Kiến thức

Hệ phương trình tuyến tính – Wikipedia tiếng Việt

Hệ phương trình tuyến tính

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Một hệ phương trình tuyến tính ba ẩn có thể được xem là tập hợp các mặt phẳng giao nhau. Giao điểm là nghiệm của hệ.

Trong

toán học

(cụ thể là trong

đại số tuyến tính

), một hệ phương trình đại số tuyến tính hay đơn giản là hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp các

phương trình tuyến tính

với cùng những

biến số

. Ví dụ:

3x+2y−z=12x−2y+4z=−2−x+12y−z=0{displaystyle {begin{alignedat}{7}3x&&;+;&&2y&&;-;&&z&&;=;&&1&\2x&&;-;&&2y&&;+;&&4z&&;=;&&-2&\-x&&;+;&&{tfrac {1}{2}}y&&;-;&&z&&;=;&&0&end{alignedat}}}

là hệ gồm ba phương trình với ba biến số x{displaystyle x}, y{displaystyle y}, z{displaystyle z}. Một nghiệm của hệ là một hệ thống tuyến tính thỏa mãn các phương trình đã cho. Một nghiệm của hệ trên là

x=1y=−2z=−2{displaystyle {begin{alignedat}{2}x&=&1\y&=&-2\z&=&-2end{alignedat}}}

nó làm cho ba phương trình ban đầu thỏa mãn.

Ví dụ cơ bản[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Một dạng phương trình tuyến tính đơn giản nhất là hệ gồm hai phương trình với hai ẩn:

2x+3y=64x+9y=15.{displaystyle {begin{alignedat}{5}2x&&;+;&&3y&&;=;&&6&\4x&&;+;&&9y&&;=;&&15&.end{alignedat}}}

Một phương pháp giải cho hệ trên là phương pháp thế. Trước hết, biến đổi phương trình đầu tiên để được phương trình tính ẩn x{displaystyle x} theo y{displaystyle y}:

x=3−32y.{displaystyle x=3-{frac {3}{2}}y.}

Sau đó thế hệ thức này vào phương trình dưới:

4(3−32y)+9y=15.{displaystyle 4left(3-{frac {3}{2}}yright)+9y=15.}

Ta được một phương trình bật nhất theo y{displaystyle y}. Giải ra, ta được y=1{displaystyle y=1}, và tính lại x{displaystyle x} được x=3/2{displaystyle x=3/2}.

Xem thêm: Công thức tính nồng độ mol, nồng độ phần trăm dung dịch và bài tập

Hình thức tổng quát[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hệ phương trình trên có thể được viết theo dạng

phương trình ma trận

:

Ax=b

Với A

ma trận

chứa các hệ số ai, j (ai, j là phần tử ở hàng thứ i, cột thứ j của A); x

vector

chứa các biến xj; b

vector

chứa các hằng số bi. Tức là:

[a1,1a1,2⋯a1,ka2,1a2,2⋯a2,k⋮an,1an,2⋯an,k][x1x2⋮xk]=[b1b2⋮bn]{displaystyle {begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&cdots &a_{1,k}\a_{2,1}&a_{2,2}&cdots &a_{2,k}\vdots &vdots &ddots &vdots \a_{n,1}&a_{n,2}&cdots &a_{n,k}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}x_{1}\x_{2}\vdots \x_{k}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}b_{1}\b_{2}\vdots \b_{n}end{bmatrix}}}

Nếu các

biến số

của hệ phương trình tuyến tính nằm trong các

trường đại số

vô hạn

(ví dụ

số thực

hay

số phức

), thì chỉ có ba trường hợp xảy ra:

  • hệ không có nghiệm (vô nghiệm)
  • hệ có duy nhất một nghiệm
  • hệ có vô số nghiệm

Hệ phương trình tuyến tính có thể thấy trong nhiều ứng dụng trong

khoa học

.

Điều kiện có nghiệm trong trường hợp tổng quát[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Trong trường hợp tổng quát, ta xét các ma trận hệ số A và ma trận hệ số bổ sung thêm cột các số hạng ở vế phải A’ .

A=[a1,1a1,2⋯a1,ka2,1a2,2⋯a2,k⋅an,1an,2⋯an,k]{displaystyle A={begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&cdots &a_{1,k}\a_{2,1}&a_{2,2}&cdots &a_{2,k}\cdot &cdot &cdots &cdot \a_{n,1}&a_{n,2}&cdots &a_{n,k}end{bmatrix}}}; A′=[a1,1a1,2⋯a1,kb1a2,1a2,2⋯a2,kb2⋅an,1an,2⋯an,kbn]{displaystyle A’={begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&cdots &a_{1,k}&b_{1}\a_{2,1}&a_{2,2}&cdots &a_{2,k}&b_{2}\cdot &cdot &cdot &cdot &cdot \a_{n,1}&a_{n,2}&cdots &a_{n,k}&b_{n}end{bmatrix}}}

Khi đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi hạng của hai ma trận này bằng nhau.

ran(A)=ran(A′)=r{displaystyle ran(A)=ran(A’)=r}.

Chi tiết hơn ta có:

  1. Nếu r=ran(A)<ran(A′){displaystyle r=ran(A)<ran(A’)} thì hệ vô nghiệm
  2. Nếu ran(A)=ran(A′)=r{displaystyle ran(A)=ran(A’)=r} hệ có nghiệm và
    1. Nếu ran(A)=ran(A′)=r=k{displaystyle ran(A)=ran(A’)=r=k} hệ có nghiệm duy nhất
    2. Nếu ran(A)=ran(A′)=r<k{displaystyle ran(A)=ran(A’)=r<k} hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào kr ẩn tự do.

(không xảy ra trường hợp r=ran(A)>ran(A′){displaystyle r=ran(A)>ran(A’)} hay r=ran(A)>n{displaystyle r=ran(A)>n})

  • Ví dụ:
    • Hệ
{x+y=2x−y=0x−3y=−2{displaystyle left{{begin{matrix}x&+&y&=&2\x&-&y&=&0\x&-&3y&=&-2\end{matrix}}right.} có nghiệm duy nhất {x=1y=1{displaystyle left{{begin{matrix}x&=&1\y&=&1\end{matrix}}right.};
    • Hệ
{x+y+2z=3y−z=5{displaystyle left{{begin{matrix}x&+&y&+&2z&=&3\;&;&y&-&z&=&5\end{matrix}}right.}
có vô số nghiệm phụ thuộc một ẩn tự do z:
{x=−2−3zy=5+zz∈R{displaystyle left{{begin{matrix}x&=&-2&-&3z\y&=&5&+&z\z&in &mathbb {R} \end{matrix}}right.}
    • Hệ
{x+y=2x−y=0x−3y=3{displaystyle left{{begin{matrix}x&+&y&=&2\x&-&y&=&0\x&-&3y&=&3\end{matrix}}right.}
vô nghiệm.

Xem thêm: Lý thuyết phương trình logarit và một số phương pháp giải toán 12-Toan123.vn

Các trường hợp đặc biệt[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Nếu k bằng n, và

    ma trận

    A

    khả nghịch

    (hay

    định thức

    của ma trận A khác không) thì hệ có nghiệm duy nhất:

x = A−1b
với A−1

ma trận nghịch đảo

của A.

  • Nếu b=0 (mọi bi bằng 0), hệ được gọi là hệ thuần nhất. Tập tất cả các nghiệm của một hệ phương trình thuần nhất lập thành một không gian vecter con của Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}, nó được gọi là

    hạt nhân

    của ma trận A, viết là Ker(A).(Cũng là hạt nhân của phép biến đổi tuyến tính xác định bởi ma trận A). Nếu hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có k=n và ma trận A khả nghịch thì nó có nghiệm duy nhất là nghiệm không.

Các phương pháp giải[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Dưới đây liệt kê vài phương pháp tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính:

  • Phép khử Gauss

  • Phép phân rã Cholesky

  • Phép đệ quy Levinson

  • Phép đệ quy Schur

  • Phép phân rã giá trị dị thường

Xem thêm: Bất đẳng thức lớp 10-Phân loại bài tập và cách giải đáp án-TÀI LIỆU RẺ

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Phương trình tuyến tính

  • Hệ phương trình

  • Phương trình ma trận

  • Ma trận nghịch đảo

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • (tiếng Anh)

    Simultaneous Linear Equations Solver

Các chủ đề chính trong

toán học

Nền tảng toán học

|

Đại số

|

Giải tích

|

Hình học

|

Lý thuyết số

|

Toán học rời rạc

|

Toán học ứng dụng

|

Toán học giải trí

|

Toán học tô pô

|

Xác suất thống kê

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Hệ_phương_trình_tuyến_tính&oldid=64533077

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button