Kiến thức

Khoảng cách Euclid – Wikipedia tiếng Việt

Khoảng cách Euclid

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Áp dụng định lý Pythagoras để tính khoảng cách Euclid trong mặt phẳng

Trong

toán học

, khoảng cách Euclid (

tiếng Anh

: Euclidean distance) giữa hai điểm trong

không gian Euclid

là độ dài của

đoạn thẳng

nối hai điểm đó. Có thể tính nó từ

tọa độ Descartes

của hai điểm bằng cách sử dụng

định lý Pythagoras

, do đó còn có tên gọi khác là khoảng cách Pythagoras (

tiếng Anh

: Pythagorean distance). Hai danh pháp trên được đặt theo tên của hai nhà toán học Hy Lạp cổ đại

Euclid

Pythagoras

, dù Euclid không dùng số để chỉ khoảng cách và mối liên hệ giữa định lý Pythagoras với việc tính khoảng cách chưa được thiết lập cho đến thế kỷ 18.

Khoảng cách giữa hai đối tượng hình học không phải là điểm thường được định nghĩa là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm thuộc hai đối tượng đó. Có một số công thức đã biết để tính khoảng cách giữa các dạng đối tượng khác nhau, chẳng hạn như khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Toán học nâng cao khái quát hóa khái niệm khoảng cách sang

không gian mêtric

trừu tượng cũng như nghiên cứu một số loại khoảng cách khác ngoài khoảng cách Euclid. Một số ứng dụng trong thống kê và tối ưu hóa sử dụng bình phương khoảng cách Euclid thay vì chính khoảng cách đó.

Các công thức khoảng cách[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Một chiều[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên

trục số

giá trị tuyệt đối

của hiệu tọa độ của chúng. Như vậy, với hai điểm p{displaystyle p}q{displaystyle q} trên trục số, khoảng cách giữa chúng được cho bởi:

[1]

d(p,q)=|p−q|.{displaystyle d(p,q)=|p-q|.}

Một công thức phức tạp hơn, cho cùng kết quả với công thức trên nhưng dễ khái quát hóa hơn sang không gian nhiều chiều, là:

[1]

d(p,q)=(p−q)2.{displaystyle d(p,q)={sqrt {(p-q)^{2}}}.}

Trong công thức này, phép

bình phương

và lấy

căn bậc hai

không làm thay đổi giá trị của một số dương, nhưng thay một số âm bất kỳ bằng giá trị tuyệt đối của nó.

[1]

Hai chiều[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Trong

mặt phẳng Euclid

, cho điểm p{displaystyle p}

tọa độ Descartes

(p1,p2){displaystyle (p_{1},p_{2})} và điểm q{displaystyle q} có tọa độ (q1,q2){displaystyle (q_{1},q_{2})}. Khi đó khoảng cách giữa p{displaystyle p}q{displaystyle q} được tính bằng:

[2]

d(p,q)=(q1−p1)2+(q2−p2)2.{displaystyle d(p,q)={sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}}}.}

Có thể suy ra công thức trên bằng cách áp dụng

định lý Pythagoras

cho một

tam giác vuông

có hai cạnh góc vuông song song với hai trục tọa độ và cạnh huyền là đoạn thẳng nối hai điểm p{displaystyle p}q{displaystyle q}. Hai biểu thức bình phương bên trong dấu căn cho giá trị là diện tích hình vuông dựng từ cạnh góc vuông tương ứng, dấu căn ở ngoài cùng chuyển diện tích hình vuông dựng từ cạnh huyền thành độ dài của cạnh huyền.

[3]

Ngoài ra, cũng có thể tính khoảng cách giữa hai điểm khi biết

tọa độ cực

của chúng. Nếu tọa độ cực của p{displaystyle p}(r,θ){displaystyle (r,theta )} và tọa độ cực của q{displaystyle q}(s,ψ){displaystyle (s,psi )}, thì khoảng cách giữa chúng là:

[2]

d(p,q)=r2+s2−2rscos⁡ψ).{displaystyle d(p,q)={sqrt {r^{2}+s^{2}-2rscos(theta -psi )}}.}

Khi p{displaystyle p}q{displaystyle q} là hai điểm biểu diễn

số phức

trên

mặt phẳng phức

, có thể dùng công thức đã áp dụng cho hai điểm trên trục số:

[4]

d(p,q)=|p−q|.{displaystyle d(p,q)=|p-q|.}

Nhiều chiều[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Áp dụng nhiều lần định lý Pythagoras để suy ra công thức khoảng cách Euclid trong không gian n{displaystyle n} chiều

Trong không gian ba chiều, với hai điểm bất kỳ có tọa độ Descartes cho trước, khoảng cách giữa chúng là:

d(p,q)=(p1−q1)2+(p2−q2)2+(p3−q3)2.{displaystyle d(p,q)={sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.}

Tổng quát, với hai điểm bất kỳ có tọa độ Descartes cho trước trong không gian Euclid n{displaystyle n} chiều, khoảng cách giữa chúng là:

[5]

d(p,q)=(p1−q1)2+(p2−q2)2+⋯+(pi−qi)2+⋯+(pn−qn)2.{displaystyle d(p,q)={sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+cdots +(p_{i}-q_{i})^{2}+cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}.}

Đối tượng hình học khác[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Với hai đối tượng hình học không phải đều là điểm, khoảng cách thường được định nghĩa một cách đơn giản là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai đối tượng đó, mặc dù một vài dạng khái quát hóa từ điểm sang tập hợp cũng được sử dụng phổ biến, chẳng hạn như

khoảng cách Hausdorff

.

[6]

Một số công thức tính khoảng cách giữa các đối tượng hình học khác nhau bao gồm:

  • Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

    trong mặt phẳng Euclid

    [7]

  • Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

    trong không gian Euclid ba chiều

    [7]

  • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

    trong không gian Euclid ba chiều

    [8]

Xem thêm: Cách tính điện năng tiêu thụ của bóng đèn

Tính chất[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Khoảng cách Euclid là một ví dụ cơ bản về khoảng cách trong

không gian mêtric

,

[9]

và thỏa mãn các tính chất sau đây của một không gian mêtric:

[10]

  • Nó có tính đối xứng, nghĩa là với mọi điểm p{displaystyle p}q{displaystyle q} bất kỳ thì d(p,q)=d(q,p){displaystyle d(p,q)=d(q,p)}. Điều đó có nghĩa là khoảng cách giữa hai điểm không phụ thuộc vào việc điểm nào là điểm đầu và điểm nào là điểm cuối.

    [10]

  • Nó có tính phân biệt dương, nghĩa là khoảng cách giữa hai điểm phân biệt bất kỳ luôn là một

    số dương

    , trong khi khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến chính nó bằng 0.

    [10]

  • Nó thỏa mãn

    bất đẳng thức tam giác

    : với ba điểm p{displaystyle p}, q{displaystyle q}r{displaystyle r} bất kỳ thì d(p,q)+d(q,r)≥d(p,r){displaystyle d(p,q)+d(q,r)geq d(p,r)}. Về mặt trực quan, độ dài của đường đi từ điểm p{displaystyle p} đến điểm r{displaystyle r} qua điểm q{displaystyle q} không thể ngắn hơn so với độ dài đường đi trực tiếp từ p{displaystyle p} đến r{displaystyle r}.

    [10]

Một tính chất khác,

bất đẳng thức Ptolemy

, có liên quan đến khoảng cách Euclid giữa bốn điểm p{displaystyle p}, q{displaystyle q}, r{displaystyle r}s{displaystyle s}. Theo đó

d(p,q)⋅d(r,s)+d(q,r)⋅d(p,s)≥d(p,r)⋅d(q,s).{displaystyle d(p,q)cdot d(r,s)+d(q,r)cdot d(p,s)geq d(p,r)cdot d(q,s).}

Với bốn điểm trên mặt phẳng, có thể diễn đạt lại bất đẳng thức trên như sau: với một

tứ giác

bất kỳ, tổng của tích giữa mỗi cặp cạnh đối tương ứng luôn là một số không nhỏ hơn tích độ dài hai đường chéo của nó. Tuy nhiên, có thể áp dụng bất đẳng thức Ptolemy một cách tổng quát cho các điểm trong không gian Euclid với số chiều bất kỳ, không phụ thuộc vào sự sắp xếp của chúng.

[11]

Hình học khoảng cách

Euclid nghiên cứu các tính chất của khoảng cách Euclid, gồm bất đẳng thức Ptolemy và ứng dụng của chúng trong việc kiểm tra xem một tập khoảng cách cho trước có đến từ những điểm trong một không gian Euclid hay không.

[12]

Bình phương khoảng cách Euclid[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Mặt nón

,

đồ thị

của khoảng cách Euclid từ gốc tọa độ trong mặt phẳng

Paraboloid

, đồ thị của bình phương khoảng cách Euclid từ gốc tọa độ

Trong nhiều trường hợp, đặc biệt là khi so sánh khoảng cách, một cách thuận tiện hơn là bỏ qua bước lấy căn bậc hai trong phép tính khoảng cách Euclid. Khi đó, kết quả thu được là

bình phương

khoảng cách Euclid.

[13]

Có thể biểu diễn nó dưới dạng

tổng các bình phương

:

d2(p,q)=(p1−q1)2+(p2−q2)2+⋯+(pi−qi)2+⋯+(pn−qn)2.{displaystyle d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+cdots +(p_{i}-q_{i})^{2}+cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}.}

Ngoài ứng dụng trong so sánh khoảng cách, bình phương khoảng cách Euclid còn đóng vai trò quan trọng trong

thống kê

, cụ thể là áp dụng trong phương pháp

bình phương tối thiểu

, một phương pháp để xác định đường khớp với dữ liệu bằng cách tìm giá trị nhỏ nhất của bình phương khoảng cách trung bình giữa giá trị quan sát và giá trị ước lượng.

[14]

Phép cộng giữa các bình phương khoảng cách với nhau, giống như khi áp dụng trong phương pháp bình phương tối thiểu, tương ứng với một phép toán trên khoảng cách (chưa bình phương) gọi là

phép cộng Pythagoras

.

[15]

Trong

phân tích cụm

, có thể áp dụng bình phương khoảng cách để làm tăng độ ảnh hưởng đối với khoảng cách dài hơn.

[13]

Bình phương khoảng cách Euclid không tạo thành không gian mêtric vì nó không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

[16]

Tuy nhiên, nó là

hàm lồi

hoàn toàn và trơn của hai điểm, không giống với khoảng cách, vốn là một hàm không trơn (gần các cặp điểm bằng nhau) và là hàm lồi nhưng không phải là hàm lồi hoàn toàn. Do đó,

lý thuyết tối ưu hóa

ưu tiên áp dụng bình phương khoảng cách, vì nó cho phép sử dụng

giải tích lồi

. Vì hàm bình phương là một

hàm số đơn điệu

cho giá trị không âm, việc tìm giá trị nhỏ nhất của bình phương khoảng cách cũng giống với việc tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách Euclid, nên bài toán tối ưu hóa về mặt cách giải nào cũng đều tương đồng nhau, nhưng sẽ dễ giải hơn khi sử dụng bình phương khoảng cách.

[17]

Tập hợp tất cả bình phương khoảng cách giữa các cặp điểm từ một tập hữu hạn có thể được lưu trữ trong

ma trận khoảng cách Euclid

và thường được sử dụng dưới dạng này trong hình học khoảng cách.

[18]

Xem thêm: Cách tính 3 mức công suất đèn led dây phổ biến nhất thị trường hiện nay

Khái quát hóa[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Trong toán học cao cấp, khi xem không gian Euclid là một

không gian vectơ

, khoảng cách của nó có liên hệ tương ứng với một

chuẩn

gọi là chuẩn Euclid, được định nghĩa là khoảng cách của một vectơ từ gốc tọa độ. Một trong những tính chất quan trọng của chuẩn này, có quan hệ với các chuẩn khác trong toán học, là nó vẫn không đổi ngay cả khi quay không gian theo một góc bất kỳ quanh điểm gốc.

[19]

Theo

định lý Dvoretzky

, với một

không gian định chuẩn

với số chiều hữu hạn, tồn tại một không gian con với số chiều lớn mà chuẩn của nó gần bằng với chuẩn Euclid; chuẩn Euclid là chuẩn duy nhất có tính chất này.

[20]

Có thể mở rộng nó sang không gian vectơ vô hạn chiều, chẳng hạn như

không gian L2

hoặc khoảng cách L2.

[21]

Một số loại khoảng cách khác trên không gian Euclid và không gian vectơ ít chiều bao gồm:

[22]

  • Khoảng cách Chebyshev

    , đo khoảng cách với giả thiết rằng chỉ xét chiều có nghĩa nhất.

  • Khoảng cách Manhattan

    , đo khoảng cách chỉ theo hướng trục tọa độ.

  • Khoảng cách Minkowski

    , một dạng khái quát hóa liên hệ khoảng cách Euclid, khoảng cách Chebyshev và khoảng cách Manhattan.

Với những điểm trong một bề mặt ở không gian ba chiều, khoảng cách Euclid cần phải được phân biệt với khoảng cách

trắc địa

, độ dài của một đường cong ngắn nhất thuộc bề mặt đó. Đặc biệt, để đo khoảng cách cung vòng lớn trên Trái Đất hoặc mặt cầu hay mặt tựa cầu khác, một số loại khoảng cách được sử dụng bao gồm

khoảng cách haversine

cho biết khoảng cách cung vòng lớn giữa hai điểm trong mặt cầu khi biết kinh độ và vĩ độ của chúng và

công thức Vincenty

còn gọi là “khoảng cách Vincenty” đối với khoảng cách trong một hình phỏng cầu.

[23]

Lịch sử[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Khoảng cách Euclid là khoảng cách trong

không gian Euclid

; cả hai danh pháp này đều được đặt tên theo nhà toán học Hy Lạp cổ đại

Euclid

, tác giả của bộ

Cơ sở

vốn đã trở thành sách giáo khoa hình học tiêu chuẩn trong nhiều thế kỷ.

[24]

Khái niệm về

độ dài

khoảng cách

rất phổ biến qua các nền văn hóa, có thể xuất hiện sớm nhất trong các tài liệu quan liêu thời kỳ Protoliterate từ

Sumer

vào thiên niên kỷ thứ tư trước Công Nguyên (rất xa trước thời Euclid).

[25]

Có giả thuyết cho rằng hai khái niệm này phát triển ở trẻ sớm hơn so với hai khái niệm liên quan là tốc độ và thời gian.

[26]

Nhưng khái niệm về khoảng cách, dưới dạng một số được xác định từ hai điểm, không thực sự xuất hiện trong bộ Cơ sở của Euclid. Thay vào đó, Euclid tiếp cận khái niệm này theo cách gián tiếp, thông qua tính

tương đẳng

của các đoạn thẳng, thông qua việc so sánh độ dài đoạn thẳng và thông qua khái niệm

tỉ lệ thuận

.

[27]

Định lý Pythagoras

cũng là một định lý toán học cổ đại, nhưng nó chỉ đóng vai trò quan trọng trong việc đo khoảng cách sau khi

René Descartes

phát minh

tọa độ Descartes

vào năm 1637. Công thức khoảng cách do

Alexis Clairaut

xuất bản lần đầu tiên vào năm 1731.

[28]

Do công thức này nên khoảng cách Euclid đôi khi còn gọi là khoảng cách Pythagoras.

[29]

Mặc dù các phép đo khoảng cách lớn trên bề mặt Trái Đất, vốn không phải là khoảng cách Euclid, đã qua nghiên cứu một lần nữa tại nhiều nền văn hóa từ sau thời cổ đại, ý tưởng rằng khoảng cách Euclid có thể không phải là cách duy nhất để đo khoảng cách giữa các điểm trong không gian toán học xuất hiện muộn hơn, với sự hình thành của

hình học phi Euclid

vào thế kỷ 19.

[30]

Định nghĩa về chuẩn Euclid và khoảng cách Euclid đối với hình học nhiều hơn ba chiều cũng xuất hiện lần đầu vào thế kỷ 19 trong công trình của

Augustin-Louis Cauchy

.

[31]

Xem thêm: Hiện tượng quang điện là gì? Quang điện ngoài & trong

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    a

    ă

    â

    Smith, Karl (2013),

    Precalculus: A Functional Approach to Graphing and Problem Solving

    , Jones & Bartlett Publishers, tr. 8,

    ISBN

     

    978-0-7637-5177-7

  2. ^

    a

    ă

    Cohen, David (2004),

    Precalculus: A Problems-Oriented Approach

    (ấn bản 6), Cengage Learning, tr. 698,

    ISBN

     

    978-0-534-40212-9

  3. ^

    Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007),

    College Trigonometry

    (ấn bản 6), Cengage Learning, tr. 17,

    ISBN

     

    978-1-111-80864-8

  4. ^

    Andreescu, Titu; Andrica, Dorin (2014), “3.1.1 The Distance Between Two Points”, Complex Numbers from A to … Z (ấn bản 2), Birkhäuser, tr. 57–58,

    ISBN

     

    978-0-8176-8415-0

  5. ^

    Tabak, John (2014),

    Geometry: The Language of Space and Form

    , Facts on File math library, Infobase Publishing, tr. 150,

    ISBN

     

    978-0-8160-6876-0

  6. ^

    Ó Searcóid, Mícheál (2006), “2.7 Distances from Sets to Sets”,

    Metric Spaces

    , Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, tr. 29–30,

    ISBN

     

    978-1-84628-627-8

  7. ^

    a

    ă

    Ballantine, J. P.; Jerbert, A. R. (tháng 4 năm 1952), “Distance from a line, or plane, to a point”, Classroom notes,

    American Mathematical Monthly

    , 59 (4): 242–243,

    doi

    :

    10.2307/2306514

    ,

    JSTOR

     

    2306514

  8. ^

    Bell, Robert J. T. (1914),

    “49. The shortest distance between two lines”

    , An Elementary Treatise on Coordinate Geometry of Three Dimensions (ấn bản 2), Macmillan, tr. 57–61

  9. ^

    Ivanov, Oleg A. (2013),

    Easy as π?: An Introduction to Higher Mathematics

    , Springer, tr. 140,

    ISBN

     

    978-1-4612-0553-1

  10. ^

    a

    ă

    â

    b

    Strichartz, Robert S. (2000),

    The Way of Analysis

    , Jones & Bartlett Learning, tr. 357,

    ISBN

     

    978-0-7637-1497-0

  11. ^

    Adam, John A. (2017),

    “Chapter 2. Introduction to the “Physics” of Rays”

    , Rays, Waves, and Scattering: Topics in Classical Mathematical Physics, Princeton Series in Applied Mathematics, Princeton University Press, tr. 26–27,

    doi

    :

    10.1515/9781400885404-004

    ,

    ISBN

     

    978-1-4008-8540-4

  12. ^

    Liberti, Leo; Lavor, Carlile (2017),

    Euclidean Distance Geometry: An Introduction

    , Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology, Springer, tr. xi,

    ISBN

     

    978-3-319-60792-4

  13. ^

    a

    ă

    Spencer, Neil H. (2013),

    “5.4.5 Squared Euclidean Distances”

    , Essentials of Multivariate Data Analysis, CRC Press, tr. 95,

    ISBN

     

    978-1-4665-8479-2

  14. ^

    Randolph, Karen A.; Myers, Laura L. (2013),

    Basic Statistics in Multivariate Analysis

    , Pocket Guide to Social Work Research Methods, Oxford University Press, tr. 116,

    ISBN

     

    978-0-19-976404-4

  15. ^

    Moler, Cleve and Donald Morrison (1983),

    “Replacing Square Roots by Pythagorean Sums”

    (PDF), IBM Journal of Research and Development, 27 (6): 577–581,

    CiteSeerX

     

    10.1.1.90.5651

    ,

    doi

    :

    10.1147/rd.276.0577

  16. ^

    Mielke, Paul W.; Berry, Kenneth J. (2000), “Euclidean distance based permutation methods in atmospheric science”, trong Brown, Timothy J.; Mielke, Paul W. Jr. (biên tập), Statistical Mining and Data Visualization in Atmospheric Sciences, Springer, tr. 7–27,

    doi

    :

    10.1007/978-1-4757-6581-6_2

  17. ^

    Kaplan, Wilfred (2011),

    Maxima and Minima with Applications: Practical Optimization and Duality

    , Wiley Series in Discrete Mathematics and Optimization, 51, John Wiley & Sons, tr. 61,

    ISBN

     

    978-1-118-03104-9

  18. ^

    Alfakih, Abdo Y. (2018),

    Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory

    , Springer, tr. 51,

    ISBN

     

    978-3-319-97846-8

  19. ^

    Kopeikin, Sergei; Efroimsky, Michael; Kaplan, George (2011),

    Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System

    , John Wiley & Sons, tr. 106,

    ISBN

     

    978-3-527-63457-6

  20. ^

    Matoušek, Jiří (2002),

    Lectures on Discrete Geometry

    , Graduate Texts in Mathematics, Springer, tr. 349,

    ISBN

     

    978-0-387-95373-1

  21. ^

    Ciarlet, Philippe G. (2013),

    Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications

    , Society for Industrial and Applied Mathematics, tr. 173,

    ISBN

     

    978-1-61197-258-0

  22. ^

    Klamroth, Kathrin (2002), “Section 1.1: Norms and Metrics”, Single-Facility Location Problems with Barriers, Springer Series in Operations Research, Springer, tr. 4–6,

    doi

    :

    10.1007/0-387-22707-5_1

  23. ^

    Panigrahi, Narayan (2014), “12.2.4 Haversine Formula and 12.2.5 Vincenty’s Formula”,

    Computing in Geographic Information Systems

    , CRC Press, tr. 212–214,

    ISBN

     

    978-1-4822-2314-9

  24. ^

    Zhang, Jin (2007), Visualization for Information Retrieval, Springer,

    ISBN

     

    978-3-540-75148-9

  25. ^

    Høyrup, Jens (2018),

    “Mesopotamian mathematics”

    (PDF), trong Jones, Alexander; Taub, Liba (biên tập), The Cambridge History of Science, Volume 1: Ancient Science, Cambridge University Press, tr. 58–72

  26. ^

    Acredolo, Curt; Schmid, Jeannine (1981), “The understanding of relative speeds, distances, and durations of movement”, Developmental Psychology, 17 (4): 490–493,

    doi

    :

    10.1037/0012-1649.17.4.490

  27. ^

    Henderson, David W. (2002),

    “Review of Geometry: Euclid and Beyond by Robin Hartshorne”

    , Bulletin of the American Mathematical Society, 39: 563–571,

    doi

    :

    10.1090/S0273-0979-02-00949-7

  28. ^

    Maor, Eli (2019),

    The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History

    , Princeton University Press, tr. 133–134,

    ISBN

     

    978-0-691-19688-6

  29. ^

    Rankin, William C.; Markley, Robert P.; Evans, Selby H. (tháng 3 năm 1970), “Pythagorean distance and the judged similarity of schematic stimuli”, Perception & Psychophysics, 7 (2): 103–107,

    doi

    :

    10.3758/bf03210143

    ,

    S2CID

     

    144797925

  30. ^

    Milnor, John

    (1982), “Hyperbolic geometry: the first 150 years”, Bulletin of the American Mathematical Society, 6 (1): 9–24,

    doi

    :

    10.1090/S0273-0979-1982-14958-8

    ,

    MR

     

    0634431

  31. ^

    Ratcliffe, John G. (2019),

    Foundations of Hyperbolic Manifolds

    , Graduate Texts in Mathematics, 149 (ấn bản 3), Springer, tr. 32,

    ISBN

     

    978-3-030-31597-9

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Distance formula (mathematics)

    tại

    Encyclopædia Britannica

    (tiếng Anh)

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Khoảng_cách_Euclid&oldid=65023991

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button