Kiến thức

Đạo hàm của các hàm lượng giác – Wikipedia tiếng Việt

Đạo hàm của các hàm lượng giác

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Hàm số Đạo hàm
sin⁡(x){displaystyle sin(x)} cos⁡(x){displaystyle cos(x)}
cos⁡(x){displaystyle cos(x)} sin⁡(x){displaystyle -sin(x)}
tan⁡(x){displaystyle tan(x)} sec2⁡(x){displaystyle sec ^{2}(x)}
cot⁡(x){displaystyle cot(x)} csc2⁡(x){displaystyle -csc ^{2}(x)}
sec⁡(x){displaystyle sec(x)} sec⁡(x)tan⁡(x){displaystyle sec(x)tan(x)}
csc⁡(x){displaystyle csc(x)} csc⁡(x)cot⁡(x){displaystyle -csc(x)cot(x)}
arcsin⁡(x){displaystyle arcsin(x)} 11−x2{displaystyle {frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}
arccos⁡(x){displaystyle arccos(x)} 11−x2{displaystyle {frac {-1}{sqrt {1-x^{2}}}}}
arctan⁡(x){displaystyle arctan(x)} 1×2+1{displaystyle {frac {1}{x^{2}+1}}}

Đạo hàm

của các hàm lượng giác là phương pháp toán học tìm tốc độ biến thiên của một

hàm số lượng giác

theo sự biến thiên của biến số. Các hàm số lượng giác thường gặp là sin(x), cos(x) và tan(x).

Biết được đạo hàm của sin(x) và cos(x), chúng ta dễ dàng tìm được đạo hàm của các hàm lượng giác còn lại do chúng được biểu diễn bằng hai hàm trên, bằng cách dùng

quy tắc thương

. Phép chứng minh đạo hàm của sin(x) và cos(x) được diễn giải ở bên dưới, và từ đó cho phép tính đạo hàm của các hàm lương giác khác. Việc tính đạo hàm của

hàm lượng giác ngược

và một số hàm lượng giác thông dụng khác cũng được trình bày ở bên dưới.

Đạo hàm của các hàm lượng giác và các hàm lượng giác ngược[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

(sin⁡(x))′=cos⁡(x){displaystyle left(sin(x)right)’=cos(x)}
(cos⁡(x))′=−sin⁡(x){displaystyle left(cos(x)right)’=-sin(x)}
(tan⁡(x))′=(sin⁡(x)cos⁡(x))′=cos2⁡(x)+sin2⁡(x)cos2⁡(x)=1cos2⁡(x)=sec2⁡(x){displaystyle left(tan(x)right)’=left({frac {sin(x)}{cos(x)}}right)’={frac {cos ^{2}(x)+sin ^{2}(x)}{cos ^{2}(x)}}={frac {1}{cos ^{2}(x)}}=sec ^{2}(x)}
(cot⁡(x))′=(cos⁡(x)sin⁡(x))′=−sin2⁡(x)−cos2⁡(x)sin2⁡(x)=−(1+cot2⁡(x))=−csc2⁡(x){displaystyle left(cot(x)right)’=left({frac {cos(x)}{sin(x)}}right)’={frac {-sin ^{2}(x)-cos ^{2}(x)}{sin ^{2}(x)}}=-(1+cot ^{2}(x))=-csc ^{2}(x)}
(sec⁡(x))′=(1cos⁡(x))′=sin⁡(x)cos2⁡(x)=1cos⁡(x).sin⁡(x)cos⁡(x)=sec⁡(x)tan⁡(x){displaystyle left(sec(x)right)’=left({frac {1}{cos(x)}}right)’={frac {sin(x)}{cos ^{2}(x)}}={frac {1}{cos(x)}}.{frac {sin(x)}{cos(x)}}=sec(x)tan(x)}
(csc⁡(x))′=(1sin⁡(x))′=−cos⁡(x)sin2⁡(x)=−1sin⁡(x).cos⁡(x)sin⁡(x)=−csc⁡(x)cot⁡(x){displaystyle left(csc(x)right)’=left({frac {1}{sin(x)}}right)’=-{frac {cos(x)}{sin ^{2}(x)}}=-{frac {1}{sin(x)}}.{frac {cos(x)}{sin(x)}}=-csc(x)cot(x)}
(arcsin⁡(x))′=11−x2{displaystyle left(arcsin(x)right)’={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}
(arccos⁡(x))′=−11−x2{displaystyle left(arccos(x)right)’={frac {-1}{sqrt {1-x^{2}}}}}
(arctan⁡(x))′=1×2+1{displaystyle left(arctan(x)right)’={frac {1}{x^{2}+1}}}
(sec−1x)′=1|x|x2−1(csc−1x)′=−1|x|x2−1(cot−1x)′=−11+x2{displaystyle {begin{aligned}&({{sec }^{-1}}x)’={frac {1}{left|xright|{sqrt {{{x}^{2}}-1}}}}\&({{csc }^{-1}}x)’={frac {-1}{left|xright|{sqrt {{{x}^{2}}-1}}}}\&({{cot }^{-1}}x)’={frac {-1}{1+{{x}^{2}}}}\end{aligned}}}

Chứng minh đạo hàm của hàm sin và cos[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Bạn đang xem: Đạo hàm của các hàm lượng giác – Wikipedia tiếng Việt

Giới hạn của sin⁡θθ{displaystyle {frac {sin theta }{theta }}} khi θ → 0[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Đường tròn tâm O bán kính r

Cho đường tròn tâm O bán kính r (hình bên). Gọi θ là góc tại O tạo bởi OAOK. Do ta giả định θ tiến dần tới 0, có thể xem θ là một số dương rất nhỏ: 0 < θ ≪ 1.

Gọi: R1 là diện tích

tam giác

OAK, R2 là diện tích

hình quạt

OAK, R3 là diện tích

tam giác

OAL. Dễ thấy:

(R1)<(R2)<(R3).{displaystyle (R_{1})<(R_{2})<(R_{3}),.}

Dùng công thức lượng giác, tính được diện tích

tam giác

OAK

12×||OA||×||OK||×sin⁡θ=12r2sin⁡θ.{displaystyle {frac {1}{2}}times ||OA||times ||OK||times sin theta ={frac {1}{2}}r^{2}sin theta ,.}

Diện tích hình quạt

OAK12r2θ{displaystyle {frac {1}{2}}r^{2}theta }, còn diện tích

tam giác

OAL

12×||OA||×||AL||=12×rtan⁡θ=12r2tan⁡θ.{displaystyle {frac {1}{2}}times ||OA||times ||AL||={frac {1}{2}}times rtimes rtan theta ={frac {1}{2}}r^{2}tan theta ,.}

Từ đó ta có:

(R1)<R2)<(R3)⟺12r2sin⁡θ<12r2θ<12r2tan⁡θ.{displaystyle (R_{1})<R_{2})<(R_{3})iff {frac {1}{2}}r^{2}sin theta <{frac {1}{2}}r^{2}theta <{frac {1}{2}}r^{2}tan theta ,.}

r > 0 ta chia bất đẳng thức trên cho ½·r2. Ngoài ra, vì 0 < θ ≪ 1 dẫn đến sin(θ) > 0, ta có thể chia bất đẳng thức cho sin(θ), từ đó:

1<θsin⁡θ<1cos⁡θ1>sin⁡θθ>cos⁡θ.{displaystyle 1<{frac {theta }{sin theta }}<{frac {1}{cos theta }}implies 1>{frac {sin theta }{theta }}>cos theta ,.}

Theo

định lý kẹp

ta có

limθ0+sin⁡θθ=1.{displaystyle lim _{theta to 0^{+}}{frac {sin theta }{theta }}=1,.}

Trong trường hợp θ là số âm rất nhỏ là tiến dần tới 0, tức là: –1 ≪ θ < 0, sử dụng tính chất

lẻ

của hàm sin ta được:

limθ0−sin⁡θθ=limθ0+sin⁡(−θ)−θ=limθ0+−sin⁡θθ=limθ0+sin⁡θθ=1.{displaystyle lim _{theta to 0^{-}}{frac {sin theta }{theta }}=lim _{theta to 0^{+}}{frac {sin(-theta )}{-theta }}=lim _{theta to 0^{+}}{frac {-sin theta }{-theta }}=lim _{theta to 0^{+}}{frac {sin theta }{theta }}=1,.}

Và do đó:

limθ0sin⁡θθ=1.{displaystyle lim _{theta to 0}{frac {sin theta }{theta }}=1,.}

Xem thêm: Cơ sở hóa sinh trong máy xét nghiệm sinh hóa

Giới hạn của cos⁡θ{displaystyle {frac {cos theta -1}{theta }}} khi θ → 0[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Ta có

limθ0(cos⁡θ)=limθ0[(cos⁡θ)(cos⁡θ+1cos⁡θ+1)]=limθ0(cos2⁡θ(cos⁡θ+1)).{displaystyle lim _{theta to 0}left({frac {cos theta -1}{theta }}right)=lim _{theta to 0}left[left({frac {cos theta -1}{theta }}right)left({frac {cos theta +1}{cos theta +1}}right)right]=lim _{theta to 0}left({frac {cos ^{2}theta -1}{theta (cos theta +1)}}right).}

sin2θ + cos2θ = 1 nên cos2θ – 1 = –sin2θ. Do đó

limθ0(cos⁡θ)=limθ0(−sin2⁡θθ(cos⁡θ+1))=limθ0(−sin⁡θθlimθ0(sin⁡θcos⁡θ+1)=(−1)×02=0.{displaystyle lim _{theta to 0}left({frac {cos theta -1}{theta }}right)=lim _{theta to 0}left({frac {-sin ^{2}theta }{theta (cos theta +1)}}right)=lim _{theta to 0}left({frac {-sin theta }{theta }}right)times lim _{theta to 0}left({frac {sin theta }{cos theta +1}}right)=(-1)times {frac {0}{2}}=0,.}

Đạo hàm của hàm sin[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Theo định nghĩa

đạo hàm

:

ddθsin⁡θ=limδ0(sin⁡)−sin⁡θδ).{displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},sin theta =lim _{delta to 0}left({frac {sin(theta +delta )-sin theta }{delta }}right).}

Dùng

công thức biến đổi lượng giác

sin(α+β) = sin(α)cos(β) + sin(β)cos(α) và hai giới hạn vừa chứng minh ở trên, ta được

ddθsin⁡θ=limδ0(sin⁡θcos⁡δ+sin⁡δcos⁡θsin⁡θδ)=limδ0[(sin⁡δδcos⁡θ)+(cos⁡δsin⁡θ)]=(1×cos⁡θ)+(0×sin⁡θ)=cos⁡θ.{displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},sin theta =lim _{delta to 0}left({frac {sin theta cos delta +sin delta cos theta -sin theta }{delta }}right)=lim _{delta to 0}left[left({frac {sin delta }{delta }}cos theta right)+left({frac {cos delta -1}{delta }}sin theta right)right]=(1times cos theta )+(0times sin theta )=cos theta ,.}

Xem thêm: Tìm m để hàm bậc 4 đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Đạo hàm của hàm cos[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Theo định nghĩa:

ddθcos⁡θ=limδ0(cos⁡)−cos⁡θδ).{displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},cos theta =lim _{delta to 0}left({frac {cos(theta +delta )-cos theta }{delta }}right).}

Dùng công thức biến đổi lượng giác cos(α+β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β) và hai giới hạn vừa chứng minh ở trên, ta được

ddθcos⁡θ=limδ0(cos⁡θcos⁡δsin⁡θsin⁡δcos⁡θδ)=limδ0[(cos⁡δcos⁡θ)−(sin⁡δδsin⁡θ)]=(0×cos⁡θ)−(1×sin⁡θ)=−sin⁡θ.{displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},cos theta =lim _{delta to 0}left({frac {cos theta cos delta -sin theta sin delta -cos theta }{delta }}right)=lim _{delta to 0}left[left({frac {cos delta -1}{delta }}cos theta right)-left({frac {sin delta }{delta }}sin theta right)right]=(0times cos theta )-(1times sin theta )=-sin theta ,.}

Chứng minh đạo hàm của các hàm ngược[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Đạo hàm của hàm arcsin[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho

y=arcsin⁡x{displaystyle y=arcsin x,!}

Trong đó

π2≤y≤π2{displaystyle -{frac {pi }{2}}leq yleq {frac {pi }{2}}}

Thì ta có

sin⁡y=x{displaystyle sin y=x,!}

Dùng

đạo hàm ẩn

và giải dy/dx:

ddxsin⁡y=ddxx{displaystyle {d over dx}sin y={d over dx}x}
dydxcos⁡y=1{displaystyle {dy over dx}cos y=1,!}

Thế cos⁡y=1−sin2⁡y{displaystyle cos y={sqrt {1-sin ^{2}y}}},

dydx1−sin2⁡y=1{displaystyle {dy over dx}{sqrt {1-sin ^{2}y}}=1}

Thế x=sin⁡y{displaystyle x=sin y},

dydx1−x2=1{displaystyle {dy over dx}{sqrt {1-x^{2}}}=1}
dydx=11−x2{displaystyle {dy over dx}={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}

Xem thêm: Cao huyết áp là gì?

Đạo hàm của hàm arccos[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho

y=arccos⁡x{displaystyle y=arccos x,!}

Trong đó

0≤y≤π{displaystyle 0leq yleq pi }

Thì ta có

cos⁡y=x{displaystyle cos y=x,!}

Dùng

đạo hàm ẩn

và giải dy/dx:

ddxcos⁡y=ddxx{displaystyle {d over dx}cos y={d over dx}x}
dydxsin⁡y=1{displaystyle -{dy over dx}sin y=1}

Thế sin⁡y=1−cos2⁡y{displaystyle sin y={sqrt {1-cos ^{2}y}},!},

dydx1−cos2⁡y=1{displaystyle -{dy over dx}{sqrt {1-cos ^{2}y}}=1}

Thế x=cos⁡y{displaystyle x=cos y,!},

dydx1−x2=1{displaystyle -{dy over dx}{sqrt {1-x^{2}}}=1}
dydx=−11−x2{displaystyle {dy over dx}=-{frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}

Đạo hàm của hàm arctang[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho

y=arctan⁡x{displaystyle y=arctan x,!}

Trong đó

π2<y<π2{displaystyle -{frac {pi }{2}}<y<{frac {pi }{2}}}

Thì ta có

tan⁡y=x{displaystyle tan y=x,!}

Dùng

đạo hàm ẩn

và giải dy/dx

ddxtan⁡y=ddxx{displaystyle {d over dx}tan y={d over dx}x}
dydxsec2⁡y=1{displaystyle {dy over dx}sec ^{2}y=1}

Thế 1+tan2⁡y=sec2⁡y{displaystyle 1+tan ^{2}y=sec ^{2}y,!},

dydx(1+tan2⁡y)=1{displaystyle {dy over dx}(1+tan ^{2}y)=1}

Thế x=tan⁡y{displaystyle x=tan y,!},

dydx(1+x2)=1{displaystyle {dy over dx}(1+x^{2})=1}
dydx=11+x2{displaystyle {dy over dx}={frac {1}{1+x^{2}}}}

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Lượng giác

  • Vi tích phân

  • Đạo hàm và vi phân của hàm số

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Đạo_hàm_của_các_hàm_lượng_giác&oldid=64081011

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button