Kiến thức

Hàm liên tục – Wikipedia tiếng Việt

Hàm liên tục

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Hàm số không thay đổi đột ngột trong giá trị

Trong

toán học

, một hàm liên tục hay hàm số liên tục là một

hàm số

không có sự thay đổi đột ngột trong giá trị của nó, gọi là những

điểm gián đoạn

. Chính xác hơn, thay đổi rất ít đầu vào của hàm liên tục thì sự chênh lệch của đầu ra cũng nhỏ tùy ý. Một hàm số không liên tục còn gọi là hàm gián đoạn. Đến trước thế kỷ 19, các nhà toán học phần lớn sử dụng những khái niệm liên tục

cảm tính

, dẫn đến những nỗ lực chặt chẽ hóa nó như là

định nghĩa epsilon–delta

.

Dạng định nghĩa

epsilon-delta

được đề cập đầu tiên bởi

Bernard Bolzano

năm 1817. Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi

Augustin-Louis Cauchy

. Cauchy định nghĩa liên tục của f{displaystyle f} như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập x{displaystyle x} luôn luôn là một sự thay đổi tăng vô cùng nhỏ của f(x){displaystyle f(x)}. Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay.

Tính liên tục của hàm số là một khái niệm quan trọng trong

tô pô học

. Phần mở đầu của bài viết này tập trung vào trường hợp đặc biệt khi đầu vào và đầu ra của hàm số là những

số thực

. Một dạng mạnh hơn của tính liên tục là

liên tục đều

. Ngoài ra, bài viết này cũng có định nghĩa cho những trường hợp hàm số giữa hai

không gian mêtric

. Trong

lý thuyết thứ tự

, đặc biệt là

lý thuyết miền

, ta có khái niệm liên tục gọi là

tính liên tục Scott

.

Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930.

Eduard Heine

công bố lần đầu tiên định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng từ bài giảng của

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

năm 1854.

Một ví dụ đơn giản, hàm số H(t) thể hiện chiều cao của một cây đang mọc tại thời gian t có thể được coi là liên tục. Ngược lại, hàm số M(t) chỉ số tiền trong một tài khoản ngân hàng tại thời gian t là không liên tục, vì nó sẽ “nhảy” mỗi lần một số tiền được gửi vào hay rút ra.

Lịch sử[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Dạng định nghĩa

epsilon-delta

được đề cập đầu tiên bởi

Bernard Bolzano

năm 1817. Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi

Augustin-Louis Cauchy

. Cauchy định nghĩa liên tục của f{displaystyle f} như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập x{displaystyle x} luôn luôn là một sự thay đổi tăng vô cùng nhỏ của f(x){displaystyle f(x)}. Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay.

Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930.

Eduard Heine

công bố lần đầu tiên định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng từ bài giảng của

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

năm 1854.

Hàm số thực[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Định nghĩa[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hàm số f(x)=1x{displaystyle f(x)={tfrac {1}{x}}} liên tục trên tập xác định R∖{0}{displaystyle mathbb {R} setminus {0}}, nhưng không liên tục trên toàn bộ R{displaystyle mathbb {R} } vì nó không có nghĩa tại x=0{displaystyle x=0}

Một

hàm số thực

, ở đây nghĩa là hàm số từ

tập số thực

đến tập số thực, có thể được biểu diễn bằng

đồ thị

trong

mặt phẳng tọa độ

; một hàm số như thế là liên tục nếu, nói đại khái, đồ thị của nó là một

đường cong

duy nhất không bị đứt gãy chạy trên toàn tập số thực. Một định nghĩa chính xác hơn được đưa ở dưới.

[1]

Định nghĩa chặt chẽ cho tính liên tục của hàm số thực thường sử dụng khái niệm

giới hạn

. Hàm số f theo biến x được gọi là liên tục tại điểm c trên trục số thực, nếu giới hạn của f(x) khi x tiến tới c, bằng giá trị f(c); và hàm số được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm. Một hàm số được gọi là gián đoạn tại một điểm khi nó không liên tục tại điểm đó. Những điểm này gọi là các điểm gián đoạn.

Có một số cách hiểu khác nhau cho tính liên tục của hàm số. Do đó, khi sử dụng khái niệm liên tục, cần phải cẩn thận coi ý nghĩa liên tục nào được dùng. Khi nói một hàm số là liên tục, người ta có thể mang một trong các ý nghĩa sau:

  • Hàm số liên tục tại mọi điểm trong tập xác định của nó. Theo nghĩa này, hàm số f(x) = tan(x) liên tục trên tập xác định là tất cả số thực x ≠ (2n+1)π/2, n số nguyên bất kỳ.
  • Tại giá trị biên của tập xác định, chỉ xét giới hạn một bên. Ví dụ, hàm số g(x) = x, với tập xác định là các số thực không âm, chỉ có giới hạn bên phải tại x = 0. Trong trường hợp này chỉ cần giới hạn một bên của hàm số bằng giá trị của hàm số, tức g có thể coi là liên tục trên toàn bộ tập số thực không âm.
  • Hàm số liên tục tại mọi số thực. Theo nghĩa này, hai hàm số nêu trên không liên tục, còn các hàm

    đa thức

    , hàm

    sin

    ,

    cosin

    , và

    hàm mũ

    đều liên tục.

Sử dụng ký hiệu toán học, có vài cách để định nghĩa hàm liên tục theo một trong ba cách hiểu nói trên.

Đặt f: DR là hàm số định nghĩa trên một

tập con

D của tập

số thực

R. Tập con D này là

tập xác định

của f. Một số khả năng cho D bao gồm:

D=R{displaystyle D=mathbf {R} quad } (D là toàn bộ tập số thực), hoặc với các số thực a, b,
D=[a,b]={x∈R|a≤x≤b}{displaystyle D=[a,b]={xin mathbf {R} ,|,aleq xleq b}quad } (D là một

khoảng đóng

), hay

D=(a,b)={x∈R|a<x<b}{displaystyle D=(a,b)={xin mathbf {R} ,|,a<x<b}quad } (D là một

khoảng mở

).

Trong trường hợp D là một khoảng mở, ab không phải là giá trị biên của tập xác định, và các giá trị f(a)f(b) không ảnh hưởng đến tính liên tục của f trên D.

Bạn đang xem: Hàm liên tục – Wikipedia tiếng Việt

Định nghĩa liên tục theo giới hạn của hàm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hàm f{displaystyle f} gọi là liên tục tại điểm c{displaystyle c} trên miền xác định nếu giới hạn của f(x){displaystyle f(x)} khi x{displaystyle x} tiến dần về c{displaystyle c} tồn tại và bằng giá trị của f(c){displaystyle f(c)}. Ta viết:

limx→cf(x)=f(c){displaystyle {underset {xrightarrow c}{lim }}f(x)=f(c)}

hay chính là 3 điều kiện sau: 1 là f{displaystyle f} xác định tại c{displaystyle c}, 2 là giới hạn bên vế trái là tồn tại, thứ 3 là giá trị của giới hạn phải bằng f(c){displaystyle f(c)}.

Hàm f{displaystyle f} là liên tục nếu liên tục tại mọi điểm trong

miền xác định

.

Định nghĩa theo giới hạn của dãy[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho dãy (xn)n∈N{displaystyle (x_{n})_{nin mathbb {N} }} bất kì trên miền xác định hội tụ về c{displaystyle c}, thì tương ứng dãy (f(xn))n∈N{displaystyle (f(x_{n}))_{nin mathbb {N} }} hội tụ về f(c){displaystyle f(c)}

Biểu diễn liên tục theo epsilon–delta

Đồ thị hàm f(x)=2x−1x+2{displaystyle f(x)={frac {2x-1}{x+2}}}

Định nghĩa liên tục theo epsilon–delta[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho số thực bất kỳ ε>0{displaystyle varepsilon >0}, tồn tại số thực δ>0{displaystyle delta >0} sao cho với mọi x{displaystyle x} trong miền xác định của f{displaystyle f} với c−δ<x<c+δ{displaystyle c-delta <x<c+delta }, giá trị của f(x){displaystyle f(x)} thỏa

f(c)−ε<f(x)<f(c)+ε{displaystyle f(c)-varepsilon <f(x)<f(c)+varepsilon }

Liên tục của f:I→R{displaystyle f,:,Irightarrow mathbb {R} } tại c{displaystyle c} là với mọi ε>0{displaystyle varepsilon >0}, tồn tại δ>0{displaystyle delta >0} sao cho với mọi x∈I{displaystyle xin I}

|x−c|<δ|f(x)−f(c)|<ε{displaystyle vert x-cvert <delta Rightarrow vert f(x)-f(c)vert <varepsilon }

Đồ thị hàm sign⁡(x){displaystyle operatorname {sign} (x)} trên R{displaystyle mathbb {R} }

Ví dụ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hàm f(x)=2x−1x+2{displaystyle f(x)={frac {2x-1}{x+2}}} liên tục trên miền xác định R∖{−2}{displaystyle mathbb {Rbackslash } {-2}}

Phản ví dụ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

sgn⁡(x)={1,x>00,x=0−1,x<0{displaystyle operatorname {sgn}(x)={begin{cases}1,x>0\0,x=0\-1,x<0end{cases}}}

Ví dụ về hàm không liên tục với ε=12{displaystyle varepsilon ={frac {1}{2}}}, lấy với mọi y≠0{displaystyle yneq 0}, khi đó không tồn tại δ>0:|y−0|=|y|<δ{displaystyle delta >0,:,vert y-0vert =vert yvert <delta } sao cho |f(y)−f(0)|=<ϵ=12{displaystyle vert f(y)-f(0)vert =<epsilon ={frac {1}{2}}}|f(y)−f(0)|=1∀y≠0{displaystyle vert f(y)-f(0)vert =1,forall yneq 0}

Tính chất[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Định lý giá trị trung bình[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho f:[a,b]→R{displaystyle f,:,[a,b]rightarrow mathbb {R} } là liên tục, giả sử s{displaystyle s} nằm giũa f(a){displaystyle f(a)}f(b){displaystyle f(b)}. Khi đó tồn tại ít nhất một c∈[a,b]{displaystyle cin [a,,b]} sao cho f(c)=s{displaystyle f(c)=s}.

Ví dụ như một đứa trẻ từ khi 4 tuổi đến khi 8 tuổi, chiều cao tăng từ 1m đến 1.5m, khi đó sẽ có 1 thời điểm nào đó trong khoảng 4 tuổi đến 8 tuổi, đứa trẻ cao 1.2m

Định lý giá trị cực[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho khoảng [a,b]{displaystyle [a,,b]} (khoảng đóng và bị chặn) và f:[a,b]→R{displaystyle f,:,[a,,b]rightarrow mathbb {R} } là liên tục, khi đó f{displaystyle f}

giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất trên [a,b]{displaystyle [a,,b]}, hay tồn tại c,d∈[a,b]{displaystyle c,,din [a,,b]} sao cho f(c)≤f(x)≤f(d){displaystyle f(c)leq f(x)leq f(d)} với mọi x∈X{displaystyle xin X}.

Xem thêm: Đảm bảo an toàn hoạt động ngân hàng dịp Tết Nguyên đán 2021

Định lý điểm cố định[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho a<b;a,b∈R{displaystyle a<b;,a,,bin mathbb {R} }, f:[a,b]→[a,b]{displaystyle f,:,[a,,b]rightarrow [a,,b]} liên tục, khi đó tồn tại ít nhất một c∈[a,b]{displaystyle cin [a,,b]} sao cho f(c)=c{displaystyle f(c)=c}.

Quan hệ với tính

khả tích

khả vi

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Mọi hàm f:(a,b)→R{displaystyle f,:,(a,b)rightarrow mathbb {R} } khả vi đều liên tục, điều ngược lại không đúng.

Ví dụ hàm

trị tuyệt đối

f(x)=|x|={x,x≥0−x,x<0{displaystyle f(x)=|x|={begin{cases}x,xgeq 0\-x,x<0end{cases}}} là liên tục trên R{displaystyle mathbb {R} } nhưng không

khả vi

tại 0.

Đạo hàm

f′(x){displaystyle f^{‘}(x)} của hàm khả vi f(x){displaystyle f(x)} không nhất thiết phải liên tục, nếu có

đạo hàm liên tục

thì ta gọi là

khải vi liên tục

. Tập các hàm này

không gian hàm

C1(a,b){displaystyle C^{1}(a,b)}.

Xét tập các hàm

f:ΩR{displaystyle f,:,Omega rightarrow mathbb {R} }

Trong đó Ω{displaystyle Omega }

tập con mở

trong R{displaystyle mathbb {R} } sao cho hàm f{displaystyle f}

khả vi liên tục

đến bậc k{displaystyle k}.

Tập các hàm này là không gian Ck(Ω){displaystyle C^{k}(Omega )}.

Mọi hàm

f:[a,b]→R{displaystyle f,:,[a,,b]rightarrow mathbb {R} }

đều khả tích, điều ngược lạ không đúng, ví dụ như hàm sign⁡(x){displaystyle operatorname {sign} (x)}

Đồ thị hàm sin⁡(x){displaystyle sin(x)}

Liên tục đều[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Giả sử Ω{displaystyle Omega } là tập con của R{displaystyle mathbb {R} } khi đó

f:ΩR{displaystyle f,:,Omega rightarrow mathbb {R} }

liên tục đều trên Ω{displaystyle Omega } nếu với mọi ϵ>0{displaystyle epsilon >0} cho trước tồn tại δ>0{displaystyle delta >0} chỉ phụ thuộc vào ϵ{displaystyle epsilon } sao cho |x−x′|<δ{displaystyle vert x-x’vert <delta }, x,x′∈Ω{displaystyle forall x,,x^{‘}in Omega } thì

|f(x)−f(x′)|<ε{displaystyle vert f(x)-f(x’)vert <varepsilon }

Ví dụ như hàm y=sin⁡(x){displaystyle y=sin(x)}y=x{displaystyle y=x}

Dãy hàm

liên tục hội tụ về hàm không liên tục

Hội tụ

của dãy hàm liên tục[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho dãy (fn)n∈N:I→R{displaystyle (f_{n})_{nin mathbb {N} },:,Irightarrow mathbb {R} }

các hàm liên tục sao cho

f(x)=limn→fn(x){displaystyle f(x)=lim _{nrightarrow infty }f_{n}(x)}

tồn tại với mọi x∈I{displaystyle xin I}, khi đó hàm f(x){displaystyle f(x)}

giới hạn từng điểm

của hãy (fn)n∈N{displaystyle (f_{n})_{nin mathbb {N} }}, hàm f{displaystyle f} không nhất thiết liên tục cho dù fn{displaystyle f_{n}} là liên tục.

Tuy nhiên nếu f{displaystyle f} liên tục, khi đó dãy (fn)n∈N{displaystyle (f_{n})_{nin mathbb {N} }}

hội tụ đều

Hàm không liên tục mọi nơi

[2]

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Là hàm không liên tục tại mọi điểm trên miền xác định. Hàm Dirichlet

Cho c{displaystyle c}d{displaystyle d} là hai số thực(thường lấy c=1{displaystyle c=1}d=0{displaystyle d=0}), định nghĩa bởi

D(x)={c,x∈Qd,x∉Q{displaystyle D(x)={begin{cases}c,xin mathbb {Q} \d,xnotin mathbb {Q} end{cases}}}

là không liên tục mọi nơi, hàm có thể phân tích thành

D(x)=limm→limn→cos2n⁡(m!πx){displaystyle D(x)={underset {mrightarrow infty }{lim }}{underset {nrightarrow infty }{lim }}cos ^{2n}(m!pi x)} Nếu E{displaystyle E} là tập con bất kì của

không gian tô pô

X{displaystyle X} sao cho cả E{displaystyle E}

phần bù

của E{displaystyle E}

trù mật

trong X{displaystyle X} sẽ không liên tục mọi nơi. Hàm này được nghiên cứu đầu tiên bởi

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

.

[3]

Liên tục trên

không gian mêtric

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Định nghĩa[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Liên tục trên

không gian mê tric

với định nghĩa:

Cho (X,d1){displaystyle (X,d_{1})}(Y,d2){displaystyle (Y,d_{2})} là 2 không gian mê tric.

Ánh xạ f:(X,d1)→(Y,d2){displaystyle f,,:,(X,d_{1}),rightarrow ,(Y,d_{2})} liên tục tại x∈X{displaystyle xin X} nếu

ε>0,∃σ>0,d1(x,y)<σd2(f(y),f(x))<ε{displaystyle forall varepsilon >0,,exists sigma >0,,d_{1}(x,y),<,sigma ,Rightarrow d_{2}(f(y),f(x)),<varepsilon }

hay với mọi B(f(x),ε){displaystyle B(f(x),varepsilon )} tâm tại f(x){displaystyle f(x)} khi đó B(x,σ){displaystyle exists B(x,sigma )} tâm tại x{displaystyle x} sao cho

f(B(x,σ))⊂B(f(x),ε){displaystyle f(B(x,sigma ))subset B(f(x),varepsilon )}.

Tính chất[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Cho (X,d){displaystyle (X,,d)}

    không gian mêtric

    , A{displaystyle A}

    tập con

    của X{displaystyle X} thì fA:X→R{displaystyle f_{A},:,Xrightarrow mathbb {R} } với fA(x)=d({x},A){displaystyle f_{A}(x)=d({x},,A)} là liên tục.

Liên tục

Lipchitz

[4]

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho hai không gian mêtric (X,dX){displaystyle (X,d_{X})}(Y,dY){displaystyle (Y,d_{Y})} với dX{displaystyle d_{X}} là mêtric trên X{displaystyle X}dY{displaystyle d_{Y}} là mêtric trên Y{displaystyle Y}.

f:X→Y{displaystyle f,:,Xrightarrow Y}liên tục Lipchitz nếu tồn tại hằng số K≥0{displaystyle Kgeq 0} sao cho với mọi x1,x2∈X{displaystyle x_{1},,x_{2}in X}

dY(f(x1),f(x2))≤KdX(x1,x2){displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),,f(x_{2}))leq K,d_{X}(x_{1},,x_{2})}

Ví dụ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hàm f(x)=x2+5{displaystyle f(x)={sqrt {x^{2}}}+5} liên tục Lipchitz với K=1{displaystyle K=1}.

Liên tục

Holder

[4]

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho hai

không gian mêtric

(X,dX){displaystyle (X,d_{X})}(Y,dY){displaystyle (Y,d_{Y})} với dX{displaystyle d_{X}} là mêtric trên X{displaystyle X}dY{displaystyle d_{Y}}

mêtric

trên Y{displaystyle Y}, với α{displaystyle alpha }

số thực

.

f:X→Y{displaystyle f,:,Xrightarrow Y}liên tục Holder nếu tồn tại hằng số K≥0{displaystyle Kgeq 0} sao cho với mọi x1,x2∈X{displaystyle x_{1},,x_{2}in X}

dY(f(x1),f(x2))≤K(dX(x1,x2))α{displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),,f(x_{2}))leq K(,d_{X}(x_{1},,x_{2}))^{alpha }}

Xem thêm: Giáo án điện tử bài phương trình đường tròn lớp 10

Ví dụ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

f(x)=x{displaystyle f(x)={sqrt {x}}}

liên tục Holder

với α12{displaystyle alpha leq {frac {1}{2}}}, nhưng không

liên tục Lipchitz

.

Liên tục Cauchy

[5]

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho X{displaystyle X}Y{displaystyle Y} là hai

không gian mêtric

, f{displaystyle f} là hàm từ X{displaystyle X} vào Y{displaystyle Y}.

Hàm f{displaystyle f}

liên tục Cauchy

nếu và chỉ nếu cho

dãy Cauchy

bất kì (x1,x2,…){displaystyle (x_{1},x_{2},…)} trong X{displaystyle X}, dãy (f(x1),f(x2),…){displaystyle (f(x_{1}),,f(x_{2}),,…)} là dãy Cauchy trong Y{displaystyle Y}.

Mọi hàm liên tục đều thì liên tục Cauchy, liên tục Cauchy là liên tục. Nếu X{displaystyle X}

không gian đầy đủ

, thì mọi hàm liên tục trên X{displaystyle X}

liên tục Cauchy

.

ví dụ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Trên

đường thẳng thực

R{displaystyle mathbb {R} } liên tục cũng chính là

liên tục Cauchy

.

Hàm f(x)=0{displaystyle f(x)=0} khi x2<2{displaystyle x^{2}<2}f(x)=1{displaystyle f(x)=1} khi x2>2{displaystyle x^{2}>2} với mọi số hữu tỉ x{displaystyle x}. Hàm này liên tục trên Q{displaystyle mathbb {Q} } nhưng không

liên tục Cauchy

Liên tục trong

không gian tô pô

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Nghiên cứu về không gian Tô pô, ta có nhiều khái niệm khác nhau về quan hệ giữa các

không gian tô pô

với nhau và giữa các

không gian con

của chúng. Ta muốn xem xét hàm đưa một không gian tô pô vào không gian tô pô khác, Tính liên tục của là một trong những khái niệm cốt lõi của không gian tô pô, được mô tả trực quan tính sinh động trong không gian hình học.

Định nghĩa[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Ánh xạ từ X vào Y liên tục tại điểm x
U là lân cận của x trong X

  • Cho X{displaystyle X}Y{displaystyle Y} là hai không gian tô pô. Ánh xạ f:X→Y{displaystyle f,,:,X,rightarrow ,Y} là liên tục tại điểm x{displaystyle x} trong X{displaystyle X} nếu mọi

    tập mở

    V{displaystyle V} trong Y{displaystyle Y} chứa f(x){displaystyle f(x)} thì có tập mở U{displaystyle U} của X{displaystyle X} chứa x{displaystyle x} sao cho f(U){displaystyle f(U)} chứa trong V{displaystyle V}. Ta nói f{displaystyle f} liên tục trên X{displaystyle X} nếu nó liên tục tại mọi điểm trên X{displaystyle X}.

  • Lân cận

    của điểm x∈X{displaystyle xin X} là tập con của X{displaystyle X} chứa tập mở chứa x{displaystyle x}. Lân cận không cần phải mở.

  • f{displaystyle f} liên tục tại x{displaystyle x} nếu mọi tập mở V{displaystyle V} chứa f(x){displaystyle f(x)} thì tập f−1(V){displaystyle f^{-1}(V)} là lân cận của x{displaystyle x}.

    [6]

Định lý[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Ánh xạ

    là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược

    [7]

    của tập mở là tập mở. Hay f:X→Y{displaystyle f,,:,X,rightarrow ,Y} liên tục khi và chỉ khi với mọi V{displaystyle V} mở trong Y{displaystyle Y} thì f−1(V){displaystyle f^{-1}(V)} mở trong X{displaystyle X}.

Chứng minh
({displaystyle Rightarrow }) Giả sử rằng f:X→Y{displaystyle f,,:,X,rightarrow ,Y} là liên tục. Cho U{displaystyle U} là tập mở trong Y{displaystyle Y}. Cho x∈f−1(U){displaystyle xin f^{-1}(U)}. Vì f{displaystyle f} liên tục tại x{displaystyle x}U{displaystyle U} là lân cận mở của f(x){displaystyle f(x)} thì có mở Vx{displaystyle V_{x}} chứa x{displaystyle x} sao cho Vx{displaystyle V_{x}} chứa trong f−1(U){displaystyle f^{-1}(U)}. Do đó f−1(U)=∪x∈f−1(U)Vx{displaystyle f^{-1}(U)=cup _{xin f^{-1}(U)}V_{x}} là mở.
({displaystyle Leftarrow }) Giả sử rằng ảnh ngược của mọi tập mở là tập mở. Cho x∈X{displaystyle xin X}, U{displaystyle U} là lân cận mở của f(x){displaystyle f(x)}. Khi đó V=f−1(U){displaystyle V=f^{-1}(U)} là tập mở chứa x{displaystyle x}, và f(V){displaystyle f(V)} chứa trong U{displaystyle U}. Vì thế f{displaystyle f} liên tục tại x{displaystyle x}.

Một số tính chất và mệnh đề

[8]

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Ánh xạ là liên tục

    nếu và chỉ nếu

    ảnh ngược

    của

    tập đóng

    là tập đóng.

  • Cho X{displaystyle X}Y{displaystyle Y} là hai không gian tô pôB{displaystyle mathbb {B} }

    cơ sở

    của tô pô trên Y{displaystyle Y}. Khi đó f:X→Y{displaystyle f,,:,X,rightarrow ,Y} liên tục nếu và chỉ nếu f−1(B){displaystyle f^{-1}(B)} là mở trong X{displaystyle X} với mọi B∈B{displaystyle Bin mathbb {B} }.

  • Cho R{displaystyle mathbb {R} } với tô pô

    định chuẩn

    . Khi đó mọi hàm

    đa thức

    p:R→R{displaystyle p,:,mathbb {R} ,rightarrow ,mathbb {R} } với p(x)=anxn+…+a1x+a+0{displaystyle p(x),=a_{n}x^{n}+…+a_{1}x+a+0} là liên tục.

  • Giả sử f:X→Y{displaystyle f,,:,X,rightarrow ,Y} là liên tục. Nếu dãy (x1,x2,…){displaystyle (x_{1},,x_{2},,…)} trong X{displaystyle X} hội tụ về x{displaystyle x} khi đó dãy (f(x1),f(x2),…){displaystyle (f(x_{1}),,f(x_{2}),,…)} trong Y{displaystyle Y} hội tụ về f(x){displaystyle f(x)}.
  • Cho f:X→Y{displaystyle f,,:,X,rightarrow ,Y}g:Y→Z{displaystyle g,,:,Y,rightarrow ,Z} liên tục. Khi đó

    hàm hợp

    g∘f:X→Z{displaystyle g,circ ,f,,:,X,rightarrow ,Z} là liên tục.

  • Cho X,Y{displaystyle X,Y} là hai

    không gian tô pô

    , A{displaystyle A}

    không gian con

    của X{displaystyle X}. Cho f:X→Y{displaystyle f,:,Xrightarrow Y} liên tục. Khi đó f|A:A→Y{displaystyle f|_{A},:,Arightarrow Y} liên tục.

Liên tục trong

không gian tô pô liên thông

[8]

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Cho f:X→Y{displaystyle f,,:,X,rightarrow ,Y} liên tục, nếu X{displaystyle X}

    liên thông

    thì f(X){displaystyle f(X)}

    liên thông

    .

  • Cho f:X→Y{displaystyle f,,:,X,rightarrow ,Y} liên tục, nếu X{displaystyle X}

    liên thông đường

    thì f(X){displaystyle f(X)}

    liên thông đường

    .

  • Cho X{displaystyle X}

    không gian tô pô liên thông

    , và f:X→R{displaystyle f,:,Xrightarrow mathbb {R} } liên tục. Nếu p,q∈f(X){displaystyle p,,qin f(X)}p≤r≤q{displaystyle pleq rleq q}, khi đó r∈f(X){displaystyle rin f(X)}. (

    Định lý giá trị trung bình mở rộng

    )

  • Cho f:S2→R{displaystyle f,:,S^{2}rightarrow mathbb {R} } liên tục, khi đó tồn tại c∈S2{displaystyle cin S^{2}} sao cho f(c)=f(−c){displaystyle f(c)=f(-c)}.

Liên tục trong không gian tô pô

compact

[8]

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Cho f:X→Y{displaystyle f,,:,X,rightarrow ,Y} liên tục, nếu X{displaystyle X}

    compact

    thì f(X){displaystyle f(X)}

    compact

    .

  • Cho X{displaystyle X} compact và f:X→R{displaystyle f,:,Xrightarrow mathbb {R} } là liên tục, khi đó f{displaystyle f}

    giá trị lớn nhất

    và giá trị nhỏ nhất trên X{displaystyle X}, hay tồn tại a,b∈X{displaystyle a,,bin X} sao cho f(a)≤f(x)≤f(b){displaystyle f(a)leq f(x)leq f(b)} với mọi x∈X{displaystyle xin X}.

  • Cho [a,b]{displaystyle [a,,b]}

    khoảng đóng

    bị chặn

    trong R{displaystyle mathbb {R} }. Giả sử f:[a,b]→R{displaystyle f,:,[a,,b]rightarrow mathbb {R} } là liên tục. Khi đó

    ảnh

    của f{displaystyle f} là khoảng đóng và

    bị chặn

    trong R{displaystyle mathbb {R} }.

Ví dụ 1: Tính liên tục của 3 ánh xạ f,g,h{displaystyle f,g,h} đi từ không gian tô pô X{displaystyle X} vào không gian tô pô Y{displaystyle Y}

Ví dụ 2: Ánh xạ liên tục trên cơ sở

Ví Dụ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Ví dụ 1: Cho X={a,b,c,d}{displaystyle X={a,b,c,d}}Y={1,2,3}{displaystyle Y={1,2,3}} là 2 không gian tô pô được miêu tả ở hình bên, với f,g,h:X→Y{displaystyle f,g,h,:,X,rightarrow Y} xác định:
f(a)=1,f(b)=1,f(c)=2,f(d)=2{displaystyle f(a)=1,,f(b)=1,,f(c)=2,,f(d)=2}
g(a)=2,g(b)=2,g(c)=1,g(d)=3{displaystyle g(a)=2,,g(b)=2,,g(c)=1,,g(d)=3}
h(a)=1,h(b)=2,h(c)=2,h(d)=3{displaystyle h(a)=1,,h(b)=2,,h(c)=2,,h(d)=3}
f,g{displaystyle f,g} liên tục và h{displaystyle h} không liên tục.
Ví dụ 2: Xét (a,b){displaystyle (a,b)} với a<b{displaystyle a<b}a,b∈R{displaystyle a,bin mathbb {R} }, có B={(x,b)|x∈(a,b)}{displaystyle mathbb {B} ={(x,b)|xin (a,b)}}B′={(a,y)|y∈(a,b)}{displaystyle mathbb {B} ^{‘}={(a,y)|yin (a,b)}} là hai cơ sở. Ánh xạ
f:z→b−z+a{displaystyle f,:,zrightarrow b-z+a} với z∈(a,x),x∈(a,b){displaystyle zin (a,x),xin (a,b)}biến mỗi phần tử trong B′{displaystyle mathbb {B} ^{‘}} thành một phần tử trong B{displaystyle mathbb {B} }

ánh xạ ngược

của ánh xạ

g:z′→b−z′+a{displaystyle g,:,z^{‘}rightarrow b-z^{‘}+a} với z′∈(x,b),x∈(a,b){displaystyle z^{‘}in (x,b),xin (a,b)}
Ánh xạ g{displaystyle g} liên tục.

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Bổ đề dán (The Pasting Lemma)[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho X{displaystyle X} là không gian tô pô, A,B{displaystyle A,B} là hai tập con đóng của X{displaystyle X} sao cho A∪B=X{displaystyle Acup B=X}. Giả sử rẳng f:A→Y{displaystyle f,,:,A,rightarrow ,Y}g:Y→Y{displaystyle g,,:,Y,rightarrow ,Y} là liên tục và f(x)=g(x)∀x∈A∩B{displaystyle f(x)=g(x),,,forall x,in ,Acap B}. Khi đó h:X→Y{displaystyle h,,:,X,rightarrow ,Y} xác định bởi:
h(x)={f(x),x∈Ag(x),x∈B{displaystyle h(x)={begin{cases}f(x),xin A\g(x),xin Bend{cases}}}

thì h{displaystyle h} liên tục trên X{displaystyle X}.

Liên tục thông qua

lưới

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho X,Y{displaystyle X,Y} là 2 không gian tô pô. Khi đó f:X→Y{displaystyle f,,:,X,rightarrow ,Y} là liên tục tại x{displaystyle x} nếu và chỉ nếu khi nào có lưới n{displaystyle n} trong X{displaystyle X}

hội tụ

về x{displaystyle x}, thì lưới f∘n{displaystyle fcirc n} hội tụ về f(x){displaystyle f(x)}.

Viết theo ký hiệu quen thuộc: f{displaystyle f} liên tục tại x{displaystyle x} nếu và chỉ nếu với mọi lưới xi→x⇒f(xi)→f(x){displaystyle x_{i}rightarrow x,Rightarrow f(x_{i}),rightarrow ,f(x)}.

Xem thêm: Engineers (m/f/x) – Sales

Liên tục trên

không gian tích

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Cho fj:Xj→Yj{displaystyle f_{j},:,X_{j}rightarrow Y_{j}}, j∈J{displaystyle jin J}

    tập chỉ số

    . Khi đó

fj:∏Xj→Yj{displaystyle prod f_{j},:,prod X_{j}rightarrow prod Y_{j}} là liên tục khi và chỉ khi fj:Xj→Yj{displaystyle f_{j},:,X_{j}rightarrow Y_{j}} liên tục với mọi j{displaystyle j} thuộc J{displaystyle J}

  • Ánh xạ chiếu

    πj:∏Xj→Xj{displaystyle pi _{j},:,prod X_{j}rightarrow X_{j}} liên tục.

  • Ánh xạ f:Y→j∈JXj{displaystyle f,:,Yrightarrow prod _{jin J}X_{j}} liên tục khi và chỉ khi mỗi

    ánh xạ thành phần

    fj=πj∘f{displaystyle f_{j}=pi _{j}circ f} liên tục.

Ví dụ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho hàm h:R→R{displaystyle h,:,mathbb {R} rightarrow mathbb {R} }, cho bởi:
h(x)=|x|={x,x≥0−x,x≤0{displaystyle h(x)=|x|={begin{cases}x,xgeq 0\-x,xleq 0end{cases}}}

Mở rộng[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Tô pô sinh bởi ánh xạ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Cho (X,τX){displaystyle (X,tau _{X})}

    không gian tô pô

    , Y{displaystyle Y} là một tập, và f:X→Y{displaystyle f,,:,X,rightarrow ,Y} là ánh xạ. Chúng ta muốn tìm tô pô trên Y{displaystyle Y} sao cho f{displaystyle f} liên tục.

Yêu cầu của τY{displaystyle tau _{Y}} là nếu U∈τY{displaystyle Uin tau _{Y}} thì f−1(U)∈τX{displaystyle f^{-1}(U)in tau _{X}}

Tôpô hiển nhiên

(the trivial toplogy)

[9]

trên Y{displaystyle Y} thỏa mãn yêu cầu này. Đây là

tôpô thô nhất

thỏa mãn yêu cầu làm f{displaystyle f} liên tục.

Mặt khác, họ {U⊂Y|f−1(U)∈τX}{displaystyle {Usubset Y,|,,f^{-1}(U)in tau _{X}}} là tô pô thực sự trên Y{displaystyle Y}. Đây là

tôpô mịn nhất

thỏa yêu cầu.

  • Cho X{displaystyle X} là một tập, (Y,τY){displaystyle (Y,tau _{Y})}

    không gian tô pô

    , và f:X→Y{displaystyle f,,:,X,rightarrow ,Y} là ánh xạ. Chúng ta muốn tìm tôpô trên X{displaystyle X} sao cho f{displaystyle f} liên tục.

Yêu cầu của τX{displaystyle tau _{X}} là nếu U∈τY{displaystyle Uin tau _{Y}} thì f−1(U)∈τX{displaystyle f^{-1}(U)in tau _{X}}.

Tôpô rời rạc

trên X{displaystyle X} là tôpô mịn nhất thỏa mãn yêu cầu.

Ta có thể thấy xa hơn rằng nếu họ SY{displaystyle S_{Y}} sinh ra τY{displaystyle tau _{Y}} thì τX{displaystyle tau _{X}} được sinh bởi họ {f−1(U)|U∈SY}{displaystyle {f^{-1}(U),|,,Uin S_{Y}}}.

Đồng phôi[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Ví dụ 2: Mặt phẳng đồng phôi với nửa mặt phẳng và đồng phôi với đĩa tròn

  • Ánh xạ đi từ một không gian tôpô vào không gian tôpô khác được gọi là phép đồng phôi nếu nó là

    song ánh

    , liên tục và ánh xạ ngược cũng liên tục.

  • Hai không gian gọi là đồng phôi, thường viết là X≈Y{displaystyle Xapprox Y}, nếu có một phép đồng phôi từ không gian này vào không gian kia.

Đồng luân[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Ví dụ 3: Biến đổi đồng luân

  • Định nghĩa: Một biến đổi

    đồng luân

    giữa hai

    ánh xạ liên tục

    f{displaystyle f}g{displaystyle g} từ

    không gian tô pô

    X{displaystyle X} vào không gian tô pô Y{displaystyle Y} được định nghĩa là ánh xạ H:X×[0,1]→Y{displaystyle H:,Xtimes [0,1]rightarrow Y} từ tích của không gian X{displaystyle X} với đoạn đơn vị [0,1]{displaystyle [0,1]} vào Y{displaystyle Y} sao cho với mỗi x{displaystyle x} thuộc X{displaystyle X} ta có H(x,0)=f(x){displaystyle H(x,0)=f(x)}H(x,1)=g(x){displaystyle H(x,1)=g(x)}.

  • Nếu ta nghĩ tham số thứ hai của H{displaystyle H} như là “thời gian”, khi đó H{displaystyle H} mô tả một biến đổi liên tục ánh xạ f{displaystyle f} thành ánh xạ g{displaystyle g}: tại thời điểm 0{displaystyle 0} ta có ánh xạ f{displaystyle f} và tại thời điểm 1{displaystyle 1} ta có ánh xạ g{displaystyle g}.
  • Đồng luân là một

    quan hệ tương đương

    trên tập các

    ánh xạ liên tục

    từ X{displaystyle X} vào Y{displaystyle Y}. Quan hệ đồng luân này tương thích với phép hợp thành của 2 ánh xạ theo nghĩa nếu f1,g1:X→Y{displaystyle f_{1},,g_{1},:,Xrightarrow Y} là đồng luân và f2,g2:Y→Z{displaystyle f_{2},,g_{2},:,Yrightarrow Z} là đồng luân, khi đó hợp thành của chúng f2∘f1{displaystyle f_{2}circ f_{1}}g2∘g1{displaystyle g_{2}circ g_{1}}:Y→Z{displaystyle Yrightarrow Z} là đồng luân

Ví dụ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Ví dụ 1: Cho f:(R,τ)→(R,Euclid){displaystyle f,:,(mathbb {R} ,tau )rightarrow (mathbb {R} ,{text{Euclid}})} là ánh xạ biến
f:x→x2{displaystyle f,:,xrightarrow x^{2}}
Ta thấy τ={(a,b)|a,b∈R}{displaystyle tau ={(a,b)|a,bin mathbb {R} }} là tô pô mịn nhất sao cho f{displaystyle f} liên tục.
Ví dụ 2: Mặt phẳng đồng phôi với nửa mặt phẳng và đồng phôi với đĩa tròn
Ví dụ 3: Một biến đổi đồng luân

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    Speck, Jared (2014).

    “Continuity and Discontinuity”

    (PDF). MIT Math. tr. 3.

    Bản gốc

    (PDF) lưu trữ ngày 6 tháng 10 năm 2016. Truy cập ngày 2 tháng 9 năm 2016. Example 5. The function 1/x is continuous on (0, ∞) and on (−∞, 0), i.e., for x > 0 and for x < 0, in other words, at every point in its domain. However, it is not a continuous function since its domain is not an interval. It has a single point of discontinuity, namely x = 0, and it has an infinite discontinuity there.

  2. ^

    [1]

  3. ^

    [2]

  4. ^

    a

    ă

    [3]

  5. ^

    [4]

  6. ^

    Lecture notes on Topology

    Lưu trữ

    2014-02-03 tại

    Wayback Machine

    , trang 14, HCMUS.

  7. ^

    [5]

    ,

  8. ^

    a

    ă

    â

    Introduction to topology pure and applied

    [

    liên kết hỏng

    ] của Colin Adam và Robert Franzosa

  9. ^

    The trivial toplogy

    [

    liên kết hỏng

    ]

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Continuous function

    [6]

  • Colin Adam và Robert Franzosa

    Introduction to topology pure and applied

  • James Munkres

    (2000), Topology, Prentice Hall,

    ISBN

     

    0-13-181629-2

  • Gregory L. Naber

    Topology, Geometry and Gauge fields: Foundations

  • Topics in a Topology Coursel

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Hàm_liên_tục&oldid=64844093

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button