Lũy thừa – Wikipedia tiếng Việt

Lũy thừa

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Lũy thừa (từ

Hán-Việt

:

nghĩa là “nhân chồng chất lên“) là một

phép toán

toán học

, được viết dưới dạng an, bao gồm hai số,

cơ số

asố mũ hoặc lũy thừa n, và được phát âm là “a lũy thừa n“. Khi n là một

số nguyên

dương, lũy thừa tương ứng với

phép nhân

lặp của cơ số (thừa số): nghĩa là an là tích của phép nhân n cơ số:

an=a××a⏟n.{displaystyle a^{n}=underbrace {atimes dots times a} _{n,{textrm {}}}.}

Số mũ thường được hiển thị dưới dạng

chỉ số trên

ở bên phải của cơ số. Trong trường hợp đó, an được gọi là “lũy thừa bậc n của a“, “a lũy thừa n“, hoặc hầu hết ngắn gọn là “an“.

Ta có a1 = a, và, với mọi số nguyên dương mn, ta có aman = am+n. Để mở rộng thuộc tính này thành số mũ nguyên không dương, a0 được định nghĩa là 1, an (với n là số nguyên dương và a không phải là 0) được định nghĩa là 1/an. Đặc biệt, a−1 bằng 1/a,

nghịch đảo

của a.

Định nghĩa về lũy thừa có thể được mở rộng để cho phép bất kỳ số mũ thực hoặc

phức

nào. Luỹ thừa theo số mũ nguyên cũng có thể được định nghĩa cho nhiều loại cấu trúc đại số, bao gồm cả

ma trận

.

Luỹ thừa được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm

kinh tế học

,

sinh học

,

hóa học

,

vật lý

khoa học máy tính

, với các ứng dụng như

lãi kép

,

tăng dân số

,

động học phản ứng hóa học

, hành vi

sóng

mật mã khóa công khai

.

Lũy thừa với số mũ nguyên[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Bạn đang xem: Lũy thừa – Wikipedia tiếng Việt

Lũy thừa của 0 và 1[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

0n=0{displaystyle 0^{n}=0,}.(n > 0)
1n=1{displaystyle 1^{n}=1,}.

Lũy thừa với số mũ nguyên dương[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Lũy thừa bậc n của a là

tích

của n

thừa số

bằng

nhau, mỗi thừa số bằng a:

[1]

an=a×a⋯×a⏟n{displaystyle a^{n}=underbrace {atimes acdots times a} _{n}}

Các tính chất quan trong nhất của lũy thừa với số mũ nguyên dương m, n

am+n=am×an{displaystyle a^{m+n}=a^{m}times a^{n}}
am−n=am:an{displaystyle a^{m-n}=a^{m}:a^{n}} {displaystyle forall } a ≠ 0
(am)n=amn{displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}}
amn=a(mn){displaystyle a^{m^{n}}=a^{(m^{n})}}
(ab)n=an.bn{displaystyle (ab)^{n}=a^{n}.b^{n}}
(ab)n=anbn{displaystyle left({frac {a}{b}}right)^{n}={frac {a^{n}}{b^{n}}}}

Đặc biệt, ta có:

a1=a{displaystyle a^{1}=a}

Trong khi các phép cộng và phép nhân có tính chất

giao hoán

, phép tính lũy thừa không có tính giao hoán.

Tương tự các phép cộng và nhân có tính kết hợp, còn phép tính lũy thừa thì không.. Khi không có dấu ngoặc, thứ tự tính của các lũy thừa là từ trên xuống, chứ không phải là từ dưới lên:

amn=a(mn)≠(am)n=a(mn)=amn{displaystyle a^{m^{n}}=a^{(m^{n})}neq (a^{m})^{n}=a^{(mn)}=a^{mn}}

Lũy thừa bậc chẵn của một số âm là số dương.

Lũy thừa bậc lẻ của một số âm là số âm.

Lũy thừa với số mũ 0[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Lũy thừa với số mũ 0 của số a ≠ 0 được quy ước bằng 1.

a0=1{displaystyle a^{0}=1}

Chứng minh:

1=an:an=an−n=a0{displaystyle 1={a^{n}}:{a^{n}}=a^{n-n}=a^{0}}

Lũy thừa với số mũ nguyên âm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Lũy thừa của a với số mũ nguyên âm -n, a khác 0 và n là số nguyên dương là:

a−n=1an{displaystyle a^{-n}={frac {1}{a^{n}}}}.

Ví dụ

3−4=134=13.3.3.3=181{displaystyle 3^{-4}={frac {1}{3^{4}}}={frac {1}{3.3.3.3}}={frac {1}{81}}}.

Cách suy luận ra “lũy thừa với số mũ nguyên âm” từ “lũy thừa với số mũ 0”:

a0=an−n=an:an=an.1an=an.a−n{displaystyle a^{0}=a^{n-n}={a^{n}}:{a^{n}}=a^{n}.{frac {1}{a^{n}}}=a^{n}.a^{-n}}

Trường hợp đặc biệt: lũy thừa của số a ≠ 0 với số mũ −1 là

số nghịch đảo

của nó.

a−1=1a.{displaystyle a^{-1}={frac {1}{a}}.}

Lũy thừa của số thực dương với số mũ hữu tỷ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Căn bậc n của một số thực dương[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Một căn bậc n của số a là một số x sao cho xn = a.

[2]

Nếu a là số thực dương, n là số nguyên dương thì có đúng một số thực dương x sao cho xn = a.

Số x này được gọi là

căn số học

bậc n của a. Nó được ký hiệu là na, trong đó √ là ký hiệu căn.

Xem thêm: Luyện tập cân bằng phản ứng oxi hóa khử pptx

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ của số thực dương[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ tối giản b/c (b, c là số nguyên, trong đó c dương), của số thực dương a được định nghĩa là

[3]

abc=(ab)1c=acb{displaystyle a^{frac {b}{c}}=(a^{b})^{frac {1}{c}}={sqrt[{b}]{a^{c}}}}

định nghĩa này có thể mở rộng cho các số thực âm mỗi khi căn thức là có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ thực[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Lũy thừa của số e[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Số e là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của

logarit tự nhiên

. Số

e

được định nghĩa qua giới hạn sau:

e=limn→(1+1n)n.{displaystyle e=lim _{nrightarrow infty }left(1+{frac {1}{n}}right)^{n}.}

Hàm e mũ, được định nghĩa bởi

ex=limn→(1+xn)n,{displaystyle e^{x}=lim _{nrightarrow infty }left(1+{frac {x}{n}}right)^{n},}

ở đây x được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa

ex+y=ex⋅ey.{displaystyle e^{x+y}=e^{x}cdot e^{y}.}

Hàm e mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của x.

Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm e mũ với x là số nguyên dương k chính là ek như sau:

(e)k=(limn→(1+1n)n)k=limn→((1+1n)n)k=limn→(1+kn⋅k)n⋅k{displaystyle (e)^{k}=left(lim _{nrightarrow infty }left(1+{frac {1}{n}}right)^{n}right)^{k}=lim _{nrightarrow infty }left(left(1+{frac {1}{n}}right)^{n}right)^{k}=lim _{nrightarrow infty }left(1+{frac {k}{ncdot k}}right)^{ncdot k}}
=limn⋅k→(1+kn⋅k)n⋅k=limm→(1+km)m=ek.{displaystyle =lim _{ncdot krightarrow infty }left(1+{frac {k}{ncdot k}}right)^{ncdot k}=lim _{mrightarrow infty }left(1+{frac {k}{m}}right)^{m}=e^{k}.}

Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng ex+y thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi xy là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.

Lũy thừa với số mũ thực[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Vì mỗi

số thực

có thể được tiệm cận bởi các số hữu tỷ nên lũy thừa của với số mũ thực x có thể định nghĩa nhờ giới hạn

[4]

bx=limr→xbr,{displaystyle b^{x}=lim _{rto x}b^{r},}

trong đó r tiến tới x chỉ trên các giá trị hữu tỷ của r.

Chẳng hạn, nếu

x≈1.732{displaystyle xapprox 1.732}

thì

5x≈51.732=5433/250=5433250≈16.241.{displaystyle 5^{x}approx 5^{1.732}=5^{433/250}={sqrt[{250}]{5^{433}}}approx 16.241.}

Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.

Logarit tự nhiên

ln⁡(x){displaystyle ln {(x)}}

hàm ngược

của hàm e-mũ ex. Theo đó ln⁡x{displaystyle ln x} là số b sao cho x = e b .

Nếu a là số thực dương, x là số thực bất kỳ ta có a = e ln a

nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có

ax=(eln⁡a)x=ex⋅ln⁡a.{displaystyle a^{x}=(e^{ln a})^{x}=e^{xcdot ln a}.,}

Điều này dẫn tới định nghĩa

ax=ex⋅ln⁡a{displaystyle a^{x}=e^{xcdot ln a},}

với mọi số thực x và số thực dương a.

Định nghĩa này của lũy thừa số mũ thực phù hợp với định nghĩa lũy thừa thực nhờ giới hạn ở trên và với cả lũy thừa với số mũ phức dưới đây.

Lũy thừa với số mũ phức[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Lũy thừa số mũ phức của số e[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Dựa vào biểu diễn lượng giác của các số phức, người ta định nghĩa lũy thừa số mũ phức của số e như sau. Trước hết, lũy thừa với số mũ thuần ảo của e định nghĩa theo

công thức Euler

:

eix=cos⁡x+i⋅sin⁡x{displaystyle e^{ix}=cos x+icdot sin x}

Sau đó với số phức z=x+y⋅i{displaystyle z=x+ycdot i}, ta có

ez=ex+iy=ex⋅eiy=ex(cos⁡y+i⋅sin⁡y){displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}cdot e^{iy}=e^{x}(cos y+icdot sin y)}

Lũy thừa số mũ phức của số thực dương[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Nếu a là một số thực dương và z là số phức thì lũy thừa az được định nghĩa là

az=(eln⁡a)z=ez⋅ln⁡a{displaystyle a^{z}={{big (}e^{ln a}{big )}}^{z}=e^{zcdot ln a}}

trong đó x = ln(a) là nghiệm duy nhất của phương trình ex = a.

Nếu z=x+y⋅i{displaystyle z=x+ycdot i}, ta có

az=eln⁡a⋅(x+iy)={displaystyle a^{z}=e^{ln acdot (x+iy)}=} exln⁡a+i⋅yln⁡a{displaystyle e^{xln a+icdot yln a}}
=ex⋅ln⁡a⋅(cos⁡(yln⁡a)+i⋅sin⁡(yln⁡a)){displaystyle =e^{xcdot ln a}cdot {big (}cos(yln a)+icdot sin(yln a){big )}}
=ax⋅(cos⁡(yln⁡a)+i⋅sin⁡(yln⁡a)){displaystyle =a^{x}cdot {big (}cos(yln a)+icdot sin(yln a){big )}}

Tính chất Lũy Thừa[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Xem thêm: Xăng sinh học E5 cần “đòn bẩy” giảm giá để kích tiêu dùng

Tính chất cơ bản[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

1) an = a ×{displaystyle times } a ×{displaystyle times } a ×{displaystyle times }×{displaystyle times } a

(n thừa số a)

2) a−n=1an=1a×…a{displaystyle a^{-n}={frac {1}{a^{n}}}={frac {1}{atimes atimes atimes …a}}}

3) 0n = 0 (n > 0)

4) 1n = 1

5) a0 = 1 (a≠0{displaystyle aneq 0})

6) a1 = a

7) a−1=1a{displaystyle a^{-1}={frac {1}{a}}}

Tính chất thường găp[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

1) am + n = am×{displaystyle times } an

2) am−n=am:an{displaystyle a^{m-n}={a^{m}}:{a^{n}}} với mọi a ≠ 0

3) am⋅n=(am)n{displaystyle a^{mcdot n}=(a^{m})^{n}}

4) amn=a(mn){displaystyle a^{m^{n}}=a^{(m^{n})}}

5) (a×b)n=an×bn{displaystyle (atimes b)^{n}=a^{n}times b^{n}}

6)(ab)n=anbn{displaystyle left({frac {a}{b}}right)^{n}={frac {a^{n}}{b^{n}}}}

7) abc=(ab)1/c=abc{displaystyle a^{frac {b}{c}}=left(a^{b}right)^{1/c}={sqrt[{c}]{a^{b}}}}

8) ax=ex⋅ln⁡a{displaystyle a^{x}=e^{xcdot ln a},}

9) eix=cos⁡x+i⋅sin⁡x{displaystyle e^{ix}=cos x+icdot sin x}

Hàm số lũy thừa[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng y=xα{displaystyle y=x^{alpha }} với αR{displaystyle alpha in mathbb {R} }

Tập xác định[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Tập xác định của hàm số trên phụ thuộc vào số mũ α{displaystyle alpha }

  • nếu α{displaystyle alpha } là số nguyên dương thì tập xác định là D=R{displaystyle D=mathbb {R} }
  • nếu α=0{displaystyle alpha =0} hoặc α{displaystyle alpha } là số nguyên âm thì tập xác định là D=R∖{0}{displaystyle D=mathbb {R} setminus {0}}
  • nếu α{displaystyle alpha } không phải là số nguyên thì tập xác định là D=(0;+∞){displaystyle D=(0;+infty )}

Đạo hàm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hàm số y=f(x)=xα{displaystyle y=f(x)=x^{alpha }}có đạo hàm tại mọi x > 0 và y′=α1{displaystyle y’=alpha x^{alpha -1}} là đạo hàm cấp 1 của f(x)

Chiều biến thiên của hàm số lũy thừa với biến số dương[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Xét hàm số y=xα{displaystyle y=x^{alpha }} trên x>0:

  • Với α>0{displaystyle alpha >0}, hàm số đồng biến trên (0;+∞){displaystyle (0;+infty )}
  • Với α<0{displaystyle alpha <0}, hàm số nghịch biến trên (0;+∞){displaystyle (0;+infty )}

Xem thêm: Giải bài tập trang 68 SGK Đại số 10: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Đồ thị[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Đồ thị hàm số y=xα{displaystyle y=x^{alpha }} trên x>0

Đồ thị hàm số lũy thừa với số mũ thực và biến số dương[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Đồ thị hàm số y=xα{displaystyle y=x^{alpha }}trên x>0 có tính chất sau:

  • Luôn đi qua điểm I(1;1)
  • Nếu α<0{displaystyle alpha <0}, đồ thị nhận trục Ox là tiệm cận ngang và trục Oy là tiệm cận đứng
  • Có đường biểu diễn phụ thuộc vào số mũ α{displaystyle alpha }

Đồ thị hàm số lũy thừa với số mũ nguyên[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Đồ thị hàm số y=f(x)=xn{displaystyle y=f(x)=x^{n}} với n∈Z{displaystyle nin mathbb {Z} } có tính chất tương tự như trên với x>0. Ngoài ra, phần đồ thị với x<0 có tính đối xứng với phần đồ thị x>0 phụ thuộc vào n:

  • Nếu n là số chẵn, đồ thị đối xứng qua trục Oy do f(x) là hàm số chẵn
  • Nếu n là số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O do f(x) là hàm số lẻ

Hàm số mũ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hàm số y=f(x)=ax{displaystyle y=f(x)=a^{x}} với a là số thực dương khác 1 được gọi là hàm số mũ với cơ số a.

Đạo hàm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hàm số y=f(x)=ax{displaystyle y=f(x)=a^{x}} với a là số thực dương khác 1 thì có đạo hàm tại mọi x và y′=axln⁡(a){displaystyle y’=a^{x}ln(a)} là đạo hàm cấp 1 của f(x){displaystyle f(x)}

Đặc biệt hàm số y=ex{displaystyle y=e^{x}} có đạo hàm cấp 1 là y′=ex{displaystyle y’=e^{x}}

Chiều biến thiên[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hàm số y=f(x)=ax{displaystyle y=f(x)=a^{x}} đồng biến trên R nếu a>1 và nghịch biến trên R nếu 0<a<1.

Đồ thị[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Đồ thị hàm số y=ax{displaystyle y=a^{x}}

Đồ thị hàm số y=f(x)=ax{displaystyle y=f(x)=a^{x}}có những tính chất sau:

  • Luôn đi qua điểm I(0;1) và điểm J(1;a)
  • Đồ thị nằm phía trên trục Ox và nhận trục Ox làm tiệm cận ngang

Tìm chữ số tận cùng[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Tìm chữ số tận cùng của lũy thừa[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Để tìm chữ số tận cùng, ta có thể lập bảng để biết chữ số tận cùng được thay đổi như thế nào.

Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của 72004?

Phân tích:

Lũy thừa 71 72 73 74 75 76 77 78
Chữ số tận cùng 7 9 3 1 7 9 3 1

Giải:

Chữ số tận cùng được lặp lại theo dãy: 7, 9, 3, 1, 7,…

2004: 4 = 501 dư 0

Vậy chữ số tận cùng của 72004 là 1.

Tìm số các số 0 tận cùng của một tích[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Vì 2 x 5 = 10 nên muốn tìm số các số 0 tận cùng ta có thể tìm số cặp 2,5 là ra luôn số các số 0 tận cùng.

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Phép cộng

  • Phép trừ

  • Phép nhân

  • Phép chia

  • Phép khai căn

  • Logarit

  • Vi phân

  • Giới hạn

  • Tích phân

  • Tetration

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    Trần Văn Hạo, tr. 50

  2. ^

    Trần Văn Hạo, tr. 52

  3. ^

    Trần Văn Hạo, tr. 53

  4. ^

    Trần Văn Hạo, tr. 55

Thư mục[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Trần Văn Hạo

    và đồng nghiệp, Giải tích 12,

    Nhà xuất bản giáo dục

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Lũy_thừa&oldid=65004848

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button