Kiến thức

Định lý Viète – Wikipedia tiếng Việt

Định lý Viète

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Trong

toán học

, định lý Viète hay công thức Viète (có khi viết theo phiên âm

tiếng Việt

Vi-ét), do

nhà toán học

Pháp

François Viète

tìm ra, nêu lên mối quan hệ giữa các

nghiệm

của một

phương trình

đa thức

(trong

trường

số phức

) và các

hệ số

của nó.

Xem thêm: Khăn ướt Agi 80 miếng màu hồng

Phương trình bậc hai

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Trong trường hợp phương trình bậc hai, công thức Viète được ghi như sau:

Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình
ax2+bx+c=0,a≠0{displaystyle ax^{2}+bx+c=0,,aneq 0}
thì:{x1+x2=S=−b/ax1x2=P=ca{displaystyle {begin{cases}{x_{1}+x_{2}=S=-b/a}\{x_{1}x_{2}=P={frac {c}{a}}}\end{cases}}}

Phương trình đa thức bất kỳ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho phương trình:

a0+a1x+a2x2+…+anxn=0,an≠0{displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+…+a_{n}x^{n}=0,,a_{n}neq 0}

Cho x1, x2,…, xnn nghiệm của phương trình trên, thì:

a0+a1x+a2x2+…+anxn=a(x−x1)(x−x2)…(x−xn){displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+…+a_{n}x^{n}=a(x-x_{1})(x-x_{2})…(x-x_{n}),}

Nhân toàn bộ vế phải ra, chúng ta sẽ có công thức Viète, được phát biểu như sau:

{a=an−a(x1+x2+…+xn)=an−1…(−1)n−1a(x1x2…xn−1+x1x2…xn−2xn+…+x2x3…xn)=a1(−1)na(x1x2…xn)=a0{displaystyle {begin{cases}{a=a_{n}}\{-a(x_{1}+x_{2}+…+x_{n})=a_{n-1}}\{ldots }\{ldots }\{(-1)^{n-1}a(x_{1}x_{2}…x_{n-1}+x_{1}x_{2}…x_{n-2}x_{n}+…+x_{2}x_{3}…x_{n})=a_{1}}\{(-1)^{n}a(x_{1}x_{2}…x_{n})=a_{0}}\end{cases}}}
và trong hàng k bất kỳ, vế phải của đẳng thức là an−k{displaystyle a_{n-k},} còn vế trái được tính như sau:
  • (−1)ka{displaystyle (-1)^{k}a,}
nhân với
  • Tổng của: các tích từng cụm k các nghiệm của phương trình trên.

Ví dụ

phương trình bậc 3

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

– Nếu x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình

ax3+bx2+cx+d=0{displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,}

thì công thức Viète (sau khi chia đều hai bên cho a3 tức a, và chuyển dấu trừ nếu có qua vế phải) cho ta:

{x1+x2+x3=−b/ax1x2+x2x3+x3x1=c/ax1x2x3=−d/a{displaystyle {begin{cases}{x_{1}+x_{2}+x_{3}=-b/a}\{x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=c/a}\{x_{1}x_{2}x_{3}=-d/a}\end{cases}}}

Xem thêm: Bất đẳng thức lớp 10-Phân loại bài tập và cách giải đáp án-TÀI LIỆU RẺ

Áp dụng[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Trong trường hợp phương trình bậc hai, định lý Viète thường được dùng để tính nhẩm nghiệm

    số nguyên

    (nếu có) của phương trình.

    • Ví dụ: Có thể nhẩm tính phương trình:x2−5x+6=0{displaystyle x^{2}-5x+6=0} có hai nghiệm là 2 và 3 vì 2+3=5 và 2.{displaystyle .,}3 = 6.
  • Định lý Viète cho phương trình bậc 3 hay cao hơn thường ít thấy trong toán học nghiên cứu, nhưng ngược lại khá quen thuộc trong các kỳ thi Olympic toán học. Định lý Vi-ét được ứng dụng rất nhiều trong chương trình

    toán học

    học kỳ 2, lớp 9 tại

    Việt Nam

    .

  • Áp dụng trong phương trình bậc hai ax2+bx+c=0,a≠0{displaystyle ax^{2}+bx+c=0,,aneq 0}
    • Khi có tổng và tích của hai nghiệm {x1+x2=S=−b/ax1x2=P=ca{displaystyle {begin{cases}{x_{1}+x_{2}=S=-b/a}\{x_{1}x_{2}=P={frac {c}{a}}}\end{cases}}} với S2−4P≥0{displaystyle S^{2}-4Pgeq 0}
      • Khi đó x1,x2{displaystyle x_{1},x_{2}} là nghiệm của phương trình X2−SX+P=0{displaystyle X^{2}-SX+P=0}
      • Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1x2<0⇔{displaystyle Leftrightarrow x_{1}x_{2}<0Leftrightarrow } P<0{displaystyle P<0} hoặc tích của ac<0{displaystyle ac<0} (tức a{displaystyle a}c{displaystyle c} trái dấu nhau)
      • Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 0<x1<x2⇔>0S>0P>0{displaystyle Leftrightarrow 0<x_{1}<x_{2}Leftrightarrow {begin{cases}{Delta >0}\{S>0}\{P>0}\end{cases}}}
      • Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt x1<x2<0⇔>0S<0P>0{displaystyle Leftrightarrow x_{1}<x_{2}<0Leftrightarrow {begin{cases}{Delta >0}\{S<0}\{P>0}\end{cases}}}
      • Phương trình có đúng một nghiệm dương x0{displaystyle x_{0}} 0<x0⇔=0x0+x0=S>0x0x0=P>0{displaystyle Leftrightarrow 0<x_{0}Leftrightarrow {begin{cases}{Delta =0}\{x_{0}+x_{0}=S>0}\{x_{0}x_{0}=P>0}\end{cases}}}
      • Phương trình có đúng một nghiệm âm x0{displaystyle x_{0}} 0<x0⇔=0x0+x0=S<0x0x0=P>0{displaystyle Leftrightarrow 0<x_{0}Leftrightarrow {begin{cases}{Delta =0}\{x_{0}+x_{0}=S<0}\{x_{0}x_{0}=P>0}\end{cases}}}
    • Nhẩm nghiệm nhanh chóng
      • Khi a+b+c=0{displaystyle a+b+c=0} thì phương trình bậc hai có hai nghiệm là x1=1{displaystyle x_{1}=1}x2=c/a{displaystyle x_{2}=c/a}
      • Khi a−b+c=0{displaystyle a-b+c=0} thì phương trình bậc hai có hai nghiệm là x1=−1{displaystyle x_{1}=-1}x2=−c/a{displaystyle x_{2}=-c/a}
    • Phân tích đa thức thành nhân tử
      • Nếu hàm số f(x)=ax2+bx+c{displaystyle f(x)={displaystyle ax^{2}+bx+c}} có 2 nghiệm x1{displaystyle x_{1}}x2{displaystyle x_{2}} thì nó có thể phân tích thành nhân tử f(x)=a(x−x1)(x−x2){displaystyle f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})}
      • Nếu hàm số f(x)=ax2+bx+c{displaystyle f(x)={displaystyle ax^{2}+bx+c}} chỉ có 1 nghiệm x0{displaystyle x_{0}} thì nó có thể phân tích thành nhân tử f(x)=a(x−x0)2{displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}}
  • Áp dụng trong phương trình bậc ba ax3+bx2+cx+d=0{displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}:
    • Nhẩm nghiệm nhanh:
      • Khi a+b+c+d=0{displaystyle a+b+c+d=0} thì phương trình bậc ba có một nghiệm x1=1{displaystyle x_{1}=1}
      • Khi a−b+c−d=0{displaystyle a-b+c-d=0} thì phương trình bậc ba có một nghiệm x1=−1{displaystyle x_{1}=-1}

Xem thêm: Luận Văn Thạc Sĩ-Dạy Học Giải Toán Về Phương Trình Đường Thẳng, Đường Tròn Trong Mặt Phẳng Cho Học Sinh Cuối Cấp THPT

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Hệ phương trình bậc nhất

  • Phương trình tuyến tính

  • Phương trình Diophantine

  • Phương trình bậc ba

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Định_lý_Viète&oldid=64992796

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button