Kiến thức

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác, trắc nghiệm toán 11-Toán học, vật lý, hóa học phổ thông

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác, trắc nghiệm toán 11

Bạn đang xem: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác, trắc nghiệm toán 11-Toán học, vật lý, hóa học phổ thông

Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Cho hàm số $y=fleft( x right)$ xác định trên miền $Dsubset R$ .

Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số

$y=fleft( x right)$ trên D nếu $left{ begin{align}
& fleft( x right)le M,forall xin D \
& exists {{x}_{0}}in D,fleft( {{x}_{0}} right)=M \
end{align} right.$
Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=fleft( x right)$trên D nếu $left{ begin{align}
& fleft( x right)>m,forall xin D \
& exists {{x}_{0}}in D,fleft( {{x}_{0}} right)=m \
end{align} right.$

Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này:

  1. Tính bị chặn của hàm số lượng giác .
  2. Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất giữa $sin $ và $cos $ .
  3. Bảng biến thiên của hàm số lượng giác.
  4. Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay.

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT  CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 1

Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số [y=4cos sqrt{x}] là:

[A]. 0 và 4.

[B]. [-]4 và 4.

[C]. 0 và 1.

[D]. [-]1 và 1.

Hướng dẫn

Đáp án B.

Tập xác định $D=text{ }!![!!text{ }0;+infty )$.Ta có $-1le cos sqrt{x}le 1$ $Leftrightarrow -4le yle 4$ . Vậy

$underset{D}{mathop{min y}},=-4Leftrightarrow cos sqrt{x}=-1$; $underset{D}{mathop{max y}},=4Leftrightarrow cos sqrt{x}=1$

[Ẩn HD]

Câu 2

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số [y=sqrt{1-{{cos }^{2}}x}-2] là:

[A]. [0] và [sqrt{2}-1].

[B]. [-1] và [sqrt{2}-1].

[C]. [-2] và [-1]

[D]. [-1] và [1]

Hướng dẫn

Đáp án C .

Ta có $y=sqrt{1-{{cos }^{2}}x}-2=sqrt{{{sin }^{2}}x}-2=|sin x|-2$

$0le |sin x|le 1Leftrightarrow -2le yle -1$

[Ẩn HD]

Câu 3

Cho hàm số [y=sin left( x+dfrac{pi }{4} right).] Giá trị lớn nhất của hàm số là:

[A]. [-1].

[B]. [0].

[C]. [1].

[D]. [dfrac{pi }{4}] .

Hướng dẫn

Đáp án C.

$-1le sin (x+dfrac{pi }{4})le -1$

[Ẩn HD]

Câu 4

Giá trị lớn nhất của hàm số [y={{sin }^{6}}x+{{cos }^{6}}x] là:

[A]. [dfrac{sqrt{2}}{2}].

[B]. [1].

[C]. [sqrt{2}].

[D]. [2] .

Hướng dẫn

Đáp án B.

${{sin }^{6}}x+{{cos }^{6}}x=1-dfrac{3}{4}{{sin }^{2}}2x=dfrac{5}{8}+dfrac{3}{8}-dfrac{3}{4}{{sin }^{2}}2x$

$=dfrac{5}{8}+dfrac{3}{8}(1-2{{sin }^{2}}2x)=dfrac{5}{8}+dfrac{3}{8}cos 4x$

$cos 4xle 1Leftrightarrow dfrac{5}{8}+dfrac{3}{8}cos 4xle 1$ Dấu bằng xảy ra khi cos4x =1

[Ẩn HD]

Câu 5

Giá trị nhỏ nhất của hàm số [y=dfrac{sin x+1}{cos x+2}] là:

[A]. [dfrac{1}{2}].

[B]. [dfrac{-sqrt{2}}{2}].

[C]. [dfrac{-sqrt{2}}{2}].

[D]. [0] .

Hướng dẫn

Đáp án D.

Ta có $left{ begin{align}
& sin x+1ge 0 \
& cos x+2ge 0 \
end{align} right.Rightarrow yge 0Rightarrow min y=0$ khi sin x = -1

[Ẩn HD]

Câu 6

Giá trị lớn nhất của hàm số là:[y=dfrac{cos x+2sin x+3}{2operatorname{cosx}-sinx+4}]

[A]. [0].

[B]. [3-2sqrt{3}.].

[C]. [2-2sqrt{2}.].

[D]. [-1.] .

Hướng dẫn

Đáp án C.

$2cos x-sin x+4ge 0;$

$y=dfrac{cos x+2sin x+3}{2cos x-sin x+4}$

$begin{align}
& Leftrightarrow 2ycos x-ysin x+4y=cos x+2sin x+3 \
& Leftrightarrow (2y-1)cos x-(y+2)sin x+4y-3=0 \
end{align}$

${{(2y-1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}ge {{(4y-3)}^{2}}Leftrightarrow 5{{y}^{2}}+5ge 16{{y}^{2}}-24y+9$

$Leftrightarrow 11{{y}^{2}}-24y+4le 0Leftrightarrow dfrac{2}{11}le y<2$

Vậy GTLN của hàm số đã cho là 2.

[Ẩn HD]

Câu 7

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $fleft( x right)=3-dfrac{1}{5}{{sin }^{2}}x{{cos }^{2}}x$ là

[A]. $dfrac{59}{20}$

[B]. $dfrac{14}{5}$

[C]. $3$

[D]. $dfrac{29}{10}$

Hướng dẫn

Đáp án A.

$begin{align}
& f(x)=3-dfrac{1}{5}{{sin }^{2}}x{{cos }^{2}}x=3-dfrac{1}{20}{{(2sin xcos x)}^{2}} \
& =3-dfrac{1}{20}{{sin }^{2}}xle 3-dfrac{1}{20}=dfrac{59}{20} \
end{align}$

Vậy GTNN của hàm số là $dfrac{59}{20}$

[Ẩn HD]

Câu 8

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=4sin x+2cos x$ là

[A]. $2sqrt{5}$

[B]. $-2sqrt{5}$

[C]. $0$

[D]. $20$

Hướng dẫn

Đáp án B.

${{4}^{2}}+{{2}^{2}}ge {{y}^{2}}Leftrightarrow -2sqrt{5}le yle 2sqrt{5}$

[Ẩn HD]

Câu 9

Hàm số $y=4sin x-4{{cos }^{2}}x$ đạt giá trị nhỏ nhất là

[A]. $-1$

[B]. $-4$

[C]. $dfrac{-5}{4}$

[D]. $-5$

Hướng dẫn

Đáp án D.

$y=4[sin x-(1-{{sin }^{2}}x)]=4({{sin }^{2}}x+sin x+1)=4left[ {{left( sin x+dfrac{1}{2} right)}^{2}}-dfrac{5}{4} right]ge 5$

Dấu bằng xảy ra khi $sin x=-dfrac{1}{2}Rightarrow min y=-5$

[Ẩn HD]

Câu 10

Hàm số [y=4{{cot }^{2}}2x-dfrac{sqrt{3}left( 1-{{tan }^{2}}x right)}{tan x}] đạt giá trị nhỏ nhất là

[A]. $0$

[B]. $3-2sqrt{3}$

[C]. $2-2sqrt{2}$

[D]. $-1$

Hướng dẫn

Đáp án D.

$begin{align}
& cot 2x=dfrac{1-{{tan }^{2}}x}{2tan x}Rightarrow y=3{{cot }^{2}}2x-dfrac{2sqrt{3}(1-{{tan }^{2}}x)}{2tan x}=3{{cot }^{2}}2x-2sqrt{3}cot 2x \
& ={{(sqrt{3}{{cot }^{2}}2x-1)}^{2}}-1ge -1 \
end{align}$

Vậy $min y=-1Leftrightarrow cot 2x=dfrac{1}{sqrt{3}}$

[Ẩn HD]

Câu 11

Hàm số [y=2cos x+sin left( x+dfrac{pi }{4} right)] đạt giá trị lớn nhất là

[A]. $5-2sqrt{2}$

[B]. $5+2sqrt{2}$

[C]. $sqrt{5+2sqrt{2}}$

[D]. $sqrt{5-2sqrt{2}}$

Hướng dẫn

Đáp án C.

$begin{align}
& y=2cos x+sin (x+dfrac{pi }{4})Leftrightarrow 2cos x+dfrac{1}{sqrt{2}}sqrt{2}sin (x+dfrac{pi }{4}) \
& Leftrightarrow 2cos x+dfrac{1}{sqrt{2}}(sin x+cos x)Leftrightarrow y=left( 2+dfrac{1}{sqrt{2}} right)cos x+dfrac{1}{sqrt{2}}sin x \
end{align}$

${{y}^{2}}le {{left( 2+dfrac{1}{sqrt{2}} right)}^{2}}+{{left( dfrac{1}{sqrt{2}} right)}^{2}}Leftrightarrow {{y}^{2}}le 5+2sqrt{2}$

$-sqrt{5+2sqrt{2}}le yle sqrt{5+2sqrt{2}}$ => Giá trị lớn nhát của hàm số là$sqrt{5+2sqrt{2}}$ .

[Ẩn HD]

Câu 12

Tổng của giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={{sin }^{4}}x+{{cos }^{4}}x+sin xcos x$ là

[A]. $dfrac{9}{8}$

[B]. $dfrac{5}{4}$

[C]. $1$

[D]. $dfrac{4}{3}$

Hướng dẫn

Đáp án A.

$y={{sin }^{4}}x+{{cos }^{4}}x+sin xcos xLeftrightarrow y=1-2{{sin }^{2}}x{{cos }^{2}}x+sin xcos x$

$begin{align}
& Leftrightarrow 1-dfrac{1}{2}{{sin }^{2}}2x+dfrac{1}{2}sin 2xLeftrightarrow y=1-dfrac{1}{2}left[ {{left( sin 2x-dfrac{1}{2} right)}^{2}}-dfrac{1}{4} right] \
& Leftrightarrow y=dfrac{9}{8}-dfrac{1}{2}{{(sin 2x-dfrac{1}{2})}^{2}}le dfrac{9}{8} \
end{align}$

Dấu bằng xảy ra khi $sin 2x=dfrac{1}{2}$

[Ẩn HD]

Câu 13

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=sin xsqrt{cos x}+cos xsqrt{sin x}$ là

[A]. $0$

[B]. $sqrt{2}$

[C]. $sqrt[4]{2}$

[D]. $sqrt{6}$

Hướng dẫn

Đáp án A.

$begin{align}
& sin xsqrt{cos x}+cos xsqrt{sin x}ge 2sqrt{sin xcos xsqrt{sin xcos x}} \
& Leftrightarrow yge 2sqrt{dfrac{1}{2}sin 2xsqrt{dfrac{1}{2}sin 2x}}ge 0 \
end{align}$

Dấu bằng xảy ra $sin 2x=0$

[Ẩn HD]

Câu 14

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=sqrt{{{cos }^{2}}x+7{{sin }^{2}}x}+sqrt{{{sin }^{2}}x+7{{cos }^{2}}x}$ là

[A]. $1+sqrt{7}$

[B]. $-1+sqrt{7}$

[C]. $4$

[D]. $14$

Hướng dẫn

Đáp án C.

$begin{align}
& {{y}^{2}}le ({{1}^{2}}+{{1}^{2}})({{cos }^{2}}x+7{{sin }^{2}}x+{{sin }^{2}}x+7{{cos }^{2}}x) \
& Leftrightarrow {{y}^{2}}le 2(1+7)=16=>yle 4 \
end{align}$

Dấu bằng xảy ra khi $x=dfrac{pi }{4}+dfrac{kpi }{2},kin mathbb{Z}$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4.

[Ẩn HD]

Bài cùng chủ đề:

Share

Share

VẬT LÝ 10

|

VẬT LÝ 11

|

VẬT LÝ 12

|

TÀI LIỆU VẬT LÝ

TOÁN 10

|

TOÁN 11

|

TOÁN 12

|

HỌC247

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button