Kiến thức

Hàm số chẵn và lẻ – Wikipedia tiếng Việt

Hàm số chẵn và lẻ

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Hàm

sin

và tất cả các

đa thức Taylor

của nó đều là các hàm lẻ. Hình ảnh này cho thấy sin⁡(x){displaystyle sin(x)} và các xấp xỉ Taylor của nó, các đa thức bậc 1, 3, 5, 7, 9, 11 và 13.

Hàm

cosine

và tất cả các

đa thức Taylor

của nó đều là các hàm chẵn. Hình ảnh này cho thấy cos⁡(x){displaystyle cos(x)} và xấp xỉ Taylor của nó ở bậc 4.

Trong

toán học

, hàm số chẵnhàm số lẻ là các

hàm số

thỏa mãn các quan hệ

đối xứng

nhất định khi lấy

nghịch đảo phép cộng

. Chúng rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực của

giải tích toán

, đặc biệt trong lý thuyết

chuỗi lũy thừa

chuỗi Fourier

. Chúng được đặt tên theo

tính chẵn lẻ

của số mũ lũy thừa của

hàm lũy thừa

thỏa mãn từng điều kiện: hàm số f(x)=xn{displaystyle f(x)=x^{n}} là một hàm chẵn nếu n là một

số nguyên

chẵn, và nó là hàm lẻ nếu n là một số nguyên lẻ.

Định nghĩa và ví dụ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hàm số thực

thường được phân loại thành hàm chẵn hoặc lẻ, tức là các hàm số với giá trị thực của một biến thực. Tuy nhiên, có thể định nghĩa tổng quát hơn khi

miền xác định

miền đích

của hàm đều có tính

nghịch đảo phép cộng

. Các tập này bao gồm các

nhóm Abel

, mọi

vành

,

trường

không gian vectơ

. Vì thế, chẳng hạn một hàm thực hay một hàm giá trị

phức

của một biến vectơ đều có thể là hàm chẵn hoặc lẻ, và cứ như vậy.

Dưới đây là một số ví dụ về các hàm thực để minh họa tính

đối xứng

của

đồ thị

các hàm đó.

Hàm số chẵn[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

f(x)=x2{displaystyle f(x)=x^{2}} là một ví dụ về một hàm chẵn.

Cho f là một hàm số giá trị thực của một đối số thực. Vậy thì fchẵn nếu điều kiện sau được thỏa mãn với mọi x sao cho cả x-x đều thuộc miền xác định của f:

[1]

:p. 11

f(x)=f(−x){displaystyle f(x)=f(-x)}

 

 

 

 

(Eq.1)

hoặc phát biểu một cách tương đương, nếu phương trình sau thỏa mãn với mọi x trong miền xác định:

f(x)−f(−x)=0.{displaystyle f(x)-f(-x)=0.}

Về mặt hình học, đồ thị của một hàm số chẵn

đối xứng

qua trục y, nghĩa là đồ thị của nó giữ không đổi sau phép

lấy đối xứng qua trục

y.

Ví dụ về các hàm chẵn là:

  • Hàm giá trị tuyệt đối

    x↦|x|,{displaystyle xmapsto |x|,}

  • x↦x2,{displaystyle xmapsto x^{2},}
  • x↦x4,{displaystyle xmapsto x^{4},}
  • Hàm cosin

    cos,{displaystyle cos ,}

  • Hàm cosin hyperbolic

    cosh.{displaystyle cosh .}

Hàm số lẻ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

f(x)=x3{displaystyle f(x)=x^{3}} là một ví dụ về một hàm lẻ.

Tiếp tục cho f là một hàm có giá trị thực của một đối số (biến) thực. Vậy f là hàm số lẻ nếu phương trình sau thỏa mãn với mọi x sao cho x-x đều nằm trong miền xác định của f:

[1]

:p. 72

f(x)=f(−x){displaystyle -f(x)=f(-x)}

 

 

 

 

(Eq.2)

hoặc một cách tương đương nếu phương trình sau đúng với mọi x thuộc miền xác định của f:

f(x)+f(−x)=0.{displaystyle f(x)+f(-x)=0.}

Về mặt hình học, đồ thị của một hàm lẻ có tính đối xứng tâm quay qua

gốc tọa độ

, nghĩa là đồ thị của nó không đổi sau khi thực hiện

phép quay

180 độ quanh điểm gốc.

Ví dụ về các hàm lẻ là:

  • Hàm đồng nhất x↦x,{displaystyle xmapsto x,}
  • x↦x3,{displaystyle xmapsto x^{3},}
  • Hàm sin

    sin,{displaystyle sin ,}

  • Hàm sin hyperbol

    sinh,{displaystyle sinh ,}

  • Hàm lỗi

    erf.{displaystyle operatorname {erf} .}

f(x)=x3+1{displaystyle f(x)=x^{3}+1} là một hàm không chẵn cũng không lẻ.

Xem thêm: Hướng dẫn cách đánh số trang trong word 2010, 2013 tự động

Các tính chất cơ bản[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Tính duy nhất[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Nếu một hàm số vừa chẵn và vừa lẻ, nó bằng 0 ở mọi điểm mà nó được xác định.
  • Nếu một hàm là lẻ thì

    giá trị tuyệt đối

    của hàm đó là một hàm chẵn.

Cộng và trừ hàm số chẵn lẻ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Tổng

    của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn.

  • Tổng của hai hàm lẻ là hàm lẻ.
  • Hiệu

    của hai hàm lẻ là hàm lẻ.

  • Hiệu của hai hàm chẵn là hàm chẵn.
  • Tổng của một hàm chẵn và một hàm lẻ thì không chẵn cũng không lẻ, trừ khi một trong các hàm ấy bằng 0 trên

    miền

    đã cho.

Nhân và chia hàm số chẵn lẻ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Tích

    của hai hàm chẵn là một hàm chẵn.

  • Tích của hai hàm lẻ là một hàm chẵn.
  • Tích của một hàm chẵn với một hàm lẻ là một hàm lẻ.
  • Thương

    của hai hàm chẵn là một hàm chẵn

  • Thương của hai hàm lẻ là một hàm chẵn.
  • Thương của một hàm chẵn và một hàm lẻ là một hàm lẻ.

Hàm hợp (tích ánh xạ)[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Hàm hợp

    của hai hàm chẵn là hàm chẵn.

  • Hàm hợp của hai hàm lẻ là hàm lẻ.
  • Một hàm chẵn hợp với một hàm lẻ là hàm chẵn.
  • Hàm hợp của bất kỳ hàm nào với một hàm chẵn là hàm chẵn (nhưng điều ngược lại không đúng).

Phân tích chẵn-lẻ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Mọi hàm có thể được phân tích duy nhất thành tổng của một hàm chẵn và một hàm lẻ, được gọi tương ứng là phần chẵnphần lẻ của một hàm số, nếu ta đặt như sau:

fe(x)=f(x)+f(−x)2{displaystyle f_{text{e}}(x)={frac {f(x)+f(-x)}{2}}}

 

 

 

 

(Eq.3)

fo(x)=f(x)−f(−x)2{displaystyle f_{text{o}}(x)={frac {f(x)-f(-x)}{2}}}

 

 

 

 

(Eq.4)

sau đó fe{displaystyle f_{text{e}}} là hàm chẵn, fo{displaystyle f_{text{o}}} là hàm lẻ, và

f(x)=fe(x)+fo(x).{displaystyle f(x)=f_{text{e}}(x)+f_{text{o}}(x).}

Ngược lại, nếu

f(x)=g(x)+h(x),{displaystyle f(x)=g(x)+h(x),}

trong đó g là chẵn và h là lẻ, thì g=fe{displaystyle g=f_{text{e}}}h=fo,{displaystyle h=f_{text{o}},} bởi vì

2fe(x)=f(x)+f(−x)=g(x)+g(−x)+h(x)+h(−x)=2g(x),2fo(x)=f(x)−f(−x)=g(x)−g(−x)+h(x)−h(−x)=2h(x).{displaystyle {begin{aligned}2f_{text{e}}(x)&=f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+h(x)+h(-x)=2g(x),\2f_{text{o}}(x)&=f(x)-f(-x)=g(x)-g(-x)+h(x)-h(-x)=2h(x).end{aligned}}}

Ví dụ, hàm

cosin hyperbolic

sin hyperbolic

có thể được coi là các phần chẵn và phần lẻ của hàm số lũy thừa tự nhiên, bởi vì hàm thứ nhất là chẵn, hàm thứ hai là lẻ, và

ex=cosh⁡(x)⏟fe(x)+sinh⁡(x)⏟fo(x){displaystyle e^{x}=underbrace {cosh(x)} _{f_{text{e}}(x)}+underbrace {sinh(x)} _{f_{text{o}}(x)}}

Các tính chất đại số nâng cao[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Bất kỳ một

    tổ hợp tuyến tính

    nào của các hàm chẵn đều là chẵn và các hàm chẵn tạo thành một

    không gian vectơ

    trên trường

    số thực

    . Tương tự, bất kỳ một tổ hợp tuyến tính nào của các hàm lẻ thì đều là lẻ, và các hàm lẻ cũng tạo một không gian vectơ trên trường số thực. Trên thực tế, không gian vectơ của mọi hàm thực là

    tổng trực tiếp

    của các

    không gian con

    của các hàm chẵn và hàm lẻ. Đây là một cách diễn đạt trừu tượng hơn tính chất phân tích nói ở mục trước.

    • Không gian của các hàm số có thể được coi là một cấu trúc

      đại số phân bậc

      trên các số thực dựa theo tính chất này, cùng với một vài tính chất khác ở trên.

  • Các hàm chẵn tạo thành một

    đại số giao hoán

    trên trường số thực

    . Tuy thế, các hàm lẻ không tạo một cấu trúc đại số trên trường số thực, bởi chúng không có

    tính đóng

    đối với phép nhân.

Xem thêm: Giải Bài Tập Vật Lí 10-Bài 10: Tính tương đối của chuyển động. Công thức cộng vận tốc (Nâng Cao)

Các tính chất về mặt giải tích[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Một hàm là lẻ hay chẵn không suy ra được tính

khả vi

hay thậm chí là

tính liên tục

. Ví dụ,

hàm Dirichlet

là chẵn, nhưng không liên tục tại mọi nơi.

Trong phần tiếp theo, các tính chất liên quan tới

đạo hàm

,

chuỗi Fourier

và chuỗi Taylor, và cứ như vậy giả sử rằng các khái niệm trên đã được định nghĩa đối với hàm đang xét.

Các tính chất giải tích cơ bản[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Đạo hàm

    của một hàm chẵn là một hàm lẻ.

  • Đạo hàm của một hàm lẻ là chẵn.
  • Tích phân

    của một hàm lẻ từ − A đến + A bằng 0 (trong đó A là hữu hạn và hàm không có tiệm cận đứng nằm giữa − AA). Đối với một hàm lẻ có tích phân trên một khoảng đối xứng, ví dụ [−A,A]{displaystyle [-A,A]}, kết quả của tích phân trong khoảng đó bằng 0; tức là

    [2]

AAf(x)dx=0{displaystyle int _{-A}^{A}f(x),dx=0}

  • Tích phân của một hàm chẵn từ −A đến +A bằng hai lần tích phân từ 0 đến +A (trong đó A là hữu hạn và hàm không có tiệm cận đứng giữa −AA. Điều này cũng đúng khi A là vô hạn, nhưng chỉ khi tích phân hội tụ); tức là

AAf(x)dx=2∫0Af(x)dx{displaystyle int _{-A}^{A}f(x),dx=2int _{0}^{A}f(x),dx}

Chuỗi[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Khai triển chuỗi Maclaurin

    của một hàm chẵn chỉ bao gồm các lũy thừa chẵn.

  • Chuỗi Maclaurin của một hàm lẻ chỉ bao gồm các lũy thừa lẻ.
  • Chuỗi Fourier

    của một hàm

    tuần hoàn

    chẵn chỉ bao gồm các số hạng dạng

    cosin

    .

  • Chuỗi Fourier của một hàm tuần hoàn lẻ chỉ bao gồm các số hạng dạng

    sin

    .

  • Biến đổi Fourier

    của một hàm số chẵn có giá trị thuần số thực là thực và chẵn.

  • Biến đổi Fourier của một hàm số lẻ có giá trị thuần số thực là ảo và lẻ.

Hàm điều hòa[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Trong

xử lý tín hiệu

,

méo hài

xảy ra khi một tín hiệu

sóng sin

được gửi qua một

hệ thống phi tuyến

không có bộ nhớ, tức là một hệ thống mà đầu ra tại thời điểm t chỉ phụ thuộc vào đầu vào tại chính thời điểm đó và không phụ thuộc vào đầu vào tại bất kỳ thời điểm nào trước đó. Một hệ thống như vậy được biểu diễn bằng một hàm đáp ứng Vout(t)=f(Vin(t)){displaystyle V_{text{out}}(t)=f(V_{text{in}}(t))}. Loại hàm điều hòa sinh ra phụ thuộc vào hàm đáp ứng f:

[3]

  • Khi hàm đáp ứng là chẵn, tín hiệu kết quả sẽ chỉ chứa các điều hòa bậc chẵn của sóng sin đầu vào; 0f,2f,4f,6f,…{displaystyle 0f,2f,4f,6f,dots }
    • Chế độ

      cơ bản

      f{displaystyle f} cũng là một điều hòa bậc lẻ, nên nó sẽ không xuất hiện.

    • Một ví dụ đơn giản trong trường hợp này là một bộ

      chỉnh lưu toàn sóng

      .

    • Thành phần 0f{displaystyle 0f} thể hiện DC offset, do bản chất một phía của các hàm truyền đối xứng chẵn.
  • Khi hàm là lẻ, tín hiệu kết quả chỉ gồm các điều hòa bậc lẻ của sóng sin đầu vào; 1f,3f,5f,…{displaystyle 1f,3f,5f,dots }
    • Tín hiệu đầu ra sẽ có

      đối xứng

      nửa sóng.

    • Một ví dụ đơn giản là sự

      xén

      âm trong một bộ

      khuếch đại đẩy kéo

      .

  • Khi hàm không có tính đối xứng, tín hiệu kết quả có thể chứa điều hòa bậc chẵn hoặc lẻ; 1f,2f,3f,…{displaystyle 1f,2f,3f,dots }
    • Một ví dụ đơn giản là một bộ chỉnh lưu nửa sóng, và xén âm trong một

      bộ khuếch đại lớp A

      bất đối xứng.

Cần lưu ý rằng điều này không còn đúng đối với các dạng sóng phức tạp hơn. Một

sóng dạng răng cưa

chẳng hạn, chứa cả điều hòa bậc chẵn và lẻ. Sau khi chỉnh lưu chẵn toàn sóng, nó trở thành một

sóng tam giác

, sóng này ngoài DC offset ra thì chỉ chứa các điều hòa bậc lẻ.

Tổng quát hóa[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hàm đa biến[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Đối xứng chẵn:

Một hàm f:Rn→R{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} } được gọi là có đối xứng chẵn nếu thỏa mãn:

f(x1,x2,…,xn)=f(−x1,−x2,…,−xn)với mọi x1,…,xn∈R{displaystyle f(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})=f(-x_{1},-x_{2},ldots ,-x_{n})quad {text{với mọi }}x_{1},ldots ,x_{n}in mathbb {R} }

Đối xứng lẻ:

Một hàm f:Rn→R{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} } được gọi là có đối xứng lẻ nếu thỏa mãn:

f(x1,x2,…,xn)=−f(−x1,−x2,…,−xn)với mọi x1,…,xn∈R{displaystyle f(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})=-f(-x_{1},-x_{2},ldots ,-x_{n})quad {text{với mọi }}x_{1},ldots ,x_{n}in mathbb {R} }

Các hàm có giá trị phức[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Các định nghĩa cho đối xứng chẵn và lẻ cho các hàm giá trị

phức

với đối số thực là tương tự như trường hợp hàm giá trị thực nhưng liên quan đến

liên hợp phức

.

Đối xứng chẵn:

Một hàm giá trị phức với đối số thực f:R→C{displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {C} } được gọi là có đối xứng lẻ nếu:

f(x)=f(−x)¯với mọi x∈R{displaystyle f(x)={overline {f(-x)}}quad {text{với mọi }}xin mathbb {R} }

Đối xứng lẻ:

Một hàm giá trị phức với đối số thực f:R→C{displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {C} } được gọi là có đối xứng lẻ nếu:

f(x)=−f(−x)¯với mọi x∈R{displaystyle f(x)=-{overline {f(-x)}}quad {text{với mọi }}xin mathbb {R} }

Dãy có độ dài hữu hạn[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Định nghĩa đối xứng lẻ và chẵn còn được mở rộng cho các dãy N-điểm (ví dụ các hàm có dạng f:{0,1,…,N−1}→R{displaystyle f:left{0,1,ldots ,N-1right}to mathbb {R} }) như sau:

[4]

:p. 411

Đối xứng chẵn:

Một dãy N-điểm được gọi là có đối xứng chẵn nếu

f(n)=f(N−n)với mọi n∈{1,…,N−1}.{displaystyle f(n)=f(N-n)quad {text{với mọi }}nin left{1,ldots ,N-1right}.}

Một dãy như vậy thường được gọi là dãy palindrome; xem thêm

Đa thức palindrome

.

Đối xứng lẻ:

Một dãy N-điểm được gọi là có đối xứng lẻ nếu

f(n)=−f(N−n)với mọi n∈{1,…,N−1}.{displaystyle f(n)=-f(N-n)quad {text{với mọi }}nin left{1,ldots ,N-1right}.}

Một dãy như vậy đôi khi còn được gọi là một dãy anti-palindrome; xem thêm

Đa thức antipalindrome

.

Xem thêm: [ Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác ] Vuông, Cân, Đều, Thường, Lớp 8, 10

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Hàm Hermite

    , một tổng quát hóa trên trường số phức

  • Chuỗi Taylor

  • Chuỗi Fourier

  • Phương pháp Holstein–Herring

  • Tính chẵn lẻ (vật lý)

Ghi chú[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    a

    ă

    Gel’Fand, I.M.; Glagoleva, E.G.; Shnol, E.E. (1990).

    Functions and Graphs

    . Birkhäuser.

    ISBN

     

    0-8176-3532-7

    .

  2. ^

    W., Weisstein, Eric.

    “Odd Function”

    . mathworld.wolfram.com.

  3. ^

    Berners, Dave (tháng 10 năm 2005).

    “Ask the Doctors: Tube vs. Solid-State Harmonics”

    . UA WebZine. Universal Audio. Truy cập ngày 22 tháng 9 năm 2016. To summarize, if the function f(x) is odd, a cosine input will produce no even harmonics. If the function f(x) is even, a cosine input will produce no odd harmonics (but may contain a DC component). If the function is neither odd nor even, all harmonics may be present in the output.

  4. ^

    Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996),

    Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications

    (bằng tiếng Anh) (ấn bản 3), Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall International,

    ISBN

     

    9780133942897

    , sAcfAQAAIAAJ

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Functions and Graphs, 2002

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Hàm_số_chẵn_và_lẻ&oldid=64926918

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button