Kiến thức

Hệ tọa độ Descartes – Wikipedia tiếng Việt

Hệ tọa độ Descartes

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Một Hệ tọa độ Descartes xác định vị trí của một điểm (point) trên một mặt phẳng (plane) cho trước bằng một cặp số tọa độ (x, y). Trong đó, xy là 2 giá trị được xác định bởi 2 đường thẳng có hướng vuông góc với nhau (cùng đơn vị đo). 2 đường thẳng đó gọi là

trục tọa độ

(coordinate axis) (hoặc đơn giản là trục); trục nằm ngang gọi là trục hoành, trục đứng gọi là trục tung; điểm giao nhau của 2 đường gọi là

gốc tọa độ

(origin) và nó có giá trị là (0, 0).

Hệ tọa độ này là ý tưởng của

nhà toán học

triết học

người Pháp

René Descartes

thể hiện vào năm

1637

trong hai

bài viết

của ông. Trong phần hai của bài

Phương pháp luận (Descartes)

(

tiếng Pháp

: Discours de la méthode, tựa Pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences), ông đã giới thiệu ý tưởng mới về việc xác định vị trí của một

điểm

hay vật thể trên một bề mặt bằng cách dùng hai trục giao nhau để đo. Còn trong bài

La Géométrie

, ông phát triển sâu hơn khái niệm trên.

Descartes là người đã có công hợp nhất

đại số

hình học Euclide

. Công trình này của ông có ảnh hưởng đến sự phát triển của ngành

hình học giải tích

,

tích phân

, và

khoa học bản đồ

.

Ngoài ra, ý tưởng về hệ tọa độ có thể được mở rộng ra

không gian ba chiều

(three-dimensional space) bằng cách sử dụng 3 tọa độ Descartes (nói cách khác là thêm một trục tọa độ vào một hệ tọa độ Descartes). Một cách tổng quát, một hệ tọa độ n-chiều có thể được xây dựng bằng cách sử dụng n tọa độ Descartes (tương đương với n-trục).

Hệ tọa độ trên mặt phẳng (2 chiều)[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Là 2 trục vuông góc x’Ox và y’Oy mà trên đó đã chọn 2

vectơ đơn vị

i→{displaystyle {vec {i}}}, j→{displaystyle {vec {j}}} sao cho độ dài của 2 véc-tơ này bằng nhau

Trục x’Ox (hay trục Ox) gọi là trục hoành.

Trục y’Oy (hay trục Oy) gọi là trục tung.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ

Hình 1 – Hệ tọa độ Đề-Các với bốn điểm lần lượt có tọa độ: (2,3) (màu xanh lá cây), (-3,1) (màu xanh đỏ), (-1.5,-2.5) (màu xanh da trời) và (0,0), gốc tọa độ, (màu tím).

Hình 2 – Hệ tọa độ Đề-Các với một đường tròn có tâm trùng với gốc tọa độ và bán kính bằng 2. Đường tròn này có phương trình: x2 + y2 = 4.

Hình 3 – Hệ tọa độ Đề-Các với bốn góc phần tư. Các mũi tên ở hai đầu của mỗi trục nhằm minh họa rằng các trục này trải dài vô tận theo hướng của mũi tên.

Bạn đang xem: Hệ tọa độ Descartes – Wikipedia tiếng Việt

Tọa độ vecto[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Nếu a→=xi→+yj→{displaystyle {vec {a}}=x{vec {i}}+y{vec {j}}} thì cặp số (x;y) được gọi là tọa độ của vecto a→{displaystyle {vec {a}}}. x được gọi là hoành độ và y được gọi là tung độ của a→{displaystyle {vec {a}}}.

Ký hiệu a→=(x;y){displaystyle {vec {a}}=(x;y)}

Tọa độ điểm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Mỗi điểm M được xác định bởi một cặp số M(x,y), được gọi là tọa độ điểm M, x được gọi là hoành độ và y được gọi là tung độ của điểm M

Tính chất:

  • x≠0,A(x;0)∈Ox{displaystyle forall xneq 0,A(x;0)in Ox}
  • y≠0,A(0;y)∈Oy{displaystyle forall yneq 0,A(0;y)in Oy}
  • Tọa độ của một điểm chính là tọa độ của vectơ có điểm cuối là điểm đó và điểm đầu là O. Ta có M(x,y)⇔OM→=(x;y){displaystyle Mleft(x,yright)Leftrightarrow {overrightarrow {OM}}=(x;y)}

Tìm tọa độ của vecto biết tọa độ điểm đầu và cuối[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho 2 điểm A(xA;yA){displaystyle A(x_{A};y_{A})}B(xB;yB){displaystyle B(x_{B};y_{B})}, khi đó ta có AB→=(xB−xA;yB−yA){displaystyle {overrightarrow {AB}}=left(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A}right)}

Xem thêm: Oxit Axit là gì? Tính chất hóa học của các oxit axit thường gặp

Độ dài vecto và khoảng cách giữa 2 điểm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho a→=(a1;a2){displaystyle {vec {a}}=(a_{1};a_{2})}, khi đó |a→|=a12+a22{displaystyle leftvert {vec {a}}rightvert ={sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}} là độ dài của vectơ a→{displaystyle {vec {a}}}

Cho 2 điểm A(xA;yA){displaystyle A(x_{A};y_{A})}B(xB;yB){displaystyle B(x_{B};y_{B})}, khi đó độ dài đoạn thẳng AB hay khoảng cách giữa A và B là AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2{displaystyle AB={sqrt {left(x_{B}-x_{A}right)^{2}+left(y_{B}-y_{A}right)^{2}}}}

Góc giữa 2 vecto[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho a→=(a1;a2){displaystyle {vec {a}}=(a_{1};a_{2})}b→=(b1;b2){displaystyle {vec {b}}=(b_{1};b_{2})}. Gọi α{displaystyle alpha } là góc giữa 2 vecto a→{displaystyle {vec {a}}}b→{displaystyle {vec {b}}}. Khi đó cos⁡α=a1b1+a2b2(a12+a22)(b12+b22){displaystyle cos alpha ={a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2} over {sqrt {left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}right)left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}right)}}}}

Một số biểu thức tọa độ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho a→=(a1;a2){displaystyle {vec {a}}=(a_{1};a_{2})} ta có ka→=(ka1;ka2){displaystyle k{vec {a}}=(ka_{1};ka_{2})}

Cho a→=(a1;a2){displaystyle {vec {a}}=(a_{1};a_{2})}b→=(b1;b2){displaystyle {vec {b}}=(b_{1};b_{2})} ta có

  • a→+b→=(a1+b1;a2+b2){displaystyle {vec {a}}+{vec {b}}=(a_{1}+b_{1};a_{2}+b_{2})}
  • a→b→=(a1−b1;a2−b2){displaystyle {vec {a}}-{vec {b}}=(a_{1}-b_{1};a_{2}-b_{2})}
  • a→.b→=a1b1+a2b2{displaystyle {vec {a}}.{vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}

Cho đoạn thẳng AB có A(xA;yA){displaystyle A(x_{A};y_{A})}B(xB;yB){displaystyle B(x_{B};y_{B})}, Khi đó I(xA+xB2;yA+yB2){displaystyle Ileft({x_{A}+x_{B} over 2};{y_{A}+y_{B} over 2}right)} là tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB

Cho ABC{displaystyle bigtriangleup ABC}A(xA;yA){displaystyle A(x_{A};y_{A})}, B(xB;yB){displaystyle B(x_{B};y_{B})}C(xC;yC){displaystyle C(x_{C};y_{C})}, khi đó G(xA+xB+xC3;yA+yB+yC3){displaystyle Gleft({x_{A}+x_{B}+x_{C} over 3};{y_{A}+y_{B}+y_{C} over 3}right)} là tọa độ trọng tâm của ABC{displaystyle bigtriangleup ABC}

Hệ tọa độ trong không gian (3 chiều)[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Là 3 trục vuông góc nhau từng đôi một x’Ox, y’Oy, z’Oz mà trên đó đã chọn 3 véc-tơ đơn vị i→{displaystyle {vec {i}}}, j→{displaystyle {vec {j}}}, k→{displaystyle {vec {k}}} sao cho độ dài của 3 véc-tơ này bằng nhau

Trục x’Ox (hay trục Ox) gọi là trục hoành.

Trục y’Oy (hay trục Oy) gọi là trục tung.

Trục z’Oz (hay trục Oz) gọi là trục cao.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ

3 trục tọa độ nói trên vuông góc với nhau tạo thành 3 mặt phẳng tọa độ là Oxy, Oyz và Ozx vuộng góc với nhau từng đôi một

Tranh 4 – Hệ tọa độ Descartes ba chiều với trục y có chiều chạy xa người quan sát.

Tranh 5 – Hệ tọa độ Descartes ba chiều với trục x có chiều chạy về phía người quan sát.

Tranh 6 – The left-handed orientation is shown on the left, and the right-handed on the right.

Tranh 7 – The right-handed Cartesian coordinate system indicating the coordinate planes.

Xem thêm: Mệnh đề quan hệ

Tọa độ của điểm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Trong không gian, mỗi điểm M được xác định bởi bộ số M(x,y,z). và ngược lại, bộ số đó được gọi là tọa độ của điểm M, x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ và z được gọi là cao độ của điểm M.

Tính chất

  • xy≠0,A(x,y,0)∈Oxy{displaystyle forall xyneq 0,A(x,y,0)in Oxy}
  • xz≠0,A(x,0,z)∈Oxz{displaystyle forall xzneq 0,A(x,0,z)in Oxz}
  • yz≠0,A(0,y,z)∈Oyz{displaystyle forall yzneq 0,A(0,y,z)in Oyz}
  • x≠0,M(x;0;0)∈Ox{displaystyle forall xneq 0,M(x;0;0)in Ox}
  • y≠0,M(0;y;0)∈Oy{displaystyle forall yneq 0,M(0;y;0)in Oy}
  • z≠0,M(0;0;z)∈Oz{displaystyle forall zneq 0,M(0;0;z)in Oz}

Tọa độ của vector[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Trong không gian, cho vectơ a→=xi→+yj→+zk→{displaystyle {vec {a}}=x{vec {i}}+y{vec {j}}+z{vec {k}}}, khi đó bộ số (x;y;z) được gọi là tọa độ của vecto a→{displaystyle {vec {a}}}.

Ký hiệu: a→=(x;y;z){displaystyle {vec {a}}=(x;y;z)}

Liên hệ giữa tọa độ vectơ và tọa độ điểm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho 2 điểm A(xA;yA;zA){displaystyle A(x_{A};y_{A};z_{A})}B(xB;yB;zB){displaystyle B(x_{B};y_{B};z_{B})}, khi đó ta có AB→=(xB−xA;yB−yA;zB−zA){displaystyle {overrightarrow {AB}}=left(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A}right)}

Cho điểm M(xM;yM;zM){displaystyle M(x_{M};y_{M};z_{M})}, khi đó ta có OM→=(xM;yM;zM){displaystyle {vec {OM}}=(x_{M};y_{M};z_{M})} và ngược lại

Xem thêm: Parabol là gì? Ứng dụng của Parabol trong cuộc sống

Độ dài vecto và khoảng cách giữa 2 điểm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho a→=(a1;a2;a3){displaystyle {vec {a}}=(a_{1};a_{2};a_{3})}, khi đó |a→|=a12+a22+a32{displaystyle leftvert {vec {a}}rightvert ={sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}} là độ dài của vectơ a→{displaystyle {vec {a}}}

Cho 2 điểm A(xA;yA;zA){displaystyle A(x_{A};y_{A};z_{A})}B(xB;yB;zB){displaystyle B(x_{B};y_{B};z_{B})}, khi đó độ dài đoạn thẳng AB hay khoảng cách giữa A và B là AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2{displaystyle AB={sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}}}

Góc giữa 2 vecto[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho a→=(a1;a2;a3){displaystyle {vec {a}}=(a_{1};a_{2};a_{3})}b→=(b1;b2;b3){displaystyle {vec {b}}=(b_{1};b_{2};b_{3})}. Gọi α{displaystyle alpha } là góc giữa 2 vecto a→{displaystyle {vec {a}}}b→{displaystyle {vec {b}}}. Khi đó

cos⁡)=a→.b→|a→||b→|=a1b1+a2b2+a3b3(a12+a22+a32)(b12+b22+b32){displaystyle cos(alpha )={{vec {a}}.{vec {b}} over leftvert {vec {a}}rightvert leftvert {vec {b}}rightvert }={a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3} over {sqrt {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2})}}}}

sin⁡α=|[a→;b→]||a→||b→|{displaystyle sin alpha ={leftvert [{vec {a}};{vec {b}}]rightvert over leftvert {vec {a}}rightvert leftvert {vec {b}}rightvert }}

Một số biểu thức tọa độ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho a→=(a1;a2;a3){displaystyle {vec {a}}=(a_{1};a_{2};a_{3})} ta có ka→=(ka1;ka2;ka3){displaystyle k{vec {a}}=(ka_{1};ka_{2};ka_{3})}

Cho a→=(a1;a2;a3){displaystyle {vec {a}}=(a_{1};a_{2};a_{3})}b→=(b1;b2;b3){displaystyle {vec {b}}=(b_{1};b_{2};b_{3})} ta có

  • a→+b→=(a1+b1;a2+b2;a3+b3){displaystyle {vec {a}}+{vec {b}}=(a_{1}+b_{1};a_{2}+b_{2};a_{3}+b_{3})}
  • a→b→=(a1−b1;a2−b2;a3−b3){displaystyle {vec {a}}-{vec {b}}=(a_{1}-b_{1};a_{2}-b_{2};a_{3}-b_{3})}
  • a→.b→=a1b1+a2b2+a3b3{displaystyle {vec {a}}.{vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}
  • [a→,b→]=(|a2a3b2b3|;|a3a1b3b1|;|a1a2b1b2|){displaystyle left[{vec {a}},{vec {b}}right]={big (}{begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\b_{2}&b_{3}end{vmatrix}};{begin{vmatrix}a_{3}&a_{1}\b_{3}&b_{1}end{vmatrix}};{begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\b_{1}&b_{2}end{vmatrix}})}

Cho đoạn thẳng AB có A(xA;yA;zA){displaystyle A(x_{A};y_{A};z_{A})}B(xB;yB;zB){displaystyle B(x_{B};y_{B};z_{B})}, Khi đó I(xA+xB2;yA+yB2;zA+zB2){displaystyle Ileft({x_{A}+x_{B} over 2};{y_{A}+y_{B} over 2};{z_{A}+z_{B} over 2}right)} là tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB

Cho ABC{displaystyle bigtriangleup ABC}A(xA;yA;zA){displaystyle A(x_{A};y_{A};z_{A})}, B(xB;yB;zB){displaystyle B(x_{B};y_{B};z_{B})}C(xC;yC;zC){displaystyle C(x_{C};y_{C};z_{C})}, khi đó G(xA+xB+xC3;yA+yB+yC3;zA+zB+zC3){displaystyle Gleft({x_{A}+x_{B}+x_{C} over 3};{y_{A}+y_{B}+y_{C} over 3};{z_{A}+z_{B}+z_{C} over 3}right)} là tọa độ trọng tâm của ABC{displaystyle bigtriangleup ABC}

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. Sách giáo khoa Toán 7 tập 1
  2. Sách giáo khoa Hình học lớp 10
  3. Sách giáo khoa Hình học lớp 10 nâng cao
  4. Sách giáo khoa Hình học lớp 12
  5. Sách giáo khoa Hình học lớp 12 nâng cao

Đọc thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Không gian nhiều chiều

  • Hình học phi Euclide

  • Không-thời gian

  • Hệ tọa độ cực

  • Hình học Euclid

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Weisstein, Eric W.

    , “

    Cartesian Coordinates

    ” từ

    MathWorld

    .

  • Đại số vectơ và phương pháp tọa độ

    Lưu trữ

    2006-06-22 tại

    Wayback Machine

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Hệ_tọa_độ_Descartes&oldid=64856184

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button