Kiến thức

Đạo hàm toàn phần – Wikipedia tiếng Việt

Đạo hàm toàn phần

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Trong

toán học

, đạo hàm toàn phần của một hàm f{displaystyle f} tại một điểm là xấp xỉ tuyến tính tốt nhất gần điểm này của hàm đối với các đối số của nó. Không giống như

các đạo hàm riêng

, đạo hàm toàn phần xấp xỉ hàm số theo tất cả các đối số. Trong nhiều tình huống, điều này giống như xem xét tất cả các đạo hàm riêng một cách đồng thời (cũng có những tình huống đặc biệt).

Xem thêm: Các hàm xử lý chuỗi trong Oracle

Đạo hàm toàn phần như là một ánh xạ tuyến tính[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Đạo hàm riêng mô tả sự thay đổi của hàm số theo một hướng nhất định (ứng với đối số đã chọn). Khi ta xét tất cả các đối số, sự thay đổi của hàm số phụ thuộc cả vào hướng của đối số. Do đó, một cách tự nhiên để thể hiện đạo hàm toàn phần là sử dụng ánh xạ tuyến tính.

Đặt U⊆Rn{displaystyle Usubseteq mathbf {R} ^{n}} là một

tập con mở

. Một hàm f:U→Rm{displaystyle f:Urightarrow mathbf {R} ^{m}} được gọi là khả vi (toàn phần) tại một điểm a∈U{displaystyle ain U} nếu tồn tại một

phép biến đổi tuyến tính

dfa:Rn→Rm{displaystyle df_{a}:mathbf {R} ^{n}rightarrow mathbf {R} ^{m}} sao cho

limx→a‖f(x)−f(a)−dfa(x−a)‖x−a‖=0.{displaystyle lim _{xrightarrow a}{frac {|f(x)-f(a)-df_{a}(x-a)|}{|x-a|}}=0.}

Ánh xạ tuyến tính

dfa{displaystyle df_{a}} được gọi là đạo hàm (toàn phần) hoặc vi phân (toàn phần) của f{displaystyle f} tại a{displaystyle a}. Ta cũng ký hiệu Daf{displaystyle D_{a}f} hoặc Df(a){displaystyle Df(a)}. Một hàm là khả vi (toàn phần) nếu nó khả vi toàn phần tại mỗi điểm trong miền xác định.

Định nghĩa của đạo hàm toàn phần thể hiện rằng dfa{displaystyle df_{a}} là xấp xỉ tuyến tính tốt nhất của f{displaystyle f} tại điểm a{displaystyle a}. Điều này có thể được chính xác hóa bằng cách định lượng sai số của xấp xỉ dfa{displaystyle df_{a}}. Viết

f(a+h)=f(a)+dfa(h)+ε(h),{displaystyle f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+varepsilon (h),}

với ε(h){displaystyle varepsilon (h)} là sai số trong phép tính gần đúng. Nói rằng đạo hàm của f{displaystyle f} tại a{displaystyle a}dfa{displaystyle df_{a}} tương đương với

ε(h)=o(‖h‖),{displaystyle varepsilon (h)=o(lVert hrVert ),}

với o{displaystyle o}

ký hiệu o nhỏ

và chỉ ra rằng ε(h){displaystyle varepsilon (h)} nhỏ hơn nhiều so với h‖{displaystyle lVert hrVert } khi h→0{displaystyle hto 0}. Đạo hàm toàn phần dfa{displaystyle df_{a}}, nếu tồn tại, là duy nhất.

Đạo hàm toàn phần liên hệ với các đạo hàm riêng phần như sau:

Định lý - Giả sử f{displaystyle f} là một hàm khả vi tại a{displaystyle a} với đạo hàm toàn phần dfa{displaystyle df_{a}}. Thế thì đạo hàm theo hướng u{displaystyle u}: f′(a,u){displaystyle f'(a,u)} tồn tại với mọi u∈Rn{displaystyle uin mathbb {R} ^{n}} và ta có f′(a,u)=dfa(u){displaystyle f'(a,u)=df_{a}(u)} Với u{displaystyle u} là các véc-tơ cơ sở tiêu chuẩn, ta thu được các đạo hàm riêng phần.

[1]

Ngược lại, ta cũng có một điều kiện đủ sau đây.

Định lý - Giả sử f{displaystyle f} là một hàm thỏa mãn * một đạo hàm riêng phần Dif{displaystyle D_{i}f} tồn tại tại điểm a{displaystyle a} * n−1{displaystyle n-1} đạo hàm riêng phần còn lại tồn tại trong một hình cầu mở chứa a{displaystyle a}liên tục tại a{displaystyle a} Thế thì f{displaystyle f} khả vi tại a{displaystyle a}.

[2]

Hệ quả - Giả sử f{displaystyle f} có các đạo hàm riêng phần liên tục trên một tập mở U{displaystyle U}. Thế thì f{displaystyle f} khả vi trên U{displaystyle U}. 

Ví dụ, ánh xạ f:R2−{(0,0)}→R2,(x,y)↦(1xy,x){displaystyle f:mathbb {R} ^{2}-{(0,0)}to mathbb {R} ^{2},(x,y)mapsto ({frac {1}{xy}},x)} có đạo hàm toàn phần tại một điểm (a,b){displaystyle (a,b)}df(a,b)(u,v)=(−1a2bu+−1ab2v,u){displaystyle df_{(a,b)}(u,v)=({frac {-1}{a^{2}b}}u+{frac {-1}{ab^{2}}}v,u)}. Các đạo hàm riêng phần là f∂x(a,b)=df(a,b)(1,0)=(−1a2b,1){displaystyle {frac {partial f}{partial x}}(a,b)=df_{(a,b)}(1,0)=({frac {-1}{a^{2}b}},1)}f∂y(a,b)=df(a,b)(0,1)=(−1ab2,0){displaystyle {frac {partial f}{partial y}}(a,b)=df_{(a,b)}(0,1)=({frac {-1}{ab^{2}}},0)}.

Đạo hàm toàn phần như là một dạng vi phân[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Khi hàm đang xem xét có giá trị thực, đạo hàm toàn phần có thể được biểu diễn như là một

dạng vi phân

. Ví dụ, giả sử rằng f:Rn→R{displaystyle fcolon mathbf {R} ^{n}to mathbf {R} } là một hàm khả vi của các biến x1,…,xn{displaystyle x_{1},ldots ,x_{n}}.

Xét một véc-tơ trong Rn{displaystyle {textbf {R}}^{n}}

Δx=(Δx1,⋯xn)T{displaystyle Delta x={begin{pmatrix}Delta x_{1},&cdots &,&Delta x_{n}end{pmatrix}}^{T}}

Ta có

f(a+Δx)−f(a)−dfa(Δx)=o(|Δx|){displaystyle f(a+Delta x)-f(a)-df_{a}(Delta x)=o(vert Delta xvert )}

với

dfa=∑i=1n∂f∂xi(a)dxi.{displaystyle df_{a}=sum _{i=1}^{n}{frac {partial f}{partial x_{i}}}(a)dx_{i}.}

là một 1{displaystyle 1}-dạng vi phân.

Xem thêm: Bài 2. Hàm số bậc nhất-Tìm đáp án, giải bài tập, để học tốt

Đạo hàm của ánh xạ hợp[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Với hai hàm số f{displaystyle f}g{displaystyle g}, đạo hàm toàn phần của hàm hợp g∘f{displaystyle gcirc f} tại a{displaystyle a} thỏa mãn

d(g∘f)a=dgf(a)∘dfa.{displaystyle d(gcirc f)_{a}=dg_{f(a)}circ df_{a}.}

Nếu các đạo hàm toàn phần của f{displaystyle f}g{displaystyle g} được xác định bởi các

ma trận Jacobi

, phép hợp ở vế phải ứng với phép nhân ma trận.

Chú thích[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    Apostol (1981), Theorem 12.3

  2. ^

    Apostol (1981), Theorem 12.11

Xem thêm: Giải phương trình mũ logarit bằng cách biến đổi đưa về phương trình tích

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003.

    ISBN

    1-58488-297-2

    ISBN

     

    1-58488-297-2

  • Apostol, Tom M., 1981, Mathematical Analysis, Addison-Wesley Publishing Company
  • From thesaurus.maths.org

    total derivative

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Đạo_hàm_toàn_phần&oldid=63069645

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button