Kiến thức

Hàm hyperbolic – Wikipedia tiếng Việt

Hàm hyperbolic

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Một tia đi qua gốc của hyperbol x2 − y2 = 1{displaystyle scriptstyle x^{2} – y^{2} = 1} cắt hyperbol tại điểm (cosha,sinha){displaystyle scriptstyle (cosh ,a,,sinh ,a)}, với a{displaystyle scriptstyle a} là 2 lần diện tích của hình giới hạn bởi tia và trục x{displaystyle scriptstyle x}. Đối với các điểm trên hyperbol nằm dưới trục x{displaystyle scriptstyle x}, diện tích được coi bằng âm (xem

phiên bản hình động

so sánh giữa

hàm lượng giác

và hàm hyperbol.

Trong

toán học

, hàm hyperbolic (Hán – Việt: song khúc) có những tính chất tương tự như các

hàm lượng giác

thông thường. Những hàm hyperbolic cơ bản gồm sin hyperbolic “sinh”, và cosin hyperbolic “cosh”, hàm tang hyperbolic “tanh” và những hàm dẫn ra từ chúng, tương ứng như các hàm dẫn xuất trong hàm lượng giác.

Hàm hyperbolic ngược

là các hàm sin hyperbolic diện tích “arsinh” (hay “asinh” hoặc “arcsinh”)

[1]

.

Giống như các điểm (cos t, sin t) nằm trên đường tròn bán kính đơn vị, các điểm (cosh t, sinh t) nằm trên phần bên phải của

hyperbol

đều. Các hàm Hyperbol xuất hiện nhiều trong các nghiệm của các

phương trình vi phân

tuyến tính hay gặp, phương trình xác định hình dạng

dây xích

treo giữa 2 điểm, và

phương trình Laplace

trong

hệ tọa độ Descartes

. Ngoài ra chúng còn xuất hiện nhiều trong các vấn đề bao gồm

lý thuyết điện từ

,

sự truyền nhiệt

,

thủy động lực học

, và

thuyết tương đối hẹp

.

Hàm hyperbolic nhận giá trị thực đối với các tham số thực được gọi là

góc hyperbolic

. Trong

giải tích phức

, chúng chính là những

hàm mũ

hữu tỉ

, hay là

hàm phân hình

(

en:meromorphic function

).

Các hàm hyperbolic được hai

nhà toán học

Vincenzo Riccati

Johann Heinrich Lambert

độc lập đưa ra vào những năm 1760.

[2]

Riccati sử dụng ký hiệu Sc.Cc. ([co]sinus circulare) để nói đến các hàm lượng giác Sh.Ch. ([co]sinus hyperbolico) để nói đến các hàm hyperbolic. Lambert là người đã đưa ra các ký hiệu được sử dụng như ngày nay.

[3]

Biểu thức của các hàm hyperbolic[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

sinh, coshtanh

csch, sechcoth

Công thức biểu diễn các hàm hyperbolic:

  • Sin hyperbolic:
sinh⁡x=ex−e−x2=e2x−12ex{displaystyle sinh x={frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}}
  • Cos hyperbolic:
cosh⁡x=ex+e−x2=e2x+12ex{displaystyle cosh x={frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}}
  • Tang hyperbolic:
tanh⁡x=sinh⁡xcosh⁡x=ex−e−xex+e−x=e2x−1e2x+1{displaystyle tanh x={frac {sinh x}{cosh x}}={frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}
  • Cotang hyperbolic:
coth⁡x=cosh⁡xsinh⁡x=ex+e−xex−e−x=e2x+1e2x−1{displaystyle coth x={frac {cosh x}{sinh x}}={frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}
  • Sec hyperbolic:
sechx=(cosh⁡x)−1=2ex+e−x=2exe2x+1{displaystyle operatorname {sech} ,x=left(cosh xright)^{-1}={frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}}
  • Cosec hyperbolic:
cschx=(sinh⁡x)−1=2ex−e−x=2exe2x−1{displaystyle operatorname {csch} ,x=left(sinh xright)^{-1}={frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}}

Các hàm hyperbolic có thể biểu diễn qua

số phức

:

  • Sin hyperbolic:
sinh⁡x=−isin⁡ix{displaystyle sinh x=-{rm {i}}sin {rm {i}}x!}
  • Cos hyperbolic:
cosh⁡x=cos⁡ix{displaystyle cosh x=cos {rm {i}}x!}
  • Tang hyperbolic:
tanh⁡x=−itan⁡ix{displaystyle tanh x=-{rm {i}}tan {rm {i}}x!}
  • Cotang hyperbolic:
coth⁡x=icot⁡ix{displaystyle coth x={rm {i}}cot {rm {i}}x!}
  • Sec hyperbolic:
sechx=sec⁡ix{displaystyle operatorname {sech} ,x=sec {{rm {i}}x}!}
  • Cosec hyperbolic:
cschx=icscix{displaystyle operatorname {csch} ,x={rm {i}},csc ,{rm {i}}x!}

với i

đơn vị ảo

định nghĩa là i2 = −1.

Dạng phức

trong các định nghĩa trên được dẫn ra từ

công thức Euler

.

Chú ý rằng, theo định nghĩa, sinh2x có nghĩa là (sinh x)2, chứ không phải sinh(sinh x); và điều này tương tự cho các hàm hyperbolic khác.

Xem thêm: Bài tập chứng minh đẳng thức vectơ

Mối quan hệ giữa các hàm hyperbolic[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

sinh⁡(−x)=−sinh⁡x{displaystyle sinh(-x)=-sinh x,!}
cosh⁡(−x)=cosh⁡x{displaystyle cosh(-x)=cosh x,!}

Từ đó:

tanh⁡(−x)=−tanh⁡x{displaystyle tanh(-x)=-tanh x,!}
coth⁡(−x)=−coth⁡x{displaystyle coth(-x)=-coth x,!}
sech⁡(−x)=sechx{displaystyle operatorname {sech} (-x)=operatorname {sech} ,x,!}
csch⁡(−x)=−cschx{displaystyle operatorname {csch} (-x)=-operatorname {csch} ,x,!}

Theo quan hệ trên dễ thấy cosh x và sech x là các

hàm chẵn

; còn lại là các

hàm lẻ

.

arsechx=arcosh⁡1x{displaystyle operatorname {arsech} ,x=operatorname {arcosh} {frac {1}{x}}}
arcschx=arsinh⁡1x{displaystyle operatorname {arcsch} ,x=operatorname {arsinh} {frac {1}{x}}}
arcothx=artanh⁡1x{displaystyle operatorname {arcoth} ,x=operatorname {artanh} {frac {1}{x}}}

Sin hyperbolic và cos hyperbolic thỏa mãn đẳng thức

cosh2⁡x−sinh2⁡x=1{displaystyle cosh ^{2}x-sinh ^{2}x=1,}

tương tự như

công thức lượng giác Pythagore

: sin2⁡θ+cos2⁡θ=1.{displaystyle sin ^{2}theta +cos ^{2}theta =1.!}. Do vậy ta cũng có:

tanh2⁡x=1−sech2⁡x{displaystyle tanh ^{2}x=1-operatorname {sech} ^{2}x}
coth2⁡x=1+csch2⁡x{displaystyle coth ^{2}x=1+operatorname {csch} ^{2}x}

Tang hyperbolic là nghiệm của

bài toán giá trị biên

phi tuyến

[4]

:

12f″=f3−f;f(0)=f′(∞)=0{displaystyle {frac {1}{2}}f”=f^{3}-fqquad ;qquad f(0)=f'(infty )=0}

Người ta đã chứng minh rằng diện tích giới hạn bởi cung cosh x luôn luôn bằng chiều dài của cung đó:

[5]

dien tich=∫abcosh⁡x dx=∫ab1+(ddxcosh⁡x)2 dx=do dai cung.{displaystyle {text{dien tich}}=int _{a}^{b}{cosh {x}} dx=int _{a}^{b}{sqrt {1+left({frac {d}{dx}}cosh {x}right)^{2}}} dx={text{do dai cung}}.}

Cộng các đối số[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

sinh⁡(x+y)=sinh⁡(x)cosh⁡(y)+cosh⁡(x)sinh⁡(y)cosh⁡(x+y)=cosh⁡(x)cosh⁡(y)+sinh⁡(x)sinh⁡(y)tanh⁡(x+y)=tanh⁡x+tanh⁡y1+tanh⁡xtanh⁡y{displaystyle {begin{aligned}sinh(x+y)&=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)\cosh(x+y)&=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)\tanh(x+y)&={frac {tanh x+tanh y}{1+tanh xtanh y}}\end{aligned}}}

đặc biệt

cosh⁡(2x)=sinh2⁡x+cosh2⁡x=2sinh2⁡x+1=2cosh2⁡x−1sinh⁡(2x)=2sinh⁡xcosh⁡x{displaystyle {begin{aligned}cosh(2x)&=sinh ^{2}{x}+cosh ^{2}{x}=2sinh ^{2}x+1=2cosh ^{2}x-1\sinh(2x)&=2sinh xcosh xend{aligned}}}

Và:

sinh⁡x+sinh⁡y=2sinh⁡x+y2cosh⁡x−y2cosh⁡x+cosh⁡y=2cosh⁡x+y2cosh⁡x−y2{displaystyle {begin{aligned}sinh x+sinh y&=2sinh {frac {x+y}{2}}cosh {frac {x-y}{2}}\cosh x+cosh y&=2cosh {frac {x+y}{2}}cosh {frac {x-y}{2}}\end{aligned}}}

Công thức trừ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

sinh⁡(x−y)=sinh⁡(x)cosh⁡(y)−cosh⁡(x)sinh⁡(y)cosh⁡(x−y)=cosh⁡(x)cosh⁡(y)−sinh⁡(x)sinh⁡(y){displaystyle {begin{aligned}sinh(x-y)&=sinh(x)cosh(y)-cosh(x)sinh(y)\cosh(x-y)&=cosh(x)cosh(y)-sinh(x)sinh(y)\end{aligned}}}

Và:

sinh⁡x−sinh⁡y=2cosh⁡x+y2sinh⁡x−y2cosh⁡x−cosh⁡y=2sinh⁡x+y2sinh⁡x−y2{displaystyle {begin{aligned}sinh x-sinh y&=2cosh {frac {x+y}{2}}sinh {frac {x-y}{2}}\cosh x-cosh y&=2sinh {frac {x+y}{2}}sinh {frac {x-y}{2}}\end{aligned}}}

Nguồn tham khảo.

[6]

Công thức tính một nửa đối số[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

sinh⁡(x2)=sinh⁡(x)2(cosh⁡(x)+1)=sgn⁡(x)cosh⁡(x)−12{displaystyle sinh left({frac {x}{2}}right)={frac {sinh(x)}{sqrt {2(cosh(x)+1)}}}=operatorname {sgn}(x),{sqrt {frac {cosh(x)-1}{2}}}}

với sgn

hàm dấu

.

cosh⁡(x2)=cosh⁡(x)+12{displaystyle cosh left({frac {x}{2}}right)={sqrt {frac {cosh(x)+1}{2}}}}
tanh⁡(x2)=sinh⁡(x)cosh⁡(x)+1=sgn⁡(x)cosh⁡(x)−1cosh⁡(x)+1=ex−1ex+1{displaystyle tanh left({frac {x}{2}}right)={frac {sinh(x)}{cosh(x)+1}}=operatorname {sgn}(x),{sqrt {frac {cosh(x)-1}{cosh(x)+1}}}={frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}}

Nếu x ≠ 0, thì

tanh⁡(x2)=cosh⁡(x)−1sinh⁡(x)=coth⁡(x)−csch⁡(x){displaystyle tanh left({frac {x}{2}}right)={frac {cosh(x)-1}{sinh(x)}}=coth(x)-operatorname {csch} (x)}

[7]

Hàm hyperbolic ngược[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

arsinhx=ln⁡(x+x2+1){displaystyle operatorname {arsinh} ,x=ln left(x+{sqrt {x^{2}+1}}right)}
arcoshx=ln⁡(x+x2−1);x≥1{displaystyle operatorname {arcosh} ,x=ln left(x+{sqrt {x^{2}-1}}right);xgeq 1}
artanhx=12ln⁡1+x1−x;|x|<1{displaystyle operatorname {artanh} ,x={tfrac {1}{2}}ln {frac {1+x}{1-x}};left|xright|<1}
arcothx=12ln⁡x+1x−1;|x|>1{displaystyle operatorname {arcoth} ,x={tfrac {1}{2}}ln {frac {x+1}{x-1}};left|xright|>1}
arsechx=ln⁡1+1−x2x;0<x≤1{displaystyle operatorname {arsech} ,x=ln {frac {1+{sqrt {1-x^{2}}}}{x}};0<xleq 1}
arcschx=ln⁡(1x+1+x2|x|){displaystyle operatorname {arcsch} ,x=ln left({frac {1}{x}}+{frac {sqrt {1+x^{2}}}{left|xright|}}right)}

Đạo hàm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

ddxsinh⁡x=cosh⁡x{displaystyle {frac {d}{dx}}sinh x=cosh x,}
ddxcosh⁡x=sinh⁡x{displaystyle {frac {d}{dx}}cosh x=sinh x,}
ddxtanh⁡x=1−tanh2⁡x=sech2x=1/cosh2⁡x{displaystyle {frac {d}{dx}}tanh x=1-tanh ^{2}x={hbox{sech}}^{2}x=1/cosh ^{2}x,}
ddxcoth⁡x=1−coth2⁡x=−csch2x=−1/sinh2⁡x{displaystyle {frac {d}{dx}}coth x=1-coth ^{2}x=-{hbox{csch}}^{2}x=-1/sinh ^{2}x,}
ddx cschx=−coth⁡x cschx{displaystyle {frac {d}{dx}} {hbox{csch}},x=-coth x {hbox{csch}},x,}
ddx sechx=−tanh⁡x sechx{displaystyle {frac {d}{dx}} {hbox{sech}},x=-tanh x {hbox{sech}},x,}
ddxarsinhx=1×2+1{displaystyle {frac {d}{dx}},operatorname {arsinh} ,x={frac {1}{sqrt {x^{2}+1}}}}
ddxarcoshx=1×2−1{displaystyle {frac {d}{dx}},operatorname {arcosh} ,x={frac {1}{sqrt {x^{2}-1}}}}
ddxartanhx=11−x2,|x|<1{displaystyle {frac {d}{dx}},operatorname {artanh} ,x={frac {1}{1-x^{2}}},left|xright|<1}
ddxarcothx=11−x2,|x|>1{displaystyle {frac {d}{dx}},operatorname {arcoth} ,x={frac {1}{1-x^{2}}},left|xright|>1}
ddxarsechx=−1×1−x2,0<x<1{displaystyle {frac {d}{dx}},operatorname {arsech} ,x=-{frac {1}{x{sqrt {1-x^{2}}}}},0<x<1}
ddxarcschx=−1|x|1+x2,x≠0{displaystyle {frac {d}{dx}},operatorname {arcsch} ,x=-{frac {1}{left|xright|{sqrt {1+x^{2}}}}},xneq 0}

Xem thêm: Tiểu đường (đái tháo đường) là gì?

Nguyên hàm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Xem thêm:

Danh sách tích phân với hàm hyperbolic

sinh⁡axdx=a−1cosh⁡ax+C{displaystyle int sinh ax,dx=a^{-1}cosh ax+C}
cosh⁡axdx=a−1sinh⁡ax+C{displaystyle int cosh ax,dx=a^{-1}sinh ax+C}
tanh⁡axdx=a−1ln⁡(cosh⁡ax)+C{displaystyle int tanh ax,dx=a^{-1}ln(cosh ax)+C}
coth⁡axdx=a−1ln⁡(sinh⁡ax)+C{displaystyle int coth ax,dx=a^{-1}ln(sinh ax)+C}
dua2+u2=sinh−1⁡(ua)+C{displaystyle int {frac {du}{sqrt {a^{2}+u^{2}}}}=sinh ^{-1}left({frac {u}{a}}right)+C}
duu2−a2=cosh−1⁡(ua)+C{displaystyle int {frac {du}{sqrt {u^{2}-a^{2}}}}=cosh ^{-1}left({frac {u}{a}}right)+C}
dua2−u2=a−1tanh−1⁡(ua)+C;u2<a2{displaystyle int {frac {du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}tanh ^{-1}left({frac {u}{a}}right)+C;u^{2}<a^{2}}
dua2−u2=a−1coth−1⁡(ua)+C;u2>a2{displaystyle int {frac {du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}coth ^{-1}left({frac {u}{a}}right)+C;u^{2}>a^{2}}
duua2−u2=−a−1sech−1⁡(ua)+C{displaystyle int {frac {du}{u{sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}=-a^{-1}operatorname {sech} ^{-1}left({frac {u}{a}}right)+C}
duua2+u2=−a−1csch−1⁡|ua|+C{displaystyle int {frac {du}{u{sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}=-a^{-1}operatorname {csch} ^{-1}left|{frac {u}{a}}right|+C}

với C

hằng số tích phân

.

Khai triển chuỗi Taylor[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Ta có thể biểu diễn các hàm hyperbolic bằng

chuỗi Taylor

:

sinh⁡x=x+x33!+x55!+x77!+⋯=∑n=0∞x2n+1(2n+1)!{displaystyle sinh x=x+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}+{frac {x^{7}}{7!}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}

Hàm sinh x biểu diễn theo chuỗi Taylor chỉ với số mũ lẻ của x. Do vậy nó là

hàm lẻ

, hay, −sinh x = sinh(−x), và sinh 0 = 0.

cosh⁡x=1+x22!+x44!+x66!+⋯=∑n=0∞x2n(2n)!{displaystyle cosh x=1+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+{frac {x^{6}}{6!}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n}}{(2n)!}}}

Hàm cosh x biểu diễn theo chuỗi Taylor chỉ với số mũ chẵn của x. Do vậy nó là

hàm chẵn

, hay, nó đối xứng qua trục y. Tổng của chuỗi sinh và cosh là biểu thức

chuỗi vô hạn

của

hàm mũ

.

tanh⁡x=x−x33+2×515−17×7315+⋯=∑n=1∞22n(22n−1)B2nx2n−1(2n)!,|x|<π2{displaystyle tanh x=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}-{frac {17x^{7}}{315}}+cdots =sum _{n=1}^{infty }{frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},left|xright|<{frac {pi }{2}}}
coth⁡x=x−1+x3−x345+2×5945+⋯=x−1+∑n=1∞22nB2nx2n−1(2n)!,0<|x|<π{displaystyle coth x=x^{-1}+{frac {x}{3}}-{frac {x^{3}}{45}}+{frac {2x^{5}}{945}}+cdots =x^{-1}+sum _{n=1}^{infty }{frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<left|xright|<pi } (

chuỗi Laurent

)

sechx=1−x22+5×424−61×6720+⋯=∑n=0∞E2nx2n(2n)!,|x|<π2{displaystyle operatorname {sech} ,x=1-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {5x^{4}}{24}}-{frac {61x^{6}}{720}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},left|xright|<{frac {pi }{2}}}
cschx=x−1−x6+7×3360−31×515120+⋯=x−1+∑n=1∞2(1−22n−1)B2nx2n−1(2n)!,0<|x|<π{displaystyle operatorname {csch} ,x=x^{-1}-{frac {x}{6}}+{frac {7x^{3}}{360}}-{frac {31x^{5}}{15120}}+cdots =x^{-1}+sum _{n=1}^{infty }{frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<left|xright|<pi } (

chuỗi Laurent

)

với

Bn{displaystyle B_{n},}

số Bernoulli

thứ n

En{displaystyle E_{n},}

số Euler

thứ n

Liên hệ với hàm mũ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Từ định nghĩa của sinh và cosh hypebolic, ta có các đồng nhất thức sau:

ex=cosh⁡x+sinh⁡x{displaystyle e^{x}=cosh x+sinh x}

e−x=cosh⁡x−sinh⁡x{displaystyle e^{-x}=cosh x-sinh x}

Các biểu thức trên tương tự như các hàm sin và cosin, dựa trên

công thức Euler

, như là tổng của hai mũ lũy thừa.

Thêm vào đó,

ex=1+tanh⁡x1−tanh⁡x=1+tanh⁡x21−tanh⁡x2{displaystyle e^{x}={sqrt {frac {1+tanh x}{1-tanh x}}}={frac {1+tanh {frac {x}{2}}}{1-tanh {frac {x}{2}}}}}

Xem thêm: Cách bấm máy tính để giải bài toán số phức nhanh chóng, chính xác-Thegioididong.com

Hàm hypebolic cho số phức[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

hàm mũ

được định nghĩa cho cả

số phức

, có thể mở rộng định nghĩa hàm hypebolic cho các đối số phức. Khi ấy các hàm sinh z và cosh z là những

hàm chỉnh hình

(Holomorphic function).

Các mối liên hệ giữa các hàm lượng giác thường được cho bởi công thức Euler và áp dụng cho các biến phức:

eix=cos⁡x+isin⁡xe−ix=cos⁡x−isin⁡x{displaystyle {begin{aligned}e^{ix}&=cos x+i;sin x\e^{-ix}&=cos x-i;sin xend{aligned}}}

do đó:

cosh⁡(ix)=12(eix+e−ix)=cos⁡xsinh⁡(ix)=12(eix−e−ix)=isin⁡xcosh⁡(x+iy)=cosh⁡(x)cos⁡(y)+isinh⁡(x)sin⁡(y)sinh⁡(x+iy)=sinh⁡(x)cos⁡(y)+icosh⁡(x)sin⁡(y)tanh⁡(ix)=itan⁡xcosh⁡x=cos⁡(ix)sinh⁡x=−isin⁡(ix)tanh⁡x=−itan⁡(ix){displaystyle {begin{aligned}cosh(ix)&={frac {1}{2}}left(e^{ix}+e^{-ix}right)=cos x\sinh(ix)&={frac {1}{2}}left(e^{ix}-e^{-ix}right)=isin x\cosh(x+iy)&=cosh(x)cos(y)+isinh(x)sin(y)\sinh(x+iy)&=sinh(x)cos(y)+icosh(x)sin(y)\tanh(ix)&=itan x\cosh x&=cos(ix)\sinh x&=-isin(ix)\tanh x&=-itan(ix)end{aligned}}}

Vì vậy các hàm hypebolic phức là những

hàm tuần hoàn

theo phần ảo, với chu kỳ i{displaystyle 2pi i} (và πi{displaystyle pi i} cho các hàm tang và cotang hypebolic).

Hàm hypebolic trong mặt phẳng phức

Complex Sinh.jpg

Complex Cosh.jpg

Complex Tanh.jpg

Complex Coth.jpg

Complex Sech.jpg

Complex Csch.jpg

sinh⁡(z){displaystyle operatorname {sinh} (z)} cosh⁡(z){displaystyle operatorname {cosh} (z)} tanh⁡(z){displaystyle operatorname {tanh} (z)} coth⁡(z){displaystyle operatorname {coth} (z)} sech⁡(z){displaystyle operatorname {sech} (z)} csch⁡(z){displaystyle operatorname {csch} (z)}

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    Một số ví dụ sử dụng arcsinh

    trên

    Google Books

    .

  2. ^

    Robert E. Bradley, Lawrence A. D’Antonio, Charles Edward Sandifer. Euler at 300: an appreciation. Mathematical Association of America, 2007. Page 100.

  3. ^

    Georg F. Becker. Hyperbolic functions. Read Books, 1931. Page xlviii.

  4. ^

    Eric W. Weisstein

    .

    “Hyperbolic Tangent”

    .

    MathWorld

    . Truy cập ngày 20 tháng 10 năm 2008.

  5. ^

    N.P., Bali (2005).

    Golden Intergral Calculus

    . Firewall Media. tr. 472.

    ISBN

     

    8-170-08169-6

    .,

    Extract of page 472

  6. ^

    Martin, George E. (1986). The foundations of geometry and the non-euclidean plane . New York: Springer-Verlag. tr. 416.

    ISBN

     

    3-540-90694-0

    .

  7. ^

    “math.stackexchange.com/q/1565753/88985”

    . StackExchange (mathematics). Truy cập ngày 24 tháng 1 năm 2016.

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Hyperbolic functions

    on

    PlanetMath

  • Hyperbolic functions

    entry at

    MathWorld

  • GonioLab

    Lưu trữ

    2007-10-06 tại

    Wayback Machine

    : Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions (

    Java Web Start

    )

  • Web-based calculator of hyperbolic functions

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Hàm_hyperbolic&oldid=64989846

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button