Kiến thức

Bội số chung nhỏ nhất – Wikipedia tiếng Việt

Bội số chung nhỏ nhất

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Trong

số học

, bội số chung nhỏ nhất (hay còn gọi tắt là bội chung nhỏ nhất,được viết tắt là BCNN, tiếng Anh: least common multiple hoặc lowest common multiple (LCM) hoặc smallest common multiple) của hai số nguyên a và b là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cả ab.

[1]

Tức là nó có thể chia cho ab mà không để lại

số dư

. Nếu a hoặc b là 0, thì không tồn tại số nguyên dương chia hết cho a và b, khi đó quy ước rằng LCM(a, b) là 0.

Định nghĩa trên đôi khi được tổng quát hoá cho nhiều số nguyên dương: Bội chung nhỏ nhất của a1,…, an là số nguyên dương nhỏ nhất là bội số của a1,…, an.

Ký hiệu[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Bội số chung nhỏ nhất của hai số a và b được ký hiệu là [a,b], BCNN(a,b) hoặc LCM(a,b).

Ký hiệu tương tự cho bội số chung nhỏ nhất của a1,…, an.

Xem thêm: Danh sách các trường đại học , cao đẳng tại Đà Nẵng

Ví dụ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Bội của 4 là:

0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40

(thêm 4 để được bội số tiếp theo).

Bội của 6 là:

0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66,…

(thêm 6 để được bội số tiếp theo).

Bội chung của 4 và 6 là các số cùng xuất hiện trong hai dãy trên (không tính số 0):

12, 24, 36, 48,…

Vậy bội chung nhỏ nhất của 4 và 6 là 12

Ứng dụng[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Khi cộng, trừ hoặc so sánh các

phân số

, nó đặc biệt có ích khi tìm bội số chung của mẫu số, thường gọi là

mẫu số chung nhỏ nhất

(hay

mẫu chung nhỏ nhất

).

221+16=442+742=1142,{displaystyle {2 over 21}+{1 over 6}={4 over 42}+{7 over 42}={11 over 42},}

mẫu số 42 được sử dụng bởi vì nó là bội chung nhỏ nhất của 21 và 6.

Xem thêm: Cho tam giác ABC vuông tại A. Theo định lý Pitago ta có:

Tính bội số chung nhỏ nhất[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Tính qua

ước số chung lớn nhất

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Công thức dưới đây chuyển từ việc tính bội số chung nhỏ nhất sang tính

ước số chung lớn nhất

(GCD):

BCNN⁡(a,b)=|a⋅b|UCLN⁡(a,b).{displaystyle operatorname {BCNN} (a,b)={frac {|acdot b|}{operatorname {UCLN} (a,b)}}.}

Có một

thuật toán

nhanh để tìm GCD mà không yêu cầu

phân tích ra thừa số nguyên tố

, đó là

thuật toán Euclid

. Ví dụ:

BCNN⁡(21,6)=21⋅6UCLN⁡(21,6)=21⋅63=1263=42.{displaystyle operatorname {BCNN} (21,6)={21cdot 6 over operatorname {UCLN} (21,6)}={21cdot 6 over 3}={126 over 3}=42.}

Bởi GCD(a, b) là ước số của cả ab, nên sẽ thuật lợi hơn nếu tính LCM bằng cách chia trước khi nhân:

BCNN⁡(a,b)=(|a|UCLN⁡(a,b))⋅|b|=(|b|UCLN⁡(a,b))⋅|a|.qn{displaystyle operatorname {BCNN} (a,b)=left({|a| over operatorname {UCLN} (a,b)}right)cdot |b|=left({|b| over operatorname {UCLN} (a,b)}right)cdot |a|.qn}

Điều này làm giảm kích thước đầu vào, giảm bộ nhớ cho các giá trị trung gian

Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Định lý cơ bản của số học

nói rằng mọi số nguyên dương lớn hơn 1 có thể biểu diễn một cách duy nhất dạng tích các

số nguyên tố

(nếu không kể đến thứ tự của các thừa số). Như vậy các hợp số có thể coi như là các nguyên tố cấu thành

hợp số

.

Ví dụ:

90=21⋅32⋅51=2⋅3⋅3⋅5.{displaystyle 90=2^{1}cdot 3^{2}cdot 5^{1}=2cdot 3cdot 3cdot 5.,!}

Ở đây chúng ta có hợp số 90 tạo thành bởi một nguyên tử 2, hai nguyên tử 3 và một nguyên tử 5.

Kiến thức này có thể giúp chúng ta tìm BCNN của một tập hợp các số.

Ví dụ: Tìm giá trị của BCNN(8,9,21).

Đầu tiên, ta phân tích từng số thành dạng tích lũy thừa các số nguyên tố.

8=23{displaystyle 8;,;,=2^{3}}
9=32{displaystyle 9;,;,=3^{2}}
21=3⋅7{displaystyle 21;,=3cdot 7}

Với mỗi số nguyên tố, chọn lũy thừa cao nhất, tích của chúng cho ta giá trị BCNN cần tìm. bốn thừa số nguyên tố 2, 3, 5 và 7, có bậc cao nhất lần lượt là 23, 32, 50, và 71. Do đó,

BCNN⁡(8,9,21)=23⋅32⋅50⋅71=8⋅9⋅1⋅7=504.{displaystyle operatorname {BCNN} (8,9,21)=2^{3}cdot 3^{2}cdot 5^{0}cdot 7^{1}=8cdot 9cdot 1cdot 7=504.,!}

Thuật toán không thực sự hiệu quả bằng cách rút từ ước chung lớn nhất, bởi chưa có thuật toán hiệu quả để

phân tích số nguyên

, nhưng nó hiệu quả trong việc minh họa khái niệm.

Tính chất[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Với ký hiệu BCNN⁡(a;b)=[a;b]{displaystyle operatorname {BCNN} (a;b)=[a;b]}UCLN⁡(a;b)=(a;b){displaystyle operatorname {UCLN} (a;b)=(a;b)}, ta có
  • Tính chất giao hoán: [a,b]=[b,a]{displaystyle [a,b]=[b,a]}
  • Tính chất kết hợp: [a,[b,c]]=[[a,b],c]{displaystyle [a,[b,c]]=[[a,b],c]}
  • Mối quan hệ với ước chung lớn nhất:
    [a,b]=a⋅b(a,b).{displaystyle [a,b]={frac {acdot b}{(a,b)}}.}
  • Trong trường hợp a{displaystyle a}b{displaystyle b}

    nguyên tố cùng nhau

    , thì: [a,b]=a⋅b.{displaystyle [a,b]=acdot b.}

  • Tính LCM của nhiều số thông qua cách tính LCM của hai số:
    • [a,b,c]=[[a,b],c];{displaystyle [a,b,c]=[[a,b],c];}
    • [a1,a2,…,an]=[[a1,a2,…,an−1],an].{displaystyle [a_{1},a_{2},ldots ,a_{n}]=[[a_{1},a_{2},ldots ,a_{n-1}],a_{n}].}
  • Với k=[a1,a2,…,an]{displaystyle k=[a_{1},a_{2},ldots ,a_{n}]} thì BC⁡(a1,a2,…,an)=B⁡(k){displaystyle operatorname {BC} (a_{1},a_{2},ldots ,a_{n})=operatorname {B} (k)}

Xem thêm: Hàm sin trong excel giúp việc tính toán dễ dàng hơn-Alltopvn

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Ước số chung lớn nhất

  • Giản ước dị thường

  • Hàm Chebyshev

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    Hardy & Wright, § 5.1, p. 48

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Online LCM calculator

  • Online lcm calculator

  • Online LCM calculator

  • Online LCM and GCD calculator – displays also fractions of given numbers

  • Algorithm for Computing the LCM

  • Least Common Multiple from Wolfram MathWorld

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Bội_số_chung_nhỏ_nhất&oldid=64764620

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button