Kiến thức

Hàm lượng giác – Wikipedia tiếng Việt

Hàm lượng giác

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Đồ thị

hàm

sin

Đồ thị

hàm

cos

Đồ thị

hàm

tang

Đồ thị

hàm

cotang

Đồ thị

hàm

sec

Đồ thị

hàm

cosec

Trong

toán học

nói chung và

lượng giác học

nói riêng, các hàm lượng giác là các

hàm toán học

của

góc

, được dùng khi nghiên cứu

tam giác

và các hiện tượng có tính chất

tuần hoàn

. Các hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi

tỷ lệ

chiều dài

hai

cạnh

của

tam giác vuông

chứa góc đó, hoặc tỷ lệ

chiều dài

giữa các đoạn thẳng nối các điểm đặc biệt trên

vòng tròn đơn vị

. Những định nghĩa hiện đại hơn thường coi các hàm lượng giác là

chuỗi số

vô hạn hoặc là

nghiệm

của một số

phương trình vi phân

, điều này cho phép hàm lượng giác có thể có đối số là một số thực hay một

số phức

bất kì.

Các hàm lượng giác không phải là các

hàm số đại số

và có thể xếp vào loại

hàm số siêu việt

.

Các hàm lượng giác cơ bản[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Ngày nay, chúng ta thường làm việc với sáu hàm lượng giác cơ bản, được liệt kê trong bảng dưới, kèm theo liên hệ toán học giữa các hàm.

Hàm Viết tắt Liên hệ

Sin

sin sin⁡θ=cos⁡2−θ){displaystyle sin theta =cos left({frac {pi }{2}}-theta right),}

Cosin

cos cos⁡θ=sin⁡2−θ){displaystyle cos theta =sin left({frac {pi }{2}}-theta right),}

Tang

tan(tg) tan⁡θ=1cot⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=cot⁡2−θ){displaystyle tan theta ={frac {1}{cot theta }}={frac {sin theta }{cos theta }}=cot left({frac {pi }{2}}-theta right),}

Cotang

cot(ctg) cot⁡θ=1tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=tan⁡2−θ){displaystyle cot theta ={frac {1}{tan theta }}={frac {cos theta }{sin theta }}=tan left({frac {pi }{2}}-theta right),}

Sec

sec sec⁡θ=1cos⁡θ=csc⁡2−θ){displaystyle sec theta ={frac {1}{cos theta }}=csc left({frac {pi }{2}}-theta right),}

Cosec

csc
(hay cosec)
csc⁡θ=1sin⁡θ=sec⁡2−θ){displaystyle csc theta ={frac {1}{sin theta }}=sec left({frac {pi }{2}}-theta right),}

Trong lịch sử, một số hàm lượng giác khác đã được nhắc đến, nhưng nay ít dùng là:

  • versin

    (versin = 1 − cos)

  • exsecant

    (exsec = sec − 1).

Xem thêm bài

đẳng thức lượng giác

để biết thêm rất nhiều liên hệ khác nữa giữa các hàm lượng giác.

Lịch sử[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Những nghiên cứu một cách hệ thống và việc lập bảng tính các hàm lượng giác được cho là thực hiện lần đầu bởi

Hipparchus

Nicaea

(

180

125 TCN

), người đã lập bảng tính độ dài của các

cung tròn

(có giá trị bằng

góc

, A,

nhân

với

bán kính

, r) và

chiều dài

của

dây cung

tương ứng (2r sin(A/2)). Sau đó,

Ptolemy

(

thế kỷ II

) tiếp tục phát triển công trình trên trong quyển

Almagest

, tìm ra công thức cộng và trừ cho sin(A + B) và cos(A + B). Ptolemy cũng đã suy diễn ra được công thức nửa-góc sin(A/2)2 = (1 − cos(A))/2, cho phép ông lập bảng tính với bất cứ độ chính xác cần thiết nào. Những bảng tính của Hipparchus và Ptolemy nay đã bị thất truyền.

Các phát triển về lượng giác tiếp theo diễn ra ở

Ấn Độ

, trong công trình

Siddhantas

(khoảng

thế kỷ IV

V

), định nghĩa hàm sin theo nửa góc và nửa dây cung. Quyển Siddhantas cũng chứa bảng tính hàm sin cổ nhất còn tồn tại đến nay (cùng với các giá trị 1 − cos), cho các góc có giá trị từ 0 đến 90

độ

cách nhau 3.75 độ.

Công trình

Ấn giáo

này sau đó được dịch và phát triển thêm bởi

người Ả Rập

. Đến

thế kỷ X

, người Ả Rập đã dùng cả sáu hàm lượng giác cơ bản (trong tác phẩm

Abu’l-Wefa

), với các bảng tính hàm sin cho các góc cách nhau 0.25 độ, với độ chính xác đến 8 chữ số thập phân sau dấu phẩy, và bảng tính hàm tan.

Từ sin mà ngày nay ta dùng xuất phát từ chữ

La tinh

sinus (“vịnh” hay “gập”), dịch nhầm từ chữ

Phạn

jiva (hay jya). Jiva (vốn được đọc đầy đủ là ardha-jiva, “nửa-dây cung”, trong quyển

Aryabhatiya

thế kỷ VI

) được

chuyển tự

sang

tiếng Ả Rập

jiba (جب), nhưng bị nhầm thành từ khác, jaib (جب) (“vịnh”), bởi các dịch giả ở

châu Âu

như

Robert ở Chester

Gherardo ở Cremona

trong quyển

Toledo

(

thế kỷ XII

). Sự nhầm lẫn này có thể là do jiba (جب) và jaib (جب) được viết giống nhau trong tiếng Ả Rập (đa số

nguyên âm

bị lược bỏ trong

bảng chữ cái Ả Rập

).

Các công trình đầu tiên này về các hàm lượng giác đều được phát triển trong nghiên cứu thiên văn. Có lẽ quyển sách đầu tiên chỉ tập trung nghiên cứu về lượng giác là

De triangulis omnimodus

(

1464

) và

Tabulae directionum

của

Regiomontanus

(

1436

1476

). Quyển Tabulae directionum nói về

hàm tang

.

Quyển

Opus palatinum de triangulis

của

Rheticus

, một học trò của

Copernicus

, là quyển sách đầu tiên định nghĩa các hàm lượng giác bằng

tam giác vuông

thay vì dùng

vòng tròn đơn vị

, kèm theo bảng tính 6 hàm lượng giác cơ bản. Công trình này được hoàn thiện bởi học trò của Rheticus là

Valentin Otho

năm

1596

.

Quyển

Introductio in analysin infinitorum

(

1748

) của

Euler

tập trung miêu tả cách tiếp cận giải tích đến các hàm lượng giác, định nghĩa chúng theo các

chuỗi

vô tận và giới thiệu “

Công thức Euler

eix = cos(x) + i sin(x). Euler đã dùng các ký hiệu viết tắt sin., cos., tang., cot., sec., và cosec. giống ngày nay.

Định nghĩa bằng tam giác vuông[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Một

tam giác vuông

luôn chứa một góc 90° (π/2 radian), được ký hiệu là C trong hình này. Góc A và B có thể thay đổi. Các hàm lượng giác thể hiện mối liên hệ

chiều dài

các cạnh và độ lớn các góc của tam giác vuông.

Có thể định nghĩa các hàm lượng giác của góc A, bằng việc dựng nên một

tam giác vuông

chứa góc A. Trong

tam giác

vuông này, các cạnh được đặt tên như sau:

  • Cạnh huyền

    là cạnh đối diện với

    góc vuông

    , là cạnh dài nhất của

    tam giác

    vuông, h trên hình vẽ.

  • Cạnh đối

    là cạnh đối diện với góc A, a trên hình vẽ.

  • Cạnh kề

    là cạnh nối giữa góc A và góc vuông, b trên hình vẽ.

Dùng

hình học Ơclit

, tổng các góc trong

tam giác

pi

radian

(hay 180

). Khi đó:

Hàm Định nghĩa Biểu thức

Sin

Cạnh đối chia cho cạnh huyền sin⁡A=ah{displaystyle sin A={frac {a}{h}}}
Cos Cạnh kề chia cho cạnh huyền cos⁡A=bh{displaystyle cos A={frac {b}{h}}}
Tang Cạnh đối chia cho cạnh kề tan⁡A=ab{displaystyle tan A={frac {a}{b}}}
Cotang Cạnh kề chia cho cạnh đối cot⁡A=ba{displaystyle cot A={frac {b}{a}}}
Sec Cạnh huyền chia cho cạnh kề sec⁡A=hb{displaystyle sec A={frac {h}{b}}}
Cosec Cạnh huyền chia cho cạnh đối csc⁡A=ha{displaystyle csc A={frac {h}{a}}}

Xem thêm: Giải bài 1 trang 223-Bài 35-SGK môn Vật lý lớp 11-Giải bài tập SGK Vật lý 11-chuabaitap.com

Định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Các hàm lượng giác cũng có thể được định nghĩa bằng

vòng tròn đơn vị

, một

vòng tròn

có bán kính bằng 1 và tâm trùng với tâm của

hệ tọa độ

. Định nghĩa dùng vòng tròn đơn vị thực ra cũng dựa vào

tam giác

vuông, nhưng chúng có thể định nghĩa cho các mọi góc là

số thực

, chứ không chỉ giới hạn giữa 0 và

Pi

/2 radian. Các góc lớn hơn 2π hay nhỏ hơn −2π quay vòng trên đường tròn.

Dùng đại số[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Vòng tròn đơn vị

và một số điểm đặc biệt ứng với một số góc đặc biệt.

Vòng tròn đơn vị

là mọi

điểm

(x, y) trên

mặt phẳng

của

hình học phẳng

thỏa mãn:

x2 + y2 = 1

Gọi góc θ là góc giữa đường thẳng nối tâm hệ tọa độ và điểm (x,y) trên vòng tròn và chiều dương của trục x của

hệ tọa độ

xy, các hàm lượng giác có thể được định nghĩa là:

Hàm Định nghĩa
sin(θ) y
cos(θ) x
tan(θ) y/x
cot(θ) x/y
sec(θ) 1/x
csc(θ) 1/y

Khi các góc quay trên vòng tròn, hàm

sin

, cos, sec và cosec trở nên

hàm tuần hoàn

với

chu kỳ

2π radian hay 360 độ:

sin⁡θ=sin⁡+2πk){displaystyle sin theta =sin left(theta +2pi kright)}
cos⁡θ=cos⁡+2πk){displaystyle cos theta =cos left(theta +2pi kright)}

Ở đây θ là góc, một số thực bất kỳ; k là một

số nguyên

bất kỳ.

Tang và Cotang tuần hoàn với chu kỳ π radian hay 180 độ.

Dùng hình học[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Mọi hàm lượng giác đều có thể được dựng lên bằng phương pháp hình học trên một

vòng tròn đơn vị

có tâm ở O.

Hình vẽ bên cho thấy định nghĩa bằng hình học về các hàm lượng giác cho góc bất kỳ trên vòng tròn đơn vị tâm O. Với θ là nửa

cung

AB:

Hàm Định nghĩa Chú thích
sin(θ) AC định nghĩa lần đầu giới thiệu trong lịch sử bởi người

Ấn Độ

cos(θ) OC
tan(θ) AE đường tiếp tuyến với đường tròn tại A, ý nghĩa này đã mang lại cho cái tên “tan” của hàm, xuất phát từ

tiếng La tinh

là “tiếp tuyến”

cot(θ) AF
sec(θ) OE

đường cắt vòng tròn

, ý nghĩa này đã mang lại cho cái tên “secant” của hàm, xuất phát từ

tiếng La tinh

là “đường cắt vòng tròn”

csc(θ) OF

versin

(θ)

CD versin(θ) = 1 − cos(θ)

exsec

(θ)

DE exsec(θ) = sec(θ) − 1

Theo hình vẽ, dễ thấy sec và tang sẽ

phân kỳ

khi θ tiến tới π/2 (90 độ), cosec và cotang phân kỳ khi θ tiến tới 0. Nhiều cách xây dựng tương tự có thể được thực hiện trên vòng tròn đơn vị, và các tính chất của các hàm lượng giác có thể được chứng minh bằng hình học.

Định nghĩa bằng chuỗi[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hàm sin (

xanh lam

) được xấp xỉ bằng chuỗi Taylor bậc 7 (

màu hồng

).

Dùng

hình học

và các tính chất của

giới hạn hàm số

, có thể chứng minh rằng

đạo hàm

của

hàm sin

là hàm cos và đạo hàm của hàm cos là trái dấu của hàm sin. Có thể dùng

chuỗi Taylor

để phân tích hàm sin và cos ra chuỗi, cho mọi góc x đo bằng giá trị

radian

thực

. Từ hai hàm này có thể suy ra chuỗi của các hàm lượng dạng còn lại.

Các đẳng thức bên dưới đây cho biết chuỗi Taylor của các hàm lượng giác. Chúng có thể dùng làm định nghĩa cho hàm lượng giác. Chúng được dùng trong nhiều ứng dụng, như

chuỗi Fourier

), vì lý thuyết của

chuỗi vô hạn

có thể được xây dựng từ nền tảng hệ thống

số thực

, độc lập với hình học. Các tính chất như

khả vi

hay

liên tục

có thể được chứng minh chỉ từ định nghĩa bằng chuỗi.

Trong bảng dưới, quy ước:

En

số Euler

thứ n

Un

số lên/xuống

thứ n

Hàm Định nghĩa Cụ thể
sin(x) n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!{displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}} x−x33!+x55!−x77!+⋯{displaystyle x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-{frac {x^{7}}{7!}}+cdots }
cos(x) n=0∞(−1)nx2n(2n)!{displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}} 1−x22!+x44!−x66!+⋯{displaystyle 1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-{frac {x^{6}}{6!}}+cdots }
tan(x) n=1∞22n(22n−1)Unx2n−1(2n)!,|x|<π2{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {2^{2n}(2^{2n}-1)U_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}},quad left|xright|<{frac {pi }{2}}} x+x33+2×515+17×7315+⋯{displaystyle x+{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}+{frac {17x^{7}}{315}}+cdots }
cot(x) 1x−n=1∞22nUnx2n−1(2n)!,0<|x|<π2{displaystyle {frac {1}{x}}-sum _{n=1}^{infty }{frac {2^{2n}U_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}},quad 0<left|xright|<{frac {pi }{2}}} 1x−x3−x345−2×5945−{displaystyle {frac {1}{x}}-{frac {x}{3}}-{frac {x^{3}}{45}}-{frac {2x^{5}}{945}}-cdots }
sec(x) 1+∑n=1∞Enx2n(2n)!,|x|<π2{displaystyle 1+sum _{n=1}^{infty }{frac {E_{n}x^{2n}}{(2n)!}},quad left|xright|<{frac {pi }{2}}} 1+x22+5×424+61×6720+⋯{displaystyle 1+{frac {x^{2}}{2}}+{frac {5x^{4}}{24}}+{frac {61x^{6}}{720}}+cdots }
csc(x) 1x+∑n=1∞2(22n−1−1)Bnx2n−1(2n)!,0<|x|<π2{displaystyle {frac {1}{x}}+sum _{n=1}^{infty }{frac {2(2^{2n-1}-1)B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}},quad 0<left|xright|<{frac {pi }{2}}} 1x+x6+7×3360+31×515120+⋯{displaystyle {frac {1}{x}}+{frac {x}{6}}+{frac {7x^{3}}{360}}+{frac {31x^{5}}{15120}}+cdots }

Trên trường số phức[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Từ định nghĩa bằng gì đó có thể chứng minh rằng các hàm sin và cos là

phần ảo

phần thực

của

hàm mũ

của

số ảo

:

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ.{displaystyle e^{itheta }=cos theta +isin theta ,.}

Với i

đơn vị ảo

,

căn bậc hai

của -1.

Liên hệ này được phát hiện lần đầu bởi

Euler

và công thức này đã được gọi là

công thức Euler

. Trong

giải tích phức

, nếu vẽ

vòng tròn đơn vị

trên

mặt phẳng phức

, gồm các điểm z = eix, các mối liên hệ giữa số phức và

lượng giác

trở nên rõ ràng. Ví dụ như các quá trình miêu tả bởi hàm mũ phức có tính chất tuần hoàn.

Công thức trên cũng cho phép mở rộng hàm lượng giác ra cho biến phức z:

sin⁡z=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!z2n+1=eız−e−ız2ı=−ısinh⁡z){displaystyle sin z,=,sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1},=,{e^{imath z}-e^{-imath z} over 2imath }=-imath sinh left(imath zright)}
cos⁡z=∑n=0∞(−1)n(2n)!z2n=eız+e−ız2=cosh⁡z){displaystyle cos z,=,sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n},=,{e^{imath z}+e^{-imath z} over 2}=cosh left(imath zright)}

Trong trường hợp đặc biệt, z = x, một

số thực

cos⁡x=Re (eıx){displaystyle cos x,=,{mbox{Re }}(e^{imath x})}
sin⁡x=Im (eıx){displaystyle sin x,=,{mbox{Im }}(e^{imath x})}

Định nghĩa bằng phương trình vi phân[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cả hai hàm sin và cos thỏa mãn

phương trình vi phân

y″=−y{displaystyle y,”=-y}

Các hàm này là các hàm trái dấu của vi phân bậc hai của chúng.

Trong

không gian vectơ

hai chiều V chứa tất cả các nghiệm của phương trình vi phân trên, sin là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 0 và y′(0) = 1, còn cos là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 1 và y′(0) = 0. Hai hàm này lại

độc lập tuyến tính

trong V, chúng tạo thành

hệ cơ sở

cho V.

Thực tế cách định nghĩa này tương đương với việc dùng công thức Euler. Phương trình vi phân không chỉ có thể được dùng để định nghĩa sin và cos mà còn có thể được dùng để chứng minh các

đẳng thức lượng giác

cho các hàm này.

Hàm tan là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân phi tuyến sau:

y′=1+y2{displaystyle y,’=1+y^{2}}

với điều kiện biên y(0) = 0. Xem

[1]

Lưu trữ

2004-06-02 tại

Wayback Machine

cho một chứng minh của công thức này.

Các phương trình trên chỉ đúng khi biến số trong các hàm lượng giác là radian. Nếu dùng đơn vị đo góc khác, biến số thay đổi bằng qua một nhân tử k. Ví dụ, nếu x được tính bằng độ, k sẽ là:

k=π180.{displaystyle k={frac {pi }{180}}.}

Lúc đó:

f(x)=sin⁡(kx);k≠0,k≠1{displaystyle f(x)=sin(kx);kneq 0,kneq 1,}

và vi phân của hàm sin bị thay đổi cùng nhân tử này:

f′(x)=kcos⁡(kx){displaystyle f'(x)=kcos(kx),}.

Nghĩa là hàm sẽ phải thỏa mãn:

y″=−k2y{displaystyle y”=-k^{2}y,}

Ví dụ trên cho hàm sin, điều tương tự cũng xảy ra cho hàm lượng giác khác.

Xem thêm: Kết Quả Bài Thực Hành Vật Lý 12 Cơ Bản: Đo Bước Sóng Ánh Sáng Bằng Phương Pháp Giao Thoa

Các định nghĩa khác[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hàm sin và cos, và các hàm lượng giác khác suy ra từ hai hàm này, có thể được định nghĩa là hàm sincos trong

định lý

sau:

Tồn tại duy nhất cặp hàm sincos trên trường

số thực

thỏa mãn:

  1. sin(x)2 + cos(x)2 = 1
  2. sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
  3. cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
  4. 0 < xcos(x) < sin(x) < x với mọi 0 < x < 1

Ở đây x,y∈R{displaystyle x,yin mathbb {R} }.

Miền xác định và miền giá trị[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Các

hàm số

lượng giác trên trường

số thực

miền xác định

miền giá trị

được tổng kết trong bảng sau:

Hàm Miền xác định Miền giá trị
sin R (toàn bộ trục

số thực

)

[-1, 1]
cos R [-1, 1]
tang R/{π/2 + |k nguyên} (các

số thực

khác π/2 + , với k là các

số nguyên

)

R
cotang R/{|k nguyên} (các

số thực

khác , với k là các

số nguyên

)

R

Phương pháp tính[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Việc tính giá trị số cho các hàm lượng giác là bài toán phức tạp. Ngày nay, đa số mọi người có thể dùng

máy tính

hay

máy tính bỏ túi khoa học

để tính giá trị các hàm này. Dưới đây trình bày việc dùng bảng tính trong lịch sử để tra giá trị các hàm lượng giác, kỹ thuật tính ngày nay trong máy tính, và một số giá trị chính xác dễ nhớ.

Trước hết, việc tính giá trị các hàm lượng giác chỉ cần tập trung vào các góc nằm, ví dụ, từ 0 đến π/2, vì giá trị của các hàm lượng giác ở các góc khác đều có thể được suy ra bằng tính chất tuần hoàn và đối xứng của các hàm.

Trước khi có máy tính, người ta thường tìm giá trị hàm lượng giác bằng cách

nội suy

từ một bảng tính sẵn, có độ chính xác tới nhiều

chữ số thập phân

. Các bảng tính này thường được xây dựng bằng cách sử dụng các

công thức lượng giác

, như công thức chia đôi góc, hay công thức cộng góc, bắt đầu từ một vài giá trị chính xác (như sin(π/2)=1).

Các máy tính hiện đại dùng nhiều kỹ thuật khác nhau (Kantabutra, 1996). Một phương pháp phổ biến, đặc biệt cho các máy tính có các bộ tính

số thập phân

, là kết hợp xấp xỉ

đa thức

(ví dụ

chuỗi Taylor

hữu hạn hoặc

hàm hữu tỉ

) với các bảng tính sẵn — đầu tiên, máy tính tìm đến giá trị tính sẵn trong bảng nhỏ cho góc nằm gần góc cần tính nhất, rồi dùng đa thức để sửa giá trị trong bảng về giá trị chính xác hơn. Trên các phần cứng không có

bộ số học và lô gíc

, có thể dùng

thuật toán

CORDIC

(hoặc các kỹ thuật tương tự) để tính hiệu quả hơn, vì thuật toán này chỉ dùng

toán tử chuyển vị

phép cộng

. Các phương pháp này đều thường được lắp sẵn trong các

phần cứng máy tính

để tăng tốc độ xử lý.

Đối với các góc đặc biệt, giá trị các hàm lượng giác có thể được tính bằng giấy và bút dựa vào

định lý Pytago

. Ví dụ như sin, cos và tang của các góc là bội của π/60 radian (3 độ) có thể tính được chính xác bằng giấy bút.

Một ví dụ đơn giản là

tam giác vuông cân

với các góc nhọn bằng π/4

radian

(45 độ). Cạnh kề b bằng cạnh đối a và có thể đặt a = b = 1. Sin, cos và tang của π/4

radian

(45 độ) có thể tính bằng định lý Pytago như sau:

c=a2+b2=2{displaystyle c={sqrt {a^{2}+b^{2}}}={sqrt {2}}}

Nên:

sin⁡/4)=sin⁡(45∘)=cos⁡/4)=cos⁡(45∘)=12{displaystyle sin left(pi /4right)=sin left(45^{circ }right)=cos left(pi /4right)=cos left(45^{circ }right)={1 over {sqrt {2}}}}
tan⁡/4)=tan⁡(45∘)=22=1{displaystyle tan left(pi /4right)=tan left(45^{circ }right)={{sqrt {2}} over {sqrt {2}}}=1}

Một ví dụ khác là tìm giá trị hàm lượng giác của π/3 radian (60 độ) và π/6 radian (30 độ), có thể bắt đầu với

tam giác đều

có các cạnh bằng 1. Cả ba góc của

tam giác

bằng π/3 radian (60 độ). Chia đôi

tam giác

này thành hai

tam giác

vuông có góc nhọn π/6 radian (30 độ) và π/3 radian (60 độ). Mỗi

tam giác

vuông có cạnh ngắn nhất là 1/2, cạnh huyền bằng 1 và cạnh còn lại bằng (√3)/2. Như vậy:

sin⁡/6)=sin⁡(30∘)=cos⁡/3)=cos⁡(60∘)=12{displaystyle sin left(pi /6right)=sin left(30^{circ }right)=cos left(pi /3right)=cos left(60^{circ }right)={1 over 2}}
cos⁡/6)=cos⁡(30∘)=sin⁡/3)=sin⁡(60∘)=32{displaystyle cos left(pi /6right)=cos left(30^{circ }right)=sin left(pi /3right)=sin left(60^{circ }right)={{sqrt {3}} over 2}}
tan⁡/6)=tan⁡(30∘)=cot⁡/3)=cot⁡(60∘)=13{displaystyle tan left(pi /6right)=tan left(30^{circ }right)=cot left(pi /3right)=cot left(60^{circ }right)={1 over {sqrt {3}}}}

Hàm lượng giác ngược[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Các hàm lượng giác tuần hoàn, do vậy để tìm hàm ngược, cần giới hạn miền của hàm. Dươi đây là định nghĩa các hàm lượng giác ngược:

Giới hạn miền Định nghĩa
-π/2 ≤ y ≤ π/2 y = arcsin(x)

khi và chỉ khi

x = sin(y)

0 ≤ y ≤ π y = arccos(x) khi và chỉ khi x = cos(y)
-π/2 < y < π/2 y = arctan(x) khi và chỉ khi x = tan(y)
0 < y < π y = arccot(x) khi và chỉ khi x = cot(y)
0 < y < π và y ≠ π/2 y = arcsec(x) khi và chỉ khi x = sec(y)
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0 y = arccsc(x) khi và chỉ khi x = csc(y)

Các hàm ngược được ký hiệu là arcsin và arccos

Các hàm lượng giác ngược cũng có thể được định nghĩa bằng chuỗi vô hạn:

arcsin⁡z=z+(12)z33+(1⋅32⋅4)z55+(1⋅3⋅52⋅4⋅6)z77+⋯=∑n=0∞((2n)!22n(n!)2)z2n+1(2n+1)|z|<1{displaystyle {begin{matrix}arcsin z&=&z+left({frac {1}{2}}right){frac {z^{3}}{3}}+left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}}right){frac {z^{5}}{5}}+left({frac {1cdot 3cdot 5}{2cdot 4cdot 6}}right){frac {z^{7}}{7}}+cdots \&=&sum _{n=0}^{infty }left({frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}right){frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}}end{matrix}},quad left|zright|<1}
arccos⁡z=π2−arcsin⁡z=π2−(z+(12)z33+(1⋅32⋅4)z55+(1⋅3⋅52⋅4⋅6)z77+⋯)=π2−n=0∞((2n)!22n(n!)2)z2n+1(2n+1)|z|<1{displaystyle {begin{matrix}arccos z&=&{frac {pi }{2}}-arcsin z\&=&{frac {pi }{2}}-(z+left({frac {1}{2}}right){frac {z^{3}}{3}}+left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}}right){frac {z^{5}}{5}}+left({frac {1cdot 3cdot 5}{2cdot 4cdot 6}}right){frac {z^{7}}{7}}+cdots )\&=&{frac {pi }{2}}-sum _{n=0}^{infty }left({frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}right){frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}}end{matrix}},quad left|zright|<1}
arctan⁡z=z−z33+z55−z77+⋯=∑n=0∞(−1)nz2n+12n+1|z|<1{displaystyle {begin{matrix}arctan z&=&z-{frac {z^{3}}{3}}+{frac {z^{5}}{5}}-{frac {z^{7}}{7}}+cdots \&=&sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}end{matrix}},quad left|zright|<1}
arccot⁡z=π2−arctan⁡z=π2−(z−z33+z55−z77+⋯)=π2−n=0∞(−1)nz2n+12n+1|z|<1{displaystyle {begin{matrix}operatorname {arccot} z&=&{frac {pi }{2}}-arctan z\&=&{frac {pi }{2}}-(z-{frac {z^{3}}{3}}+{frac {z^{5}}{5}}-{frac {z^{7}}{7}}+cdots )\&=&{frac {pi }{2}}-sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}end{matrix}},quad left|zright|<1}
arccsc⁡z=arcsin⁡(z−1)=z−1+(12)z−33+(1⋅32⋅4)z−55+(1⋅3⋅52⋅4⋅6)z−77+⋯=∑n=0∞((2n)!22n(n!)2)z−(2n+1)2n+1|z|>1{displaystyle {begin{matrix}operatorname {arccsc} z&=&arcsin left(z^{-1}right)\&=&z^{-1}+left({frac {1}{2}}right){frac {z^{-3}}{3}}+left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}}right){frac {z^{-5}}{5}}+left({frac {1cdot 3cdot 5}{2cdot 4cdot 6}}right){frac {z^{-7}}{7}}+cdots \&=&sum _{n=0}^{infty }left({frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}right){frac {z^{-(2n+1)}}{2n+1}}end{matrix}},quad left|zright|>1}
arcsec⁡z=arccos⁡(z−1)=π2−(z−1+(12)z−33+(1⋅32⋅4)z−55+(1⋅3⋅52⋅4⋅6)z−77+⋯)=π2−n=0∞((2n)!22n(n!)2)z−(2n+1)(2n+1)|z|>1{displaystyle {begin{matrix}operatorname {arcsec} z&=&arccos left(z^{-1}right)\&=&{frac {pi }{2}}-(z^{-1}+left({frac {1}{2}}right){frac {z^{-3}}{3}}+left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}}right){frac {z^{-5}}{5}}+left({frac {1cdot 3cdot 5}{2cdot 4cdot 6}}right){frac {z^{-7}}{7}}+cdots )\&=&{frac {pi }{2}}-sum _{n=0}^{infty }left({frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}right){frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}}end{matrix}},quad left|zright|>1}

Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác.

arcsin⁡(x)=∫0x11−z2dz,|x|<1{displaystyle arcsin left(xright)=int _{0}^{x}{frac {1}{sqrt {1-z^{2}}}},mathrm {d} z,quad |x|<1}
arccos⁡(x)=∫x111−z2dz,|x|<1{displaystyle arccos left(xright)=int _{x}^{1}{frac {1}{sqrt {1-z^{2}}}},mathrm {d} z,quad |x|<1}
arctan⁡(x)=∫0x11+z2dz,∀x∈R{displaystyle arctan left(xright)=int _{0}^{x}{frac {1}{1+z^{2}}},mathrm {d} z,quad forall xin mathbb {R} }
arccot⁡(x)=∫x∞1z2+1dz,z>0{displaystyle operatorname {arccot} left(xright)=int _{x}^{infty }{frac {1}{z^{2}+1}},mathrm {d} z,quad z>0}
arcsec⁡(x)=∫x11|z|z2−1dz,x>1{displaystyle operatorname {arcsec} left(xright)=int _{x}^{1}{frac {1}{|z|{sqrt {z^{2}-1}}}},mathrm {d} z,quad x>1}
arccsc⁡(x)=∫x∞1|z|z2−1dz,x>1{displaystyle operatorname {arccsc} left(xright)=int _{x}^{infty }{frac {-1}{|z|{sqrt {z^{2}-1}}}},mathrm {d} z,quad x>1}

Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác ngược ra cho các biến

phức

:

arcsin⁡(z)=−ilog⁡(i(z+1−z2)){displaystyle arcsin(z)=-ilog left(ileft(z+{sqrt {1-z^{2}}}right)right)}
arccos⁡(z)=−ilog⁡(z+z2−1){displaystyle arccos(z)=-ilog left(z+{sqrt {z^{2}-1}}right)}
arctan⁡(z)=i2log⁡(1−iz1+iz){displaystyle arctan(z)={frac {i}{2}}log left({frac {1-iz}{1+iz}}right)}

Xem thêm: Bài tập tình huống về xử phạt vi phạm hành chính?

Một số đẳng thức[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Xem thêm

Đẳng thức lượng giác

Xem thêm

Danh sách tích phân với hàm lượng giác

,

Danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược

sin⁡(x+y)=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y{displaystyle sin left(x+yright)=sin xcos y+cos xsin y}
sin⁡(x−y)=sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡y{displaystyle sin left(x-yright)=sin xcos y-cos xsin y}
cos⁡(x+y)=cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y{displaystyle cos left(x+yright)=cos xcos y-sin xsin y}
cos⁡(x−y)=cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y{displaystyle cos left(x-yright)=cos xcos y+sin xsin y}
sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡(x+y2)cos⁡(x−y2){displaystyle sin x+sin y=2sin left({frac {x+y}{2}}right)cos left({frac {x-y}{2}}right)}
sin⁡x−sin⁡y=2cos⁡(x+y2)sin⁡(x−y2){displaystyle sin x-sin y=2cos left({frac {x+y}{2}}right)sin left({frac {x-y}{2}}right)}
cos⁡x+cos⁡y=2cos⁡(x+y2)cos⁡(x−y2){displaystyle cos x+cos y=2cos left({frac {x+y}{2}}right)cos left({frac {x-y}{2}}right)}
cos⁡x−cos⁡y=−2sin⁡(x+y2)sin⁡(x−y2){displaystyle cos x-cos y=-2sin left({frac {x+y}{2}}right)sin left({frac {x-y}{2}}right)}
tan⁡x+tan⁡y=sin⁡(x+y)cos⁡xcos⁡y{displaystyle tan x+tan y={frac {sin left(x+yright)}{cos xcos y}}}
tan⁡x−tan⁡y=sin⁡(x−y)cos⁡xcos⁡y{displaystyle tan x-tan y={frac {sin left(x-yright)}{cos xcos y}}}
cot⁡x+cot⁡y=sin⁡(x+y)sin⁡xsin⁡y{displaystyle cot x+cot y={frac {sin left(x+yright)}{sin xsin y}}}
cot⁡x−cot⁡y=−sin⁡(x−y)sin⁡xsin⁡y{displaystyle cot x-cot y={frac {-sin left(x-yright)}{sin xsin y}}}

Tính chất và ứng dụng[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Định luật sin

định luật cos

có thể được

chứng minh

bằng việc chia đôi

tam giác

thành hai

tam giác vuông

.

Các hàm lượng giác có vị trí quan trọng trong

lượng giác học

. Bên ngoài lượng giác học, tính

tuần hoàn

của chúng có ích cho việc mô phỏng các

chuyển động sóng

như

sóng điện từ

hay

âm thanh

. Mọi tín hiệu đều có thể được phân tích thành tổng (vô hạn) của các hàm sin và cos ứng với nhiều

tần số

; đây là ý tưởng chủ đạo của

phân tích Fourier

, dùng để giải quyết các

bài toán điều kiện biên

phương trình đạo hàm riêng

.

Các tính chất quan trọng nhất của các hàm lượng giác trong

lượng giác học

được thể hiện ở ba định lý:

Định lý sin[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Định lý sin

phát biểu cho bất kỳ một

tam giác

nào:

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R{displaystyle {frac {a}{sin A}}={frac {b}{sin B}}={frac {c}{sin C}}=2R}

Có thể chứng minh định lý này bằng cách chia đôi

tam giác

thành hai

tam giác

vuông, rồi dùng định nghĩa của

hàm sin

. (sinA)/a là nghịch đảo của

đường kính

đường tròn

đi qua ba điểm A, BC. Định lý sin có thể dùng để tính độ dài của một cạnh khi đã biết độ dài hai cạnh còn lại của

tam giác

. Đây là bài toán hay gặp trong

kỹ thuật tam giác

, một kỹ thuật dùng để đo khoảng cách dựa vào việc đo các góc và các khoảng cách dễ đo khác.

Định lý cosin[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Định lý cos

là một kết quả mở rộng của

định lý Pytago

:

c2=a2+b2−2abcos⁡C{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos C,}

Định lý này cũng có thể được chứng minh bằng việc chia

tam giác

thành hai

tam giác

vuông. Định lý này có thể được dùng để tìm các dữ liệu chưa biết về một

tam giác

nếu đã biết độ lớn hai cạnh và một góc.

Nếu góc trong biểu thức không được quy ước rõ ràng, ví dụ nhỏ hơn 90°, thì sẽ có hai

tam giác

thỏa mãn định lý cos, ứng với hai góc C nằm trong khoảng từ 0 đến 180°Cùng cho một giá trị cos C

Định lý tang[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Định lý tang

phát biểu là:

a+ba−b=tan⁡[12(A+B)]tan⁡[12(A−B)]{displaystyle {frac {a+b}{a-b}}={frac {tan {big [}{cfrac {1}{2}}(A+B){big ]}}{tan {big [}{cfrac {1}{2}}(A-B){big ]}}}}

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

(bằng

tiếng Anh

)

  • Carl B. Boyer, A History of Mathematics, 2nd ed. (Wiley, New York, 1991).
  • Eli Maor,

    Trigonometric Delights

    Lưu trữ

    2006-04-14 tại

    Wayback Machine

    (Princeton Univ. Press, 1998).

  • Trigonometric functions

    Lưu trữ

    2013-01-20 tại

    Wayback Machine

    “, MacTutor History of Mathematics Archive.

  • Tristan Needham, Visual Complex Analysis, (Oxford University Press, 2000),

    ISBN 0198534469

    Book website

  • Vitit Kantabutra, “On hardware for computing exponential and trigonometric functions,” IEEE Trans. Computers 45 (3), 328-339 (1996).

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Hàm hypebolic

  • Định lý Pytago

  • Đẳng thức lượng giác

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

(bằng

tiếng Anh

)

  • Khóa học lượng giác của Dave

    Lưu trữ

    2005-02-04 tại

    Wayback Machine

    dùng các ứng dụng Java để mô tả các tính chất của hàm lượng giác.

  • Vẽ đồ thị hàm số

    hoàn toàn bằng

    Javascript

    . Chạy trên hầu hết các

    trình duyệt

    hiện đại.

  • Công thức tính liên quan đến cos

    Lưu trữ

    2007-09-29 tại

    Wayback Machine

    .

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Hàm_lượng_giác&oldid=65023938

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button