Kiến thức

Đẳng thức lượng giác – Wikipedia tiếng Việt

Đẳng thức lượng giác

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Trong

toán học

, các đẳng thức lượng giác là các

phương trình

chứa các

hàm lượng giác

, đúng với một dải lớn các giá trị của biến số.

Các

đẳng thức

này hữu ích cho việc rút gọn các biểu thức chứa hàm lượng giác. Ví dụ trong việc

tính tích phân

với các hàm không phải là lượng giác: có thể thay chúng bằng các hàm lượng giác và dùng các đẳng thức lượng giác để đơn giản hóa phép tính.

Định nghĩa[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

tan⁡(y)=sin⁡(x)cos⁡(z)cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)=1tan⁡(x){displaystyle tan(y)={frac {sin(x)}{cos(z)}}qquad operatorname {cot} (x)={frac {cos(x)}{sin(x)}}={frac {1}{tan(x)}}}

Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên

vòng tròn đơn vị

:

Tuần hoàn (k

nguyên

)

Đối nhau: Phụ nhau Bù nhau Hơn kém nhau π{displaystyle pi } Hơn kém nhau π2{displaystyle {frac {pi }{2}}}
sin⁡(x)=sin⁡(x+2kπ){displaystyle sin(x)=sin(x+2kpi ),} sin⁡(−x)=−sin⁡(x){displaystyle sin(-x)=-sin(x),} sin⁡(x)=cos⁡2−x){displaystyle sin(x)=cos left({frac {pi }{2}}-xright)} sin⁡x)=sin⁡(x){displaystyle sin(pi -x)=sin(x)} sin⁡+x)=−sin⁡(x){displaystyle sin(pi +x)=-sin(x)} sin⁡(x)=−cos⁡2+x){displaystyle sin(x)=-cos left({frac {pi }{2}}+xright)}
cos⁡(x)=cos⁡(x+2kπ){displaystyle cos(x)=cos(x+2kpi ),} cos⁡(−x)=cos⁡(x){displaystyle cos(-x)=;cos(x),} cos⁡(x)=sin⁡2−x){displaystyle cos(x)=sin left({frac {pi }{2}}-xright)} cos⁡x)=−cos⁡(x){displaystyle cos(pi -x)=;-cos(x),} cos⁡+x)=−cos⁡(x){displaystyle cos(pi +x)=;-cos(x),} cos⁡(x)=sin⁡2+x){displaystyle cos(x)=sin left({frac {pi }{2}}+xright)}
tan⁡(x)=tan⁡(x+kπ){displaystyle tan(x)=tan(x+kpi ),} tan⁡(−x)=−tan⁡(x){displaystyle tan(-x)=-tan(x),} tan⁡(x)=cot⁡2−x){displaystyle tan(x)=cot left({frac {pi }{2}}-xright)} tan⁡x)=−tan⁡(x){displaystyle tan(pi -x)=-tan(x),} tan⁡+x)=tan⁡(x){displaystyle tan(pi +x)=tan(x),} tan⁡(x)=−cot⁡2+x){displaystyle tan(x)=-cot left({frac {pi }{2}}+xright)}
cot⁡(x)=cot⁡(x+kπ){displaystyle cot(x)=cot(x+kpi )} cot⁡(−x)=−cot⁡(x){displaystyle cot(-x)=-cot(x),} cot⁡(x)=tan⁡2−x){displaystyle cot(x)=tan left({frac {pi }{2}}-xright)} cot⁡x)=−cot⁡(x){displaystyle {displaystyle cot(pi -x)=-cot(x),}} cot⁡+x)=cot⁡(x){displaystyle {displaystyle cot(pi +x)=cot(x),}} cot⁡(x)=−tan⁡2+x){displaystyle cot(x)=-tan left({frac {pi }{2}}+xright)}

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích: asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2⋅sin⁡(x+φ){displaystyle asin x+bcos x={sqrt {a^{2}+b^{2}}}cdot sin(x+varphi )}

với φ={arctan⁡ba,ne^´u a≥0;π+arctan⁡ba,ne^´u a<0.{displaystyle varphi =left{{begin{matrix}arctan {dfrac {b}{a}},&&{mbox{n}}{acute {hat {mbox{e}}}}{mbox{u}} ageq 0;\pi +arctan {dfrac {b}{a}},&&{mbox{n}}{acute {hat {mbox{e}}}}{mbox{u}} a<0.end{matrix}}right.}

Đẳng thức Pytago[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Các đẳng thức sau dựa vào

định lý Pytago

.

sin2⁡(x)+cos2⁡(x)=1{displaystyle sin ^{2}(x)+cos ^{2}(x)=1;}
tan2⁡(x)+1=sec2⁡(x)=1cos2⁡(x){displaystyle tan ^{2}(x)+1=sec ^{2}(x)={frac {1}{cos ^{2}(x)}}}
cot2⁡(x)+1=csc2⁡(x)=1sin2⁡(x){displaystyle cot ^{2}(x)+1=csc ^{2}(x)={frac {1}{sin ^{2}(x)}}}

Đẳng thức thứ 2 và 3 có thể suy ra từ đẳng thức đầu bởi chia nó cho cos²(x) và sin²(x).

Công thức cộng trừ lượng giác[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Xem thêm

Định lý Ptolemy

Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng

công thức Euler

.

sin⁡(x±y)=sin⁡(x)cos⁡(y)±cos⁡(x)sin⁡(y){displaystyle sin(xpm y)=sin(x)cos(y)pm cos(x)sin(y),}
cos⁡(x±y)=cos⁡(x)cos⁡(y)∓sin⁡(x)sin⁡(y){displaystyle cos(xpm y)=cos(x)cos(y)mp sin(x)sin(y),}
tan⁡(x±y)=tan⁡(x)±tan⁡(y)1∓tan⁡(x)tan⁡(y){displaystyle tan(xpm y)={frac {tan(x)pm tan(y)}{1mp tan(x)tan(y)}}}
 cot(x±y)=1∓tan⁡(x)tan⁡(y)tan⁡(x)±tan⁡(y){displaystyle cot(xpm y)={frac {1mp tan(x)tan(y)}{tan(x)pm tan(y)}}}
s(x+y)=cıs(x)cıs(y){displaystyle {rm {cimath s}}(x+y)={rm {cimath s}}(x),{rm {cimath s}}(y)}
s(x−y)=cıs(x)cıs(y){displaystyle {rm {cimath s}}(x-y)={{rm {cimath s}}(x) over {rm {cimath s}}(y)}}

với

s(x)=eıx=cos⁡(x)+ısin⁡(x){displaystyle {rm {cimath s}}(x)=e^{imath x}=cos(x)+imath sin(x),}

ı=−1.{displaystyle imath ={sqrt {-1}}.,}

Xem thêm: Cảm biến hồng ngoại là gì ? Nguyên lý làm việc ? Cách thức lắp đặt chi tiết

Công thức góc bội[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Bội hai[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng

công thức de Moivre

với n = 2.

sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x){displaystyle sin(2x)=2sin(x)cos(x),}
cos⁡(2x)=cos2⁡(x)−sin2⁡(x)=2cos2⁡(x)−1=1−2sin2⁡(x){displaystyle cos(2x)=cos ^{2}(x)-sin ^{2}(x)=2cos ^{2}(x)-1=1-2sin ^{2}(x),}
tan⁡(2x)=2tan⁡(x)1−tan2⁡(x){displaystyle tan(2x)={frac {2tan(x)}{1-tan ^{2}(x)}}}
cot⁡(2x)=cot2⁡(x)−12cot⁡(x){displaystyle cot(2x)={frac {cot ^{2}(x)-1}{2cot(x)}}}

Công thức góc kép có thể dùng để tìm

bộ ba Pytago

. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2, 2ab, c2) cũng vậy.

cos⁡(nx)=2cos⁡((n−1)x)cos⁡(x)−cos⁡((n−2)x){displaystyle cos(nx)=2cos((n-1)x)cos(x)-cos((n-2)x)}

Bội ba[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cơ bản[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Ví dụ của trường hợp n = 3:

sin⁡(3x)=3sin⁡x−4sin3⁡x{displaystyle sin(3x)=3sin x-4sin ^{3}x}
cos⁡(3x)=4cos3⁡x−3cos⁡x{displaystyle cos(3x)=4cos ^{3}x-3cos x}

Nâng cao[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

sin⁡(3x)=4sin⁡xsin⁡3−x)sin⁡3+x){displaystyle sin(3x)=4sin xsin({frac {pi }{3}}-x)sin({frac {pi }{3}}+x)}
cos⁡(3x)=4cos⁡xcos⁡3−x)cos⁡3+x){displaystyle cos(3x)=4cos xcos({frac {pi }{3}}-x)cos({frac {pi }{3}}+x)}
tan⁡(3x)=tan⁡xtan⁡3−x)tan⁡3+x){displaystyle tan(3x)=tan xtan({frac {pi }{3}}-x)tan({frac {pi }{3}}+x)}

Công thức hạ bậc[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Giải các phương trình ở công thức bội cho cos2(x) và sin2(x), thu được:

sin2⁡(x)=1−cos⁡(2x)2{displaystyle sin ^{2}(x)={1-cos(2x) over 2}}
cos2⁡(x)=1+cos⁡(2x)2{displaystyle cos ^{2}(x)={1+cos(2x) over 2}}
tan2⁡(x)=1−cos⁡(2x)1+cos⁡(2x){displaystyle tan ^{2}(x)={1-cos(2x) over 1+cos(2x)}}
sin2⁡(x)cos2⁡(x)=1−cos⁡(4x)8{displaystyle sin ^{2}(x)cos ^{2}(x)={1-cos(4x) over 8}}
sin3⁡(x)=3sin⁡(x)−sin⁡(3x)4{displaystyle sin ^{3}(x)={frac {3sin(x)-sin(3x)}{4}}}
cos3⁡(x)=3cos⁡(x)+cos⁡(3x)4{displaystyle cos ^{3}(x)={frac {3cos(x)+cos(3x)}{4}}}
sin4⁡(x)=1cos⁡(4x)−4cos⁡(2x)+38{displaystyle sin ^{4}(x)={frac {1cos(4x)-4cos(2x)+3}{8}}}
cos4⁡(x)=1cos⁡(4x)+4cos⁡(2x)+38{displaystyle cos ^{4}(x)={frac {1cos(4x)+4cos(2x)+3}{8}}}

Công thức góc chia đôi[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Thay x/2 cho x trong công thức trên, rồi

giải phương trình

cho cos(x/2) và sin(x/2) để thu được:

sin⁡(x2)=±1−cos⁡(x)2{displaystyle sin left({frac {x}{2}}right)=pm ,{sqrt {frac {1-cos(x)}{2}}}}
cos⁡(x2)=±1+cos⁡(x)2{displaystyle cos left({frac {x}{2}}right)=pm ,{sqrt {frac {1+cos(x)}{2}}}}

Dẫn đến:

tan⁡(x2)=sin⁡(x/2)cos⁡(x/2)=±1−cos⁡x1+cos⁡x.(1){displaystyle tan left({frac {x}{2}}right)={sin(x/2) over cos(x/2)}=pm ,{sqrt {1-cos x over 1+cos x}}.qquad qquad (1)}

Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:

tan⁡(x2)=±(1−cos⁡x)(1+cos⁡x)(1+cos⁡x)(1+cos⁡x)=±1−cos2⁡x(1+cos⁡x)2{displaystyle tan left({frac {x}{2}}right)=pm ,{sqrt {(1-cos x)(1+cos x) over (1+cos x)(1+cos x)}}=pm ,{sqrt {1-cos ^{2}x over (1+cos x)^{2}}}}

=sin⁡x1+cos⁡x.{displaystyle ={sin x over 1+cos x}.}

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:

tan⁡(x2)=±(1−cos⁡x)(1−cos⁡x)(1+cos⁡x)(1−cos⁡x)=±(1−cos⁡x)2(1−cos2⁡x){displaystyle tan left({frac {x}{2}}right)=pm ,{sqrt {(1-cos x)(1-cos x) over (1+cos x)(1-cos x)}}=pm ,{sqrt {(1-cos x)^{2} over (1-cos ^{2}x)}}}

=1−cos⁡xsin⁡x.{displaystyle ={1-cos x over sin x}.}

Suy ra:

tan⁡(x2)=sin⁡(x)1+cos⁡(x)=1−cos⁡(x)sin⁡(x).{displaystyle tan left({frac {x}{2}}right)={frac {sin(x)}{1+cos(x)}}={frac {1-cos(x)}{sin(x)}}.}

Nếu

t=tan⁡(x2),{displaystyle t=tan left({frac {x}{2}}right),}

thì:

    sin⁡(x)=2t1+t2{displaystyle sin(x)={frac {2t}{1+t^{2}}}}   and   cos⁡(x)=1−t21+t2{displaystyle cos(x)={frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}   and   eix=1+it1−it.{displaystyle e^{ix}={frac {1+it}{1-it}}.}

Phương pháp dùng t thay thế như trên hữu ích trong

giải tích

để chuyển các tỷ lệ thức chứa sin(x) và cos(x) thành

hàm

của t. Cách này giúp tính

đạo hàm

của biểu thức dễ dàng.

Biến tích thành tổng[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy ra.

sin⁡(x)sin⁡(y)=cos⁡(x−y)−cos⁡(x+y)2{displaystyle sin left(xright)sin left(yright)={cos left(x-yright)-cos left(x+yright) over 2};}
cos⁡(x)cos⁡(y)=cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y)2{displaystyle cos left(xright)cos left(yright)={cos left(x+yright)+cos left(x-yright) over 2};}
sin⁡(x)cos⁡(y)=sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)2{displaystyle sin left(xright)cos left(yright)={sin left(x+yright)+sin left(x-yright) over 2};}

Biến tổng thành tích[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Thay x bằng (x + y) / 2 và y bằng (xy) / 2, suy ra:

sin⁡(x)+sin⁡(y)=2sin⁡(x+y2)cos⁡(x−y2){displaystyle sin(x)+sin(y)=2sin left({frac {x+y}{2}}right)cos left({frac {x-y}{2}}right);}
sin⁡(x)−sin⁡(y)=2cos⁡(x+y2)sin⁡(x−y2){displaystyle sin(x)-sin(y)=2cos left({frac {x+y}{2}}right)sin left({x-y over 2}right);}
cos⁡(x)+cos⁡(y)=2cos⁡(x+y2)cos⁡(x−y2){displaystyle cos(x)+cos(y)=2cos left({frac {x+y}{2}}right)cos left({frac {x-y}{2}}right);}
cos⁡(x)−cos⁡(y)=−2sin⁡(x+y2)sin⁡(x−y2){displaystyle cos(x)-cos(y)=-2sin left({x+y over 2}right)sin left({x-y over 2}right);}

Xem thêm: Công thức cấp số cộng nâng cao

Hàm lượng giác ngược[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

arcsin⁡(x)+arccos⁡(x)=π/2{displaystyle arcsin(x)+arccos(x)=pi /2;}
arctan⁡(x)+arccot⁡(x)=π/2.{displaystyle arctan(x)+operatorname {arccot}(x)=pi /2.;}
arctan⁡(x)+arctan⁡(1/x)={π/2,ne^´u x>0−π/2,ne^´u x<0.{displaystyle arctan(x)+arctan(1/x)=left{{begin{matrix}pi /2,&{mbox{n}}{acute {hat {mbox{e}}}}{mbox{u}} x>0\-pi /2,&{mbox{n}}{acute {hat {mbox{e}}}}{mbox{u}} x<0end{matrix}}right..}
arctan⁡(x)+arctan⁡(y)=arctan⁡(x+y1−xy){displaystyle arctan(x)+arctan(y)=arctan left({frac {x+y}{1-xy}}right);}
arctan⁡(x)−arctan⁡(y)=arctan⁡(x−y1+xy){displaystyle arctan(x)-arctan(y)=arctan left({frac {x-y}{1+xy}}right);}
sin⁡(arccos⁡(x))=1−x2{displaystyle sin(arccos(x))={sqrt {1-x^{2}}},}
cos⁡(arcsin⁡(x))=1−x2{displaystyle cos(arcsin(x))={sqrt {1-x^{2}}},}
sin⁡(arctan⁡(x))=x1+x2{displaystyle sin(arctan(x))={frac {x}{sqrt {1+x^{2}}}}}
cos⁡(arctan⁡(x))=11+x2{displaystyle cos(arctan(x))={frac {1}{sqrt {1+x^{2}}}}}
tan⁡(arcsin⁡(x))=x1−x2{displaystyle tan(arcsin(x))={frac {x}{sqrt {1-x^{2}}}}}
tan⁡(arccos⁡(x))=1−x2x{displaystyle tan(arccos(x))={frac {sqrt {1-x^{2}}}{x}}}

Dạng số phức[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

cos⁡(x)=eix+e−ix2{displaystyle cos(x)={frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}};}
sin⁡(x)=eix−e−ix2i{displaystyle sin(x)={frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}};}

với i2=−1.{displaystyle i^{2}=-1.,}

Tích vô hạn[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Trong các ứng dụng với

hàm đặc biệt

, các

tích vô hạn

sau có ích:

sin⁡x=x∏n=1∞(1−x2π2n2){displaystyle sin x=xprod _{n=1}^{infty }left(1-{frac {x^{2}}{pi ^{2}n^{2}}}right)}
sinh⁡x=x∏n=1∞(1+x2π2n2){displaystyle sinh x=xprod _{n=1}^{infty }left(1+{frac {x^{2}}{pi ^{2}n^{2}}}right)}
cos⁡x=∏n=1∞(1−x2π2(n−12)2){displaystyle cos x=prod _{n=1}^{infty }left(1-{frac {x^{2}}{pi ^{2}(n-{frac {1}{2}})^{2}}}right)}
cosh⁡x=∏n=1∞(1+x2π2(n−12)2){displaystyle cosh x=prod _{n=1}^{infty }left(1+{frac {x^{2}}{pi ^{2}(n-{frac {1}{2}})^{2}}}right)}
sin⁡xx=∏n=1∞cos⁡(x2n){displaystyle {frac {sin x}{x}}=prod _{n=1}^{infty }cos left({frac {x}{2^{n}}}right)}

Đẳng thức số[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cơ bản[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Richard Feynman

từ nhỏ đã nhớ đẳng thức sau:

cos⁡20∘cos⁡40∘cos⁡80∘=18.{displaystyle cos 20^{circ }cdot cos 40^{circ }cdot cos 80^{circ }={frac {1}{8}}.}

Tuy nhiên nó là trường hợp riêng của:

j=0k−1cos⁡(2jx)=sin⁡(2kx)2ksin⁡(x).{displaystyle prod _{j=0}^{k-1}cos(2^{j}x)={frac {sin(2^{k}x)}{2^{k}sin(x)}}.}

Đẳng thức số sau chưa được tổng quát hóa với biến số:

cos⁡24∘+cos⁡48∘+cos⁡96∘+cos⁡168∘=12{displaystyle cos 24^{circ }+cos 48^{circ }+cos 96^{circ }+cos 168^{circ }={frac {1}{2}}}.

Đẳng thức sau cho thấy đặc điểm của số 21:

cos⁡(2π21)+cos⁡(2⋅21)+cos⁡(4⋅21){displaystyle cos left({frac {2pi }{21}}right),+,cos left(2cdot {frac {2pi }{21}}right),+,cos left(4cdot {frac {2pi }{21}}right)}

+cos⁡(5⋅21)+cos⁡(8⋅21)+cos⁡(10⋅21)=12.{displaystyle ,+,cos left(5cdot {frac {2pi }{21}}right),+,cos left(8cdot {frac {2pi }{21}}right),+,cos left(10cdot {frac {2pi }{21}}right)={frac {1}{2}}.}

Một cách tính

pi

có thể dựa vào đẳng thức số sau, do

John Machin

tìm thấy:

π4=4arctan⁡15−arctan⁡1239{displaystyle {frac {pi }{4}}=4arctan {frac {1}{5}}-arctan {frac {1}{239}}}

hay dùng

công thức Euler

:

π4=5arctan⁡17+2arctan⁡379.{displaystyle {frac {pi }{4}}=5arctan {frac {1}{7}}+2arctan {frac {3}{79}}.}

Một số giá trị lượng giác thông dụng:

sin⁡0=sin⁡0∘=0=cos⁡90∘=cos⁡2)sin⁡6)=sin⁡30∘=12=cos⁡60∘=cos⁡3)sin⁡4)=sin⁡45∘=22=cos⁡45∘=cos⁡4)sin⁡3)=sin⁡60∘=32=cos⁡30∘=cos⁡6)sin⁡2)=sin⁡90∘=1=cos⁡0∘=cos⁡0tan⁡0=tan⁡0∘=0=cot⁡90∘=cot⁡2)tan⁡6)=tan⁡30∘=33=cot⁡60∘=cot⁡3)tan⁡4)=tan⁡45∘=1=cot⁡45∘=cot⁡4)tan⁡3)=tan⁡60∘=3=cot⁡30∘=cot⁡6){displaystyle {begin{matrix}sin 0&=&sin 0^{circ }&=&0&=&cos 90^{circ }&=&cos left({frac {pi }{2}}right)\\sin left({frac {pi }{6}}right)&=&sin 30^{circ }&=&{frac {1}{2}}&=&cos 60^{circ }&=&cos left({frac {pi }{3}}right)\\sin left({frac {pi }{4}}right)&=&sin 45^{circ }&=&{frac {sqrt {2}}{2}}&=&cos 45^{circ }&=&cos left({frac {pi }{4}}right)\\sin left({frac {pi }{3}}right)&=&sin 60^{circ }&=&{frac {sqrt {3}}{2}}&=&cos 30^{circ }&=&cos left({frac {pi }{6}}right)\\sin left({frac {pi }{2}}right)&=&sin 90^{circ }&=&1&=&cos 0^{circ }&=&cos 0\\tan 0&=&tan 0^{circ }&=&0&=&cot 90^{circ }&=&cot left({frac {pi }{2}}right)\\tan left({frac {pi }{6}}right)&=&tan 30^{circ }&=&{frac {sqrt {3}}{3}}&=&cot 60^{circ }&=&cot left({frac {pi }{3}}right)\\tan left({frac {pi }{4}}right)&=&tan 45^{circ }&=&1&=&cot 45^{circ }&=&cot left({frac {pi }{4}}right)\\tan left({frac {pi }{3}}right)&=&tan 60^{circ }&=&{sqrt {3}}&=&cot 30^{circ }&=&cot left({frac {pi }{6}}right)end{matrix}}}
sin⁡π7=76−7189∑j=0∞(3j+1)!189jj!(2j+2)!{displaystyle sin {frac {pi }{7}}={frac {sqrt {7}}{6}}-{frac {sqrt {7}}{189}}sum _{j=0}^{infty }{frac {(3j+1)!}{189^{j}j!,(2j+2)!}}!}
sin⁡π18=16∑j=0∞(3j)!27jj!(2j+1)!{displaystyle sin {frac {pi }{18}}={frac {1}{6}}sum _{j=0}^{infty }{frac {(3j)!}{27^{j}j!,(2j+1)!}}!}

Dùng

tỷ lệ vàng

φ:

cos⁡5)=cos⁡36∘=5+14=ϕ/2{displaystyle cos left({frac {pi }{5}}right)=cos 36^{circ }={{sqrt {5}}+1 over 4}=phi /2}
sin⁡10)=sin⁡18∘=5−14=φ12=12φ{displaystyle sin left({frac {pi }{10}}right)=sin 18^{circ }={{sqrt {5}}-1 over 4}={varphi -1 over 2}={1 over 2varphi }}

– –

Nâng cao[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • sin⁡7)sin2⁡(2π7)+sin⁡(3π7)sin2⁡7)+sin⁡(2π7)sin−2(3π7)=27{displaystyle -{frac {sin({frac {pi }{7}})}{sin ^{2}({frac {2pi }{7}})}}+{frac {sin({frac {3pi }{7}})}{sin ^{2}({frac {pi }{7}})}}+{frac {sin({frac {2pi }{7}})}{sin -^{2}({frac {3pi }{7}})}}=2{sqrt {7}}}

  • sin2⁡7)sin4⁡(2π7)+sin2⁡(3π7)sin4⁡7)+sin2⁡(2π7)sin−4(3π7)=28{displaystyle {frac {sin ^{2}({frac {pi }{7}})}{sin ^{4}({frac {2pi }{7}})}}+{frac {sin ^{2}({frac {3pi }{7}})}{sin ^{4}({frac {pi }{7}})}}+{frac {sin ^{2}({frac {2pi }{7}})}{sin -^{4}({frac {3pi }{7}})}}=28}

  • sin2⁡7)sin4⁡(2π7)(4sin⁡7)sin⁡(2π7)−2sin⁡(3π7)sin−7))+sin2⁡(3π7)sin4⁡7)(2sin⁡(2π7)sin⁡(3π7)+4sin⁡(3π7)sin−7))−sin2⁡(2π7)sin4⁡(3π7)(2sin⁡7)sin⁡(2π7)+4−sin⁡(2π7)sin⁡(3π7))=280{displaystyle {frac {sin ^{2}({frac {pi }{7}})}{sin ^{4}({frac {2pi }{7}})}}({frac {4sin({frac {pi }{7}})}{sin({frac {2pi }{7}})}}-{frac {2sin({frac {3pi }{7}})}{sin -({frac {pi }{7}})}})+{frac {sin ^{2}({frac {3pi }{7}})}{sin ^{4}({frac {pi }{7}})}}({frac {2sin({frac {2pi }{7}})}{sin({frac {3pi }{7}})}}+{frac {4sin({frac {3pi }{7}})}{sin -({frac {pi }{7}})}})-{frac {sin ^{2}({frac {2pi }{7}})}{sin ^{4}({frac {3pi }{7}})}}({frac {2sin({frac {pi }{7}})}{sin({frac {2pi }{7}})}}+{frac {4-sin({frac {2pi }{7}})}{sin({frac {3pi }{7}})}})=280}

  • cos⁡17)=18(2(217(17−17)2−17−172−434+217+317+17+34−217+17+15)){displaystyle cos({frac {pi }{17}})={frac {1}{8}}{sqrt {(}}2(2{sqrt {{sqrt {frac {17(17-{sqrt {17}})}{2}}}-{sqrt {frac {17-{sqrt {17}}}{2}}}-4{sqrt {34+2{sqrt {17}}}}+3{sqrt {17}}+17}}+{sqrt {34-2{sqrt {17}}}}+{sqrt {17}}+15))}

  • tan⁡120)=8−2(2−3)(3−5)−2(2+3)(5+5)8+2(2−3)(3−5)+2−(2+3)(5+5){displaystyle tan({frac {pi }{120}})={sqrt {frac {8-{sqrt {2(2-{sqrt {3}})(3-{sqrt {5}})}}-{sqrt {2(2+{sqrt {3}})(5+{sqrt {5}})}}}{8+{sqrt {2(2-{sqrt {3}})(3-{sqrt {5}})}}+{sqrt {2-(2+{sqrt {3}})(5+{sqrt {5}})}}}}}}

  • cos⁡240)=116(2−2+2(2(5+5)+3−15)+2+2+2(6(5+5)+5−1)){displaystyle cos({frac {pi }{240}})={frac {1}{16}}({sqrt {2-{sqrt {2+{sqrt {2}}}}}}({sqrt {2(5+{sqrt {5}})}}+{sqrt {3}}-{sqrt {15}})+{sqrt {{sqrt {2+{sqrt {2}}}}+2}}({sqrt {6(5+{sqrt {5}})}}+{sqrt {5}}-1))}

  • π4=cot−1⁡(2)+cot−1⁡(3){displaystyle {frac {pi }{4}}=cot ^{-1}(2)+cot ^{-1}(3)}

  • π4=cot−1⁡(2)+cot−1⁡(5)+cot−1⁡(8){displaystyle {frac {pi }{4}}=cot ^{-1}(2)+cot ^{-1}(5)+cot ^{-1}(8)}

  • π4=2cot−1⁡(3)+cot−1⁡(7){displaystyle {frac {pi }{4}}=2cot ^{-1}(3)+cot ^{-1}(7)}

  • π4=3cot−1⁡(4)+cot−1⁡(995){displaystyle {frac {pi }{4}}=3cot ^{-1}(4)+cot ^{-1}({frac {99}{5}})}

  • π4=4cot−1⁡(5)−cot−1⁡(239){displaystyle {frac {pi }{4}}=4cot ^{-1}(5)-cot ^{-1}(239)}

  • π4=4cot−1⁡(5)−cot−1⁡(70)+cot−1⁡(99)π4=5cot−1⁡(6)−cot−1⁡(50316)−cot−1⁡(117){displaystyle {frac {pi }{4}}=4cot ^{-1}(5)-cot ^{-1}(70)+cot ^{-1}(99){frac {pi }{4}}=5cot ^{-1}(6)-cot ^{-1}({frac {503}{16}})-cot ^{-1}(117)}

  • π4=5cot−1⁡(7)+2cot−1⁡(793)π4=6cot−1⁡(8)+cot−1⁡(995)−3cot−1⁡(268){displaystyle {frac {pi }{4}}=5cot ^{-1}(7)+2cot ^{-1}({frac {79}{3}}){frac {pi }{4}}=6cot ^{-1}(8)+cot ^{-1}({frac {99}{5}})-3cot ^{-1}(268)}

  • π4=8cot−1⁡(10)−cot−1⁡(239)−4cot−1⁡(515)π4=8cot−1⁡(10)−2cot−1⁡(4527612543)−cot−1⁡(1393){displaystyle {frac {pi }{4}}=8cot ^{-1}(10)-cot ^{-1}(239)-4cot ^{-1}(515){frac {pi }{4}}=8cot ^{-1}(10)-2cot ^{-1}({frac {452761}{2543}})-cot ^{-1}(1393)}

  • π4=8cot−1⁡(10)−cot−1⁡(100)−cot−1⁡(515)−cot−1⁡(3714988823583)π4=12cot−1⁡(18)+3cot−1⁡(70)+5cot−1⁡(99)+8cot−1⁡(307){displaystyle {frac {pi }{4}}=8cot ^{-1}(10)-cot ^{-1}(100)-cot ^{-1}(515)-cot ^{-1}({frac {371498882}{3583}}){frac {pi }{4}}=12cot ^{-1}(18)+3cot ^{-1}(70)+5cot ^{-1}(99)+8cot ^{-1}(307)}

  • π4=12cot−1⁡(18)+8cot−1⁡(99)+3cot−1⁡(239)+8cot−1⁡(307){displaystyle {frac {pi }{4}}=12cot ^{-1}(18)+8cot ^{-1}(99)+3cot ^{-1}(239)+8cot ^{-1}(307)}

Giải tích[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Các công thức trong

giải tích

sau dùng góc đo bằng

radian

limx→0sin⁡(x)x=1,{displaystyle lim _{xrightarrow 0}{frac {sin(x)}{x}}=1,}
limx→01−cos⁡(x)x=0,{displaystyle lim _{xrightarrow 0}{frac {1-cos(x)}{x}}=0,}
ddxsin⁡(x)=cos⁡(x){displaystyle {d over dx}sin(x)=cos(x)}

Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắc của

đạo hàm

:

ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x){displaystyle {d over dx}cos(x)=-sin(x)}
ddxtan⁡(x)=sec2⁡(x){displaystyle {d over dx}tan(x)=sec ^{2}(x)}
ddxcot⁡(x)=−csc2⁡(x){displaystyle {d over dx}cot(x)=-csc ^{2}(x)}
ddxsec⁡(x)=sec⁡(x)tan⁡(x){displaystyle {d over dx}sec(x)=sec(x)tan(x)}
ddxcsc⁡(x)=−csc⁡(x)cot⁡(x){displaystyle {d over dx}csc(x)=-csc(x)cot(x)}
ddxarcsin⁡(x)=11−x2{displaystyle {d over dx}arcsin(x)={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}
ddxarctan⁡(x)=11+x2{displaystyle {d over dx}arctan(x)={frac {1}{1+x^{2}}}}

Các biểu thức về tính tích phân có thể tìm tại

danh sách tích phân với hàm lượng giác

danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược

.

Xem thêm: [Sách Giải] ✅ Bài 17: Ước chung lớn nhất. Bội chung nhỏ nhất-Sách Giải-Học Online Cùng Sachgiaibaitap.com

Hàm lượng giác nghịch đảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Các hàm lượng giác tuần hoàn, do vậy để tìm hàm nghịch đảo, cần giới hạn miền của hàm. Dươi đây là định nghĩa các hàm lượng giác nghịch đảo:

Giới hạn miền Định nghĩa
-π/2 < y < π/2 y = arcsin(x)

khi và chỉ khi

x = sin(y)

0 < y < π y = arccos(x) khi và chỉ khi x = cos(y)
-π/2 < y < π/2 y = arctan(x) khi và chỉ khi x = tan(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0 y = arccot(x) khi và chỉ khi x = cot(y)
0 < y < π và y ≠ π/2 y = arcsec(x) khi và chỉ khi x = sec(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0 y = arccsc(x) khi và chỉ khi x = csc(y)

Các hàm nghịch đảo có thể được ký hiệu là sin−1 hay cos−1 thay cho arcsin và arccos. Việc dùng ký hiệu mũ có thể gây nhầm lẫn với

hàm mũ

của hàm lượng giác.

Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được định nghĩa bằng chuỗi vô hạn:

arcsin⁡z=z+(12)z33+(1⋅32⋅4)z55+(1⋅3⋅52⋅4⋅6)z77+⋯=∑n=0∞((2n)!22n(n!)2)z2n+1(2n+1)|z|<1{displaystyle {begin{matrix}arcsin z&=&z+left({frac {1}{2}}right){frac {z^{3}}{3}}+left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}}right){frac {z^{5}}{5}}+left({frac {1cdot 3cdot 5}{2cdot 4cdot 6}}right){frac {z^{7}}{7}}+cdots \&=&sum _{n=0}^{infty }left({frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}right){frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}}end{matrix}},quad left|zright|<1}
arccos⁡z=π2−arcsin⁡z=π2−(z+(12)z33+(1⋅32⋅4)z55+(1⋅3⋅52⋅4⋅6)z77+⋯)=π2−n=0∞((2n)!22n(n!)2)z2n+1(2n+1)|z|<1{displaystyle {begin{matrix}arccos z&=&{frac {pi }{2}}-arcsin z\&=&{frac {pi }{2}}-(z+left({frac {1}{2}}right){frac {z^{3}}{3}}+left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}}right){frac {z^{5}}{5}}+left({frac {1cdot 3cdot 5}{2cdot 4cdot 6}}right){frac {z^{7}}{7}}+cdots )\&=&{frac {pi }{2}}-sum _{n=0}^{infty }left({frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}right){frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}}end{matrix}},quad left|zright|<1}
arctan⁡z=z−z33+z55−z77+⋯=∑n=0∞(−1)nz2n+12n+1|z|<1{displaystyle {begin{matrix}arctan z&=&z-{frac {z^{3}}{3}}+{frac {z^{5}}{5}}-{frac {z^{7}}{7}}+cdots \&=&sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}end{matrix}},quad left|zright|<1}
arccos⁡z=arcsin⁡(z−1)=z−1+(12)z−33+(1⋅32⋅4)z−55+(1⋅3⋅52⋅4⋅6)z−77+⋯=∑n=0∞((2n)!22n(n!)2)z−(2n+1)2n+1|z|>1{displaystyle {begin{matrix}arccos z&=&arcsin left(z^{-1}right)\&=&z^{-1}+left({frac {1}{2}}right){frac {z^{-3}}{3}}+left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}}right){frac {z^{-5}}{5}}+left({frac {1cdot 3cdot 5}{2cdot 4cdot 6}}right){frac {z^{-7}}{7}}+cdots \&=&sum _{n=0}^{infty }left({frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}right){frac {z^{-(2n+1)}}{2n+1}}end{matrix}},quad left|zright|>1}
arcsec⁡z=arccos⁡(z−1)=π2−(z−1+(12)z−33+(1⋅32⋅4)z−55+(1⋅3⋅52⋅4⋅6)z−77+⋯)=π2−n=0∞((2n)!22n(n!)2)z−(2n+1)(2n+1)|z|>1{displaystyle {begin{matrix}operatorname {arcsec} z&=&arccos left(z^{-1}right)\&=&{frac {pi }{2}}-(z^{-1}+left({frac {1}{2}}right){frac {z^{-3}}{3}}+left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}}right){frac {z^{-5}}{5}}+left({frac {1cdot 3cdot 5}{2cdot 4cdot 6}}right){frac {z^{-7}}{7}}+cdots )\&=&{frac {pi }{2}}-sum _{n=0}^{infty }left({frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}right){frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}}end{matrix}},quad left|zright|>1}
arccot⁡z=π2−arctan⁡z=π2−(z−z33+z55−z77+⋯)=π2−n=0∞(−1)nz2n+12n+1|z|<1{displaystyle {begin{matrix}operatorname {arccot} z&=&{frac {pi }{2}}-arctan z\&=&{frac {pi }{2}}-(z-{frac {z^{3}}{3}}+{frac {z^{5}}{5}}-{frac {z^{7}}{7}}+cdots )\&=&{frac {pi }{2}}-sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}end{matrix}},quad left|zright|<1}

Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác.

arcsin⁡(x)=∫0x11−z2dz,|x|<1{displaystyle arcsin left(xright)=int _{0}^{x}{frac {1}{sqrt {1-z^{2}}}},mathrm {d} z,quad |x|<1}
arccos⁡(x)=∫x111−z2dz,|x|<1{displaystyle arccos left(xright)=int _{x}^{1}{frac {1}{sqrt {1-z^{2}}}},mathrm {d} z,quad |x|<1}
arctan⁡(x)=∫0x11+z2dz,∀x∈R{displaystyle arctan left(xright)=int _{0}^{x}{frac {1}{1+z^{2}}},mathrm {d} z,quad forall xin mathbb {R} }
arccot⁡(x)=∫x∞1z2+1dz,z>0{displaystyle operatorname {arccot} left(xright)=int _{x}^{infty }{frac {1}{z^{2}+1}},mathrm {d} z,quad z>0}
arcsec⁡(x)=∫x11|z|z2−1dz,x>1{displaystyle operatorname {arcsec} left(xright)=int _{x}^{1}{frac {1}{|z|{sqrt {z^{2}-1}}}},mathrm {d} z,quad x>1}
arccsc⁡(x)=∫x∞1|z|z2−1dz,x>1{displaystyle operatorname {arccsc} left(xright)=int _{x}^{infty }{frac {-1}{|z|{sqrt {z^{2}-1}}}},mathrm {d} z,quad x>1}

Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác nghịch đảo ra cho các biến

phức

:

arcsin⁡(z)=−ilog⁡(i(z+1−z2)){displaystyle arcsin(z)=-ilog left(ileft(z+{sqrt {1-z^{2}}}right)right)}
arccos⁡(z)=−ilog⁡(z+z2−1){displaystyle arccos(z)=-ilog left(z+{sqrt {z^{2}-1}}right)}
arctan⁡(z)=i2log⁡(1−iz1+iz){displaystyle arctan(z)={frac {i}{2}}log left({frac {1-iz}{1+iz}}right)}

Một số đẳng thức[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Xem thêm

Danh sách tích phân với hàm lượng giác

,

Danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược

sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y{displaystyle sin left(x+yright)=sin xcos y+cos xsin y}
sin⁡(x−y)=sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡y{displaystyle sin left(x-yright)=sin xcos y-cos xsin y}
cos⁡(x+y)=cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y{displaystyle cos left(x+yright)=cos xcos y-sin xsin y}
cos⁡(x−y)=cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y{displaystyle cos left(x-yright)=cos xcos y+sin xsin y}
sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡(x+y2)cos⁡(x−y2){displaystyle sin x+sin y=2sin left({frac {x+y}{2}}right)cos left({frac {x-y}{2}}right)}
sin⁡x−sin⁡y=2cos⁡(x+y2)sin⁡(x−y2){displaystyle sin x-sin y=2cos left({frac {x+y}{2}}right)sin left({frac {x-y}{2}}right)}
cos⁡x+cos⁡y=2cos⁡(x+y2)cos⁡(x−y2){displaystyle cos x+cos y=2cos left({frac {x+y}{2}}right)cos left({frac {x-y}{2}}right)}
cos⁡x−cos⁡y=−2sin⁡(x+y2)sin⁡(x−y2){displaystyle cos x-cos y=-2sin left({frac {x+y}{2}}right)sin left({frac {x-y}{2}}right)}
tan⁡x+tan⁡y=sin⁡(x+y)cos⁡xcos⁡y{displaystyle tan x+tan y={frac {sin left(x+yright)}{cos xcos y}}}
tan⁡x−tan⁡y=sin⁡(x−y)cos⁡xcos⁡y{displaystyle tan x-tan y={frac {sin left(x-yright)}{cos xcos y}}}
cot⁡x+cot⁡y=sin⁡(x+y)sin⁡xsin⁡y{displaystyle cot x+cot y={frac {sin left(x+yright)}{sin xsin y}}}
cot⁡x−cot⁡y=−sin⁡(x−y)sin⁡xsin⁡y{displaystyle cot x-cot y={frac {-sin left(x-yright)}{sin xsin y}}}

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Lượng giác

  • Hàm lượng giác

Chú thích[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Đẳng_thức_lượng_giác&oldid=64657330

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button