Kiến thức

Hàm số bậc ba – Wikipedia tiếng Việt

Hàm số bậc ba

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Đồ thị của một hàm số bậc ba với 3

nghiệm

số thực

(tại đó đường đồ thị cắt trục hoành—thỏa mãn y = 0). Hình vẽ cho thấy hai

điểm cực trị

. Phương trình của hàm số là f(x) = (x3 + 3x2 − 6x − 8)/4.

Trong

đại số

, một hàm số bậc ba là một

hàm số

có dạng

f(x)=ax3+bx2+cx+d{displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}

trong đó a khác 0.

Phương trình f(x) = 0 là một

phương trình bậc ba

có dạng

ax3+bx2+cx+d=0.{displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0.,}

Các giá trị x thỏa mãn phương trình này được gọi là các

nghiệm số

của

đa thức

f(x). Nếu tất cả các

hệ số

a, b, c, và d của phương trình bậc ba là

số thực

thì sẽ có ít nhất một nghiệm thực (điều này đúng đối với tất cả các đa thức bậc lẻ). Tất cả các nghiệm của phương trình bậc ba có thể được biểu diễn bằng các hàm đại số. (Điều này cũng đúng với phương trình

hàm bậc hai

hoặc

bậc bốn

(nhưng không đúng với các hàm bậc cao hơn, xem

định lý Abel–Ruffini

). Các nghiệm cũng có thể được xác định bằng

lượng giác

. Một cách khác, có thể dùng

phương pháp xấp xỉ

để tính toán các nghiệm số bằng cách sử dụng các

thuật toán tìm nghiệm số

như

phương pháp Newton

.

Các hệ số không cần phải là số phức. Phần lớn những gì được trình bày dưới đây có giá trị đối với các hệ số của bất kỳ

trường

nào với đặc tính là 0 hoặc lớn hơn 3. Các nghiệm của phương trình bậc ba không nhất thiết thuộc cùng một trường số với các hệ số. Ví dụ, một số phương trình bậc ba với các hệ số

hữu tỷ

có nghiệm số không phải là số hữu tỷ (và thậm chí là

số phức

).

Xem thêm: Kiểm tra tốc độ của bạn-Maps Trợ giúp

Lịch sử[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Đồ thị hai chiều của một hàm bậc 3,

đa thức

ƒ(x) = 2x3 − 3x2 − 3x + 2.

Phương trình bậc ba đã được người Babylon, Hy Lạp, Trung Quốc, Ấn Độ và Ai Cập cổ đại quan tâm từ lâu.

[1]

[2]

[3]

Người Babylon

(thế kỷ 20 đến 16 TCN) đã lưu lại các bản viết chữ hình nêm với các bảng để tính các số lập phương và khai căn bậc 3

[4]

[5]

. Người Babylon có thể đã sử dụng các bảng để

giải phương trình

bậc 3, nhưng không có bằng chứng nào để khẳng định rằng họ đã làm như vậy.

[6]

Bài toán tăng gấp đôi thể tích khối lập phương liên quan đến phương trình bậc ba đơn giản nhất và được nghiên cứu lâu đời nhất, và là một trong các phương trình mà người Ai Cập cổ đại không tin rằng có cách giải.

[7]

Vào thế kỷ thứ 5TCN, Hippocrates đã rút gọn được vấn đề này khi tìm ra hai phần tỷ lệ giữa một đoạn thẳng và một đoạn khác gấp đôi chiều dài của nó, nhưng không thể giải quyết vấn đề này bằng

compa và thước kẻ

[8]

, một bài toán mà bây giờ được chứng minh là không thể. Các phương pháp

giải phương trình

bậc ba xuất hiện trong

Cửu chương toán thuật

, một tác phẩm

tiếng Trung Quốc về toán học

được viết vào khoảng thế kỷ 2 TCN và được

Lưu Huy

viết thêm lời bình vào thế kỷ 3.

[2]

Vào thế kỷ thứ 3, nhà toán học Hy Lạp

Diophantos

ftìm ra các giải pháp số nguyên hoặc số hữu tỷ cho một số phương trình bậc 3 hai ẩn số (

phương trình Diophantos

).

[3]

[9]

Hippocrates, Menaechmus và

Archimedes

được cho là đã đến gần với lời giải cho bài toán tăng gấp đôi thể tích khối lập phương bằng cách tính toán điểm cắt nhau của các

đường conic

[8]

, mặc dù các nhà sử học như Reviel Netz tranh cãi liệu người Hy Lạp có đang suy nghĩ về các phương trình bậc ba hay chỉ là những vấn đề có thể dẫn đến phương trình bậc ba. Một số khác như

T. L. Heath

, người đã dịch tất cả các tác phẩm của

Archimedes

, không đồng ý, đưa ra bằng chứng rằng Archimedes thực sự

giải phương trình

bậc 3 bằng cách sử dụng giao điểm của hai

đường conic

, mà còn thảo luận các điều kiện mà các nghiệm là 0, 1 hoặc 2.

[10]

triều Đường

thế kỷ thứ 7, nhà thiên văn và toán học

Vương Hiểu Thông

trong cuốn sách của ông nhan đề “Tập cổ toán kinh” đã nêu ra một cách có hệ thống và giải

bằng số

25 phương trình bậc ba dạng x3 + px2 + qx = N, 23 trong số chúng có p, q ≠ 0, và 2 trong số chúng với q = 0.

[11]

Trong thế kỷ thứ 11, nhà toán học và thi sĩ Ba Tư

Omar Khayyam

(1048–1131) đã đóng góp quan trọng vào tiến trình phát triển của lý thuyết phương trình bậc ba. Trong một bài báo ban đầu, ông khám phá ra một phương trình bậc ba có thể có nhiều hơn một nghiệm và chứng minh rằng nó không thể giải được bằng cách sử dụng thước kẻ và compa. Ông cũng tìm thấy

một nghiệm hình học

.

[12]

[13]

Trong tác phẩm sau của ông, cuốn Tiểu luận về chứng minh các bài toán đại số, ông viết ra nội dung phân loại đầy đủ các phương trình bậc ba với nghiệm hình học tổng quát tìm bởi giao điểm với các đường conic.

[14]

[15]

Nhà toán học Ấn Độ ở thế kỷ 12 Bhaskara II đã cố gắng tìm ra nghiệm tổng quát cho phương trình bậc ba nhưng không thành công. Tuy vậy, ông đã tìm ra một phương trình bậc ba: x3 + 12x = 6x2 + 35.

[16]

Cũng ở thế kỷ 12, nhà toán học Ba Tư

Sharaf al-Dīn al-Tūsī

(1135–1213), viết cuốn Al-Muʿādalāt (Khảo luận về các phương trình), trong đó ông nghiên cứu tám loại phương trình bậc ba với nghiệm dương và năm loại phương trình bậc ba mà có thể không có nghiệm dương. Ông đã sử dụng quy tắc mà về sau được gọi là “phương pháp

Horner

Ruffini

” để giải xấp xỉ bằng phương pháp số nhằm tìm

nghiệm

của một phương trình bậc ba. Ông cũng sử dụng khái niệm

cực trị

của các đường cong để

giải phương trình

bậc ba mà không có nghiệm dương.

[17]

Ông đã hiểu tầm quan trọng của

biệt thức

phương trình bậc ba để tìm nghiệm đại số của một số loại phương trình bậc ba nhất định.

[18]

Leonardo de Pisa, mà được biết đến nhiều hơn với tên

Fibonacci

(1170–1250), đã có thể giải xấp xỉ gần đúng nghiệm dương của phương trình x3 + 2x2 + 10x = 20, bằng sử dụng

chữ số Babylon

. Ông đưa ra kết quả bằng 1,22,7,42,33,4,40 (tương đương với 1 + 22/60 + 7/602 + 42/603 + 33/604 + 4/605 + 40/606),

[19]

mà lệch với giá trị đúng chỉ khoảng 3 phần tỷ.

Đầu thế kỷ 16, nhà toán học người Ý

Scipione del Ferro

(1465–1526) tìm ra phương pháp giải một lớp các phương trình bậc ba có dạng x3 + mx = n. Thực sự là mọi phương trình bậc ba có thể quy về dạng này nếu chúng ta cho phép mn nhận giá trị âm, nhưng

số âm

vẫn chưa được biết đến vào thời của ông. Del Ferro đã giữ bí mật thành tựu của ông cho tới lúc trước khi ông qua đời, ông đã nói cho học trò

Antonio Fiore

của mình về điều này.

Niccolò Fontana Tartaglia

Năm 1530,

Niccolò Tartaglia

(1500–1557) nhận được hai bài toán trong phương trình bậc ba từ

Zuanne da Coi

và tuyên bố ông đã giải được chúng. Ngay lập tức Fiore đã thách thức ông, dẫn đến một cuộc thi nổi tiếng giữa hai người này. Mỗi thí sinh phải đặt cược một số tiền và đặt ra một số bài toán để cho đối thủ giải. Ai giải được nhiều bài toán hơn trong vòng 30 ngày sẽ là người chiến thắng và giành được tất cả số tiền đặt cược. Tartaglia nhận được các bài toán có phương trình dưới dạng x3 + mx = n, mà ông đã tìm ra phương pháp tổng quát để giải. Fiore nhận được các phương trình có dạng x3 + mx2 = n, mà đối với ông đây thực sự là rất khó, và Tartaglia là người chiến thắng cuộc thi.

[20]

Sau này, Tartaglia được

Gerolamo Cardano

(1501–1576) khuyên nhủ nên tiết lộ bí mật của ông về cách

giải phương trình

bậc ba. Năm 1539, Tartaglia chỉ thực hiện trong điều kiện nếu Cardano hứa sẽ không bao giờ công bố nó và rằng nếu ông viết một cuốn sách về hàm số bậc ba, ông sẽ cho Tartaglia thời gian để công bố. Vài năm sau, Cardano biết đến công trình trước đây của Ferro và đã công bố phương pháp của Ferro trong cuốn sách

Ars Magna

của ông vào năm 1545, có nghĩa là Cardano đã cho Tartaglia 6 năm để công bố kết quả của ông (với quyền tác giả thuộc về Tartaglia về một nghiệm độc lập). Lời hứa của Cardano với Tartaglia nói rằng ông sẽ không công bố các công trình của Tartaglia, và Cardano cảm thấy là ông đang xuất bản công trình của del Ferro, và do đó đã giữ được lời hứa của ông. Tuy vậy, điều này đã dẫn đến Tartaglia thách thức Cardano tham dự một cuộc thi mà Cardano đã từ chối. Cuộc thi này cuối cùng do học trò của Cardano là

Lodovico Ferrari

(1522–1565) chấp thuận. Ferrari đã có kết quả tốt hơn Tartaglia trong cuộc thi, và Tartaglia đã mất danh dự và tiền bạc của ông.

[21]

Cardano nhận thấy phương pháp của Tartaglia thỉnh thoảng đòi hỏi ông phải tiến hành khai căn bậc hai của một số âm. Ông thậm chí đã thực hiện tính với các

số phức

này trong quyển Ars Magna, nhưng ông đã không thực sự hiểu ý nghĩa của nó.

Rafael Bombelli

đã nghiên cứu vấn đề này một cách chi tiết

[22]

và do vậy thường được coi là người khám phá ra số phức.

François Viète

(1540–1603) đã độc lập tìm ra nghiệm lượng giác cho đa thức bậc ba có ba nghiệm thực, và

René Descartes

(1596–1650) đã mở rộng công trình của Viète.

[23]

Khảo sát hàm số bậc ba[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Chiều biến thiên và cực trị[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Xét hàm số f(x)=ax3+bx2+cx+d{displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}. Gọi y′=f′(x)=3ax2+2bx+c=Ax2+Bx+C{displaystyle y’=f'(x)=3ax^{2}+2bx+c=Ax^{2}+Bx+C} là đạo hàm cấp 1 của f(x). Xét Δ=B2−4AC{displaystyle Delta =B^{2}-4AC}

Nếu Δ>0{displaystyle Delta >0}, f(x) có 2 điểm cực trị. Gọi x1{displaystyle x_{1}}x2{displaystyle x_{2}} (với x1<x2{displaystyle x_{1}<x_{2}}) là 2 nghiệm của f'(x). Khi đó:

  • nếu a>0, hàm số nghịch biến trên khoảng (x1;x2){displaystyle (x_{1};x_{2})} và đồng biến trên các khoảng (−;x1){displaystyle (-infty ;x_{1})}(x2;+∞){displaystyle (x_{2};+infty )}; điểm A1(x1,f(x1)){displaystyle A_{1}(x_{1},f(x_{1}))} là điểm cực đại và A2(x2,f(x2)){displaystyle A_{2}(x_{2},f(x_{2}))} là điểm cực tiểu.
x{displaystyle x} {displaystyle -infty } x1{displaystyle x_{1}} x2{displaystyle x_{2}} +∞{displaystyle +infty }
y′{displaystyle y’} +{displaystyle +} 0 {displaystyle -} 0 +{displaystyle +}
y{displaystyle y} f(x1)↘f(x2)↗+∞{displaystyle -infty nearrow f(x_{1})searrow f(x_{2})nearrow +infty }
  • nếu a<0, hàm số đồng biến trên khoảng (x1;x2){displaystyle (x_{1};x_{2})} và nghịch biến trên các khoảng (−;x1){displaystyle (-infty ;x_{1})}(x2;+∞){displaystyle (x_{2};+infty )}; điểm A1(x1,f(x1)){displaystyle A_{1}(x_{1},f(x_{1}))} là điểm cực tiểu và A2(x2,f(x2)){displaystyle A_{2}(x_{2},f(x_{2}))} là điểm cực đại.
x{displaystyle x} {displaystyle -infty } x1{displaystyle x_{1}} x2{displaystyle x_{2}} +∞{displaystyle +infty }
y′{displaystyle y’} {displaystyle -} 0 +{displaystyle +} 0 {displaystyle -}
y{displaystyle y} +∞f(x1)↗f(x2)↘{displaystyle +infty searrow f(x_{1})nearrow f(x_{2})searrow -infty }

Nếu Δ0{displaystyle Delta leq 0}, f(x) không có điểm cực trị, đồng biến trên R nếu a>0 và nghịch biến trên R nếu a<0.

Ta có bảng sau:

a>0 a<0
Δ=0{displaystyle Delta =0}
x{displaystyle x} {displaystyle -infty } x0{displaystyle x_{0}} +∞{displaystyle +infty }
y′{displaystyle y’} + 0 +
y{displaystyle y} +∞{displaystyle -infty nearrow +infty }
x{displaystyle x} {displaystyle -infty } x0{displaystyle x_{0}} +∞{displaystyle +infty }
y′{displaystyle y’} – 0 –
y{displaystyle y} +∞{displaystyle +infty searrow -infty }
Δ<0{displaystyle Delta <0}
x{displaystyle x} {displaystyle -infty } +∞{displaystyle +infty }
y′{displaystyle y’} +
y{displaystyle y} +∞{displaystyle -infty nearrow +infty }
x{displaystyle x} {displaystyle -infty } +∞{displaystyle +infty }
y′{displaystyle y’}
y{displaystyle y} +∞{displaystyle +infty searrow -infty }

Cách làm trên vẫn đúng khi sử dụng Δ′=b2−3ac{displaystyle Delta ‘=b^{2}-3ac} thay cho Δ=B2−4AC{displaystyle Delta =B^{2}-4AC}

Đồ thị[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Đồ thị hàm số y=ax3+bx2+cx+d{displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}

Đồ thị hàm số y=f(x)=ax3+bx2+cx+d{displaystyle y=f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d} có các tính chất sau:

  • Có tâm đối xứng là điểm I(x0,f(x0)){displaystyle I(x_{0},f(x_{0}))} với x0{displaystyle x_{0}} là nghiệm của f”(x). I còn được gọi là

    điểm uốn

    của đồ thị.

  • Có hình dạng phụ thuộc vào nghiệm của f'(x) và hệ số a.

Xem thêm: Modal verb là gì và cách sử dụng-EFC

Sách tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Guilbeau, Lucye (1930), “The History of the Solution of the Cubic Equation”, Mathematics News Letter, 5 (4): 8–12,

    doi

    :

    10.2307/3027812

    ,

    JSTOR

     

    3027812

  • Sách giáo khoa Giải tích 12 – Bộ giáo dục đào tạo – Nhà xuất bản giáo dục

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    Høyrup, Jens (1992), “The Babylonian Cellar Text BM 85200 + VAT 6599 Retranslation and Analysis”, Amphora: Festschrift for

    Hans Wussing

    on the Occasion of his 65th Birthday,

    Birkhäuser

    , tr. 315–358,

    doi

    :

    10.1007/978-3-0348-8599-7_16

    ,

    ISBN

     

    978-3-0348-8599-7

  2. ^

    a

    ă

    Crossley, John; W.-C. Lun, Anthony (1999).

    The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary

    . Oxford University Press. tr. 176.

    ISBN

     

    978-0-19-853936-0

    .

  3. ^

    a

    ă

    Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983

    ISBN

    0-387-12159-5

  4. ^

    Cooke, Roger (ngày 8 tháng 11 năm 2012).

    The History of Mathematics

    . John Wiley & Sons. tr. 63.

    ISBN

     

    978-1-118-46029-0

    .

  5. ^

    Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998).

    Daily Life in Ancient Mesopotamia

    . Greenwood Publishing Group. tr. 306.

    ISBN

     

    978-0-313-29497-6

    .

  6. ^

    Cooke, Roger (2008).

    Classical Algebra: Its Nature, Origins, and Uses

    . John Wiley & Sons. tr. 64.

    ISBN

     

    978-0-470-27797-3

    .

  7. ^

    Guilbeau (1930

    , tr. 8)Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFGuilbeau1930 (

    trợ giúp

    ) states that “the Egyptians considered the solution impossible, but the Greeks came nearer to a solution.”

  8. ^

    a

    ă

    Guilbeau (1930

    , tr. 8–9)Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFGuilbeau1930 (

    trợ giúp

    )

  9. ^

    Heath, Thomas L.

    (ngày 30 tháng 4 năm 2009).

    Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra

    . Martino Pub. tr. 87–91.

    ISBN

     

    978-1578987542

    .

  10. ^

    Archimedes

    (ngày 8 tháng 10 năm 2007). The works of Archimedes. Translation by T. L. Heath. Rough Draft Printing.

    ISBN

     

    978-1603860512

    .

  11. ^

    Mikami, Yoshio

    (1974) [1913], “Chapter 8 Wang Hsiao-Tung and Cubic Equations”, The Development of Mathematics in China and Japan (ấn bản 2), New York: Chelsea Publishing Co., tr. 53–56,

    ISBN

     

    978-0-8284-0149-4

  12. ^

    A paper of Omar Khayyam, Scripta Math. 26 (1963), pages 323–337

  13. ^

    In

    O’Connor, John J.

    ;

    Robertson, Edmund F.

    ,

    “Omar Khayyam”

    ,

    Dữ liệu Lịch sử Toán học MacTutor

    ,

    Đại học St. Andrews

    one may read This problem in turn led Khayyam to solve the cubic equation x3 + 200x = 20x2 + 2000 and he found a positive root of this cubic by considering the intersection of a rectangular hyperbola and a circle. An approximate numerical solution was then found by interpolation in trigonometric tables. The then in the last assertion is erroneous and should, at least, be replaced by also. The geometric construction was perfectly suitable for Omar Khayyam, as it occurs for solving a problem of geometric construction. At the end of his article he says only that, for this geometrical problem, if approximations are sufficient, then a simpler solution may be obtained by consulting

    trigonometric tables

    . Textually: If the seeker is satisfied with an estimate, it is up to him to look into the table of chords of Almagest, or the table of sines and versed sines of Mothmed Observatory. This is followed by a short description of this alternate method (seven lines).

  14. ^

    J. J. O’Connor and E. F. Robertson (1999),

    Omar Khayyam

    ,

    MacTutor History of Mathematics archive

    , states, “Khayyam himself seems to have been the first to conceive a general theory of cubic equations.”

  15. ^

    Guilbeau (1930

    , tr. 9)Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFGuilbeau1930 (

    trợ giúp

    ) states, “Omar Al Hay of Chorassan, about 1079 AD did most to elevate to a method the solution of the algebraic equations by intersecting conics.”

  16. ^

    Datta, Bibhutibhushan

    ; Singh, Avadhesh Narayan (2004), “Equation of Higher Degree”, History of Hindu Mathematics: A Source Book, 2, Delhi, India: Bharattya Kala Prakashan, tr. 76,

    ISBN

     

    81-86050-86-8

  17. ^

    O’Connor, John J.

    ;

    Robertson, Edmund F.

    ,

    “Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi”

    ,

    Dữ liệu Lịch sử Toán học MacTutor

    ,

    Đại học St. Andrews

  18. ^

    Berggren, J. L. (1990), “Innovation and Tradition in Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī’s Muʿādalāt”, Journal of the American Oriental Society, 110 (2): 304–309,

    doi

    :

    10.2307/604533

    ,

    JSTOR

     

    604533

  19. ^

    R. N. Knott and the Plus Team (ngày 4 tháng 11 năm 2013),

    “The life and numbers of Fibonacci”

    , Plus MagazineQuản lý CS1: sử dụng tham số tác giả (

    liên kết

    )

  20. ^

    Tony Rothman,

    Cardano v Tartaglia: The Great Feud Goes Supernatural.

  21. ^

    Katz, Victor (2004). A History of Mathematics. Boston: Addison Wesley. tr. 220.

    ISBN

     

    9780321016188

    .

  22. ^

    Lỗi chú thích: Thẻ <ref> sai; không có nội dung trong thẻ ref có tên Bombelli

  23. ^

    Lỗi chú thích: Thẻ <ref> sai; không có nội dung trong thẻ ref có tên Nickalls

Xem thêm: Axit Bazơ Muối và Hidroxit lưỡng tính theo thuyết Arêniut và thuyết Bronsted-hoá 11 bài 2

Đọc thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Anglin, W. S.; Lambek, Joachim (1995), “Mathematics in the Renaissance”,

    The Heritage of Thales

    , Springers, tr. 125–131,

    ISBN

     

    978-0-387-94544-6

    Ch. 24.

  • Dence, T. (tháng 11 năm 1997), “Cubics, chaos and Newton’s method”, Mathematical Gazette,

    Mathematical Association

    , 81: 403–408,

    doi

    :

    10.2307/3619617

    ,

    ISSN

     

    0025-5572

  • Dunnett, R. (tháng 11 năm 1994), “Newton–Raphson and the cubic”, Mathematical Gazette, Mathematical Association, 78: 347–348,

    doi

    :

    10.2307/3620218

    ,

    ISSN

     

    0025-5572

  • Jacobson, Nathan

    (2009), Basic algebra, 1 (ấn bản 2), Dover,

    ISBN

     

    978-0-486-47189-1

  • Mitchell, D. W. (tháng 11 năm 2007), “Solving cubics by solving triangles”, Mathematical Gazette, Mathematical Association, 91: 514–516,

    ISSN

     

    0025-5572

  • Mitchell, D. W. (tháng 11 năm 2009), “Powers of φ as roots of cubics”, Mathematical Gazette, Mathematical Association, 93: ???,

    ISSN

     

    0025-5572

  • Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007),

    “Section 5.6 Quadratic and Cubic Equations”

    , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (ấn bản 3), New York: Cambridge University Press,

    ISBN

     

    978-0-521-88068-8

  • Rechtschaffen, Edgar (tháng 7 năm 2008), “Real roots of cubics: Explicit formula for quasi-solutions”, Mathematical Gazette, Mathematical Association, 92: 268–276,

    ISSN

     

    0025-5572

  • Zucker, I. J. (tháng 7 năm 2008), “The cubic equation – a new look at the irreducible case”, Mathematical Gazette, Mathematical Association, 92: 264–268,

    ISSN

     

    0025-5572

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Hazewinkel, Michiel biên tập (2001),

    “Cardano formula”

    ,

    Bách khoa toàn thư Toán học

    ,

    Springer

    ,

    ISBN

     

    978-1-55608-010-4

  • History of quadratic, cubic and quartic equations

    on

    MacTutor archive

    .

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Hàm_số_bậc_ba&oldid=64656905

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button