Kiến thức

Định lý cos – Wikipedia tiếng Việt

Định lý cos

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Hình 1 – Một tam giác với các góc α (hoặc A), β (hoặc B), γ (hoặc C) lần lượt đối diện với các cạnh a, b, c.

Trong

lượng giác

, định lý cos biểu diễn sự liên quan giữa

chiều dài

của các cạnh của một

tam giác

phẳng với

cosin

của

góc

tương ứng:

c2=a2+b2−2abcos⁡γ{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos gamma ,}

hoặc

c2=a2+b2−2abcos⁡C{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos C,}

Công thức trên cũng có thể được viết dưới dạng:

cos⁡C=a2+b2−c22ab{displaystyle cos C={frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}},}

Định lý cos khái quát

định lý Pytago

 : nếu γ là góc vuông thì cos γ = 0, và định lý cos trở thành

định lý Pytago

:

c2=a2+b2{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2},}

Định lý cos được dùng để tính cạnh thứ ba khi biết hai cạnh còn lại và góc giữa hai cạnh đó, hoặc tính các góc khi chỉ biết

chiều dài

ba cạnh của một

tam giác

.

Định lý cos được biểu diễn tương tự cho hai cạnh còn lại:

a2=b2+c2−2bccos⁡α{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos alpha ,}
b2=a2+c2−2accos⁡β{displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accos beta ,}

Hình 2 – Tam giác tù ABC với đường cao BH

Ứng dụng[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hình 3 – Ứng dụng của định lý cos: tìm cạnh chưa biết và góc chưa biết.

Định lý cos được dùng trong

phép đạc tam giác

để giải một

tam giác

hoặc một đường tròn. Ví dụ trong Hình 3, định lý cos được dùng để tìm:

  • cạnh thứ ba của một

    tam giác

    nếu đã biết hai cạnh còn lại và góc giữa chúng:

c=a2+b2−2abcos⁡γ;{displaystyle ,c={sqrt {a^{2}+b^{2}-2abcos gamma }},;}
  • ba góc nếu biết ba cạnh của

    tam giác

γ=arccos⁡(a2+b2−c22ab);{displaystyle ,gamma =arccos left({frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}right),;}
  • cạnh thứ ba nếu biết hai cạnh còn lại và góc đối diện một trong hai cạnh đó:
a=bcos⁡γ±c2−b2sin2⁡γ.{displaystyle ,a=bcos gamma pm {sqrt {c^{2}-b^{2}sin ^{2}gamma }},.}

Công thức thứ ba có được nhờ giải

phương trình bậc hai

a2 − 2ab cos γ + b2c2 = 0 với ẩn a. Phương trình này có hai nghiệm dương nếu b sin γ < c < b, một nghiệm dương nếu cb hoặc c = b sin γ, và vô nghiệm nếu c < b sin γ.

Xem thêm: Vận dụng tốt bột màu oxit sắt vô cơ trong sản xuất gốm sứ không nung-HỒNG HÀ PIGMENT

Chứng minh[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Sử dụng công thức tính khoảng cách[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Trong

hệ tọa độ Descartes

, cho

tam giác

ABC có ba cạnh a, b, cγ là góc đối diện cạnh c với tọa độ ba đỉnh lần lượt là

A=(bcos⁡γ, bsin⁡γ), B=(a, 0), C=(0, 0).{displaystyle A=(bcos gamma , bsin gamma ), B=(a, 0), C=(0, 0),.}

Sử dụng công thức tính khoảng cách, ta có

c=(a−bcos⁡γ)2+(0−bsin⁡γ)2.{displaystyle c={sqrt {(a-bcos gamma )^{2}+(0-bsin gamma )^{2}}},.}

do đó

c2=(a−bcos⁡γ)2+(−bsin⁡γ)2c2=a2−2abcos⁡γ+b2cos2⁡γ+b2sin2⁡γc2=a2+b2(sin2⁡γ+cos2⁡γ)−2abcos⁡γc2=a2+b2−2abcos⁡γ.{displaystyle {begin{aligned}c^{2}&{}=(a-bcos gamma )^{2}+(-bsin gamma )^{2}\c^{2}&{}=a^{2}-2abcos gamma +b^{2}cos ^{2}gamma +b^{2}sin ^{2}gamma \c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}(sin ^{2}gamma +cos ^{2}gamma )-2abcos gamma \c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}-2abcos gamma ,.end{aligned}}}

Công thức này sử dụng được cả trường hợp

tam giác

nhọn và

tam giác

tù.

Sử dụng công thức lượng giác[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hình 4 – Tam giác nhọn và đường cao

Hạ

đường cao

tương ứng với cạnh c như hình 4 ta có

c=acos⁡β+bcos⁡α.{displaystyle c=acos beta +bcos alpha ,.}

(Công thức trên vẫn đúng nếu α hoặc β là góc tù, khi đó đường cao nằm ngoài

tam giác

và cos α hoặc cos β mang dấu âm). Nhân hai vế với c ta được

c2=accos⁡β+bccos⁡α.{displaystyle c^{2}=accos beta +bccos alpha .,}

Tương tự ta có

a2=accos⁡β+abcos⁡γ,{displaystyle a^{2}=accos beta +abcos gamma ,,}
b2=bccos⁡α+abcos⁡γ.{displaystyle b^{2}=bccos alpha +abcos gamma .,}

Cộng vế theo vế hai phương trình sau ta có

a2+b2=accos⁡β+bccos⁡α+2abcos⁡γ.{displaystyle a^{2}+b^{2}=accos beta +bccos alpha +2abcos gamma .,}

Trừ vế theo vế phương trình đầu ta có

a2+b2−c2=−accos⁡βbccos⁡α+accos⁡β+bccos⁡α+2abcos⁡γ{displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=-accos beta -bccos alpha +accos beta +bccos alpha +2abcos gamma ,}

đơn giản còn

c2=a2+b2−2abcos⁡γ.{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos gamma .,}

Sử dụng định lý Pytago[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hình 5 – Tam giác tù ABC với đường cao BH

Trường hợp

tam giác

.

Euclid

chứng minh đinh lý bằng cách áp dụng

Định lý Pytago

cho hai

tam giác

vuông trong Hình 5. Đặt CH = dBH = h, trong

tam giác

AHB ta có

c2=(b+d)2+h2,{displaystyle c^{2}=(b+d)^{2}+h^{2},,}

và trong

tam giác

CHB ta có

d2+h2=a2.{displaystyle d^{2}+h^{2}=a^{2}.,}

Khai triển đa thức

phương trình đầu tiên:

c2=b2+2bd+d2+h2.{displaystyle c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}.,}

thế phương trình thứ hai vào:

c2=a2+b2+2bd.{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+2bd.,}

Đây là mệnh đề 12 của Euclid trong tập 2 của bộ

Cơ sở

.

[1]

Chú ý rằng

d=acos⁡γ)=−acos⁡γ.{displaystyle d=acos(pi -gamma )=-acos gamma .,}

Trường hợp

tam giác

nhọn. Được chứng minh trong mệnh đề 13 của Euclid ngay sau mệnh đề 12: ông áp dụng Định lý Pytago cho hai

tam giác

vuông có được bằng cách kẻ đường cao tương ứng với một trong hai cạnh kề góc γ và đơn giản bằng nhị thức.

Hình 6 – Chứng minh bằng lượng giác trong trường hợp tam giác nhọn

Cách khác trong trường hợp

tam giác

nhọn. Dựa vào Hình 6 ta có:

c2=(b−acos⁡γ)2+(asin⁡γ)2=b2−2abcos⁡γ+a2cos2⁡γ+a2sin2⁡γ=b2+a2−2abcos⁡γ,{displaystyle {begin{aligned}c^{2}&{}=(b-acos gamma )^{2}+(asin gamma )^{2}\&{}=b^{2}-2abcos gamma +a^{2}cos ^{2}gamma +a^{2}sin ^{2}gamma \&{}=b^{2}+a^{2}-2abcos gamma ,end{aligned}}}

với lưu ý rằng

cos2⁡γ+sin2⁡γ=1.{displaystyle cos ^{2}gamma +sin ^{2}gamma =1.,}

Cũng từ Hình 6 ta có:

tan⁡α=asin⁡γb−acos⁡γ{displaystyle tan alpha ={frac {asin gamma }{b-acos gamma }}}

Công thức này được dùng để tính một góc khi biết hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó.

Sử dụng định lý Ptolemy[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Chứng minh định lý cos bằng

định lý Ptolemy

Vẽ đường tròn ngoại tiếp

tam giác

ABC. Dựng

tam giác

ABD bằng

tam giác

ABC với AD = BCBD = AC. Hạ đường cao từ DC, cắt AB lần lượt tại EF. Ta có:

BF=AE=BCcos⁡B^=acos⁡B^ DC=EF=AB−2BF=c−2acos⁡B^.{displaystyle {begin{aligned}&BF=AE=BCcos {hat {B}}=acos {hat {B}}\Rightarrow &DC=EF=AB-2BF=c-2acos {hat {B}}.end{aligned}}}

Áp dụng

định lý Ptolemy

cho

tứ giác nội tiếp

ABCD:

AD×BC+AB×DC=AC×BD⇒ a2+c(c−2acos⁡B^)=b2⇒ a2+c2−2accos⁡B^=b2.{displaystyle {begin{aligned}&ADtimes BC+ABtimes DC=ACtimes BD\Rightarrow &a^{2}+c(c-2acos {hat {B}})=b^{2}\Rightarrow &a^{2}+c^{2}-2accos {hat {B}}=b^{2}.end{aligned}}}

Trong tam giác cân[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Trong

tam giác cân

, do a = b nsup> + b2 = 2a2 = 2ab}}:

c2=2a2(1−cos⁡γ).{displaystyle c^{2}=2a^{2}(1-cos gamma ).;}

hay

cos⁡γ=1−c22a2{displaystyle cos gamma =1-{frac {c^{2}}{2a^{2}}}}

Xem thêm: Dòng điện xoay chiều 12-Gói gọn 13 dạng bài tập thi THPT QG CCBOOK-ĐỌC LÀ ĐỖ

Sự tương đồng trong hình tứ diện[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho một tứ diện với α, β, γ, δ là diện tích bốn mặt của tứ diện đó. Ký hiệu các

góc nhị diện

βγ^,{displaystyle scriptstyle {{widehat {beta gamma }},}} và tương tự, ta có

[2]

α2=β2+γ2+δ2−2(βγcos⁡γ^)+γδcos⁡δ^)+δβcos⁡β^)).{displaystyle alpha ^{2}=beta ^{2}+gamma ^{2}+delta ^{2}-2left(beta gamma cos left({widehat {beta gamma }}right)+gamma delta cos left({widehat {gamma delta }}right)+delta beta cos left({widehat {delta beta }}right)right).,}

Định lý cos trong hình học phi Euclid[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Xem thêm: Tạo danh mục bảng biểu theo chương trong Word 2021

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Phép đạc tam giác

  • Định lý sin

  • Định lý tang

  • Định lý cotang

  • Công thức Mollweide

  • Công thức nửa cạnh

  • Đẳng thức lượng giác

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    Java applet version

    by Prof. D E Joyce of Clark University.

  2. ^

    Casey, John (1889). A Treatise on Spherical Trigonometry: And Its Application to Geodesy and Astronomy with Numerous Examples. London: Longmans, Green, & Company. tr. 133.

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Định_lý_cos&oldid=64172071

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button