Kiến thức

Hệ thống phi tuyến – Wikipedia tiếng Việt

Hệ thống phi tuyến

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Trong

vật lý

và các ngành khoa học khác, một hệ thống phi tuyến, trái ngược với một

hệ thống tuyến tính

, là một hệ thống mà không thỏa mãn

nguyên tắc xếp chồng

– nghĩa là đầu ra của một hệ thống phi tuyến bằng với đầu vào.

Trong

toán học

, một hệ phương trình phi tuyến là một tập hợp các

phương trình

đồng thời trong đó các

ẩn số

(hoặc các hàm chưa biết trong trường hợp của

phương trình vi phân

) xuất hiện như là các biến của một đa thức bậc cao hơn một hoặc trong các đối số của một

hàm

không phải là một đa thức bậc một. Nói cách khác, trong một hệ phương trình phi tuyến, phương trình được giải không thể được viết như là một

tổ hợp tuyến tính

của các

biến

hoặc

hàm

chưa biết xuất hiện trong chúng. Không cần bận tâm nếu các hàm phi tuyến đã biết xuất hiện trong các phương trình. Đặc biệt, một

phương trình vi phân

tuyến tính nếu nó là tuyến tính trong điều kiện hàm chưa biết và các đạo hàm của nó, ngay cả khi phi tuyến trong điều kiện của các biến số khác xuất hiện trong đó.

Thông thường, hành vi của một hệ thống phi tuyến được mô tả bởi một hệ phương trình phi tuyến.

Các bài toán phi tuyến là mối quan tâm của các

kỹ sư

,

nhà vật lý

nhà toán học

và nhiều

nhà khoa học

khác bởi vì hầu hết các hệ thống vốn đã là phi tuyến. Vì phương trình phi tuyến rất khó để giải, các hệ thống phi tuyến thường được xấp xỉ bởi phương trình tuyến tính (

tuyến tính hóa

). Điều này hoạt động tốt đến một độ chính xác và một số phạm vi cho các giá trị đầu vào nhất định, nhưng một số hiện tượng thú vị như

hỗn loạn

[1]

 và

kỳ dị

bị dấu đi bởi sự tuyến tính hóa. Nó theo sau một số khía cạnh của hành vi của một hệ thống phi tuyến xuất hiện thường là hỗn loạn, không thể đoán trước hoặc trái ngược với suy đoán thông thường. Mặc dù hành vi hỗn loạn như vậy có thể giống với hành vi

ngẫu nhiên

, nó là hoàn toàn không phải ngẫu nhiên.

Ví dụ, một số khía cạnh của

thời tiết

được xem là hỗn loạn, trong đó các thay đổi đơn giản trong một phần của hệ thống sẽ tạo ra các hiệu ứng phức tạp trong đó. Sự phi tuyến này là một trong những lý do tại sao dự báo dài hạn một cách chính xác là không thể với công nghệ hiện nay.

Định nghĩa[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Trong

toán học

, một

hàm tuyến tính

(hoặc ánh xạ) f(x){displaystyle f(x)} là một trường hợp thỏa mãn cả hai thuộc tính sau đây:

  • Tính cộng hoặc tính

    xếp chồng:

     f(x+y) =f(x) +f(y);{displaystyle textstyle f(x+y) =f(x) +f(y);}

  • Tính đồng nhất: f(αx) =αf(x).{displaystyle textstyle f(alpha x) =alpha f(x).}

Tính cộng bao hàm tính đồng nhất cho bất kỳ

số hữu tỉ

α nào, và, đối với các

hàm liên tục

, đối với bất kỳ

số thực

α nào. Đối với một

số phức

α, tính đồng nhất không tuân theo tính cộng. Ví dụ, một

ánh xạ phản tuyến tính

là có tính cộng nhưng không đồng nhất. Các điều kiện của tính cộng và tính đồng nhất thường được kết hợp trong

nguyên lý xếp chồng

Một phương trình được viết dưới dạng: f(x) = C

được gọi là tuyến tính nếu f(x){displaystyle f(x)} là một ánh xạ tuyến tính (như định nghĩa ở trên) và ngược lại được gọi là phi tuyến. Phương trình này được gọi là đồng nhất nếu C=0{displaystyle C=0}.

Định nghĩa f(x)=C{displaystyle f(x)=C} là rất tổng quát với x{displaystyle x} có thể là bất kỳ đối tượng toán học hợp lý nào (số, vector, hàm,…) và hàm f(x){displaystyle f(x)} nghĩa là có thể là bất kỳ ánh xạ nào, bao gồm tích phân hoặc vi phân với những giới hạn liên quan (như các

giá trị ranh giới

). Nếu f(x){displaystyle f(x)} có chứa

đạo hàm

 theo x{displaystyle x}, kết quả sẽ là một

phương trình vi phân

.

Phương trình đại số phi tuyến[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Phương trình đại số

phi tuyến, được xác định bằng cách cân bằng

đa thức

với không. Ví dụ:

Đối với một phương trình đại số đơn thức,

thuật toán tìm nghiệm

có thể được sử dụng để tìm lời giải cho phương trình (ví dụ, bộ giá trị cho các biến thỏa mãn phương trình). Tuy nhiên, các hệ phương trình đại số thì phức tạp hơn; Nghiên cứu chúng là một trong những động lực cho các lĩnh vực

hình học đại số

, một nhánh khó của toán học hiện đại. Nó thậm chí còn khó để quyết định liệu một hệ đại số cho trước có lời giải phức tạp hay không (xem

Nullstellensatz của Hilbert

). Tuy nhiên, trong trường hợp của các hệ thống với một số hữu hạn các lời giải phức tạp, các

hệ phương trình đa thức

 bây giờ cũng được hiểu và đã có phương pháp hiệu quả để giải chúng.

[2]

Xem thêm: Điểm chuẩn 2011: Trường ĐH Kinh tế-ĐHQGHN-Thông tin tuyển sinh

Quan hệ hồi quy phi tuyến[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Một

quan hệ hồi quy

phi tuyến xác định các điều kiện đi sau của một

dãy

như là một hàm phi tuyến của các điều kiện đi trước. Ví dụ về các quan hệ hồi quy phi tuyến là

ánh xạ logistic

và các quan hệ mà xác định các

trình tự Hofstadter

khác nhau. Các mô hình rời rạc phi tuyến mà đại diện cho một lớp rộng các quan hệ hồi quy phi tuyến bao gồm mô hình NARMAX (Nonlinear Autoregressive Moving Average with eXogenous inputs-tự hồi quy phi tuyến dịch chuyển đến trung bình với các đầu vào ngoại sinh) và các thủ tục

xác định và phân tích hệ thống phi tuyến

liên quan.

[3]

Những cách tiếp cận có thể được sử dụng để nghiên cứu một lớp rộng các hành vi phi tuyến phức tạp trong thời gian, tần số, và các miền không-thời gian.

Các  phương trình vi phân phi tuyến[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Một

hệ

 

phương trình vi phân

được cho là phi tuyến nếu nó không phải là một

hệ tuyến tính

. Các bài toán liên quan đến phương trình vi phân phi tuyến là vô cùng đa dạng và phương pháp giải hay phân tích là tùy thuộc vào bài toán. Ví dụ về phương trình vi phân phi tuyến là các

phương trình Navier-Stokes

trong động lực học chất lỏng và các

phương trình Lotka-Volterra

trong sinh học.

Một trong những khó khăn lớn nhất của các bài toán phi tuyến là nó không phải là dạng có thể áp dụng các lời giải đã biết vào các lời giải mới. Trong các bài toán tuyến tính, ví dụ, một họ các lời giải

độc lập tuyến tính

có thể được sử dụng để xây dựng các lời giải tổng quát thông qua

nguyên lý xếp chồng

. Một ví dụ điển hình của việc này là truyền nhiệt với

điều kiện biên Dirichlet

, lời giải trong đó có thể được viết như là một sự kết hợp tuyến tính phụ thuộc thời gian theo hình sin của các tần số khác nhau; điều này làm cho các lời giải rất linh hoạt. Thường ta có thể tìm thấy nhiều lời giải rất cụ thể đối với các phương trình phi tuyến, tuy nhiên việc thiếu một

nguyên lý xếp chồng

ngăn cản việc xây dựng các lời giải mới.

Các phương trình vi phân thông thường[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Các

phương trình vi phân thường

bậc một thường có thể giải chính xác bằng cách

tách biến

, đặc biệt là cho các phương trình  độc lập. Ví dụ, phương trình phi tuyến

có u=1x+C{displaystyle u={frac {1}{x+C}}} là lời giải tổng quát (và cũng có u = 0 là một lời giải riêng, tùy theo giới hạn của lời giải tổng quát khi C tiến tới vô cùng). Phương trình này sẽ không tuyến tính bởi vì nó có thể viết dưới dạng

và phía tay trái của phương trình trên không phải là một hàm tuyến tính của u và các đạo hàm của nó. Chú ý là nếu u2 được thay bởi u, bài toán sẽ trở thành tuyến tính (bài toán

phân rã dạng hàm mũ

).

Các phương trình vi phân thường bậc hai hoặc cao hơn (tổng quát hơn, các hệ phương trình phi tuyến) hiếm khi có được các lời giải

dạng đóng

, mặc dù các lời giải tiềm ẩn và các lời giải bao gồm tích phân không cơ bản đã được bắt gặp.

Các phương pháp phổ biến để phân tích định lượng của các phương trình vi phân thường phi tuyến bao gồm:

  • Ví dụ trong bất kỳ 

    lượng bảo toàn

     nào, đặc biệt trong các

    hệ thống Hamilton

    .

  • Kiểm tra lượng phân tán (xem

    hàm Lyapunov

    ) tương tự với lượng bảo toàn.

  • Tuyến tính hóa thông qua

    chuỗi Taylor

    .

  • Biến đổi các biến thành biến mới để dàng nghiên cứu hơn.
  • Lý thuyết rẽ nhánh

    .

  • Phương pháp

    nhiễu loạn

    (cũng có thể được áp dụng cho các phương trình đại số).

Các phương trình vi phân từng phần[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Phương pháp cơ bản phổ biến nhất để nghiên cứu

phương trình vi phân từng phần

phi tuyến là biến đổi các biến (hoặc nếu không thì biến đổi bài toán) thành bài toán mới đơn giản hơn (thậm chí có thể tuyến tính). Đôi khi, phương trình này có thể được chuyển đổi thành một hoặc nhiều hơn các phương trình vi phân thường, như

phương pháp tách biến

, phương pháp này luôn hữu ích bất chấp phương trình vi phân thường mới có giải được hay không.

Một chiến thuật thông thường (mặc dù ít mang tính toán học), thường thấy trong cơ lưu chất và nhiệt, là sử dụng

phân tích bậc thang

để đơn giản hóa một phương trình tổng quát, trong một bài toán giá trị biên nhất định. Ví dụ, các

phương trình Navier-Stokes

 (rất) phi tuyến có thể được đơn giản hóa thành một phương trình vi phân tuyến tính từng phần trong các trường hợp quá độ, phân lớp, dòng chảy một chiều trong một ống tròn; phân tích bậc thang cung cấp các điều kiện dưới dòng chảy là phân lớp và một chiều và cũng mang lại các phương trình đơn giản hóa.

Các phương pháp khác bao gồm kiểm tra các

đặc tính

và cách sử dụng các phương pháp nêu trên cho phương trình vi phân thường.

Dao động quả lắc[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Minh họa một con lắc ly tâm

Một bài toán phi tuyến cổ điển, được nghiên cứu rộng rãi là động năng của một

con lắc

dưới ảnh hưởng của

lực hấp dẫn

. Sử dụng

cơ học Lagrange

, có thể mô tả

[4]

 chuyển động của con lắc bằng  phương trình phi tuyến như sau

trong đó hướng trọng lực “đi xuống” và θ{displaystyle theta } là góc của quả lắc với vị trí còn lại của nó, như thể hiện trong hình bên phải. Một hướng

giải phương trình

này là sử dụng /dt{displaystyle dtheta /dt} là một

hệ số tích phân

,cuối cùng ta có

đó là một lời giải tiềm ẩn bao gồm cả một tích phân elliptic. “Lời giải” này thường không có nhiều công dụng vì hầu hết các tính chất của lời giải được ẩn trong tích phân không cơ bản (không cơ bản ngay cả khi C0=0{displaystyle C_{0}=0}).

Một cách khác để tiếp cận vấn đề là tuyến tính hóa bất kỳ đường phi tuyến nào (thuật ngữ hàm sin trong trường hợp này) tại các điểm quan tâm khác nhau thông qua

triển khai Taylor

. Ví dụ, tuyến tính hóa tại θ=0{displaystyle theta =0}, được gọi là xấp xỉ góc nhỏ, là

do sin⁡)≈θ{displaystyle sin(theta )approx theta } đối với θ0{displaystyle theta approx 0}. Đây là một

dao động điều hòa đơn giản

tương ứng với dao động của con lắc gần cuối đáy của quỹ đạo của nó. Một tuyến tính khác là ở θ{displaystyle theta =pi }, tương ứng với con lắc thẳng lên:

do sin⁡)≈πθ{displaystyle sin(theta )approx pi -theta } đối với θπ{displaystyle theta approx pi }. Cách giải này bao gồm

hàm hyperbolic

, và lưu ý là không giống với xấp xỉ góc nhỏ, xấp xỉ này là không ổn định, nghĩa là |{displaystyle |theta |} sẽ thường tăng mà không có giới hạn, mặc dù các giải pháp chặn là có thể. Điều này tương ứng với sự khó khăn của việc cân bằng một con lắc thẳng đứng, nghĩa là một trạng thái không ổn định.

Một tuyến tính hóa thú vị hơn là có thể xung quanh θ/2{displaystyle theta =pi /2}, xung quanh điểm sin⁡)≈1{displaystyle sin(theta )approx 1}:

Điều này tương ứng với bài toán rơi tự do. Một hình ảnh chất lượng rất hữu ích của động lực học của con lắc ly tâm có thể thu được bằng cách ghép các tuyến tính hóa như vậy với nhau, như đã thấy trong hình ở bên phải. Các kỹ thuật khác có thể được sử dụng để tìm (chính xác)

miêu tả pha

và xấp xỉ thời gian.

Các dạng của hành vi phi tuyến[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Hỗn độn cổ điển

    – hành vi của một hệ thống không thể tiên đoán được.

  • Đa ổn định

    – xen kẽ giữa hai hoặc nhiều trạng thái riêng biệt.

  • Dao động

    không tuần hoàn

    – các hàm không lặp lại các giá trị sau một thời gian (hay còn gọi là dao động hỗn loạn hoặc hỗn độn).

  • Biên độ chết

    – bất kỳ dao động thể hiện trong hệ thống dừng do một số loại tương tác với hệ thống hoặc phản hồi khác bởi cùng một hệ thống.

  • Soliton

    – sóng đơn tự duy trì

Xem thêm: Vật lý 6-Ôn tập Máy cơ đơn giản

Các ví dụ về phương trình phi tuyến[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Xem thêm

danh sách các phương trình vi phân phi tuyến từng phần

Phần mềm để giải các hệ thống phi tuyến[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • interalg

    – Chương trình giải hệ phương trình phi tuyến dựa trên nền tảng OpenOpt / FuncDesigner để tìm kiếm hoặc bất kỳ hoặc tất cả các lời giải cho hệ phương trình đại số phi tuyến

  • A collection of non-linear models and demo applets

    Lưu trữ

    2008-03-05 tại

    Wayback Machine

    (tại Phòng thí nghiệm Ảo của Đại học Monash)

  • FyDiK

    – Phần mềm này dùng để mô phổng các hệ thống động học phi tuyến

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Xem thêm: OXIT SẮT VÀNG, BỘT MẦU, FE2O3-HÓA CHẤT HÀ NỘI™

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    Nonlinear Dynamics I: Chaos

    at

    MIT’s OpenCourseWare

  2. ^

    doi

    :

    10.1016/j.jsc.2008.03.004

    Hoàn thành chú thích này

  3. ^

    Billings S.A. “Nonlinear System Identification: NARMAX Methods in the Time, Frequency, and Spatio-Temporal Domains”.

  4. ^

    David Tong: Lectures on Classical Dynamics

Đọc thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Command and Control Research Program (CCRP)

  • New England Complex Systems Institute: Concepts in Complex Systems

  • Nonlinear Dynamics I: Chaos

     tại 

    MIT’s OpenCourseWare

  • Nonlinear Models

     Cơ sở dữ liệu mô hình phi tuyến của các hệ thống vật lý (MATLAB)

  • The Center for Nonlinear Studies at Los Alamos National Laboratory

  • YAN Kun(2011).

    Nonlinstor-An electronic circuit element based on the form of the nonlinear differential equation

    (Brief annotation of the connection equation(R)), Xi’an: Xi’an Modern Nonlinear Science Applying Institute.

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Hệ_thống_phi_tuyến&oldid=64211480

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button