Kiến thức

Chia hết – Wikipedia tiếng Việt

Chia hết

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Trong

lý thuyết số

, chia hết là một

quan hệ hai ngôi

trên tập các số nguyên. Quan hệ này cũng có thể mở rộng cho các phần tử trên một vành. Quan hệ chia hết gắn liền với nhiều khái niệm quan trọng trong

lý thuyết số

như

số nguyên tố

,

hợp số

,

định lý cơ bản của số học

Quan hệ chia hết trên tập số nguyên[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho hai số nguyên a, b. Nếu tồn tại số nguyên q sao cho a=b.q thì ta nói rằng a chia hết cho b (ký hiệu a ⋮ b{displaystyle a~vdots ~b}), hay b chia hết a (ký hiệu b∣a{displaystyle bmid a}). Khi đó người ta cũng gọi abội số (hay đơn giản là bội) của b, còn bước số (hay đơn giản là ước) của a.

Ví dụ: 15 = 3.5, nên 15 chia hết cho 3, 3 chia hết 15, 15 là bội của 3, 3 là ước của 15.
Đặc biệt, số

0

chia hết cho mọi số khác không, mọi số nguyên đều chia hết cho

1

, mỗi số nguyên khác

0

chia hết cho chính nó. Chính từ đó, mọi

số nguyên

khác

1

có ít nhất hai ước là

1

và chính nó. Nếu số nguyên b|a thì số đối của nó -b cũng là ước của a. Do đó trong nhiều trường hợp, nếu n là số tự nhiên, người ta chỉ quan tâm tới các ước tự nhiên của n. Một số tự nhiên khác 1, có đúng hai ước tự nhiên là 1 và chính nó được gọi là

số nguyên tố

.

Các số tự nhiên lớn hơn 1, không là số nguyên tố được gọi là

hợp số

.

Một ước số của n được gọi là không tầm thường nếu nó khác 1, -1, n, -n.

Số nguyên tố

thì không có ước số không tầm thường. 1, -1, n, -n là các ước tầm thường của n.

Xem thêm: Cách giảm rụng tóc trong thời gian hóa trị ung thư

Định lý về phép chia có dư[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho a, b là hai

số nguyên

(b khác

0

), khi đó tồn tại duy nhất hai số nguyên q, r sao cho a= bq+r với 0 ≤ r <|b|. Ta có a là số bị chia, b là số chia, q là thương số và r là

số dư

. Khi chia a cho b có thể có

số dư

là 0; 1; 2;…; |b|-1. (Ký hiệu |b| là

giá trị tuyệt đối

của b.)

Đặc biệt nếu r = 0 thì a = bq, khi đó a chia hết cho b.

Tính chất[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

a) Nếu b|a và c|b thì c|a.

b) Nếu c|a, b|a và ƯCLN(b, c)=1 thì bc|a.

c) Nếu c|ab và ƯCLN(b,c)=1 thì c|a.

d) Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n (n≥1).

Chứng minh: Lấy n số nguyên liên tiếp chia cho n thì được n

số dư

khác nhau từng đôi một. Trong đó có duy nhất một

số dư

bằng 0, tức là có duy nhất một số chia hết cho n.

e) Nếu m|a và m|b thì m|(a+b) và m|(a-b).

Chứng minh: Vì m|a nên a=m×n1, vì m|b nên b=m×n2 (n1, n2 là các số nguyên). Vậy a+b=m×(n1+n2) mà (n1+n2) là số nguyên nên m|(a+b).

Xem thêm: Đòn bẩy là gì trong giao dịch Forex? Hướng dẫn toàn tập

Định lý cơ bản của số học[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Định lý cơ bản của số học (hay định lý về sự phân tích duy nhất ra các thừa số nguyên tố) phát biểu như sau: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 có thể viết một cách duy nhất (không kể sự sai khác về thứ tự các thừa số) thành tích các thừa số nguyên tố, chẳng hạn

6936=23×172,{displaystyle 6936=2^{3}times 3times 17^{2},,!}
1200=24×52.{displaystyle 1200=2^{4}times 3times 5^{2}.,!}

Một cách tổng quát: Mọi số tự nhiên n lớn hơn 1, có thể viết duy nhất dưới dạng:

n=p1α1p2α2…pkαk{displaystyle n={p_{1}}^{alpha _{1}}{p_{2}}^{alpha _{2}}{dots }{p_{k}}^{alpha _{k}}}

trong đó p1,p2,,…,pk{displaystyle {p_{1}},{p_{2}},,{dots },{p_{k}}} là các số nguyên tố. Vế phải của đẳng thức này được gọi là dạng phân tích tiêu chuẩn của n’.

Tập hợp các ước tự nhiên của số n[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Số các ước tự nhiên của số tự nhiên n[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Số các ước tự nhiên của số tự nhiên n ký hiệu là τ(n){displaystyle tau (n)}

Cho số tự nhiên n> 1 với dạng phân tích tiêu chuẩn như trên. Khi đó mỗi ước b của n có dạng:

b=p1β1p2β2…pkβk{displaystyle b={p_{1}}^{beta _{1}}{p_{2}}^{beta _{2}}{dots }{p_{k}}^{beta _{k}}}

trong đó 0≤βi≤αi{displaystyle 0leq beta _{i}leq alpha _{i}} với mỗi 1≤i≤k{displaystyle 1leq ileq k}.

Do đó số tất cả các ước tự nhiên của n

τ(n)=(β1+1)(β2+1)⋯k+1),{displaystyle tau (n)=(beta _{1}+1)(beta _{2}+1)cdots (beta _{k}+1),}
ví dụ: 6936=23×172,{displaystyle 6936=2^{3}times 3times 17^{2},,!}, nên số 6936 có số các ước tự nhiên là (3+1).(1+1).(2+1)=24.

Tổng các ước tự nhiên của số tự nhiên n[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Tổng các ước tự nhiên của số tự nhiên n được ký hiệu là σ(n).

Công thức tính σ(n) như sau

σ(n)=p1β1+1−1p1−1p2β2+1−1p2−pkβk+1−1pk−1{displaystyle sigma (n)={frac {{p_{1}}^{beta _{1}+1}-1}{{p_{1}}-1}}{dot {frac {{p_{2}}^{beta _{2}+1}-1}{{p_{2}}-1}}}dots {frac {{p_{k}}^{beta _{k}+1}-1}{{p_{k}}-1}}}

Xem thêm:

Hàm tống các ước

Các ước tự nhiên khác chính nó của n được gọi là ước chân chính (hay ước thực sự) của n. Nếu tổng các ước chân chính của số tự nhiên n bằng chính n hay σ(n)=2n˙{displaystyle sigma (n)=2{dot {n}}} thì n được gọi là

số hoàn chỉnh

.

Ví dụ:

Số 6 có các ước chân chính là 1,2, 36 = 1 + 2 + 3 nên 6 là số hoàn chỉnh.
Số 28 có các ước chân chính là 1,2, 4, 7, 1428 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 nên 28 là số hoàn chỉnh.

Xem thêm: Bảng Barem Trọng Lượng Thép Pomina-Thép Toàn Đại Phát

Quan hệ chia hết trong tập hợp số tự nhiên N{displaystyle mathbb {N} }[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Quan hệ chia hết trong tập hợp số tự nhiên N{displaystyle mathbb {N} } là một

quan hệ thứ tự bộ phận

.

Trong N{displaystyle mathbb {N} }, với hai phần tử a, b bất kỳ, khác không, tồn tại phần tử d trong N{displaystyle mathbb {N} }

cận dưới đúng

của ab theo quan hệ chia hết, nghĩa là

  1. d|a và d|b; và
  2. với mọi d’ thỏa mãn 1. d’|a và d’|b thì d’|d.

Phần tử này chính là ƯCLN(a, b). Tương tự, với hai số tự nhiên a, b bất kỳ, cùng khác không, tồn tại phần tử m trong N{displaystyle mathbb {N} }

cận trên đúng

của ab theo quan hệ chia hết, nghĩa là

  1. a|m và b|m; và
  2. với mọi m’ thỏa mãn 1. a|m’ và b|m; thì m|m’.

Phần tử này chính là BCNN(a, b).

Nói cách khác, N{displaystyle mathbb {N} } cùng với quan hệ chia hết tạo thành một

dàn

.

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Chia_hết&oldid=64952036

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button