Kiến thức

Giới hạn (toán học) – Wikipedia tiếng Việt

Giới hạn (toán học)

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Đây là bài viết nói chung về khái niệm giới hạn trong Toán học. Với các ứng dụng cụ thể, hãy xem các trang

giới hạn dãy số

giới hạn hàm số

.

Trong

toán học

, khái niệm “giới hạn” được sử dụng để chỉ giá trị mà một

hàm số

hoặc một

dãy số

tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một giá trị nào đó. Trong một không gian đầy đủ, khái niệm giới hạn cho phép ta xác định một điểm mới từ một

dãy Cauchy

các điểm đã được xác định trước. Giới hạn là khái niệm quan trọng của

Giải tích

và được sử dụng để định nghĩa về

tính liên tục

,

đạo hàm

phép tính tích phân

.

Khái niệm

giới hạn dãy số

được tổng quát hóa thành giới hạn của một

lưới topo

, và liên hệ chặt chẽ với các khái niệm

giới hạn

giới hạn trực tiếp

trong

lý thuyết phạm trù

.

Người ta ký hiệu giới hạn bằng chữ lim (viết tắt chữ tiếng Anh limit). Ví dụ để chỉ a là giới hạn của dãy số (an) ta viết lim(an) = a hoặc ana.

Giới hạn của hàm số[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Bài chính:

Giới hạn hàm số

Khi x nằm trong khoảng (c – δ, c + δ) thì f(x) nằm trong khoảng ε (L – ε, L + ε)

Với mọi x > S, f(x) nằm trong khoảng ε (L – ε, L + ε)

Giả sử f(x) là một

hàm số giá trị thực

c là một

số thực

. Biểu thức

limx→cf(x)=L{displaystyle lim _{xto c}f(x)=L}

có nghĩa là f(x) sẽ càng gần L nếu x đủ gần c. Trong trường hợp này, ta nói giới hạn của f(x), khi x đạt đến cL. Cần chú ý rằng điều này cũng đúng cả khi f(c) ≠ L cũng như khi hàm số f(x) không xác định tại c. Ví dụ, xét hàm số

f(x)=x2−1x−1{displaystyle f(x)={frac {x^{2}-1}{x-1}}}

thì f(1) không xác định nhưng khi x tiến tới 1 thì f(x) tiến tới 2:

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.900 1.990 1.999 không xác định 2.001 2.010 2.100

Như vậy, f(x) có thể gần 2 một cách tùy ý, chỉ cần cho x đủ gần 1.

Karl Weierstrass

đã hình thức hóa định nghĩa giới hạn hàm số bằng phương pháp (ε, δ) vào thế kỉ 19.

Ngoài trường hợp hàm số f(x) có giới hạn tại một điểm hữu hạn, hàm số f(x) còn có thể có giới hạn tại vô cực. Ví dụ, xét hàm số

f(x)=2x−1x{displaystyle f(x)={2x-1 over x}}
  • f(100) = 1.9900
  • f(1000) = 1.9990
  • f(10000) = 1.9999

Khi x trở nên vô cùng lớn thì giá trị của f(x) tiến dần đến 2, và giá trị của f(x) có thể gần 2 một cách tùy ý, chỉ cần cho x đủ lớn. Ta nói “giới hạn của hàm số f(x) tại vô cực bằng 2″ và viết

limx→f(x)=2.{displaystyle lim _{xto infty }f(x)=2.}

Xem thêm: Dĩa Thức Ăn Bổ Dưỡng (Vietnamese)

Giới hạn của dãy số[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Bài chính:

Giới hạn dãy số

Xét dãy số sau: 1.79, 1.799, 1.7999,… Ta có thể nhận thấy rằng dãy số này “tiến dần” đến 1.8, đó là giới hạn của dãy.

Một cách hình thức, giả sử x1, x2,… là một

dãy

các

số thực

. Ta gọi số thực L là giới hạn của dãy và viết:

limn→xn=L{displaystyle lim _{nto infty }x_{n}=L}

nếu

Với mọi

số thực

ε > 0, tồn tại

số tự nhiên

n0 sao cho với mọi n > n0, |xnL| < ε.

Về mặt trực giác, điều này có nghĩa là tất cả những số hạng sau một số hạng nào đó của dãy đều sẽ gần với giới hạn “L” một cách tùy ý, bởi vì

giá trị tuyệt đối

|xnL| là khoảng cách giữa xnL. Không phải dãy số nào cũng có giới hạn; nếu một dãy có giới hạn thì ta gọi dãy đó là

hội tụ

, còn ngược lại, ta nói dãy đó phân kì. Người ta đã chứng minh được rằng một dãy số hội tụ chỉ có một giới hạn duy nhất.

Giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số có mối quan hệ mật thiết. Một mặt, giới hạn của dãy số thực chất là giới hạn của một hàm số có biến số là số tự nhiên. Mặt khác, giới hạn của một hàm số f tại x, nếu tồn tại, chính là giới hạn của dãy số xn = f(x + 1/n).

Cách giải[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Dạng 00{displaystyle {frac {0}{0}}} đối với giới hạn tại một điểm

Ví dụ 1:

limx→4f(x)=x2−16x−4{displaystyle lim _{xto 4}f(x)={frac {x^{2}-16}{x-4}}}

Bước 1: Ta thế 4 vào phương trình f(x) thì sẽ được dạng 00{displaystyle {frac {0}{0}}} nên khẳng định đây là dạng 00{displaystyle {frac {0}{0}}}.

Bước 2: Biến đổi:

limx→4f(x)=x2−16x−4{displaystyle lim _{xto 4}f(x)={frac {x^{2}-16}{x-4}}}

<=>limx→4f(x)=(x−4)(x+4)x−4{displaystyle lim _{xto 4}f(x)={frac {(x-4)(x+4)}{x-4}}} <=>limx→4f(x)=x+4{displaystyle lim _{xto 4}f(x)=x+4}

Lúc này ta sẽ thế 4 vào sẽ được limx→4f(x)=8{displaystyle lim _{xto 4}f(x)=8}

Ví dụ 2:

limx→09+5x+4×2−3x{displaystyle lim _{xto 0}{frac {{sqrt {9+5x+4x^{2}}}-3}{x}}}

Lúc này ta biến đổi nó bằng cách nhân lượng liên hợp cho cả tử và mẫu:

limx→09+5x+4×2−3x{displaystyle lim _{xto 0}{frac {{sqrt {9+5x+4x^{2}}}-3}{x}}}

=limx→0(9+5x+4×2−3)(9+5x+4×2+3)x(9+5x+4×2+3){displaystyle lim _{xto 0}{frac {({sqrt {9+5x+4x^{2}}}-3)({sqrt {9+5x+4x^{2}}}+3)}{x({sqrt {9+5x+4x^{2}}}+3)}}} =limx→09+5x+4×2−9x(9+5x+4×2+3){displaystyle lim _{xto 0}{frac {9+5x+4x^{2}-9}{x({sqrt {9+5x+4x^{2}}}+3)}}} =limx→05x+4x2x(9+5x+4×2+3){displaystyle lim _{xto 0}{frac {5x+4x^{2}}{x({sqrt {9+5x+4x^{2}}}+3)}}}

Ta chia cả tử và mẫu cho x, ta được: limx→05+4×9+5x+4×2+3{displaystyle lim _{xto 0}{frac {5+4x}{{sqrt {9+5x+4x^{2}}}+3}}}

Thế 0 vào ta được 56{displaystyle {frac {5}{6}}}

  • Dạng {displaystyle {frac {infty }{infty }}} đối với giới hạn vô cực: Ta chia cho số mũ lớn nhất của tử và mẫu.

Ví dụ 1: Dạng đã biến đổi

limx→+∞4×2−x−13+2×2{displaystyle lim _{xto +infty }{frac {4x^{2}-x-1}{3+2x^{2}}}}

Lúc này ta thấy số mũ lớn nhất của tử và mẫu là x2, vì vậy ta sẽ chia cả tử và mẫu cho x2

limx→+∞4×2−x−13+2×2{displaystyle lim _{xto +infty }{frac {4x^{2}-x-1}{3+2x^{2}}}}

=limx→+∞4−1x−1x23x2+2{displaystyle lim _{xto +infty }{frac {4-{frac {1}{x}}-{frac {1}{x^{2}}}}{{frac {3}{x^{2}}}+2}}} = 2

Ví dụ 2: Dạng chưa biến đổi

limx→+∞(x2−2x+1){displaystyle lim _{xto +infty }(x^{2}-{frac {2}{x+1}})}

=limx→+∞x3+x2−2x+1{displaystyle lim _{xto +infty }{frac {x^{3}+x^{2}-2}{x+1}}} =limx→+∞1+1x−2x31x2+1×3{displaystyle lim _{xto +infty }{frac {1+{frac {1}{x}}-{frac {2}{x^{3}}}}{{frac {1}{x^{2}}}+{frac {1}{x^{3}}}}}} =+∞{displaystyle +infty }

Lưu ý: Dạng {displaystyle {frac {infty }{infty }}} không phải chỉ áp dụng với dạng phân thức mà kể cả đa thức. VD:limx→+∞(−x2+nn+1){displaystyle lim _{xto +infty }(-x^{2}+n{sqrt {n}}+1)}

  • Dạng {displaystyle infty -infty }: Ta sẽ nhân lượng liên hợp

Ví dụ:

limx→+∞(n2+n−n2−1){displaystyle lim _{xto +infty }({sqrt {n^{2}+n}}-{sqrt {n^{2}-1}})}

=limx→+∞(n2+n−n2−1)(n2+n+n2−1)n2+n+n2−1{displaystyle lim _{xto +infty }{frac {({sqrt {n^{2}+n}}-{sqrt {n^{2}-1}})({sqrt {n^{2}+n}}+{sqrt {n^{2}-1}})}{{sqrt {n^{2}+n}}+{sqrt {n^{2}-1}}}}} =limx→+∞n+1n2+n+n2−1{displaystyle lim _{xto +infty }{frac {n+1}{{sqrt {n^{2}+n}}+{sqrt {n^{2}-1}}}}} =limx→+∞n(1+1n)n1+1n+n1−1n2{displaystyle lim _{xto +infty }{frac {n(1+{frac {1}{n}})}{n{sqrt {1+{frac {1}{n}}}}+n{sqrt {1-{frac {1}{n^{2}}}}}}}} =limx→+∞1+1n1+1n+1−1n2{displaystyle lim _{xto +infty }{frac {1+{frac {1}{n}}}{{sqrt {1+{frac {1}{n}}}}+{sqrt {1-{frac {1}{n^{2}}}}}}}} =12{displaystyle {frac {1}{2}}}

  • Dạng 0.{displaystyle infty }: ta biến đổi về dạng {displaystyle {frac {infty }{infty }}} hoặc dạng 00{displaystyle {frac {0}{0}}}

Ví dụ:

limx→3+(x−3)xx2−9{displaystyle lim _{xto 3^{+}}(x-3){sqrt {frac {x}{x^{2}-9}}}}

=limx→3+(x−3)xx+3x−3{displaystyle lim _{xto 3^{+}}(x-3){frac {sqrt {x}}{{sqrt {x+3}}{sqrt {x-3}}}}} =limx→3+x−3xx+3{displaystyle lim _{xto 3^{+}}{frac {{sqrt {x-3}}{sqrt {x}}}{sqrt {x+3}}}} = 0

Xem thêm: Hoctoandhhl: Một số bài tập giá trị tuyệt đối chương trình Toán lớp 7

Khả năng tính toán[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Các giới hạn có thể khó tính toán. Có một số biểu thức giới hạn mà

mô-đun hội tụ

của nó là thứ

không thể quyết định được

. Trong

lí thuyết đệ quy

,

bổ đề giới hạn

chứng minh rằng hoàn toàn có thể biên mã các vấn đề không quyết định được bằng cách sử dụng các giới hạn.

[1]

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Vi phân

  • Đạo hàm

  • Tích phân

Xem thêm: Dao động tuần hoàn là gì? Dao động điều hòa là gì?

Ghi chú[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    Recursively enumerable sets and degrees, Soare, Robert I.

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Weisstein, Eric W.

    , “

    Limit

    ” từ

    MathWorld

    .

  • Mathwords: Limit

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Giới_hạn_(toán_học)&oldid=64697920

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button