Kiến thức

Tích phân, phương pháp tính tích phân, toán 12-Toán học, vật lý, hóa học phổ thông

A. LÝ THUYẾT VỀ TÍCH PHÂN

1. Định nghĩa tích phân

Cho (f) là hàm số liên tục trên đoạn ${rm{[}}a;b{rm{]}}.$ Giả sử (F) là một nguyên hàm của (f)trên ${rm{[}}a;b{rm{]}}.$ Hiệu số (F(b) – F(a)) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn ${rm{[}}a;b{rm{]}}$ của hàm số (f(x),)kí hiệu là (intlimits_a^b {f(x)dx} .)

Ta dùng kí hiệu (left. {F(x)} right|_a^b = F(b) – F(a)) để chỉ hiệu số (F(b) – F(a)). Vậy (intlimits_a^b {f(x)dx = left. {F(x)} right|_a^b = F(b) – F(a)} ).

Nhận xét: Tích phân của hàm số (f) từ a đến b có thể kí hiệu bởi (intlimits_a^b {f(x)dx} ) hay (intlimits_a^b {f(t)dt} .) Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số (f) liên tục và không âm trên đoạn ${rm{[}}a;b{rm{]}}$ thì tích phân (intlimits_a^b {f(x)dx} )là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = f(x)), trục Ox và hai đường thẳng (x = a,x = b.) Vậy (S = intlimits_a^b {f(x)dx} .)

2. Tính chất của tích phân

  • (intlimits_a^a {f(x)dx = 0} )
  • (intlimits_a^b {f(x)dx = – intlimits_b^a {f(x)dx} } )
  • $intlimits_a^b {f(x)dx + } intlimits_b^c {f(x)dx = intlimits_a^c {f(x)dx} } $ với a < b < c
  • (intlimits_a^b {k.f(x)dx = k.intlimits_a^b {f(x)dx} } {rm{ }}(k in mathbb{R}))
  • (intlimits_a^b {[f(x) pm g(x)]dx = intlimits_a^b {f(x)dx} pm } intlimits_a^b {g(x)dx} ).

B. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1. Một số phương pháp tính tích phân

Bạn đang xem: Tích phân, phương pháp tính tích phân, toán 12-Toán học, vật lý, hóa học phổ thông

Dạng 1: Tính tích phân theo công thức

Ví dụ 1: Tính các tính phân sau:
a) ${rm{I}} = intlimits_0^1 {dfrac{{dx}}{{{{(1 + x)}^3}}}} $.
b) ({rm{I}} = intlimits_0^1 {dfrac{x}{{x + 1}}dx} ).
c) ({rm{I}} = intlimits_0^1 {dfrac{{2x + 9}}{{x + 3}}dx} ).
d) ({rm{I}} = intlimits_0^1 {dfrac{x}{{4 – {x^2}}}dx} ).

Hướng dẫn

giải
a) ({rm{I}} = intlimits_0^1 {dfrac{{dx}}{{{{(1 + x)}^3}}}} = intlimits_0^1 {dfrac{{d(1 + x)}}{{{{(1 + x)}^3}}}} = – left. {dfrac{1}{{2{{(1 + x)}^2}}}} right|_0^1 = dfrac{3}{8}).
b) ({rm{I}} = intlimits_0^1 {dfrac{x}{{x + 1}}dx} = intlimits_0^1 {left( {1 – dfrac{1}{{x + 1}}} right)dx} = left( {x – ln (x + 1)} right)left| {_0^1} right. = 1 – ln 2).
c) ({rm{I}} = intlimits_0^1 {dfrac{{2x + 9}}{{x + 3}}dx} = intlimits_0^1 {left( {2 + dfrac{3}{{x + 3}}} right)dx = left. {left( {2x + 3ln (x + 3)} right)} right|_0^1} = 3 + 6ln 2 – 3ln 3).
d) ${rm{I}} = intlimits_0^1 {dfrac{x}{{4 – {x^2}}}dx} = – dfrac{1}{2}intlimits_0^1 {dfrac{{dleft( {4 – {x^2}} right)}}{{4 – {x^2}}}} = left. {ln |4 – {x^2}|} right|_0^1 = ln dfrac{3}{4}$.

[Ẩn HD]

Bài tập áp dụng
1) ({rm{I}} = intlimits_0^1 {{x^3}{{({x^4} – 1)}^5}dx} ).
2) ({rm{I}} = intlimits_0^1 {left( {sqrt {2x} + sqrt[3]{x} + 1} right)dx} ).
3) ({rm{I}} = intlimits_0^1 {xsqrt {1 – x} dx} ).
4) ({rm{I}} = intlimits_0^{16} {dfrac{{dx}}{{sqrt {x + 9} – sqrt x }}} ).

Xem thêm: Phương pháp giải bài tập hoán vị (P2)-Hoc247.vn

Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân

Sử dụng tính chất (intlimits_a^b {{rm{[}}f(x) + g(x){rm{]}}dx = intlimits_a^b {f(x)dx} + } intlimits_a^b {g(x)dx} ) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 2: Tính tích phân (I = intlimits_{ – 2}^2 {|x + 1|dx} ).

Hướng dẫn

giải
Nhận xét: $left| {x + 1} right| = left{ begin{array}{l}x + 1,{rm{ }} – 1 le x le 2{rm{ }}\ – x – 1,{rm{ }} – 2 le x < – 1{rm{ }}end{array} right..$Do đó
$I = intlimits_{ – 2}^2 {|x + 1|dx} = intlimits_{ – 2}^{ – 1} {|x + 1|dx} + intlimits_{ – 1}^2 {|x + 1|dx} = – intlimits_{ – 2}^{ – 1} {left( {x + 1} right)dx} + intlimits_{ – 1}^2 {left( {x + 1} right)dx} = – left. {left( {dfrac{{{x^2}}}{2} + x} right)} right|_{ – 2}^{ – 1} + left. {left( {dfrac{{{x^2}}}{2} + x} right)} right|_{ – 1}^2 = 5.$

[Ẩn HD]

Bài tập áp dụng
1) (I = intlimits_{ – 4}^3 {|{x^2} – 4|dx} ).
2) (I = intlimits_{ – 1}^2 {|{x^3} – 2{x^2} – x + 2|dx} ).
3) (I = intlimits_0^3 {|{2^x} – 4|dx} ).
4) (I = intlimits_{ – dfrac{pi }{2}}^{dfrac{pi }{2}} {2|sin x|dx} ).
5) (I = intlimits_0^pi {sqrt {1 + cos 2x} dx} ).

Xem thêm: Các dạng bài tập về Cực trị (Cực đại, Cực tiểu) của hàm số và cách giải

Dạng 3: Phương pháp đổi biến số

Xem thêm: Chuyên đề bài tập ba định luật Newton – Vật lý lớp 10

1) Đổi biến số dạng 1

Cho hàm số (f) liên tục trên đoạn ${rm{[}}a;b{rm{]}}{rm{.}}$Giả sử hàm số $u = u(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn ${rm{[}}a;b{rm{]}}$ và .. Giả sử có thể viết (f(x) = g(u(x))u'(x),x in {rm{[}}a{rm{;}}b{rm{],}}) với (g) liên tục trên đoạn ${rm{[}}alpha ;beta {rm{]}}.$ Khi đó, ta có: (I = intlimits_a^b {f(x)dx} = intlimits_{u(a)}^{u(b)} {g(u)du} .)

Ví dụ 3: Tính tích phân (I = intlimits_0^{dfrac{pi }{2}} {{{sin }^2}xcos xdx} ).

Hướng dẫn

giải
Đặt(u = sin x.) Ta có (du = cos xdx.) Đổi cận: (x = 0 Rightarrow u(0) = 0;x = dfrac{pi }{2} Rightarrow uleft( {dfrac{pi }{2}} right) = 1.)
Khi đó $I = intlimits_0^{dfrac{pi }{2}} {{{sin }^2}xcos xdx} = intlimits_0^1 {{u^2}du} = dfrac{1}{3}{u^3}left| begin{array}{l}1\0end{array} right. = dfrac{1}{3}.$

[Ẩn HD]

Bài tập áp dụng
1) (I = intlimits_0^1 {xsqrt {{x^2} + 1} dx} ).
2) (I = intlimits_0^1 {xsqrt[3]{{x + 1}}dx} ).
3) (I = intlimits_1^e {dfrac{{sqrt {1 + ln x} }}{x}dx} ).
4) (I = intlimits_e^{{e^2}} {dfrac{{dx}}{{2xsqrt {2 + ln x} }}} ).

Tích phân, phương pháp tính tích phân, toán 12

2) Đổi biến số dạng 2

Cho hàm số (f) liên tục và có đạo hàm trên đoạn ([a;b].) Giả sử hàm số (x = varphi (t)) có đạo hàm và liên tục trên đoạn ({[alpha ;beta ]^{(*)}}) sao cho (varphi (alpha ) = a,varphi (beta ) = b) và (a le varphi (t) le b) với mọi (t in {rm{[}}alpha ;beta {rm{]}}.) Khi đó: (intlimits_a^b {f(x)dx} = intlimits_alpha ^beta {f(varphi (t))} varphi ‘(t)dt.)

Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
1. (sqrt {{a^2} – {x^2}} ): đặt (x = |a|sin t;;;t in left[ { – dfrac{pi }{2};dfrac{pi }{2}} right])
2. $sqrt {{x^2} – {a^2}} $: đặt (x = dfrac{{|a|}}{{sin t}};;;t in left[ { – dfrac{pi }{2};dfrac{pi }{2}} right]backslash {rm{{ }}0} )
3. $sqrt {{x^2} + {a^2}} $: (x = |a|tan t;;;t in left( { – dfrac{pi }{2};dfrac{pi }{2}} right))
4. (sqrt {dfrac{{a + x}}{{a – x}}} )hoặc (sqrt {dfrac{{a – x}}{{a + x}}} ): đặt ..
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân (I = intlimits_0^{sqrt 3 } {dfrac{{{x^2}dx}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}} ) thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân (I = int_0^{sqrt 3 } {dfrac{{{x^3}dx}}{{sqrt {{x^2} + 1} }}} ) thì nên đổi biến dạng 1.

Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:
a) (I = intlimits_0^1 {sqrt {1 – {x^2}} } dx).
b) (I = intlimits_0^1 {dfrac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} ).

Hướng dẫn

giải
a) Đặt (x = sin t) ta có (dx = cos tdt.) Đổi cận: (x = 0 Rightarrow t = 0;x = 1 Rightarrow t = dfrac{pi }{2}).
Vậy (I = intlimits_0^1 {sqrt {1 – {x^2}} } dx = intlimits_0^{dfrac{pi }{2}} {|cos t|} dt = intlimits_0^{dfrac{pi }{2}} {cost} dt = sin t|_0^{dfrac{pi }{2}} = 1.)
b) Đặt (x = tan t,) ta có (dx = left( {1 + {{tan }^2}t} right)dt). Đổi cận: (left{ begin{array}{l}x = 0 to t = 0\x = 1 to t = dfrac{pi }{4}end{array} right.).
Vậy (I = intlimits_0^1 {dfrac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} = intlimits_0^{dfrac{pi }{4}} {dt} = t|_0^{dfrac{pi }{4}} = dfrac{pi }{4}.)

[Ẩn HD]

Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần.

Định lí : Nếu (u = u(x)) và (v = v(x)) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn ([a;b]) thì
(intlimits_a^b {u(x)v'(x)dx} = left. {left( {u(x)v(x)} right)} right|_a^b – intlimits_a^b {u'(x)v(x)dx} ), hay viết gọn là (intlimits_a^b {udv = uv|_a^b – } intlimits_a^b {vdu} ). Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính (I = intlimits_a^b {P(x).Q(x)dx} )

Tích phân, phương pháp tính tích phân, toán 12

Ví dụ 5: Tính các tích phân sau

a) (I = intlimits_0^{dfrac{pi }{2}} {xsin xdx.} )
b) (I = intlimits_0^{e – 1} {xln (x + 1)dx} ).

Hướng dẫn

giải
a) Đặt (left{ begin{array}{l}u = x\dv = sin xdxend{array} right.) ta có (left{ begin{array}{l}du = dx\v = – cos xend{array} right.).
Do đó $I = intlimits_0^{dfrac{pi }{2}} {xsin xdx} = left( { – xcos x} right)|_0^{dfrac{pi }{2}} + intlimits_0^{dfrac{pi }{2}} {cos xdx} = 0 + sin x|_0^{dfrac{pi }{2}}{rm{ }} = {rm{1}}{rm{.}}$
b) Đặt (left{ begin{array}{l}u = ln (x + 1)\dv = xdxend{array} right.) ta có (left{ begin{array}{l}du = dfrac{1}{{x + 1}}dx\v = dfrac{{{x^2} – 1}}{2}end{array} right.)
$begin{array}{c}I = intlimits_0^{e – 1} {xln (x + 1)dx} = left. {left[ {ln (x + 1)dfrac{{{x^2} – 1}}{2}} right]} right|_0^{e – 1} – dfrac{1}{2}intlimits_0^{e – 1} {(x – 1)dx} = dfrac{{{e^2} – 2e + 2}}{2} – dfrac{1}{2}left( {dfrac{{{x^2}}}{2} – x} right)left| {_0^{e – 1}} right.\ = dfrac{{{e^2} – 2e + 2}}{2} – dfrac{1}{2}dfrac{{{e^2} – 4e + 3}}{2} = dfrac{{{e^2} + 1}}{4}.end{array}$

[Ẩn HD]

Bài tập áp dụng
1) $I = intlimits_0^1 {(2x + 2){e^x}} dx$.
2) (I = intlimits_0^{dfrac{pi }{2}} {2x.cos x} dx).
3) (I = intlimits_0^{2pi } {{x^2}.sin dfrac{x}{2}} dx).
4) (I = intlimits_0^1 {{{(x + 1)}^2}{e^{2x}}} dx).

  • Cực trị hàm trùng phương, toán 12

  • Trắc nghiệm nguyên hàm của hàm số chứa căn thức, toán 12

  • Nguyên hàm, tính chất, phương pháp tìm nguyên hàm

Bài cùng chủ đề:

  • Bài tập ứng dụng tích phân, toán 12

  • Nguyên hàm, tính chất, phương pháp tìm nguyên hàm

  • Trắc nghiệm nguyên hàm của hàm số chứa căn thức, toán 12

  • Trắc nghiệm nguyên hàm của hàm mũ, logarit, toán 12

  • Trắc nghiệm nguyên hàm từng phần, toán 12

Share

Share

VẬT LÝ 10

|

VẬT LÝ 11

|

VẬT LÝ 12

|

TÀI LIỆU VẬT LÝ

TOÁN 10

|

TOÁN 11

|

TOÁN 12

|

HỌC247

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button