Kiến thức

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Mục lục

Dưới đây là bài tóm tắt kiến thức và hướng dẫn giải toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác, mà các bạn có thể tham khảo để học tốt hơn!

Tóm tắt kiến thức và toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Tóm tắt kiến thức và toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Tóm tắt kiến thức toán hình lớp 11 bài 1

Với bài này, các bạn cần nắm được các nội dung sau

I – ĐỊNH NGHĨA

Bạn đang xem: Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

1. Hàm số sin và hàm số côsin

a) Hàm số sin:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sin x

                        sin :    R → R

                                    x ↦ y = sin x

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sin x.

Tập xác định của hàm số sin là R.

b) Hàm số côsin:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cos x

                        cos :    R → R

                                    x ↦ y = cos x

được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cos x.

Tập xác định của hàm số côsin là R.

Xem thêm: Tổng hợp kiến thức và công thức vật lý 6

2. Hàm số tang và hàm số côtang

a) Hàm số tang:

Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức 

y = sinx / cosx (cos x ≠ 0)

Kí hiệu là y = tan x.

b) Hàm số côtang:

Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức 

y = cosx / sinx  (sin x ≠ 0)

Kí hiệu là y = cot x.

II – TÍNH CHẤT TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Hàm số y = sin x được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

Hàm số y = cos x được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

Hàm số y = tan x y = cot x cũng là những hàm số tuần hoàn với chu kì π.

III – SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Hàm số y = sin x

– Xác định với mọi xR và -1 ≤ sin x ≤ 1

– Là hàm số lẻ

– Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π

– Hàm số y = sin x đồng biến trên đoạn [ 0 ; π/2 ] và nghịch biến trên đoạn [ π/2 ; π ]

– Tập giá trị của hàm số y = sin x là [ -1 ; 1 ]

Xem thêm: Bộ GD&ĐT không công bố đề thi minh họa, giáo viên, học sinh nói gì?-Học viện Tài chính

2. Hàm số y = cos x

– Xác định với mọi xR và -1 ≤ cos x ≤ 1

– Là hàm số chẵn

– Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π

Với mọi x R ta có đẳng thức 

                 sin ( x + (π/2)) = cos x

Hàm số y = cos x đồng biến trên đoạn [π ; 0] trên và nghịch biến trên đoạn [0 ; π]

Tập giá trị của hàm số y = cos x là [-1 ; 1]

Đồ thị của các hàm số y = cos x, y = cos x được gọi chung là các đường hình sin.

3. Hàm số y = tan x

– Có tập xác định là D = R {(π/2) + kπ, kZ}

– Là hàm số lẻ

– Là hàm số tuần hoàn với chu kì π

Hàm số y = tan x đồng biến trên nửa khoảng [0 ; π/2)

Tập giá trị của hàm số y = tan x là khoảng (-∞ ; +∞)

Xem thêm: » Unit 7: Cách thêm s, es sau N và V phải nắm vững

4. Hàm số y = cot x

– Có tập xác định là D = R {kπ, kZ}

– Là hàm số lẻ

– Là hàm số tuần hoàn với chu kì π

Hàm số y = cot x nghịch biến trên khoảng (0 ; π)

Tập giá trị của hàm số y = cot x là khoảng (-∞ ; +∞)

 

Hướng dẫn giải bài tập toán lớp 11 bài 1

Bài tập trong sách: (sgk/17)

 

Câu 1: 

Xác định các giá trị của x trên đoạn [-π ; (3π/2)] để hàm số y = tan x.

a) Nhận giá trị bằng 0 ;                          b) Nhận giá trị bằng 1 ;

c) Nhận giá trị dương ;                           d) Nhận giá trị âm.

Lời giải:

a) Nhận giá trị bằng 0                           

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

y = tan x = 0 tại các giá trị x = -π ; 0 ; π

b) Nhận giá trị bằng 1 

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

y = tan x = 1 tại các giá trị x = -3π/4; π/4; 5π/4

c) Nhận giá trị dương 

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

y = tan x > 0 với x ∈ (-π; -π/2) ∪ (0; π/2) ∪ (π; 3π/2)                           

d) Nhận giá trị âm

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

y = tan x < 0 với x ∈ [-π/2; 0) ∪ [π/2; π)

Câu 2: 

Tìm tập xác định của các hàm số:

a) y = (1 + cos x)/ sin x ;                         b) y = (1 + cos x)/ sin

c) y = tan(x – π/3)                                    d) y = cot(x + π/6)

Lời giải:

a) Hàm số y = (1 + cos x)/ sin x xác định

⇔ sin x ≠ 0

x ≠ k.π (k ∈ Z)     

Tập xác định của hàm số là D = R {kπ, k ∈ Z}                   

b) y = (1 + cos x)/ sin

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Do đó (1) ⇔ 1 – cos x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k.2π

Vậy tập xác định của hàm số là D = R {k.2π, k ∈ Z}

c) y = tan(x – π/3)             

x – π/3 ≠ π/2 +kπ (k ∈ Z)

x ≠ π/3 + π/2 +kπ

x ≠ 5π/6 +kπ

Vậy tập xác định của hàm số là D = R {5π/6 + kπ, k ∈ Z}                       

d) y = cot(x + π/6)

x + π/6 ≠ kπ (k ∈ Z)

x -π6 + kπ

Vậy tập xác định của hàm số là D = R {-π/6 + kπ, k ∈ Z}

Câu 3: 

Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x, hãy vẽ đồ thị của hàm số y = ∣sin x∣.

Lời giải: 

Đồ thị hàm số y = sin x

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Ta có: 

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Vậy từ đồ thị hàm số y = sin x ta có thể suy ra đồ thị hàm số  y = ∣sin x∣ bằng cách:

– Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành (sin x >0)

– Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành

Ta được đồ thị hàm số  y = ∣sin x∣ 

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Câu 4:

Chứng minh rằng sin 2(x + kπ) = sin 2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin 2x. 

Lời giải: 

sin 2x(x + kπ) = sin(2x + k2π) = sin2x   (k ∈ Z)

(Do hàm số y = sin x có chu kì 2π)

⇒ Hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu kì π 

Hàm số y = sin2x là hàm số tuần hoàn với chu kì π và là hàm số lẻ.

Bảng biến thiên hàm số y = sin2x trên [-π/2 ; π/2]

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Đồ thị hàm số y = sin2x 

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Câu 5:

Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x, tìm các giá trị của x để cos x = ½.

Lời giải: 

– Vẽ đồ thị hàm số y = cos x.

Vẽ đường thẳng y = ½

– Xác định hoành độ các giao điểm.

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Ta thấy đường thẳng y = ½ cắt đồ thị hàm số y = cos x tại các điểm có hoành độ π/3 + k.2π và -π/3 + k2π   (k ∈ Z)

Vậy cos x = ½

x = ±π/3 + k2π   (k ∈ Z) 

Câu 6:

Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.

Lời giải: 

Đồ thị hàm số y = sin x

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Từ đồ thị ta thấy: y = sin x > 0

x ∈ (-2π ; -π) ∪ (0 ;π) ∪ (2π ; 3π) ∪ … 

hay x (k2π ; π + k2π) với (k ∈ Z)

Câu 7:

Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm.

Lời giải: 

Đồ thị hàm số y = cos x

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác

Từ đồ thị ta thấy: y = cos x < 0

x ∈ … ∪ (-3π/2 ; -π/2) ∪ (π/2 ; 3π/2) ∪ (5π/2 ; 7π/2) ∪ … 

hay x (π/2 + k2π ; 3π/2 + k2π) với (k ∈ Z)

Câu 8:

Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:

a) y = 2√(cosx) +1

b) y = 3 – 2sinx

Lời giải: 

a) Ta có: 

      0 ≤ √(cosx) ≤ 1

⟺ 0 ≤ 2√(cosx) ≤ 2

⟺ 1 ≤ 2√(cosx) +1 ≤ 3

hay  1 ≤ y ≤ 3

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3.

b) Ta có:

        1 ≤ sinx ≤ 1

⟺ -2 ≤ -2sinx ≤ 2

⟺ 1 ≤ 3 – 2sinx ≤ 5

hay    1 ≤ y ≤ 5

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 5.

 

 

Đó là tóm tắt kiến thức và hướng dẫn giải toán lớp 11 bài 1: Hàm số lượng giác, các bạn có thể tham khảo. Đừng quên xem thêm các bài giải toán khác tại chuyên mục :

Toán Học lớp 11

.

We on social :

Facebook

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button