Kiến thức

Ước số chung lớn nhất – Wikipedia tiếng Việt

Ước số chung lớn nhất

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Trong

toán học

, ước số chung lớn nhất (ƯSCLN) hay ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều

số nguyên

là số nguyên lớn nhất trong tập hợp ước chung của các

của các số đó. Ví dụ, ước chung lớn nhất của 6 và 15 là 3 vì 6:3=2{displaystyle 6:3=2}15:3=5{displaystyle 15:3=5}.

Trong

tiếng Anh

, ước chung lớn nhất gọi là greatest common divisor (gcd), greatest common factor (gcf),

[1]

highest common factor (hcf),

[2]

greatest common measure (gcm),

[3]

hay highest common divisor.

[4]

Trong trường hợp tất cả số nguyên đều bằng 0 thì chúng không có ƯCLN vì khi đó mọi số tự nhiên khác không đều là ước chung của các số đó. Nếu trong các số đó có ít nhất một số bằng 0 và ít nhất một số khác 0 thì ƯCLN của chúng bằng ƯCLN của các số khác 0.

Xem thêm: Phenol là gì? Tính chất, điều chế, công dụng và lưu ý khi sử dụng hóa chất này

Tổng quan[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Ký hiệu[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Ước chung lớn nhất của a0, a1, a2,… an được ký hiệu là ƯCLN(a0, a1, a2,… an),

Ví dụ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Tìm ước chung lớn nhất của 27 và 45?

Ta có:

  • Các ước của 27 là 1,3,9,27{displaystyle 1,3,9,27}.
  • Các ước của 45 là 1,3,5,9,15,45{displaystyle 1,3,5,9,15,45}.

Những số nằm trong cả hai danh sách được gọi là những ước chung của 27 và 45:

1,3,9{displaystyle 1,3,9}

Trong đó số lớn nhất là 9. Vậy 9 là ước chung lớn nhất của 27 và 45. Viết UCLN(27,45)=9

[5]

Số nguyên tố cùng nhau[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Các số được gọi là

số nguyên tố cùng nhau

nếu ước chung lớn nhất của chúng bằng 1. Chẳng hạn, 9 và 28 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ước chung lớn nhất được sử dụng để đưa một phân số về dạng

phân số tối giản

. Chẳng hạn, ƯCLN(42, 56)=14, do đó,

4256=3⋅144⋅14=34.{displaystyle {42 over 56}={3cdot 14 over 4cdot 14}={3 over 4}.}

Các tính chất[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Mọi ước chung của các số là ước của ƯCLN của các só đó.
  • Với các số nguyên a0, a1, a2,… an, ƯCLN(a0, a1, a2,… an) có thể được định nghĩa tương đương như số nguyên dương d nhỏ nhất có dạng d = k=0nakxk{displaystyle sum _{k=0}^{n}a_{k}x_{k}} trong đó xk là các số nguyên. Định lý này được gọi là

    đẳng thức Bézout

    . Các số xk có thể tính nhờ

    Giải thuật Euclid mở rộng

    .

  • ƯCLN(a, 0) =|a|, với mọi a ≠ 0, vì mọi số khác 0 bất kỳ là ước của 0, và ước lớn nhất của a là|a|. Đây là trường hợp cơ sở trong thuật toán Euclid.
  • Nếu a là ước của tích b·c, và ƯCLN(ab) = d, thì a/d là ước của c.
  • Nếu m là số nguyên dương, thì ƯCLN(m·a0m·a1, m·a2,…m·an) = m·ƯCLN(a0, a1, a2,… an).
  • Nếu m là số nguyên bất kỳ, thì ƯCLN(a + m·bb) = ƯCLN(ab). Nếu m ước chung (khác 0) của ab, thì UCLN(a/mb/m) = ƯCLN(ab)/m.
  • ƯCLN là một

    hàm có tính nhân

    theo nghĩa sau: nếu các số a1, a2,…,an là các số nguyên tố cùng nhau, thì ƯCLN(a1·a2·…anb) = ƯCLN(a1b)·ƯCLN (a2b)·…ƯCLN (anb).

  • ƯCLN là hàm

    giao hoán

    : ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, a).

  • ƯCLN là hàm

    kết hợp

    : ƯCLN(a,b,c)= ƯCLN(a, ƯCLN(b, c)) = ƯCLN(ƯCLN(a, b), c).

  • ƯCLN (ab) quan hệ chặt chẽ với BCNN(ab): ta có
ƯCLN(ab)·BCNN(ab) = a·b.
Công thức này thường được dùng để tính BCNN của 2 số. Dạng khác của mối quan hệ này là tính chất phân phối:
BCNN(a, ƯCLN(a0, a1, a2,… an)) = ƯCLN(BCNN(a, a0), BCNN(a, a1), BCNN(a,a2),…,BCNN(a,an)).
  • Nếu sử dụng định nghĩa ƯCLN(0, 0) = 0 và BCNN(0, 0) = 0 thì khi đó tập các số tự nhiên trở thành một

    dàn đầy đủ

    phân phối

    với ƯCLN.

  • Trong

    Hệ tọa độ Descartes

    , ƯCLN(ab) biểu diễn số các điểm với tọa độ nguyên trên đoạn thẳng nối các điểm (0, 0) và (ab), trừ chính điểm (0, 0).

Xem thêm: Giải Bài Tập Hóa Học 10-Bài 22: Hóa trị và số oxi hóa (Nâng Cao)

Tính toán[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

ƯCLN của 2 hay nhiều số có thể tìm được bằng cách phân tích các số đó ra thừa số nguyên tố, chọn các thừa số nguyên tố chung của tất cả các số đó. Khi đó ƯCLN cần tìm là tích của các thừa số sau khi nâng lũy thừa bậc nhỏ nhất của mỗi thừa số.

VD: Để tìm ƯCLN(18,84), ta phân tích 18 = 2·32 và 84 = 22·3·7 và nhận xét rằng các thừa số chung với số mũ dương nhỏ nhất của hai số này là 2·3; do đó ƯCLN(18,84) = 6.

Nếu không có thừa số nguyên tố chung nào thì xem như ƯCLN của các số đó là 1 và các số đó được gọi là các số nguyên tố cùng nhau.

VD: 10 = 2·5 và 9=32 không có thừa số nguyên tố nào chung nên 9 và 10 là 2 số nguyên tố cùng nhau và ƯCLN(9,10) = 1

Trên thực tế phương pháp này chỉ dùng cho các số nhỏ. Việc phân tích các số lớn ra thừa số nguyên tố mất rất nhiều thời gian.

Để tìm ưcln của 2 số tự nhiên thì phương pháp hiệu quả là

giải thuật Euclid

dựa trên dãy liên tiếp các phép chia có dư.

Nếu ab là các số khác không, thì ước chung lớn nhất của ab có thể tính qua

bội chung nhỏ nhất

(BCNN) của ab:

UCLN(a,b)=a⋅bBCNN(a,b){displaystyle UCLN(a,b)={frac {acdot b}{BCNN(a,b)}}}

Chú thích[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    Kelley, W. Michael (2004),

    The Complete Idiot’s Guide to Algebra

    , Penguin, tr. 142,

    ISBN

     

    9781592571611

    .

  2. ^

    Jones, Allyn (1999),

    Whole Numbers, Decimals, Percentages and Fractions Year 7

    , Pascal Press, tr. 16,

    ISBN

     

    9781864413786

    .

  3. ^

    Barlow, Peter

    ;

    Peacock, George

    ;

    Lardner, Dionysius

    ;

    Airy, Sir George Biddell

    ;

    Hamilton, H. P.

    ; Levy, A.;

    De Morgan, Augustus

    ; Mosley, Henry (1847),

    Encyclopaedia of Pure Mathematics

    , R. Griffin and Co., tr. 589.

  4. ^

    Hardy & Wright (1979

    , tr. 20)Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFHardyWright1979 (

    trợ giúp

    )

  5. ^

    Ước chung lớn nhất có thể bằng 1(trang trừng hợp là snt cùng nhau)

Xem thêm: Bài Tập Quy Tắc Bàn Tay Phải Lớp 11, Quy Tắc Nắm Tay Phải Và Bàn Tay Trái

Đọc thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Donald Knuth

    . The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms, Third Edition. Addison-Wesley, 1997.

    ISBN 0-201-89684-2

    . Section 4.5.2: The Greatest Common Divisor, pp. 333–356.

  • Thomas H. Cormen

    ,

    Charles E. Leiserson

    ,

    Ronald L. Rivest

    , and

    Clifford Stein

    .

    Introduction to Algorithms

    , Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001.

    ISBN 0-262-03293-7

    . Section 31.2: Greatest common divisor, pp. 856–862.

  • Saunders MacLane

    Garrett Birkhoff

    . A Survey of Modern Algebra, Fourth Edition. MacMillan Publishing Co., 1977.

    ISBN 0-02-310070-2

    . 1-7: “The Euclidean Algorithm.”

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • GCD Implementation in C++

  • greatest common divisor tại Everything2.com

  • Greatest Common Measure: The Last 2500 Years

    , by

    Alexander Stepanov

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Ước_số_chung_lớn_nhất&oldid=64795580

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button