Kiến thức

Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số (lý thuyết)-Toán học, vật lý, hóa học phổ thông

Bạn đang xem: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số (lý thuyết)-Toán học, vật lý, hóa học phổ thông

Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số (lý thuyết)

Định nghĩa 1.

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và $y=fleft( x right)$ là một hàm số xác định trên K. Ta nói:

+ Hàm số $y=fleft( x right)$ được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu

$forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}in K,{{x}_{1}}<{{x}_{2}}Rightarrow fleft( {{x}_{1}} right)<fleft( {{x}_{2}} right)$

+ Hàm số $y=fleft( x right)$ được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu

$forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}in K,{{x}_{1}}<{{x}_{2}}Rightarrow fleft( {{x}_{1}} right)>fleft( {{x}_{2}} right)$

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K.

Nhận xét.

Nhận xét 1.

Nếu hàm số $fleft( x right)$ và $gleft( x right)$ cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số $fleft( x right)+gleft( x right)$ cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu $fleft( x right)-gleft( x right)$.

Nhận xét 2.

Nếu hàm số$fleft( x right)$ và $gleft( x right)$ là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số $fleft( x right).gleft( x right)$ cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số $fleft( x right),gleft( x right)$ không là các hàm số dương trên D.

Nhận xét 3.

Cho hàm số $u=uleft( x right)$, xác định với $xin left( a;b right)$ và $uleft( x right)in left( c;d right)$. Hàm số $fleft[ uleft( x right) right]$ cũng xác định với $xin left( a;b right)$. Ta có nhận xét sau:

Giả sử hàm số $u=uleft( x right)$ đồng biến với $xin left( a;b right)$. Khi đó, hàm số $fleft[ uleft( x right) right]$ đồng biến với $xin left( a;b right)Leftrightarrow fleft( u right)$ đồng biến với $uin left( c;d right)$.

Giả sử hàm số $u=uleft( x right)$ nghịch biến với $xin left( a;b right)$. Khi đó, hàm số $fleft[ uleft( x right) right]$ nghịch biến với $xin left( a;b right)Leftrightarrow fleft( u right)$nghịch biến với $uin left( c;d right)$.

Định lí 1.

Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì $f’left( x right)ge 0,forall xin K$.

b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì $f’left( x right)le 0,forall xin K$.

Định lí 2.

Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu $f’left( x right)>0,forall xin K$ thì hàm số $f$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f’left( x right)<0,forall xin K$ thì hàm số $f$ nghịch biến trên K.

c) Nếu $f’left( x right)=0,forall xin K$ thì hàm số $f$ không đổi trên K.

Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải có thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó’. Chẳng hạn:

Nếu hàm số $f$ liên tục trên đoạn $left[ a;b right]$ và $f’left( x right)>0,forall xin left( a;b right)$ thì hàm số $f$ đồng biến trên đoạn $left[ a;b right]$.

Ta thường biểu diển qua bảng biến thiên như sau:

Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số (lý thuyết)

Định lí 3.(mở rộng của định lí 2)

Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu $f’left( x right)ge 0,forall xin K$ và $f’left( x right)=0$ chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số $f$ đồng biến trên K.

b) Nếu $f’left( x right)le 0,forall xin K$ và $f’left( x right)=0$ chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số $f$ đồng biến trên K.

Bài cùng chủ đề:

  • Tổng hợp các chuyên đề toán phổ thông lớp 12

  • Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Share

Share

VẬT LÝ 10

|

VẬT LÝ 11

|

VẬT LÝ 12

|

TÀI LIỆU VẬT LÝ

TOÁN 10

|

TOÁN 11

|

TOÁN 12

|

HỌC247

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button