Kiến thức

Công thức Euler – Wikipedia tiếng Việt

Công thức Euler

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Công thức Euler.

Công thức Euler là một

công thức

toán học

trong ngành

giải tích phức

, được xây dựng bởi

nhà toán học

người

Thụy Sĩ

Leonhard Euler

. Công thức chỉ ra mối liên hệ giữa

hàm số lượng giác

hàm số mũ phức

.

Cụ thể, với mọi số thực x, ta có:

eix=cos⁡(x)+isin⁡(x) {displaystyle e^{ix}=cos(x)+isin(x) }

Ở đây

e

cơ số

logarit tự nhiên

,

i

là đơn vị của

số phức

,:sin⁡x {displaystyle sin x } và:cos⁡x {displaystyle cos x } là các

hàm số lượng giác

.

Khai triển từ công thức trên, các hàm số:cos⁡x {displaystyle cos x } và:sin⁡x {displaystyle sin x } có thể được viết dưới dạng sau:

cos⁡(x)=(1/2)(eix+e−ix) {displaystyle cos(x)=(1/2)(e^{ix}+e^{-ix}) }
sin⁡(x)=(1/2i)(eix−e−ix) {displaystyle sin(x)=(1/2i)(e^{ix}-e^{-ix}) }

Trường hợp đặc biệt: khi:x=π {displaystyle x=pi }, ta có:eiπ=cos⁡)+isin⁡)=−1 {displaystyle e^{ipi }=cos(pi )+isin(pi )=-1 }, từ đó dẫn đến

công thức rút gọn nổi tiếng

:

eiπ+1=0 {displaystyle e^{ipi }+1=0 }

Chứng minh[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Bằng cách sử dụng chuỗi Taylor[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Sau đây là một cách chứng minh công thức Euler bằng cách sử dụng khai triển

chuỗi Taylor

cũng như các tính chất cơ bản về lũy thừa của số i:

i0=1{displaystyle i^{0}=1,}
i1=i{displaystyle i^{1}=i,}
i2=−1{displaystyle i^{2}=-1,}
i3=−i{displaystyle i^{3}=-i,}
i4=1{displaystyle i^{4}=1,}
i5=i{displaystyle i^{5}=i,}

{displaystyle vdots }

Các hàm ex, cos(x) và sin(x) (với giả sử x

số thực

) có thể được viết như sau:

ex=1+x+x22!+x33!+⋯{displaystyle e^{x}=1+x+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{3}}{3!}}+cdots }
cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+⋯{displaystyle cos x=1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-{frac {x^{6}}{6!}}+cdots }
sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+⋯{displaystyle sin x=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-{frac {x^{7}}{7!}}+cdots }

Do

bán kính hội tụ

của mỗi chuỗi nêu trên là vô hạn, chúng ta có thể thay thế x bởi iz, với z là số phức. Khi đó:

eiz=1+iz+(iz)22!+(iz)33!+(iz)44!+(iz)55!+(iz)66!+(iz)77!+(iz)88!+⋯{displaystyle e^{iz}=1+iz+{frac {(iz)^{2}}{2!}}+{frac {(iz)^{3}}{3!}}+{frac {(iz)^{4}}{4!}}+{frac {(iz)^{5}}{5!}}+{frac {(iz)^{6}}{6!}}+{frac {(iz)^{7}}{7!}}+{frac {(iz)^{8}}{8!}}+cdots }
=1+iz−z22!−iz33!+z44!+iz55!−z66!−iz77!+z88!+⋯{displaystyle =1+iz-{frac {z^{2}}{2!}}-{frac {iz^{3}}{3!}}+{frac {z^{4}}{4!}}+{frac {iz^{5}}{5!}}-{frac {z^{6}}{6!}}-{frac {iz^{7}}{7!}}+{frac {z^{8}}{8!}}+cdots }
=(1−z22!+z44!−z66!+z88!−)+i(z−z33!+z55!−z77!+⋯){displaystyle =left(1-{frac {z^{2}}{2!}}+{frac {z^{4}}{4!}}-{frac {z^{6}}{6!}}+{frac {z^{8}}{8!}}-cdots right)+ileft(z-{frac {z^{3}}{3!}}+{frac {z^{5}}{5!}}-{frac {z^{7}}{7!}}+cdots right)}
=cos⁡(z)+isin⁡(z){displaystyle =cos(z)+isin(z),}

Việc sắp xếp lại các số hạng là thích hợp do mỗi chuỗi đều là chuỗi

hội tụ tuyệt đối

. Lấy z = x là một số thực sẽ dẫn đến đẳng thức nguyên thủy mà Euler đã khám phá ra.

Bằng cách sử dụng phép tính vi tích phân[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Xét hàm số f{displaystyle f} xác định bởi: f(x)=eixcos⁡x+isin⁡x{displaystyle f(x)={frac {e^{ix}}{cos x+isin x}}}

Ta sẽ chứng minh rằng cos⁡x+isin⁡x{displaystyle cos {x}+isin {x},} khác 0 với mọi x

Thật vậy; giả sử cos⁡x+isin⁡x=0{displaystyle cos {x}+isin {x}=0,} thì cos⁡x=−isin⁡x{displaystyle cos {x}=-isin {x},}; do đó cos2⁡x=−sin2⁡x{displaystyle cos ^{2}{x}=-sin ^{2}{x},}; vậy cos2⁡x+sin2⁡x=0{displaystyle cos ^{2}{x}+sin ^{2}{x}=0,} (vô lý)

Do đó mẫu của:f {displaystyle f } khác 0

Bây giờ tính đạo hàm của:f {displaystyle f } theo quy tắc chia; dễ thấy f′(x)=0∀x{displaystyle f'(x)=0forall x}

Vì vậy:f {displaystyle f } phải là hàm hằng; có nghĩa là với mọi:y {displaystyle y } thì

f(x)=f(y) {displaystyle f(x)=f(y) }

Bây giờ cho:y=0 {displaystyle y=0 } ta thấy:f(0)=1 {displaystyle f(0)=1 }; do đó:f(x)=1∀x{displaystyle f(x)=1forall x}

vậy eix=cos⁡x+isin⁡x∀x{displaystyle e^{ix}=cos x+isin xforall x}

Bằng cách sử dụng phương trình vi phân thường[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Xét hàm số f(x){displaystyle f(x)} xác định bởi

f(x)≡eix. {displaystyle f(x)equiv e^{ix}. }

Chú ý rằng i{displaystyle i} là hằng số, đạo hàm bậc nhất và bậc hai của f(x){displaystyle f(x)} sẽ là

f′(x)=ieix {displaystyle f'(x)=ie^{ix} }
f″(x)=i2eix=−eix {displaystyle f”(x)=i^{2}e^{ix}=-e^{ix} }

do i2=−1{displaystyle i^{2}=-1} theo định nghĩa. Từ đó chúng ta xây dựng

phương trình vi phân thường

tuyến tính

có bậc 2 như sau:

f″(x)=−f(x) {displaystyle f”(x)=-f(x) }

hay

f″(x)+f(x)=0. {displaystyle f”(x)+f(x)=0. }

Đây là một phương trình vi phân thường bậc 2, do đó nó sẽ có hai nghiệm

độc lập tuyến tính

là:

f1(x)=cos⁡(x) {displaystyle f_{1}(x)=cos(x) }
f2(x)=sin⁡(x). {displaystyle f_{2}(x)=sin(x). }

Cả cos⁡(x){displaystyle cos(x)}sin⁡(x){displaystyle sin(x)} đều là các hàm số thực có đạo hàm bậc hai đồng nhất với giá trị âm của chính nó. Ngoài ra, bất kỳ một

tổ hợp tuyến tính

nào của các nghiệm của một phương trình vi phân

thuần nhất

cũng sẽ lại là một nghiệm của nó. Do vậy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã nêu là

f(x){displaystyle f(x),} =Af1(x)+Bf2(x) {displaystyle =Af_{1}(x)+Bf_{2}(x) }
=Acos⁡(x)+Bsin⁡(x) {displaystyle =Acos(x)+Bsin(x) }

với mọi hằng số A{displaystyle A}B.{displaystyle B.} Tuy nhiên, không phải mọi giá trị của các hằng số này đều thỏa mãn

điều kiện ban đầu

của hàm f(x){displaystyle f(x)}:

f(0)=ei0=1 {displaystyle f(0)=e^{i0}=1 }
f′(0)=iei0=i {displaystyle f'(0)=ie^{i0}=i }.

Các điều kiện ban đầu giống nhau này (áp dụng cho nghiệm tổng quát) sẽ dẫn đến kết quả sau

f(0)=Acos⁡(0)+Bsin⁡(0)=A {displaystyle f(0)=Acos(0)+Bsin(0)=A }
f′(0)=−Asin⁡(0)+Bcos⁡(0)=B {displaystyle f'(0)=-Asin(0)+Bcos(0)=B }

Từ đó cho

f(0)=A=1 {displaystyle f(0)=A=1 }
f′(0)=B=i {displaystyle f'(0)=B=i }

và sau cùng là

f(x)≡eix=cos⁡(x)+isin⁡(x). {displaystyle f(x)equiv e^{ix}=cos(x)+isin(x). }

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Đơn vị ảo

  • Hàm mũ phức

Các chủ đề chính trong

toán học

Nền tảng toán học

|

Đại số

|

Giải tích

|

Hình học

|

Lý thuyết số

|

Toán học rời rạc

|

Toán học ứng dụng

|

Toán học giải trí

|

Toán học tô pô

|

Xác suất thống kê

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Công_thức_Euler&oldid=63847881

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button