 Leftrightarrow left| {x + 2} right| = 2 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x + 2 = 2\x + 2 = – 2end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0\x = – 4end{array} right.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính (dfrac{1}{2}{log _2}left( {{{left( {X + 2} right)}^2}} right) – 1)
Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng.

[Ẩn HD]

Câu 34. Tập nghiệm của phương trình ${log _2}dfrac{1}{x} = {log _{dfrac{1}{2}}}left( {{x^2} – x – 1} right)$ là:
[A]. $left{ {1 + sqrt 2 } right}$.
[B]. $left{ {1 + sqrt 2 ;1 – sqrt 2 } right}$.
[C]. $left{ {dfrac{{1 + sqrt 5 }}{2};dfrac{{1 – sqrt 5 }}{2}} right}$.
[D]. $left{ {1 – sqrt 2 } right}$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0và ${x^2} – x – 1 > 0$
Với điều kiện đó thì ${log _2}dfrac{1}{x} = {log _{dfrac{1}{2}}}x$ . Phương trình đã cho tương đương phương trình
${log _{dfrac{1}{2}}}x = {log _{dfrac{1}{2}}}left( {{x^2} – x – 1} right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\x = {x^2} – x – 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\left[ begin{array}{l}x = 1 + sqrt 2 \x = 1 – sqrt 2 end{array} right.end{array} right. Leftrightarrow x = 1 + sqrt 2 $
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính ${log _2}dfrac{1}{X} – {log _{dfrac{1}{2}}}left( {{X^2} – X – 1} right)$
Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng.

[Ẩn HD]

Câu 35. Phương trình ${log _2}left( {{{3.2}^x} – 1} right) = 2x + 1$ có bao nhiêu nghiệm?
[A]. 1.
[B]. 2.
[C]. 3.
[D]. 0.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
${log _2}left( {{{3.2}^x} – 1} right) = 2x + 1 Leftrightarrow {3.2^x} – 1 = {2^{2x + 1}} Leftrightarrow {2.4^x} – {3.2^x} + 1 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{2^x} = 1\{2^x} = dfrac{1}{2}end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0\x = – 1end{array} right.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính ({log _2}left( {3x{2^X} – 1} right) – 2X – 1 = 0)
Ấn SHIFT CALC nhập X=5, ấn = . Máy hiện X=0.
Ấn Alpha X Shift STO A
Ấn A
[C]. Viết lại phương trình: (dfrac{{{{log }_2}left( {3x{2^X} – 1} right) – 2X – 1}}{{X – A}} = 0)
Ấn SHIFT CAL
[C]. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 5 =. Máy hiện X=-1.
Ấn Alpha X Shift STO
[B].
Ấn A
[C]. Viết lại phương trình: $dfrac{{{{log }_2}left( {3{rm{x}}{2^X} – 1} right) – 2X – 1}}{{left( {X – A} right)left( {X – B} right)}} = 0$
Ấn SHIFT CAL
[C]. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi B? Ấn =. Máy hỏi X? Ấn 1=
Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm.

[Ẩn HD]

Câu 36. Số nghiệm của phương trình $ln left( {{x^2} – 6{rm{x}} + 7} right) = ln left( {x – 3} right)$là:
[A]. 0.
[B]. 2.
[C]. 3.
[D]. 1.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
$ln left( {{x^2} – 6x + 7} right) = ln left( {x – 3} right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x – 3 > 0\{x^2} – 6x + 7 = x – 3end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 3\{x^2} – 7x + 10 = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 3\left[ begin{array}{l}x = 5\x = 2end{array} right.end{array} right. Leftrightarrow x = 5$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính (ln left( {{X^2} – 6X + 7} right) – ln left( {X – 3} right) = 0)
Ấn SHIFT CALC nhập X=4 (chọn X thỏa điều kiện xác định của phương trình), ấn = . Máy hiện X=5.
Ấn Alpha X Shift STO A
Ấn A
[C]. Viết lại phương trình: (dfrac{{ln left( {{X^2} – 6X + 7} right) – ln left( {X – 3} right)}}{{X – A}} = 0)
Ấn SHIFT CAL
[C]. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 7 =.
Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm.

[Ẩn HD]

Câu 37. Nghiệm nhỏ nhất của phương trình $ – {log _{sqrt 3 }}left( {x – 2} right).{log _5}x = 2{log _3}left( {x – 2} right)$ là:
[A]. $dfrac{1}{5}$.
[B]. 3.
[C]. 2.
[D]. 1.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $x > 2$
$begin{array}{l} – {log _{sqrt 3 }}left( {x – 2} right).{log _5}x = 2{log _3}left( {x – 2} right) Leftrightarrow – 2{log _3}left( {x – 2} right).{log _5}x = 2{log _3}left( {x – 2} right)\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{log _3}left( {x – 2} right) = 0\{log _5}x = – 1end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{log _3}left( {x – 2} right) = 0\{log _5}x = – 1end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 3\x = dfrac{1}{5}end{array} right.end{array}$
So điều kiện suy ra phương trình có nghiệm x = 3.
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính $ – {log _{sqrt 3 }}left( {X – 2} right).{log _5}X – 2{log _3}left( {X – 2} right)$
Nhấn CALC và cho $X = dfrac{1}{5}$ (số nhỏ nhất) ta thấy sai. Vậy loại đáp án
[A].
Nhấn CALC và cho $X = 1$ ta thấy sai. Vậy loại đáp án [D].
Nhấn CALC và cho x = 2 ta thấy sai. Vậy loại đáp án [C].

[Ẩn HD]

Câu 38. Nghiệm lớn nhất của phương trình $ – {log ^3}x + 2{log ^2}x = 2 – log x$ là :
[A]. 100.
[B]. 2.
[C]. 10.
[D]. 1000.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
$ – {log ^3}x + 2{log ^2}x = 2 – log x Leftrightarrow left[ begin{array}{l}log x = – 1\log x = 2\log x = 1end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = dfrac{1}{{10}}\x = 100\x = 10end{array} right.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính $ – {log ^3}X + 2{log ^2}X – 2 + log X$
Nhấn CALC và cho $X = 1000$ (số lớn nhất) ta thấy sai. Vậy loại đáp án
[D].
Nhấn CALC và cho $X = 100$ ta thấy đúng.

[Ẩn HD]

Câu 39. Gọi ${x_1},{x_2}$là 2 nghiệm của phương trình({log _3}left( {{x^2} – x – 5} right) = {log _3}left( {2x + 5} right)).
Khi đó$left| {{x_1} – {x_2}} right|$bằng:
[A]. 5.
[B]. 3.
[C]. – 2.
[D]. 7.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
({log _3}left( {{x^2} – x – 5} right) = {log _3}left( {2x + 5} right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2{rm{x}} + 5 > 0\{x^2} – x – 5 = 2x + 5end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > – dfrac{5}{2}\left[ begin{array}{l}x = 5\x = – 2end{array} right.end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 5\x = – 2end{array} right.)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm là 5 và –2.

[Ẩn HD]

Câu 40. Gọi ${x_1},{x_2}$là 2 nghiệm của phương trình(dfrac{1}{{4 + {{log }_2}x}} + dfrac{2}{{2 – {{log }_2}x}} = 1). Khi đó ${x_1}.{x_2}$bằng:
[A]. $dfrac{1}{2}$.
[B]. $dfrac{1}{8}$.
[C]. $dfrac{1}{4}$.
[D]. $dfrac{3}{4}$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $left{ begin{array}{l}x > 0\x ne 4\x ne dfrac{1}{{16}}end{array} right.$.
Đặt $t = {log _2}x$,điều kiện$left{ begin{array}{l}t ne – 4\t ne 2end{array} right.$. Khi đó phương trình trở thành:
$dfrac{1}{{4 + t}} + dfrac{2}{{2 – t}} = 1 Leftrightarrow {t^2} + 3t + 2 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = – 1\t = – 2end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l}x = dfrac{1}{2}\x = dfrac{1}{4}end{array} right.$
Vậy ${x_1}.{x_2} = dfrac{1}{8}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm là $dfrac{1}{2}$và $dfrac{1}{4}$.

[Ẩn HD]

Câu 41. Gọi ${x_1},{x_2}$là 2 nghiệm của phương trình({log _2}left[ {xleft( {x + 3} right)} right] = 1). Khi đó${x_1} + {x_2}$bằng:
[A]. – 3.
[B]. – 2.
[C]. $sqrt {17} $.
[D]. $dfrac{{ – 3 + sqrt {17} }}{2}$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $left[ begin{array}{l}x < – 3\x > 0end{array} right.$
({log _2}left[ {xleft( {x + 3} right)} right] = 1 Leftrightarrow xleft( {x + 3} right) = 2 Leftrightarrow {x^2} + 3x – 2 = 0)
Vậy${x_1} + {x_2} = – 3.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm và lưu 2 nghiệm vào A và
[B]. Tính A + B = – 3.

[Ẩn HD]

Câu 42. Nếu đặt $t = {log _2}x$thì phương trình ${log _2}left( {4x} right) – {log _x}2 = 3$trở thành phương trình nào?
[A]. ${t^2} – t – 1 = 0$.
[B]. $4{t^2} – 3t – 1 = 0$.
[C]. $t + dfrac{1}{t} = 1$.
[D]. $2t – dfrac{1}{t} = 3$.

Hướng dẫn

${log _2}left( {4x} right) – {log _x}2 = 3 Leftrightarrow {log _2}4 + {log _2}x – dfrac{1}{{{{log }_2}x}} = 3 Leftrightarrow log _2^2x – {log _2}x – 1 = 0$

[Ẩn HD]

Câu 43. Nếu đặt $t = log x$thì phương trình ${log ^2}{x^3} – 20log sqrt x + 1 = 0$trở thành phương trình nào?
[A]. $9{t^2} – 20sqrt t + 1 = 0$.
[B]. $3{t^2} – 20t + 1 = 0$.
[C]. $9{t^2} – 10t + 1 = 0$.
[D]. $3{t^2} – 10t + 1 = 0$.

Hướng dẫn

${log ^2}{x^3} – 20log sqrt x + 1 = 0 Leftrightarrow 9{log ^2}x – 10log x + 1 = 0$

[Ẩn HD]

Câu 44. Cho bất phương trình $dfrac{{1 – {{log }_9}x}}{{1 + {{log }_3}x}} le dfrac{1}{2}$. Nếu đặt $t = {log _3}x$ thì bất phương trình trở thành:
[A]. $2left( {1 – 2t} right) le 1 + t$.
[B]. $dfrac{{1 – 2t}}{{1 + t}} le dfrac{1}{2}$.
[C]. $1 – dfrac{1}{2}t le dfrac{1}{2}left( {1 + t} right)$.
[D]. $dfrac{{2t – 1}}{{1 + t}} ge 0$.

Hướng dẫn

$dfrac{{1 – {{log }_9}x}}{{1 + {{log }_3}x}} le dfrac{1}{2} Leftrightarrow dfrac{{1 – dfrac{1}{2}{{log }_3}x}}{{1 + {{log }_3}x}} le dfrac{1}{2} Leftrightarrow dfrac{{2 – {{log }_3}x}}{{2left( {1 + {{log }_3}x} right)}} le dfrac{1}{2} Leftrightarrow 1 – dfrac{{2 – {{log }_3}x}}{{1 + {{log }_3}x}} ge 0 Leftrightarrow dfrac{{2{{log }_3}x – 1}}{{1 + {{log }_3}x}} ge 0$

[Ẩn HD]

Câu 45. Điều kiện xác định của bất phương trình ({log _5}(x – 2) + {log _{dfrac{1}{5}}}(x + 2) > {log _5}x – 3) là:
[A]. x > 3.
[B]. x > 2.
[C]. x > – 2.
[D]. x > 0.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: (left{ begin{array}{l}x – 2 > 0\x + 2 > 0\x > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 2\x > – 2\x > 0end{array} right. Leftrightarrow x > 2)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính ({log _5}(X – 2) + {log _{dfrac{1}{5}}}(X + 2) – {log _5}X + 3)
Nhấn CALC và cho $X = 1$ máy tính không tính được. Vậy loại đáp án C và
[D].
Nhấn CALC và cho $X = dfrac{5}{2}$(thuộc đáp án B) máy tính hiển thị 1,065464369.

[Ẩn HD]

Câu 46. Điều kiện xác định của bất phương trình ({log _{0,5}}(5{rm{x}} + 15) le {log _{0,5}}left( {{x^2} + 6{rm{x}} + 8} right)) là:
[A]. x > – 2.
[B]. (left[ begin{array}{l}x < – 4\x > – 2end{array} right.).
[C]. x > – 3.
[D]. ( – 4 < x < – 2).

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: (left{ begin{array}{l}5x + 15 > 0\{x^2} + 6{rm{x}} + 8 > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > – 3\left[ begin{array}{l}x > – 2\x < – 4end{array} right.end{array} right. Leftrightarrow x > – 2)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính ({log _{0,5}}(5X + 15) – {log _{0,5}}({X^2} + 6{rm{X}} + 8))
Nhấn CALC và cho $X = – 3,5$ máy tính không tính được. Vậy loại đáp án C và
[D].
Nhấn CALC và cho $X = – 5$(thuộc đáp án B) máy tính không tính được.
Vậy loại B, chọn
[A].

[Ẩn HD]

Câu 47. Điều kiện xác định của bất phương trình (ln dfrac{{{x^2} – 1}}{x} < 0) là:
[A]. (left[ begin{array}{l} – 1 < x < 0\x > 1end{array} right.).
[B]. (x > – 1).
[C]. x > 0.
[D]. (left[ begin{array}{l}x < – 1\x > 1end{array} right.).

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: (dfrac{{{x^2} – 1}}{x} > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} – 1 < x < 0\x > 1end{array} right.)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính (ln dfrac{{{X^2} – 1}}{X})
Nhấn CALC và cho x = – 0,5 (thuộc đáp án A và B) máy tính hiển thị 0,4054651081. Vậy loại đáp án C và
[D].
Nhấn CALC và cho $X = 0,5$(thuộc đáp án B) máy tính không tính đượ
[C]. Vậy loại B, chọn
[A].

[Ẩn HD]

Câu 48. Bất phương trình $log _{0,2}^2x – 5{log _{0,2}}x < – 6$có tập nghiệm là:
[A]. $S = left( {dfrac{1}{{125}};dfrac{1}{{25}}} right)$.
[B]. $S = left( {2;3} right)$.
[C]. $S = left( {0;dfrac{1}{{25}}} right)$.
[D]. $S = left( {0;3} right)$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
$log _{0,2}^2 – 5{log _{0,2}}x < – 6 Leftrightarrow 2 < {log _{0,2}}x < 3 Leftrightarrow dfrac{1}{{125}} < x < dfrac{1}{{25}}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính ({left( {log _{0,2}^{}X} right)^2} – 5{log _{0,2}}X + 6)
Nhấn CALC và cho $X = 2,5$ (thuộc đáp án B và D) máy tính hiển thị 9.170746391. Vậy loại đáp án B và
[D].
Nhấn CALC và cho $X = dfrac{1}{{200}}$(thuộc đáp án C) máy tính hiển thị 0,3773110048.

[Ẩn HD]

Câu 49. Vậy loại C, chọn
[A]. Tập nghiệm của bất phương trình ${log _{dfrac{1}{3}}}left( {{x^2} – 6x + 5} right) + {log _3}left( {x – 1} right) ge 0$là:
[A]. $S = left[ {1;6} right]$.
[B]. $S = left( {5;6} right]$.
[C]. $S = left( {5; + infty } right)$.
[D]. $S = left( {1; + infty } right)$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
${log _{dfrac{1}{3}}}left( {{x^2} – 6x + 5} right) + {log _3}left( {x – 1} right) ge 0 Leftrightarrow {log _3}left( {x – 1} right) ge {log _3}left( {{x^2} – 6x + 5} right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{x^2} – 6x + 5 > 0\x – 1 ge {x^2} – 6x + 5end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x < 1 vee x > 5\1 le x le 6end{array} right. Leftrightarrow 5 < x le 6$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính ({log _{dfrac{1}{3}}}left( {{X^2} – 6{rm{X}} + 5} right) + {log _3}left( {X – 1} right))
Nhấn CALC và cho x = 2 (thuộc đáp án A và D) máy tính không tính được. Vậy loại đáp án A và
[D].
Nhấn CALC và cho $X = 7$(thuộc đáp án C) máy tính hiển thị – 0,6309297536.
Vậy loại C, chọn
[B].

[Ẩn HD]

Câu 50. Bất phương trình ${log _{dfrac{2}{3}}}left( {2{x^2} – x + 1} right) < 0$có tập nghiệm là:
[A]. $S = left( {0;dfrac{3}{2}} right)$.
[B]. $S = left( { – 1;dfrac{3}{2}} right)$.
[C]. $S = left( { – infty ;0} right) cup left( {dfrac{1}{2}; + infty } right)$.
[D]. $S = left( { – infty ;1} right) cup left( {dfrac{3}{2}; + infty } right)$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
${log _{dfrac{2}{3}}}left( {2{x^2} – x + 1} right) < 0 Leftrightarrow 2{x^2} – x + 1 > 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x < 0\x > dfrac{1}{2}end{array} right.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính ({log _{dfrac{2}{3}}}left( {2{X^2} – X + 1} right))
Nhấn CALC và cho $X = – 5$ (thuộc đáp án A và D) máy tính hiển thị – 9,9277…. Vậy loại đáp án A và
[B].
Nhấn CALC và cho $X = 1$(thuộc đáp án C) máy tính hiển thị – 1,709511291. Vậy chọn
[C].

[Ẩn HD]

Câu 51. Tập nghiệm của bất phương trình ${log _3}dfrac{{4x + 6}}{x} le 0$là:
[A]. $S = left[ { – 2; – dfrac{3}{2}} right)$.
[B]. $S = left[ { – 2;0} right)$.
[C]. $S = left( { – infty ;2} right]$.
[D]. $S = mathbb{R}backslash left[ { – dfrac{3}{2};0} right]$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
${log _3}dfrac{{4{rm{x}} + 6}}{x} le 0 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}dfrac{{4{rm{x}} + 6}}{x} > 0\dfrac{{4{rm{x}} + 6}}{x} le 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x < – dfrac{3}{2} vee x > 0\ – 2 le x < 0end{array} right. Leftrightarrow – 2 le x < – dfrac{3}{2}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính ({log _3}dfrac{{4X + 6}}{X})
Nhấn CALC và cho $X = 1$ (thuộc đáp án C và D) máy tính hiển thị 2,095903274. Vậy loại đáp án C và
[D].
Nhấn CALC và cho $X = – 1$(thuộc đáp án B) máy tính không tính đượ
[C]. Vậy loại B, chọn
[A].

[Ẩn HD]

Câu 52. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình ${log _{0,2}}x – {log _5}left( {x – 2} right) < {log _{0,2}}3$ là:
[A]. x = 6.
[B]. x = 3.
[C]. x = 5.
[D]. x = 4.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $x > 2$
${log _{0,2}}x – {log _5}left( {x – 2} right) < {log _{0,2}}3 Leftrightarrow {log _{0,2}}left[ {xleft( {x – 2} right)} right] < {log _{0,2}}3 Leftrightarrow {x^2} – 2x – 3 > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x < – 1\x > 3end{array} right.$
So điều kiện suy ra $x > 3$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính ({log _{0,2}}X – {log _5}left( {X – 2} right) – {log _{0,2}}3)
Nhấn CALC và cho $X = 3$ (nhỏ nhất) máy tính hiển thị 0. Vậy loại đáp án [B].
Nhấn CALC và cho x = 4 máy tính hiển thị -0.6094234797.Vậy chọn
[D].

[Ẩn HD]

Câu 53. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình ${log _3}left( {{{4.3}^{x – 1}}} right) > 2x – 1$ là:
[A]. x = 3.
[B]. x = 2.
[C]. x = 1.
[D]. x = – 1.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
${log _3}left( {{{4.3}^{x – 1}}} right) > 2x – 1 Leftrightarrow {4.3^{x – 1}} > {3^{2x – 1}} Leftrightarrow {3^{2x}} – {4.3^x} < 0 Leftrightarrow 0 < {3^x} < 4 Leftrightarrow x < {log _3}4$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính ${log _3}left( {{{4.3}^{X – 1}}} right) – 2X + 1$
Nhấn CALC và cho $X = 3$ (lớn nhất) máy tính hiển thị –1.738140493. Vậy loại đáp án [A].
Nhấn CALC và cho x = 2 máy tính hiển thị – 0.7381404929. Vậy loại
[B].
Nhấn CALC và cho $X = 1$ máy tính hiển thị 0.2618595071. Vậy chọn
[C].

[Ẩn HD]

Câu 54. Điều kiện xác định của phương trình ${log _2}left[ {3{{log }_2}left( {3x – 1} right) – 1} right] = x$ là:
[A]. $x > dfrac{{sqrt[3]{2} + 1}}{3}$.
[B]. $x ge dfrac{1}{3}$.
[C]. x > 0.
[D]. $x in (0; + infty )backslash {rm{{ }}1} $.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Biểu thức ${log _2}left[ {3{{log }_2}left( {3x – 1} right) – 1} right] = x$ xác định khi và chỉ khi:
$left{ begin{array}{l}3{log _2}left( {3x – 1} right) – 1 > 0\3x – 1 > 0end{array} right.$$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{log _2}left( {3x – 1} right) > dfrac{1}{3}\x > dfrac{1}{3}end{array} right.$$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}3x – 1 > {2^{dfrac{1}{3}}}\x > dfrac{1}{3}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > dfrac{{{2^{dfrac{1}{3}}} + 1}}{3}\x > dfrac{1}{3}end{array} right. Leftrightarrow x > dfrac{{{2^{dfrac{1}{3}}} + 1}}{3}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay (x = dfrac{1}{3})(thuộc B, C, D) vào biểu thức ${log _2}left( {3x – 1} right)$ được ({log _2}(0)) không xác định, vậy loại B, C, D, chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 55. Điều kiện xác định của phương trình ${log _2}left( {x – sqrt {{x^2} – 1} } right).{log _3}left( {x + sqrt {{x^2} – 1} } right) = {log _6}left| {x – sqrt {{x^2} – 1} } right|$ là:
[A]. $x le – 1$.
[B]. $x ge 1$.
[C]. $x > 0,x ne 1$.
[D]. $x le – 1$ hoặc $x ge 1$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Phương trình xác định khi và chỉ khi : $left{ begin{array}{l}x – sqrt {{x^2} – 1} > 0\x + sqrt {{x^2} – 1} > 0\{x^2} – 1 ge 0end{array} right. Leftrightarrow x ge 1$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay x = – 1(thuộc A, D) vào biểu thức ${log _2}left( {x – sqrt {{x^2} – 1} } right)$ được ({log _2}( – 1)) không xác định, Thay (x = dfrac{1}{2})(thuộc C) vào biểu thức $sqrt {{x^2} – 1} $ được (sqrt {dfrac{{ – 3}}{4}} ) không xác định
Vậy loại A, C, D chọn đáp án [B].

[Ẩn HD]

Câu 56. Nghiệm nguyên của phương trình ${log _2}left( {x – sqrt {{x^2} – 1} } right).{log _3}left( {x + sqrt {{x^2} – 1} } right) = {log _6}left| {x – sqrt {{x^2} – 1} } right|$ là:
[A]. x = 1.
[B]. x = – 1.
[C]. x = 2.
[D]. x = 3.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $x ge 1$
$begin{array}{l}{log _2}left( {x – sqrt {{x^2} – 1} } right).{log _3}left( {x + sqrt {{x^2} – 1} } right) = {log _6}left| {x – sqrt {{x^2} – 1} } right|\ Leftrightarrow {log _2}left( {x + sqrt {{x^2} – 1} } right).{log _3}left( {x + sqrt {{x^2} – 1} } right) = {log _6}left( {x + sqrt {{x^2} – 1} } right)\ Leftrightarrow {log _2}6.{log _6}left( {x + sqrt {{x^2} – 1} } right).{log _3}6.{log _6}left( {x + sqrt {{x^2} – 1} } right) – {log _6}left( {x + sqrt {{x^2} – 1} } right) = 0end{array}$
Đặt $t = {log _6}left( {x + sqrt {{x^2} – 1} } right)$ ta được
$begin{array}{l}{log _2}6.{log _3}6.{t^2} – t = 0\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 0\t = dfrac{1}{{{{log }_2}6.{{log }_3}6}}end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{log _6}left( {x + sqrt {{x^2} – 1} } right) = 0\{log _6}left( {x + sqrt {{x^2} – 1} } right) = dfrac{1}{{{{log }_2}6.{{log }_3}6}}end{array} right.\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}left( {x + sqrt {{x^2} – 1} } right) = 1{rm{ }}left( 1 right)\{log _2}left( {x + sqrt {{x^2} – 1} } right) = {log _6}3{rm{ }}left( 2 right)end{array} right.\left( 1 right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x + sqrt {{x^2} – 1} = 1\x – sqrt {{x^2} – 1} = 1end{array} right. Leftrightarrow x = 1 in mathbb{Z}\left( 2 right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x + sqrt {{x^2} – 1} = {2^{{{log }_6}3}}\x – sqrt {{x^2} – 1} = {2^{ – {{log }_6}3}}end{array} right. Leftrightarrow x = dfrac{{{2^{{{log }_6}3}} + {2^{ – {{log }_6}3}}}}{2} notin mathbb{Z}end{array}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay (x = 1) vào phương trình ta được (VT = VP) chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 57. Nếu đặt $t = {log _2}x$ thì bất phương trình $log _2^4x – log _{dfrac{1}{2}}^2left( {dfrac{{{x^3}}}{8}} right) + 9{log _2}left( {dfrac{{32}}{{{x^2}}}} right) < 4log _{{2^{ – 1}}}^2left( x right)$ trở thành bất phương trình nào?
[A]. ${t^4} + 13{t^2} + 36 < 0$.
[B]. ${t^4} – 5{t^2} + 9 < 0$.
[C]. ${t^4} – 13{t^2} + 36 < 0$.
[D]. ${t^4} – 13{t^2} – 36 < 0$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
$begin{array}{l}log _2^4x – log _{dfrac{1}{2}}^2left( {dfrac{{{x^3}}}{8}} right) + 9{log _2}left( {dfrac{{32}}{{{x^2}}}} right) < 4log _{{2^{ – 1}}}^2left( x right)\ Leftrightarrow log _2^4x – {left( {3{{log }_2}x – 3} right)^2} + 9left( {5 – 2{{log }_2}x} right) – 4log _2^2x < 0\ Leftrightarrow log _2^4x – 13log _2^2x + 36 < 0end{array}$

[Ẩn HD]

Câu 58. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình $log _2^4x – log _{dfrac{1}{2}}^2left( {dfrac{{{x^3}}}{8}} right) + 9{log _2}left( {dfrac{{32}}{{{x^2}}}} right) < 4log _{{2^{ – 1}}}^2left( x right)$ là:
[A]. x = 7.
[B]. x = 8.
[C]. x = 4.
[D]. x = 1.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
$begin{array}{l}log _2^4x – log _{dfrac{1}{2}}^2left( {dfrac{{{x^3}}}{8}} right) + 9{log _2}left( {dfrac{{32}}{{{x^2}}}} right) < 4log _{{2^{ – 1}}}^2left( x right)\ Leftrightarrow log _2^4x – {left( {3{{log }_2}x – 3} right)^2} + 9left( {5 – 2{{log }_2}x} right) – 4log _2^2x < 0\ Leftrightarrow log _2^4x – 13log _2^2x + 36 < 0\ Leftrightarrow 4 < log _2^2x < 9 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}2 < {log _2}x < 3\ – 3 < {log _2}x < – 2end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}4 < x < 8\dfrac{1}{8} < x < dfrac{1}{4}end{array} right.end{array}$
chọn đáp án [A].
[Phương pháp trắc nghiệm]
Lần lượt thay (x = 7;x = 8;x = 4;x = 1)thấy (x = 7)đúng, chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 59. Bất phương trình ${log _x}left( {{{log }_3}left( {{9^x} – 72} right)} right) le 1$ có tập nghiệm là:
[A]. $S = left[ {{{log }_3}sqrt {73} ;2} right]$.
[B]. $S = left( {{{log }_3}sqrt {72} ;2} right]$.
[C]. $S = left( {{{log }_3}sqrt {73} ;2} right]$.
[D]. $S = left( { – infty ;2} right]$.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện $x > {log _3}sqrt {73} $
${log _x}left( {{{log }_3}left( {{9^x} – 72} right)} right) le 1 Leftrightarrow {log _3}left( {{9^x} – 72} right) le x Leftrightarrow {9^x} – {3^x} – 72 le 0 Leftrightarrow {3^x} le 9 Leftrightarrow x le 2$
Chọn đáp án [A].
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay (x = {log _3}sqrt {73} )(thuộc B, C, D) vào biểu thức ${log _x}left( {{{log }_3}left( {{9^x} – 72} right)} right)$ được ({log _x}(0)) không xác định, vậy loại B, C, D, chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 60. Gọi ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình${log _2}left[ {xleft( {x – 1} right)} right] = 1$. Khi đó tích ({x_1}.{x_2}) bằng:
[A]. – 2.
[B]. 1.
[C]. – 1.
[D]. 2.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện $x < 0$hoặc $x > 1$
${log _2}left[ {xleft( {x – 1} right)} right] = 1 Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{x_1} = – 1\{x_2} = 2end{array} right. Leftrightarrow {x_1}.{x_2} = – 2$
Vậy chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 61. Nếu đặt $t = {log _2}left( {{5^x} – 1} right)$ thì phương trình ${log _2}left( {{5^x} – 1} right).{log _4}left( {{{2.5}^x} – 2} right) = 1$ trở thành phương trình nào?
[A]. ${t^2} + t – 2 = 0$.
[B]. $2{t^2} = 1$.
[C]. ${t^2} – t – 2 = 0$.
[D]. ${t^2} = 1$.

Hướng dẫn

Điều kiện: x > 0
$begin{array}{l}{log _2}left( {{5^x} – 1} right).{log _4}left( {{{2.5}^x} – 2} right) = 1\ Leftrightarrow {log _2}left( {{5^x} – 1} right).left[ {1 + {{log }_2}left( {{5^x} – 1} right)} right] – 2 = 0end{array}$
Vậy chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 62. Số nghiệm của phương trình ${log _4}left( {x + 12} right).{log _x}2 = 1$ là:
[A]. 0.
[B]. 2.
[C]. 3.
[D]. 1.

Hướng dẫn

Điều kiện : $0 < x ne 1$
${log _4}left( {x + 12} right).{log _x}2 = 1 Leftrightarrow {log _2}left( {x + 12} right) = {log _2}{x^2} Leftrightarrow – {x^2} + x + 12 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = – 3\x = 4end{array} right.$
Loại $x = – 3$ chọn đáp án A

[Ẩn HD]

Câu 63. Phương trình $log _5^2(2x – 1) – 8{log _5}sqrt {2x – 1} + 3 = 0$ có tập nghiệm là:
[A]. (left{ { – 1; – 3} right}).
[B]. (left{ {1;3} right}).
[C]. (left{ {3;63} right}).
[D]. (left{ {1;2} right}).

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện : (x > dfrac{1}{2})
$begin{array}{l}log _5^2(2x – 1) – 8{log _5}sqrt {2x – 1} + 3 = 0 Leftrightarrow log _5^2(2x – 1) – 4{log _5}left( {2x – 1} right) + 3 = 0\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{log _5}left( {2x – 1} right) = 1\{log _5}left( {2x – 1} right) = 3end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 3\x = 63end{array} right.end{array}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay (x = 1)(thuộc B, D) vào vế trái ta được (3 = 0) vô lý, vậy loại B, D,
Thay x = – 1vào ({log _5}left( {2x – 1} right))ta được ({log _5}left( { – 3} right))không xác định, nên loại A
Vậy chọn đáp án [C].

[Ẩn HD]

Câu 64. Nếu đặt $t = {log _3}dfrac{{x – 1}}{{x + 1}}$ thì bất phương trình ${log _4}{log _3}dfrac{{x – 1}}{{x + 1}} < {log _{dfrac{1}{4}}}{log _{dfrac{1}{3}}}dfrac{{x + 1}}{{x – 1}}$ trở thành bất phương trình nào?
[A]. $dfrac{{{t^2} – 1}}{t} < 0$.
[B]. ${t^2} – 1 < 0$.
[C]. $dfrac{{{t^2} – 1}}{t} > 0$.
[D]. $dfrac{{{t^2} + 1}}{t} < 0$.

Hướng dẫn

Điều kiện: (x in ( – infty ; – 1) cup (1; + infty ))
Sau khi đưa về cùng cơ số 4, rồi tiếp tục biến đổi về cùng cơ số 3 ta được bất phương trình
${log _3}dfrac{{x – 1}}{{x + 1}} – dfrac{1}{{{{log }_3}dfrac{{x – 1}}{{x + 1}}}} < 0$
Chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 65. Phương trình ${log _{2x – 3}}left( {3{x^2} – 7x + 3} right) – 2 = 0$ có nghiệm là:
[A]. x = 2;x = 3.
[B]. x = 2.
[C]. x = 3.
[D]. x = 1;x = 5.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện (x > dfrac{3}{2};x ne 2)
${log _{2x – 3}}left( {3{x^2} – 7x + 3} right) – 2 = 0 Leftrightarrow 3{x^2} – 7x + 3 = {left( {2x – 3} right)^2} Leftrightarrow {x^2} – 5x + 6 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 2\x = 3end{array} right.$
Lần lượt thay (x = 1;x = 2)(thuộc B,A, D) vào vê trái ta được đẳng thức sai, vậy loại B, A,
[D]. Vậy chọn đáp án [C].

[Ẩn HD]

Câu 66. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình ({log _2}left( {{{log }_4}x} right) > {log _4}left( {{{log }_2}x} right)) là:
[A]. 18.
[B]. 16.
[C]. 15.
[D]. 17.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: (x > 1)
${log _2}left( {{{log }_4}x} right) > {log _4}left( {{{log }_2}x} right) Leftrightarrow {log _2}left( {{{log }_2}x} right) > 2 Leftrightarrow {log _2}x > 4 Leftrightarrow x > 16$
Phương pháp trắc nghiệm]
Thay (x = 16;15)(thuộc B, C) vào phương trình ta được bất dẳng thức sai nên loại B, C
Thay (x = 17;18) vào phương trình ta được bất đẳng thức đúng
Vậy chọn đáp án [D].

[Ẩn HD]

Câu 67. Phương trình $dfrac{1}{{4 – ln x}} + dfrac{2}{{2 + ln x}} = 1$ có tích các nghiệm là:
[A]. ({e^3}).
[B]. (dfrac{1}{e}).
[C]. e.
[D]. 2.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: (x > 0,x ne {e^{ – 2}};x ne {e^4})
$dfrac{1}{{4 – ln x}} + dfrac{2}{{2 + ln x}} = 1 Leftrightarrow {ln ^2}x – 3ln x + 2 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}ln x = 1\ln x = 2end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = e\x = {e^2}end{array} right.$
Vậy chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 68. Phương trình $9{x^{{{log }_9}x}} = {x^2}$ có bao nhiêu nghiệm?
[A]. 1.
[B]. 0.
[C]. 2.
[D]. 3.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện : $x > 0;x ne 1$
$9{x^{{{log }_9}x}} = {x^2} Leftrightarrow {log _9}left( {9{x^{{{log }_9}x}}} right) = {log _9}left( {{x^2}} right) Leftrightarrow 1 + log _9^2x – 2{log _9}x = 0 Leftrightarrow {log _9}x = 1 Leftrightarrow x = 9$
Vậy chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 69. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình ({log _x}3 – {log _{dfrac{x}{3}}}3 < 0) là:
[A]. x = 3.
[B]. x = 1.
[C]. x = 2.
[D]. x = 4.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện : $x > 0;x ne 1;x ne 3$
({log _x}3 – {log _{dfrac{x}{3}}}3 < 0 Leftrightarrow dfrac{{ – 1}}{{{{log }_3}x.left( {{{log }_3}x – 1} right)}} < 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{log _3}x < 0\{log _3}x > 1end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}0 < x < 1\x > 3end{array} right.)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Loại B, A vì (x ne 1;x ne 3)
Loại C vì (x = 2 Rightarrow {log _2}3 – {log _{dfrac{2}{3}}}3 > 0)Vậy chọn đáp án [D].

[Ẩn HD]

Câu 70. Phương trình ${x^{ln 7}} + {7^{ln x}} = 98$ có nghiệm là:
[A]. x = e.
[B]. x = 2.
[C]. (x = {e^2}).
[D]. (x = sqrt e ).

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện : $x > 0;x ne 1$
Đặt (x = {e^t})
${x^{ln 7}} + {7^{ln x}} = 98 Leftrightarrow {e^{t.ln 7}} + {7^{ln {e^t}}} = 98 Leftrightarrow {2.7^t} = 98 Leftrightarrow t = 2$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Lần lượt thay (x = 2;x = e;x = sqrt e ) vào phương trình ta được đẳng thức sai, vậy loại A, B, D, vậy chọn đáp án [C].

[Ẩn HD]

Câu 71. Bất phương trình ({log _2}left( {{x^2} – x – 2} right) ge {log _{0,5}}left( {x – 1} right) + 1) có tập nghiệm là:
[A]. (S = left[ {1 – sqrt 2 ; + infty } right)).
[B]. (S = left[ {1 + sqrt 2 ; + infty } right)).
[C]. (S = left( { – infty ;1 + sqrt 2 } right]).
[D]. (S = left( { – infty ;1 – sqrt 2 } right]).

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện 😡 > 2
(begin{array}{l}{log _2}left( {{x^2} – x – 2} right) ge {log _{0,5}}left( {x – 1} right) + 1 Leftrightarrow {log _2}left[ {left( {{x^2} – x – 2} right)left( {x – 1} right)} right] ge 1 Leftrightarrow left( {{x^2} – x – 2} right)left( {x – 1} right) – 2 ge 0\ Leftrightarrow {x^3} – 2{x^2} – x ge 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}1 – sqrt 2 le x le 0\x ge 1 + sqrt 2 end{array} right.end{array})[Phương pháp trắc nghiệm]
Dựa vào điều kiện ta loại A, C,
[D]. Vậy chọn đáp án [B].

[Ẩn HD]

Câu 72. Biết phương trình (dfrac{1}{{{{log }_2}x}} – dfrac{1}{2}{log _2}x + dfrac{7}{6} = 0) có hai nghiệm ({x_1},{x_2}). Khẳng định nào sau đây là đúng?
[A]. $x_1^3 + x_2^3 = dfrac{{2049}}{4}$.
[B]. $x_1^3 + x_2^3 = – dfrac{{2047}}{4}$.
[C]. $x_1^3 + x_2^3 = – dfrac{{2049}}{4}$.
[D]. $x_1^3 + x_2^3 = dfrac{{2047}}{4}$.

Hướng dẫn

Điều kiện: (left{ begin{array}{l}x > 0\{log _2}x ne 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\x ne 1end{array} right.).
Đặt (t = {log _2}x.) Phương trình đã cho trở thành (3{t^2} – 7t – 6 = 0).
( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 3\t = – dfrac{2}{3}end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{log _2}x = 3\{log _2}x = – dfrac{2}{3}end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = {2^3} = 9\x = {2^{ – dfrac{2}{3}}} = dfrac{1}{{sqrt[3]{4}}}end{array} right.) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = left{ {8;dfrac{1}{{sqrt[3]{4}}}} right} Rightarrow x_1^3 + x_2^3 = dfrac{{2049}}{4}$

[Ẩn HD]

Câu 73. Số nghiệm nguyên dương của phương trình ({log _2}left( {{4^x} + 4} right) = x – {log _{dfrac{1}{2}}}left( {{2^{x + 1}} – 3} right)) là:
[A]. 2.
[B]. 1.
[C]. 3.
[D]. 0.

Hướng dẫn

Điều kiện: ({2^{x + 1}} – 3 > 0 Leftrightarrow x > {log _2}3 – 1).
Ta có: ({log _2}left( {{4^x} + 4} right) = x – {log _{dfrac{1}{2}}}left( {{2^{x + 1}} – 3} right) Leftrightarrow {log _2}dfrac{{{4^x} + 4}}{{{2^{x + 1}} – 3}} = x Leftrightarrow dfrac{{{4^x} + 4}}{{{2^{x + 1}} – 3}} = {2^x}{rm{ }}left( 1 right))
Đặt (t = {2^x},t > 0.) Ta có (left( 1 right) Rightarrow {t^2} + 4 = 2{t^2} – 3t Leftrightarrow {t^2} – 3t – 4 = 0 Rightarrow t = 4.)
( Leftrightarrow {2^x} = {2^2} Leftrightarrow x = 2) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

[Ẩn HD]

Câu 74. Tập nghiệm của bất phương trình ({log _{dfrac{1}{2}}}left( {{{log }_2}left( {2x – 1} right)} right) > 0) là:
[A]. (S = left( {1;dfrac{3}{2}} right)).
[B]. (S = left( {0;dfrac{3}{2}} right)).
[C]. (S = left( {0;1} right)).
[D]. (S = left( {dfrac{3}{2};2} right)).

Hướng dẫn

Điều kiện: (left{ begin{array}{l}2x – 1 > 0\{log _2}(2x – 1) > 0end{array} right. Leftrightarrow x > 1.)
Ta có: ({log _{dfrac{1}{2}}}left( {{{log }_2}left( {2x – 1} right)} right) > 0 Leftrightarrow {log _{dfrac{1}{2}}}left( {{{log }_2}left( {2x – 1} right)} right) > {log _{dfrac{1}{2}}}1)
( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{log _2}(2x – 1) < 1\{log _2}(2x – 1) > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}0 < 2x – 1 < 2\2x – 1 > 1end{array} right. Leftrightarrow 1 < x < dfrac{3}{2}.) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (S = left( {1;dfrac{3}{2}} right)).

[Ẩn HD]

Câu 75. Tập nghiệm của bất phương trình ({log _4}left( {2{x^2} + 3x + 1} right) > {log _2}left( {2x + 1} right)) là:
[A]. (S = left( {dfrac{1}{2};1} right)).
[B]. (S = left( {0;dfrac{1}{2}} right)).
[C]. (S = left( { – dfrac{1}{2};1} right)).
[D]. (S = left( { – dfrac{1}{2};0} right)).

Hướng dẫn

Điều kiện: (left{ begin{array}{l}2{x^2} + 3x + 1 > 0\2x + 1 > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x < – 1 vee x > – dfrac{1}{2}\x > – dfrac{1}{2}end{array} right. Leftrightarrow x > – dfrac{1}{2}.)
Ta có: ({log _4}left( {2{x^2} + 3x + 1} right) > {log _2}left( {2x + 1} right) Leftrightarrow {log _4}left( {2{x^2} + 3x + 1} right) > {log _4}{left( {2x + 1} right)^2})
( Leftrightarrow 2{x^2} + 3x + 1 > 4{x^2} + 4x + 1 Leftrightarrow 2{x^2} + x < 0 Leftrightarrow – dfrac{1}{2} < x < 0.) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (S = left( { – dfrac{1}{2};0} right)).

[Ẩn HD]

Câu 76. Tập nghiệm của bất phương trình ({log _x}left( {125x} right).{log _{25}}x > dfrac{3}{2} + log _5^2x) là:
[A]. (S = left( {1;sqrt 5 } right)).
[B]. (S = left( { – 1;sqrt 5 } right)).
[C]. (S = left( { – sqrt 5 ;1} right)).
[D]. (S = left( { – sqrt 5 ; – 1} right)).

Hướng dẫn

Điều kiện: (0 < x ne 1{rm{ }}left( * right).)
Ta có: ({log _x}(125x).{log _{25}}x > dfrac{3}{2} + log _5^2x Leftrightarrow left( {{{log }_x}{5^3} + {{log }_x}x} right).{log _{{5^2}}}x > dfrac{3}{2} + log _5^2x)
( Leftrightarrow left( {3{{log }_x}5 + 1} right).left( {dfrac{1}{2}{{log }_5}x} right) > dfrac{3}{2} + log _5^2x Leftrightarrow dfrac{3}{2} + dfrac{1}{2}{log _5}x > dfrac{3}{2} + log _5^2x Leftrightarrow 2log _5^2x – {log _5}x < 0)
( Leftrightarrow 0 < {log _5}x < dfrac{1}{2} Leftrightarrow {5^0} < x < {5^{dfrac{1}{2}}} Leftrightarrow 1 < x < sqrt 5 .) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (S = left( {1;sqrt 5 } right)).

[Ẩn HD]

Câu 77. Tích các nghiệm của phương trình ({log _2}x.{log _4}x.{log _8}x.{log _{16}}x = dfrac{{81}}{{24}}) là :
[A]. (dfrac{1}{2}).
[B]. 2.
[C]. 1.
[D]. 3.

Hướng dẫn

Điều kiện: x > 0
Ta có: ({log _2}x.{log _4}x.{log _8}x.{log _{16}}x = dfrac{{81}}{{24}} Leftrightarrow left( {{{log }_2}x} right)left( {dfrac{1}{2}{{log }_2}x} right)left( {dfrac{1}{3}{{log }_2}x} right)left( {dfrac{1}{4}{{log }_2}x} right) = dfrac{{81}}{{24}})
( Leftrightarrow log _2^4 = 81 Leftrightarrow {log _2}x = pm 3 Leftrightarrow x = 8) hoặc $x = dfrac{1}{8}$. (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là (S = left{ {dfrac{1}{8};8} right} Rightarrow {x_1}.{x_2} = 1).

[Ẩn HD]

Câu 78. Phương trình ({log _{sqrt 3 }}left| {x + 1} right| = 2) có bao nhiêu nghiệm ?
[A]. 2.
[B]. 0.
[C]. 1.
[D]. 3.

Hướng dẫn

Điều kiện: (x ne – 1)
Ta có: ({log _{sqrt 3 }}left| {x + 1} right| = 2 Leftrightarrow left| {x + 1} right| = 3 Leftrightarrow x + 1 = pm 3 Leftrightarrow x = 2) hoặc (x = – 4.) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là (S = left{ { – 4;2} right}).

[Ẩn HD]

Câu 79. Biết phương trình ({4^{{{log }_9}x}} – {6.2^{{{log }_9}x}} + {2^{{{log }_3}27}} = 0) có hai nghiệm ({x_1},{x_2}). Khi đó (x_1^2 + x_2^2) bằng :
[A]. (6642).
[B]. (dfrac{{82}}{{6561}}).
[C]. 20.
[D]. 90.

Hướng dẫn

Điều kiện: x > 0
Ta có phương trình tương đương ({2^{2{{log }_9}x}} – {6.2^{{{log }_9}x}} + {2^3} = 0.{rm{ (1)}})
Đặt (t = {2^{{{log }_9}x}},t > 0). (left( 1 right) Rightarrow {t^2} – 6t + 8 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 2\t = 4end{array} right.)
– Với (t = 2 Leftrightarrow {2^{{{log }_9}x}} = 2 Leftrightarrow {log _9}x = 1 Leftrightarrow x = 9.)
– Với (t = 4 Leftrightarrow {2^{{{log }_9}x}} = {2^2} Leftrightarrow {log _9}x = 2 Leftrightarrow x = 81).
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là (S = left{ {9;81} right} Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = 6642).

[Ẩn HD]

Câu 80. Tập nghiệm của bất phương trình ({2^{log _2^2x}} – 10{x^{{{log }_2}dfrac{1}{x}}} + 3 > 0) là:
[A]. (S = left( {0;dfrac{1}{2}} right) cup left( {2; + infty } right)).
[B]. (S = left( { – 2;0} right) cup left( {dfrac{1}{2}; + infty } right)).
[C]. (S = left( { – infty ;0} right) cup left( {dfrac{1}{2};2} right)).
[D]. (S = left( { – infty ;dfrac{1}{2}} right) cup left( {2; + infty } right)).

Hướng dẫn

Điều kiện: (x > 0{rm{ (*)}}). Đặt (u = {log _2}x Rightarrow x = {2^u}.)
Bất phương trình đã cho trở thành ({2^{{u^2}}} – 10{left( {{2^u}} right)^{ – u}} + 3 > 0 Leftrightarrow {2^{{u^2}}} – dfrac{{10}}{{{2^{{u^2}}}}} + 3 > 0{rm{ (1)}})
Đặt (t = {2^{{u^2}}},{rm{ }}t ge 1.{rm{ }}left( 1 right) Rightarrow {t^2} + 3t – 10 > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t < – 5{rm{ (l)}}\t > 2end{array} right. Leftrightarrow {2^{{u^2}}} > 2 Leftrightarrow {u^2} > 1 Leftrightarrow u > 1) hoặc (u < – 1)
– Với (u > 1 Rightarrow {log _2}x > 1 Rightarrow x > 2)
– Với (u < – 1 Rightarrow {log _2}x < – 1 Rightarrow x < dfrac{1}{2}.)
Kết hợp điều kiện (*), ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là x > 2hoặc (0 < x < dfrac{1}{2}).

[Ẩn HD]

Câu 81. Tập nghiệm của phương trình ({4^{{{log }_2}2x}} – {x^{{{log }_2}6}} = {2.3^{{{log }_2}4{x^2}}}) là:
[A]. (S = left{ {dfrac{4}{9}} right}).
[B]. (S = left{ { – dfrac{1}{2}} right}).
[C]. (S = left{ {dfrac{1}{4}} right}).
[D]. (S = left{ { – 2} right}).

Hướng dẫn

Điều kiện: (0 < x ne 1)
Ta có: ({4^{{{log }_2}2x}} – {x^{{{log }_2}6}} = {2.3^{{{log }_2}4{x^2}}} Leftrightarrow {4^{1 + {{log }_2}x}} – {6^{{{log }_2}x}} = {2.3^{2 + 2{{log }_2}x}} Leftrightarrow {4.4^{{{log }_2}x}} – {6^{{{log }_2}x}} = {19.9^{{{log }_2}x}}{rm{ (1)}})
Chia 2 vế cho ({4^{{{log }_2}x}}).
((1) Leftrightarrow 18.{left( {dfrac{9}{4}} right)^{{{log }_2}x}} + {left( {dfrac{3}{2}} right)^{{{log }_2}x}} – 4 = 0). Đặt (t = {left( {dfrac{3}{2}} right)^{{{log }_2}x}} > 0.{rm{ }}PT Rightarrow 18{t^2} + t – 4 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = dfrac{4}{9}\t = – dfrac{1}{2}{rm{ (l)}}end{array} right.)
({left( {dfrac{3}{2}} right)^{{{log }_2}x}} = left( {dfrac{4}{9}} right) = {left( {dfrac{3}{2}} right)^{ – 2}} Leftrightarrow {log _2}x = – 2 Leftrightarrow x = {2^{ – 2}} = dfrac{1}{4}.) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là (S = left{ {dfrac{1}{4}} right}).
VẬN DỤNG CAO

[Ẩn HD]

Câu 82. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ({log _3}x – {log _3}left( {x – 2} right) = {log _{sqrt 3 }}m) có nghiệm?
[A]. m > 1.
[B]. (m ge 1).
[C]. m < 1.
[D]. (m le 1).

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
Điều kiện x > 2;m > 0
({log _3}x – {log _3}left( {x – 2} right) = {log _{sqrt 3 }}m)( Leftrightarrow x = left( {x – 2} right){m^2})( Leftrightarrow x = dfrac{{2{m^2}}}{{{m^2} – 1}})
Phương trình có nghiệm x > 2khi m > 1,chọn đáp án A
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay m = 0(thuộc C, D) vào biểu thức ({log _{sqrt 3 }}m) không xác định, vậy loại C, D,
Thay m = 1 (thuộc B) ta được phương trình tương đương (x = x – 2) vô nghiệm
Vậy chọn đáp án [A].

[Ẩn HD]

Câu 83. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình${log _3}left( {{x^2} + 4x + m} right) ge 1$ nghiệm đúng với mọi $x in mathbb{R}.$?
[A]. $m ge 7$.
[B]. m > 7.
[C]. m < 4.
[D]. $4 < m le 7$.

Hướng dẫn

${log _3}left( {{x^2} + 4x + m} right) ge 1{rm{ }}forall x in mathbb{R} Leftrightarrow {x^2} + 4x + m – 3 ge 0{rm{ }}forall x in mathbb{R} Leftrightarrow Delta le 0 Leftrightarrow m ge 7$
Vậy chọn
[A].

[Ẩn HD]

Câu 84. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình ${log _{dfrac{1}{5}}}left( {mx – {x^2}} right) le {log _{dfrac{1}{5}}}4$ vô nghiệm?
[A]. $ – 4 le m le 4$.
[B]. $left[ begin{array}{l}m > 4\m < – 4end{array} right.$.
[C]. m < 4.
[D]. – 4 < m < 4.

Hướng dẫn

${log _{dfrac{1}{5}}}left( {mx – {x^2}} right) le {log _{dfrac{1}{5}}}4 Leftrightarrow mx – {x^2} ge 4 Leftrightarrow {x^2} – mx + 4 le 0$
${x^2} – mx + 4 le 0$vô nghiệm $ Leftrightarrow {x^2} – mx + 4 > 0{rm{ }}forall x in R Leftrightarrow Delta < 0 Leftrightarrow – 4 < m < 4$

[Ẩn HD]

Câu 85. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ({log _2}left( {mx – {x^2}} right) = 2)vô nghiệm?
[A]. m < 4.
[B]. – 4 < m < 4.
[C]. (left[ begin{array}{l}m > 4\m < – 4end{array} right.).
[D]. m > – 4.

Hướng dẫn

({log _2}left( {mx – {x^2}} right) = 2 Leftrightarrow – {x^2} + mx – 4 = 0(*))
Phương trình (*) vô nghiệm ( Leftrightarrow Delta < 0 Leftrightarrow {m^2} – 16 < 0 Leftrightarrow – 4 < m < 4)

[Ẩn HD]

Câu 86. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (log _4^2x + 3{log _4}x + 2m – 1 = 0) có 2 nghiệm phân biệt?
[A]. (m < dfrac{{13}}{8}).
[B]. (m > dfrac{{13}}{8}).
[C]. (m le dfrac{{13}}{8}).
[D]. (0 < m < dfrac{{13}}{8}).

Hướng dẫn

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ( Leftrightarrow Delta > 0 Leftrightarrow 13 – 8m > 0 Leftrightarrow m < dfrac{{13}}{8})

[Ẩn HD]

Câu 87. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình ({log _2}({5^x} – 1).{log _2}({2.5^x} – 2) ge m) có nghiệm (x ge 1)?
[A]. (m ge 6).
[B]. m > 6.
[C]. (m le 6).
[D]. m < 6.

Hướng dẫn

BPT( Leftrightarrow {log _2}({5^x} – 1).{log _2}({2.5^x} – 2) le m Leftrightarrow {log _2}({5^x} – 1).left[ {1 + {{log }_2}({5^x} – 1)} right] le m)
Đặt $t = {log _6}left( {x + sqrt {{x^2} – 1} } right)$ do(x ge 1)( Rightarrow t in left[ {2; + infty } right))
BPT( Leftrightarrow t(1 + t) ge m Leftrightarrow {t^2} + t ge m Leftrightarrow f(t) ge m)
Với (f(t) = {t^2} + t)
({f^,}(t) = 2t + 1 > 0)với (t in left[ {2; + infty } right))nên hàm đồng biến trên (t in left[ {2; + infty } right))
Nên (Minf(t) = f(2) = 6)
Do đó để để bất phương trình ({log _2}({5^x} – 1).{log _2}({2.5^x} – 2) ge m) có nghiệm (x ge 1)thì :
(m le Minf(t) Leftrightarrow m le 6)

[Ẩn HD]

Câu 88. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (log _3^2x + 2{log _3}x + m – 1 = 0) có nghiệm?
[A]. m < 2.
[B]. (m le 2).
[C]. (m ge 2).
[D]. m > 2.

Hướng dẫn

TXĐ:x > 0
PT có nghiệm khi $Delta ‘ ge 0 Leftrightarrow 1 – (m – 1) ge 0 Leftrightarrow 2 – m ge 0 Leftrightarrow m le 2$.

[Ẩn HD]

Câu 89. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình ({log _2}({5^x} – 1) le m) có nghiệm (x ge 1)?
[A]. (m ge 2).
[B]. m > 2.
[C]. (m le 2).
[D]. m < 2.

Hướng dẫn

[Phương pháp tự luận]
(x ge 1 Leftrightarrow {5^x} – 1 ge 4 Leftrightarrow {log _2}left( {{5^x} – 1} right) ge 2 Leftrightarrow m ge 2)

[Ẩn HD]

Câu 90. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (log _3^2x + sqrt {log _3^2x + 1} – 2m – 1 = 0) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn (left[ {1;{3^{sqrt 3 }}} right])?
[A]. (m in [0;2]).
[B]. (m in (0;2)).
[C]. (m in (0;2]).
[D]. (m in [0;2)).

Hướng dẫn

Với (x in left[ {1;{3^{sqrt 3 }}} right]) hay (1 le x le {3^{sqrt 3 }} Rightarrow sqrt {log _3^21 + 1} le sqrt {log _3^2x + 1} le sqrt {log _3^2{3^{sqrt 3 }} + 1} ) hay (1 le t le 2).
Bài tập trắc nghiệm phương trình và bất phương trình Logarit
Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn (left[ {1;2} right])”. Ta có (PT Leftrightarrow 2m = {t^2} + t + 2.)
Xét hàm số (f(t) = {t^2} + t – 2,{rm{ }}forall t in left[ {1;2} right],{rm{ }}f'(t) = 2t + 1 > 0,{rm{ }}forall t in left[ {1;2} right])
Suy ra hàm số đồng biến trên (left[ {1;2} right]).
Khi đó phương trình có nghiệm khi (0 le 2m le 4 Leftrightarrow 0 le m le 2.)
Vậy (0 le m le 2) là các giá trị cần tìm.

[Ẩn HD]

Câu 91. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ({log _2}left( {{5^x} – 1} right).lo{g_4}left( {{{2.5}^x} – 2} right) = m) có nghiệm (x ge 1.)?
[A]. (m in left[ {2; + infty } right)).
[B]. (m in left[ {3; + infty } right)).
[C]. (m in ( – infty ;2]).
[D]. (m in left( { – infty ;3} right]).

Hướng dẫn

Với (x ge 1 Rightarrow {5^x} ge 5 Rightarrow {log _2}left( {{5^x} – 1} right) ge {log _2}left( {5 – 1} right) = 2) hay (t ge 2).
Bài tập trắc nghiệm phương trình và bất phương trình Logarit
Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình có nghiệm (t ge 2)”.
Xét hàm số (f(t) = {t^2} + t,{rm{ }}forall t ge 2,{rm{ }}f'(t) = 2t + 1 > 0,{rm{ }}forall t ge 2)
Suy ra hàm số đồng biến với (t ge 2).
Khi đó phương trình có nghiệm khi (2m ge 6 Leftrightarrow m ge 3.)
Vậy (m ge 3) là các giá trị cần tìm.

[Ẩn HD]

Câu 92. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (log _3^2x – left( {m + 2} right){log _3}x + 3m – 1 = 0) có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn ({x_1}.{x_2} = 27.)?
[A]. m = – 2.
[B]. m = – 1.
[C]. m = 1.
[D]. m = 2.

Hướng dẫn

Điều kiện x > 0 Đặt (t = {log _3}x.) Khi đó phương trình có dạng: ({t^2} – left( {m + 2} right)t + 3m – 1 = 0).
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì (Delta = {left( {m + 2} right)^2} – 4left( {3m – 1} right) = {m^2} – 8m + 8 > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m < 4 – 2sqrt 2 \m > 4 + 2sqrt 2 end{array} right.{rm{ }}left( * right))
Với điều kiện (left( * right)) ta có: ({t_1} + {t_2} = {log _3}{x_1} + {log _3}{x_2} = {log _3}left( {{x_1}.{x_2}} right) = {log _3}27 = 3.)
Theo Vi-ét ta có: ({t_1} + {t_2} = m + 2 Rightarrow m + 2 = 3 Leftrightarrow m = 1) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

[Ẩn HD]

Câu 93. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (sqrt {log _2^2x + {{log }_{dfrac{1}{2}}}{x^2} – 3} = mleft( {{{log }_4}{x^2} – 3} right)) có nghiệm thuộc (left[ {32; + infty } right)) ?
[A]. (m in left( {1;sqrt 3 } right]).
[B]. $m in left[ {1;sqrt 3 } right)$.
[C]. (m in left[ { – 1;sqrt 3 } right)).
[D]. (m in left( { – sqrt 3 ;1} right]).

Hướng dẫn

Điều kiện: $x > 0.$ Khi đó phương trình tương đương: (sqrt {log _2^2x – 2{{log }_2}x – 3} = mleft( {{{log }_2}x – 3} right)).
Đặt (t = {log _2}x) với $x ge 32 Rightarrow {log _2}x ge {log _2}32 = 5$ hay (t ge 5.)
Phương trình có dạng (sqrt {{t^2} – 2t – 3} = mleft( {t – 3} right){rm{ }}left( * right)).
Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình (*) có nghiệm (t ge 5)”
Với (t ge 5) thì ((*) Leftrightarrow sqrt {left( {t – 3} right).left( {t + 1} right)} = mleft( {t – 3} right) Leftrightarrow sqrt {t – 3} .left( {sqrt {t + 1} – msqrt {t – 3} } right) = 0)
( Leftrightarrow sqrt {t + 1} – msqrt {t – 3} = 0 Leftrightarrow m = sqrt {dfrac{{t + 1}}{{t – 3}}} )
Ta có (dfrac{{t + 1}}{{t – 3}} = 1 + dfrac{4}{{t – 3}}.) Với (t ge 5 Rightarrow 1 < 1 + dfrac{4}{{t – 3}} le 1 + dfrac{4}{{5 – 3}} = 3) hay (1 < dfrac{{t + 1}}{{t – 3}} le 3 Rightarrow 1 < sqrt {dfrac{{t + 1}}{{t – 3}}} le sqrt 3 )
suy ra (1 < m le sqrt 3 .) Vậy phương trình có nghiệm với (1 < m le sqrt 3 .)

[Ẩn HD]

Câu 94. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng (left( {2;3} right)) thuộc tập nghiệm của bất phương trình ({log _5}left( {{x^2} + 1} right) > {log _5}left( {{x^2} + 4x + m} right) – 1{rm{ (1)}}).
[A]. (m in left[ { – 12;13} right]).
[B]. (m in left[ {12;13} right]).
[C]. (m in left[ { – 13;12} right]).
[D]. (m in left[ { – 13; – 12} right]).

Hướng dẫn

((1) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{x^2} + 1 > dfrac{{{x^2} + 4x + m}}{5}\{x^2} + 4x + m > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m > – {x^2} – 4x = f(x)\m < 4{x^2} – 4x + 5 = g(x)end{array} right.)
Hệ trên thỏa mãn (forall x in left( {2;3} right))( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m ge mathop {Max}limits_{2 < x < 3} f(x) = – 12{rm{ khi }}x = 2\m le mathop {Min}limits_{2 < x < 3} f(x) = 13{rm{ khi }}x = 2end{array} right.{rm{ }} Leftrightarrow – 12 le m le 13.)

[Ẩn HD]

Câu 95. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình ({log _2}left( {7{x^2} + 7} right) ge {log _2}left( {m{x^2} + 4x + m} right),{rm{ }}forall x in mathbb{R}.)
[A]. (m in left( {2;5} right]).
[B]. (m in left( { – 2;5} right]).
[C]. (m in left[ {2;5} right)).
[D]. (m in left[ { – 2;5} right)).

Hướng dẫn

Bất phương trình tương đương (7{x^2} + 7 ge m{x^2} + 4x + m > 0,{rm{ }}forall x in mathbb{R})
( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left( {7 – m} right){x^2} – 4x + 7 – m ge 0{rm{ }}(2)\m{x^2} + 4x + m > 0{rm{ }}(3)end{array} right.,{rm{ }}forall x in mathbb{R}.)
 m = 7: (2) không thỏa (forall x in mathbb{R})
 m = 0: (3) không thỏa (forall x in mathbb{R})
(1) thỏa (forall x in mathbb{R})( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}7 – m > 0\{{Delta ‘}_2} = 4 – {left( {7 – m} right)^2} le 0\m > 0\{{Delta ‘}_3} = 4 – {m^2} < 0end{array} right.{rm{ }} Leftrightarrow {rm{ }}left{ begin{array}{l}m < 7\m le 5\m > 0\m > 2end{array} right.{rm{ }} Leftrightarrow {rm{ }}2 < m le 5.)

[Ẩn HD]

Câu 96. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình (1 + {log _5}left( {{x^2} + 1} right) ge {log _5}left( {m{x^2} + 4x + m} right)) có nghiệm đúng (forall x.)
[A]. (m in left( {2;3} right]).
[B]. (m in left( { – 2;3} right]).
[C]. (m in left[ {2;3} right)).
[D]. (m in left[ { – 2;3} right)).

Hướng dẫn

Bất phương trình tương đương (7left( {{x^2} + 1} right) ge m{x^2} + 4x + m > 0,{rm{ }}forall x in mathbb{R})
( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left( {5 – m} right){x^2} – 4x + 5 – m ge 0{rm{ (2) }}\m{x^2} + 4x + m > 0{rm{ (3)}}end{array} right.(*),{rm{ }}forall x in mathbb{R}.)
 m = 0 hoặc (m = 5) : (*) không thỏa (forall x in mathbb{R})
 (m ne 0) và (m ne 5): (*) ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}5 – m > 0\{{Delta ‘}_2} = 4 – {left( {5 – m} right)^2} le 0\m > 0\{{Delta ‘}_3} = 4 – {m^2} < 0end{array} right.{rm{ }} Leftrightarrow {rm{ }}2 < m le 3.)

[Ẩn HD]
  • Bất phương trình bậc hai, toán phổ thông

  • Bộ sách công phá toán lớp 10 (file word)

Bài cùng chủ đề:

  • Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, toán 12

  • Bài tập trắc nghiệm lũy thừa, toán 12

  • Bài tập trắc nghiệm Logarit toán 12

  • Trắc nghiệm phương trình mũ và bất phương trình mũ

Share

Share

VẬT LÝ 10

|

VẬT LÝ 11

|

VẬT LÝ 12

|

TÀI LIỆU VẬT LÝ

TOÁN 10

|

TOÁN 11

|

TOÁN 12

|

HỌC247

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button