Kiến thức

Lịch sử toán học – Wikipedia tiếng Việt

Lịch sử toán học

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Cuốn The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing

Lịch sử khoa học

Nền tảng

Học thuyết/xã hội học

Thuật chép sử

Giả khoa học

Theo thời kỳ

Các nền văn hóa cổ

Thời kỳ cổ đại

Thời Trung cổ

Thời Phục Hưng

Theo chủ đề

Sinh thái học

Địa lý học

Cổ sinh vật học

Phép tính

Combinatorics

Logic

Thống kê

Lượng giác

Khoa học xã hội

Nhân loại học

Kinh tế

Ngôn ngữ học

Khoa học chính trị

Tâm lý học

Xã hội học

Công nghệ

Khoa học nông nghiệp

Khoa học máy tính

Khoa học vật liệu

Y học

Các trang định hướng

Timelines

Portal

Từ

toán học

có nghĩa là “

khoa học

,

tri thức

hoặc

học tập

“. Ngày nay, thuật ngữ “toán học” chỉ một bộ phận cụ thể của tri thức – ngành nghiên cứu suy luận về

lượng

,

cấu trúc

, và

sự thay đổi

; là

ngôn ngữ

của

vũ trụ

.

[1]

Lĩnh vực của ngành học về Lịch sử Toán học phần lớn là sự nghiên cứu

nguồn gốc

của những

khám phá

mới trong toán học, theo nghĩa hẹp hơn là nghiên cứu các

phương pháp

ký hiệu

toán học chuẩn trong

quá khứ

.

Trước thời kì hiện đại và sự phổ biến rộng rãi tri thức trên toàn

thế giới

, các ví dụ trên văn bản của các phát triển mới của toán học chỉ tỏa sáng ở những vùng, miền cụ thể. Các

văn bản toán học

cổ nhất từ

Lưỡng Hà

cổ đại (Mesopotamia) khoảng

1900 TCN

(

Plimpton 322

),

Ai Cập cổ đại

khoảng

1800 TCN

(

Rhind Mathematical Papyrus

),

Vương quốc Giữa Ai Cập

khoảng

1300

1200 TCN

(

Berlin 6619

) và

Ấn Độ cổ đại

khoảng

800 TCN

(

Shulba Sutras

). Tất cả các văn tự này có nhắc đến

Định lý Pythagore

; đây có lẽ là phát triển toán học rộng nhất và cổ nhất sau

số học

cổ đại và

hình học

.

Những

cống hiến

của

Hy Lạp cổ đại

với toán học, nhìn chung được coi là một trong những cống hiến quan trọng nhất, đã phát triển rực rỡ cả về phương pháp và chất liệu chủ đề của toán học.

[2]

Một đặc điểm đáng chú ý của lịch sử toán học cổ và trung đại là theo sau sự bùng nổ của các phát triển toán học thường là sự ngưng trệ hàng thế kỉ. Bắt đầu vào

Thời kì Phục Hưng

tại

Ý

vào thế kỉ 16, các phát triển toán học mới, tương tác với các phát hiện khoa học mới, đã được thực hiện với

tốc độ

ngày càng tăng, và điều này còn tiếp diễn cho tới

hiện tại

.

Toán học thời sơ khai[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Nguồn gốc[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Rất lâu trước những văn tự cổ nhất, đã có những bức vẽ cho thấy một kiến thức về toán học và đo

thời gian

dựa trên

sao trời

. Ví dụ các

nhà cổ sinh vật học

đã khám phá ra các mảnh

đất thổ hoàng

trong một

hang động

Nam Phi

được trang trí bởi các hình khắc hình học với thời gian khoảng 70.000 TCN.

[3]

Cũng các

di khảo

tiền sử

được tìm thấy ở châu Phi và

Pháp

, thời gian khoảng giữa 35000 TCN và 20000 TCN,

[4]

cho thấy các cố gắng sơ khai nhằm

định lượng

thời gian.

[5]

Các

bằng chứng

còn tồn tại cho thấy việc đếm thời sơ khai chủ yếu là do phụ nữ, những người giữ các vật đánh dấu

chu kì sinh học

hàng tháng; ví dụ hai mươi tám, hai mươi chín, hoặc ba mươi vạch trên

xương

hoặc hòn đá, theo sau là một vạch cách biệt khác. Hơn nữa, các

thợ săn

đã có khái niệm về một, hainhiều cũng như không khi xem xét số bầy

thú

.

[6]

[7]

Xương Ishango.

Phương tiện liên quan tới

Xương Ishango

tại Wikimedia Commons

Xương Ishango

được tìm thấy ở

thượng nguồn

sông Nil

(phía bắc

Cộng hòa Dân chủ Congo

), thuộc thời kì

20.000 TCN

.

Bản dịch

thông dụng nhất của hòn đá cho ta thấy nó là bằng chứng sớm nhất

[4]

thể hiện một

dãy

các

số nguyên tố

phép nhân Ai Cập cổ đại

. Người Ai Cập vào thiên niên kỉ thứ 5 TCN đã vẽ các bức tranh về thiết kế hình học và không gian. Người ta đã khẳng định các hòn đá tế thần ở

Anh

Scotland

từ thiên niên kỉ thứ 3 TCN, bao gồm cả các ý tưởng hình học như

hình tròn

,

hình elíp

bộ ba Pythagore

trong thiết kế của nó

[8]

.

Nền toán học sớm nhất từng biết trong

Ấn Độ cổ đại

nằm vào khoảng

3000 TCN

2600 TCN

nền văn minh thung lũng Indus

(

nền văn minh Harappan

) của

Bắc Ấn Độ

Pakistan

, đã phát triển một hệ thống

các đơn vị đo Thung lũng Indus cổ đại

sử dụng hệ

cơ số 10

, một công nghệ

gạch

đáng ngạc nhiên sử dụng các

tỉ lệ

, các đường đi được đặt trên một

góc vuông

hoàn hảo, và một số các hình hình học và thiết kế, bao gồm

hình hộp chữ nhật

,

thùng phi

,

hình nón

,

hình trụ

và các bức vẽ các

hình tròn

hình tam giác

cắt nhau và đồng qui. Các dụng cụ toán học tìm được bao gồm một thước đo cơ số 10 với độ chia nhỏ và chính xác, một dụng cụ vỏ sò hoạt động như một chiếc

com pa

để đo góc trên mặt phẳng hoặc theo các bội của 40-360 độ, một dụng cụ vỏ sò để đo 8-12 phần của đường chân trời và bầu trời, và một dụng cụ để đo vị trí của các sao nhằm mục đích định hướng. Bản viết tay Indus vẫn chưa được giải nghĩa; do đó ta biết được rất ít về các dạng viết của toán học Harappan. Các bằng chứng khảo cổ đã làm các nhà sử học tin rằng nền văn minh này đã sử dụng

hệ đếm

cơ số 8

và đạt được các kiến thức về tỉ lệ giữa

chu vi

của đường tròn đối với

bán kính

của nó, do đó tính được số

π

.

[9]

Toán học của người Maya[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Chữ số của người Maya, có số 0

Cùng phát triển với các nền văn minh Trung Mỹ khác, người Maya sử dụng hệ đếm

nhị thập phân

(vigesimal) và

hệ ngũ phân

(xem

chữ số Maya

). Hệ ngũ phân trên cơ sở so sánh với số ngón tay của một bàn tay, còn nhị thập phân là toàn bộ số ngón tay và ngón chân. Trong

tiếng Quiche

, từ chỉ số 20 là huvinak, có nghĩa là “toàn thân”. Ngoài ra, người Maya đã phát triển khái niệm “

số 0

” vào năm

357

, sớm hơn châu Âu khoảng gần 900 năm. Văn bản cổ cho thấy, những người Maya, có nhu cầu công việc cộng vào hàng trăm triệu và số ngày lớn đòi hỏi phải có phương cách chính xác để thực hiện chúng. Kết quả tính toán về

thiên văn học

theo một không gian và thời gian dài là cực kỳ chính xác; bản đồ về sự vận động của

Mặt Trăng

và các

hành tinh

là ngang bằng hoặc vượt xa các văn minh khác quan sát vũ trụ bằng mắt thường.

Lịch Maya

Người Maya xác định chính xác độ dài của một năm gồm 365 ngày, thời gian

Trái Đất

quay hết một vòng quanh

Mặt Trời

, chính xác hơn rất nhiều lịch được châu Âu sử dụng vào thời đó (

lịch Gregory

). Có giả thiết cho rằng người Maya đã kế thừa cách tính lịch từ các nền văn minh cổ Zapotecs (ở Mont Alban) và Olmecs (ở La venta và Tres Zapotes). Tuy thế, người Maya lại không sử dụng độ dài tính toán thời gian một năm vào lịch của họ. Người Maya sử dụng lịch (gọi là

lịch Maya

) trên cơ sở năm Mặt Trời với 365 ngày. Một năm Mặt Trời được chia thành 18 tháng, mỗi tháng có 20 ngày (dùng hệ đếm cơ số 20), năm ngày còn lại được đưa vào cuối năm. Các ngày trong tháng được ghi bằng số thứ tự từ 0 đến 19 trước tên tháng (0 đến 4 cho tháng thiếu, cuối năm có 5 ngày). Theo lịch này, các năm nối tiếp nhau không ngừng, không có năm nhuận. Như vậy kết quả là lịch sẽ bị sai lệch lùi về một ngày trong vòng 4 năm. Khi so sánh với

lịch Julius

, dùng ở châu Âu từ thời

Đế quốc La Mã

cho đến tận

thế kỷ 16

, thì độ sai số cho một ngày là mỗi 128 năm; với lịch Gregory hiện đại, thì sai số sấp xỉ một ngày mỗi 3.257 năm.

Lịch của thầy bói

Ngày xưa, những

người da đỏ

Quiche

,

Ixil

Mam

vẫn dùng lịch Maya truyền thống với một năm có 260 ngày để dự đoán tương lai. Để giải thích vì sao bộ lịch lại gồm 260 ngày, người ta đã phỏng vấn nhiều thầy bói ở

Chichicastenango

Momstenango

và phát hiện ra rằng: Việc chọn độ dài của năm này không phải do ngẫu nhiên mà là do phù hợp với thời gian mang thai của

con người

. Hệ đếm 20 cho phép chia một năm 260 ngày thành 13 tháng, mỗi tháng 20 ngày, kết hợp với một trong 20 tên gọi các con vật, các lực lượng tự nhiên, các quan niệm hay khái niệm mà ý nghĩa không còn lưu truyền đến ngày nay.

Cận Đông cổ đại[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Lưỡng Hà[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Bảng tính vạch trên đất sét YBC 7289 với chú giải chữ số hiện đại

YBC 7289 sketch.svg

Toán học

Babylon

là ám chỉ bất kì nền toán học nào thuộc về cư dân

Lưỡng Hà

(

Iraq

ngày nay) từ buổi đầu

Sumer

cho đến đầu

thời kì Hy Lạp hóa

. Nó được đặt tên là toán học Babylon là do vai trò trung tâm của Babylon là nơi nghiên cứu, nơi đã không còn tồn tại sau thời kì Hy Lạp hóa. Các nhà toán học Babylon đã trộn với các nhà toán học Hy Lạp để phát triển

toán học Hy Lạp

. Sau đó dưới

Đế chế Arab

, Iraq/Lưỡng Hà, đặc biệt là

Baghdad

, một lần nữa trở thành trung tâm nghiên cứu quan trọng cho

toán học Hồi giáo

.

Đối lập với sự thiếu thốn nguồn tài liệu của toán học Hy Lạp, sự hiểu biết về toán học Babylon của chúng ta là từ hơn 400 miếng đất sét khai quật được từ những năm 1850. Viết bằng

ký tự Cuneiform

, các miếng đất sét này được viết trong khi đất sét còn ẩm, và được nung cứng trong lò hoặc bằng nhiệt từ

Mặt Trời

. Một số trong đó có vẻ là bài tập về nhà.

Bằng chứng sớm nhất về các văn tự toán học là từ thời những người

Sumer

cổ đại, những người đã xây nên nền văn minh sớm nhất ở Lưỡng Hà. Họ đã phát triển một hệ

đo lường

phức tạp từ 3000 TCN. Khoảng 2500 TCN trở về trước, người Sumer đã viết những

bảng nhân

trên đất sét và giải các bài tập hình học và các bài toán

chia

. Dấu vết sớm nhất của hệ ghi số Babylon cũng là trong khoảng thời gian này.

[10]

Một lượng lớn các tấm đất sét đã được phục hồi là vào khoảng 1800 TCN tới 1600 TCN, và bao gồm các chủ đề về

phân số

,

đại số

,

phương trình bậc ba

bậc bốn

, các tính toán về các

bộ ba Pythagore

(xem

Plimpton 322

).

[11]

Các tấm này cũng bao gồm cả bảng nhân, bảng

lượng giác

và các phương pháp giải

phương trình tuyến tính

phương trình bậc hai

. Tấm đất sét YBC 7289 đã đưa ra một xấp xỉ của số √2 chính xác tới năm chữ số thập phân.

Toán học Babylon được viết bằng

hệ cơ số 60

. Do việc này mà ngày nay ta sử dụng 60 giây trong một phút, 60 phút trong một giờ và 360 (60 × 6)

độ

trong một vòng tròn. Các tiến bộ của người Babylon trong toán học phát triển dễ dàng bởi số 60 có rất nhiều

ước số

. Cũng vậy, không giống người Ai Cập, Hy Lạp và La Mã, người Babylon có một hệ ghi số với cách viết số chia theo hàng, trong đó các chữ số viết ở cột bên trái thể hiện giá trị lớn hơn, giống như

hệ thập phân

. Thế nhưng họ lại thiếu một ký hiệu tương đương của

dấu thập phân

, và do đó hàng trong cách viết số thường được suy ra từ ngữ cảnh.

Ai Cập[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Giấy cói Moskva

Giấy cọ Rhind

Toán học Ai Cập là ám chỉ toán học được viết dưới

tiếng Ai Cập

.

Toán học

Ai Cập cổ đại

được đánh dấu bởi nhân vật truyền thuyết

Thoth

, người được coi là đã đặt ra

mẫu tự Ai Cập

, hệ thống

chữ số

, toán học và

thiên văn học

, là vị thần của

thời gian

.

Từ

thời kì Hy Lạp hóa

,

tiếng Hy Lạp

đã thay thế tiếng Ai Cập trong ngôn ngữ viết của các nhà học giả

Ai Cập

, và từ thời điểm này, toán học Ai Cập hợp nhất với toán học Hy Lạp và Babylon để phát triển toán học Hy Lạp. Nghiên cứu toán học ở Ai Cập sau đó được tiếp tục dưới

Đế chế Arab

như là một phần của

toán học Hồi giáo Trung Cổ

, khi

tiếng Ả Rập

trở thành ngôn ngữ viết của các nhà học giả Ai Cập.

Văn tự toán học cổ nhất tìm được cho tới nay là

giấy cói Moskva

, một văn tự bằng giấy cói của

Vương quốc giữa Ai Cập

vào khoảng 2000—1800 mà ngày nay ta gọi là “bài toán chữ”, rõ ràng là chỉ để giải trí. Một bài toán được coi là quan trọng ở mức nói riêng bởi nó đưa ra phương pháp tìm thể tích của một

hình cụt

: “Nếu bạn biết: một hình chóp cụt có chiều cao 6, diện tích đáy lớn 4, diện tích đáy nhỏ 2. Bạn sẽ bình phương số 4 này, được 16. Bạn sẽ nhân đôi 4, được 8. Bạn sẽ bình phương 2, được 4. Bạn sẽ cộng 16, 8, và 4 được 28. Bạn sẽ lấy một phần ba của 6, được 2. Bạn nhân 28 với 2 được 56. Và 56 là số bạn cần tìm.”

Eratosthenes

Sàng Eratosthenes lọc

số nguyên tố

Giấy cọ Rhind

(khoảng 1650 TCN) là một văn bản toán học Ai Cập quan trọng khác, một hướng dẫn trong số học và hình học. Cùng với việc đưa ra các công thức diện tích và phương pháp nhân, chia và làm việc với phân số đơn vị, nó cũng chứa các bằng chứng về các kiến thức toán học khác (xem

Egyptian Unit Fractions

) bao gồm

hợp số

số nguyên tố

;

trung bình cộng

,

trung bình nhân

trung bình điều hòa

; và hiểu biết sơ bộ về

sàng Eratosthenes

số hoàn hảo

. Nó cũng chỉ ra cách giải

phương trình tuyến tính

bậc một cũng như

cấp số cộng

cấp số nhân

.

Cũng vậy, ba thành phần hình học có trong giấy cọ Rhind nói đến những kiến thức đơn giản nhất của

hình học giải tích

: (1) Đầu tiên và quan trọng nhất, làm thế nào để xấp xỉ số π chính xác tới dưới một phần trăm; (2) thứ hai, một cố gắng cổ đại trong việc

cầu phương hình tròn

; (3) và thứ ba, sự sử dụng sớm nhất từng biết về

lượng giác

.

Cuối cùng,

giấy cọ Berlin

cũng cho thấy người Ai Cập cổ đại có thể giải

phương trình đại số

bậc hai.

Toán học Hy Lạp và Hy Lạp hóa cổ đại (khoảng 550 TCN-300)[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Toán học Hy Lạp là ám chỉ toán học được viết bằng

tiếng Hy Lạp

khoảng giữa 600 TCN và 450.

[12]

Các nhà toán học Hy Lạp sống ở các thành phố rải rác trên toàn bộ

Địa Trung Hải

, từ Ý tới Bắc Phi, nhưng lại thống nhất về văn hóa và ngôn ngữ. Toán học Hy Lạp đôi khi được gọi là toán học Hellenistic (Hy Lạp hóa).

Toán học Hy Lạp đã trở nên phức tạp hơn rất nhiều so với các nền văn hóa trước đó. Tất cả các ghi chép còn tồn tại của các nền toán học tiền Hy Lạp đều cho thấy việc sử dụng suy luận quy nạp, nghĩa là, các quan sát liên tục được sử dụng để lập nên các phép đo dựa trên kinh nghiệm. Người Hy Lạp sử dụng lý luận logic để đạt được các kết luận từ các định nghĩa và tiên đề

[13]

.

Thales và

định lý Thales

-cơ sở cho phép đo hình học và

toán học mêtric

:
DEBC=AEAC=ADAB{displaystyle textstyle {frac {DE}{BC}}={frac {AE}{AC}}={frac {AD}{AB}}}

Toán học Hy Lạp dường như bắt đầu với

Thales

(khoảng 624 – khoảng 546 TCN) và

Pythagoras

(khoảng 582 – khoảng 507 TCN). Mặc dù tầm ảnh hưởng không còn, họ có thể vẫn phát triển ý tưởng từ

toán học Ai Cập

,

Babylon

, và có thể cả

Ấn Độ

. Theo truyền thuyết, Pythagoras đã chu du tới Ai Cập để học toán học, hình học, và thiên văn từ các đạo sĩ Ai Cập.

Thales đã sử dụng

hình học

để giải các bài toán như là tính chiều cao của các hình chóp và khoảng cách từ các tàu tới bờ biển. Pythagoras được coi là người đầu tiên đưa ra chứng minh cho

định lý Pythagore

, mặc dù phát biểu của định lý đã đi qua một chặng đường lịch sử dài. Trong lời bình luận về

Euclid

,

Proclus

phát biểu rằng Pythagoras đã diễn đạt định lý mang tên ông và dựng nên

bộ ba Pythagore

một cách đại số hơn là hình học.

Trường học

của

Plato

có câu khẩu hiệu: “Không để những thứ nông cạn trong hình học vào đây.”

Học thuyết Pythagoras

đã khám phá ra sự tồn tại của các số hữu tỉ.

Eudoxus

(408 – khoảng 355 TCN) đã phát minh ra

phương pháp vét cạn

, tiền thân của khái niệm hiện đại

tích phân

.

Aristotle

(384 – khoảng 322 TCN) đã lần đầu viết ra các luật về

logic

. Euclid (khoảng 300 TCN) là ví dụ sớm nhất của một khuôn mẫu mà vẫn còn được sử dụng cho đến ngày nay, định nghĩa, tiên đề, định lý, chứng minh. Ông cũng nghiên cứu về

các đường conic

. Cuốn sách của ông, Cơ bản, được tất cả những người có học biết đến ở phương Tây cho đến giữa thế kỉ 20.

[14]

Thêm vào các định lý quen thuộc của hình học, như

định lý Pythagore

, Cơ bản còn có cả chứng minh rằng căn bậc hai của hai là số vô tỉ và có vô hạn

số nguyên tố

.

Sàng Eratosthenes

(khoảng 230 TCN) đã được sử dụng để tìm các số nguyên tố. Với người Hy Lạp, toán học đã vượt lên cả việc ghi chép. Những nhà toán học có tên tuổi tới nay đã để lại những định lý, tiên đề có giá trị khái quát cao trong cuộc sống và đặc biệt đối với lĩnh vực toán học

Một số người nói rằng người vĩ đại nhất trong các nhà toán học Hy Lạp, nếu không muốn nói là mọi thời đại, là

Archimedes xứ Syracuse

(

287

212 TCN

) xứ

Syracuse

[

cần dẫn nguồn

]. Theo như

Lucius Mestrius Plutarchus

, ở tuổi 75, trong khi đang vẽ các công thức toán học ở trên cát, ông đã bị một tên lính La Mã dùng giáo đâm chết. Roma cổ đại để lại ít bằng chứng về sự quan tâm vào

toán học lý thuyết

.

Toán học Ấn Độ cổ đại (khoảng 1500 TCN-200 CN)[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Toán học Vệ Đà bắt đầu vào đầu thời kì Đồ Sắt, với

Shatapatha Brahmana

(khoảng thế kỉ 9 TCN), trong đó có xấp xỉ số

π

chính xác tới 2 chữ số thập phân

[15]

Sulba Sutras

(khoảng 800-500 TCN) là các văn bản

hình học

sử dụng

số vô tỉ

,

số nguyên tố

,

luật ba

, và

căn bậc ba

; tính

căn bậc hai

của 2 tới năm chữ số thập phân; đưa ra phương pháp

cầu phương hình tròn

, giải

phương trình tuyến tính

phương trình bậc hai

; phát triển

bộ ba Pythagore

theo phương pháp đại số, phát biểu và nêu chứng minh cho

Định lý Pythagore

.

Pāṇini

(khoảng thế kỉ 5 TCN) đã lập công thức cho

ngữ pháp

của

tiếng Phạn

. Ký hiệu của ông tương tự với ký hiệu toán học, và sử dụng các ngôn luật, các

phép biến đổi

,

đệ quy

với độ phức tạp đến mức ngữ pháp của ông có sức mạnh

tính toán

ngang với

máy Turing

. Công trình của Panini cũng đi trước cả lý thuyết hiện đại

ngữ pháp hình thức

(formal grammar) (có vai trò quan trọng trong điện toán), trong khi

dạng Panini-Backus

được sử dụng bởi những

ngôn ngữ lập trình

hiện đại nhất lại rất giống với luật ngữ pháp của Panini.

Pingala

(khoảng thế kỉ thứ 3 đến thứ nhất TCN) trong bản luận thuyết của mình về

thi pháp

đã sử dụng một phương pháp ứng với

hệ nhị phân

. Thảo luận của ông về

tổ hợp

của các

phách

, tương ứng với

định lý nhị thức

. Công trình của Pingala cũng chứa các ý tưởng cơ bản của các

số Fibonacci

(được gọi là mātrāmeru). Văn bản

Brāhmī

được phát triển ít nhất từ thời

triều Maurya

vào

thế kỉ 4 TCN

, với những bằng chứng khảo cổ học cho thấy nó xuất hiện vào khoảng

600 TCN

.

Chữ số Brahmi

ở vào khoảng thế kỉ 3 TCN.

Giữa năm

400 TCN

200 CN

,

các nhà toán học Jaina

bắt đầu nghiên cứu toán học với mục đích duy nhất cho toán học. Họ là những người đầu tiên phát triển

transfinite number

,

lý thuyết tập hợp

,

logarit

, các định luật cơ bản của

lũy thừa

,

phương trình bậc ba

,

phương trình bậc bốn

,

dãy số

và dãy cấp số,

hoán vị

tổ hợp

, bình phương và lấy xấp xỉ

căn bậc hai

, và

hàm mũ

hữu hạn và

vô hạn

. Bản thảo Bakshali được viết giữa

200 TCN

và 200 bao gồm cách giải hệ phương trình tuyến tính tới năm ẩn, nghiệm phương trình bậc hai, cấp số cộng và cấp số nhân, dãy phức hợp, phương trình vô định bậc hai,

phương trình không mẫu mực

, và sự sử dụng

số 0

số âm

. Các tính toán chính xác cho số vô tỉ đã được tìm ra, bao gồm tính căn bậc hai của các số tới bao nhiêu chữ số sau dấu phẩy tùy thích (từ 11 chữ số trở lên).

Xem thêm: Bài tập số phức đầy đủ các dạng-Toán Thầy Định

Toán học Trung Hoa cổ đại (khoảng 1300 TCN-200 CN)[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cửu chương toán thuật

Bắt đầu từ thời

nhà Thương

(

1600 TCN

1046 TCN

), toán học Trung Quốc sớm nhất còn tồn tại bao gồm các số được khắc trên mai rùa.

[16]

[17]

Các số này sử dụng hệ cơ số 10, vì vậy số 123 được viết (từ trên xuống dưới) bằng một ký hiệu cho số 1 rồi đến một ký hiệu hàng trăm, sau đó là ký hiệu cho số 2 rồi đến ký hiệu hàng chục, sau đó là số 3. Đây là hệ cơ số tiến bộ nhất trên thế giới vào thời điểm đó và cho phép tính toán được thực hiện bởi

bàn tính

. Thời điểm phát minh ra bàn tính không rõ, nhưng tài liệu cổ nhất vào

190

trong Lưu ý về the Art of Figures viết bởi Xu Yue. Bàn tính có thể đã được sử dụng trước thời điểm này.

Trung Quốc

, vào

212 TCN

, vua

Tần Thủy Hoàng

đã ra lệnh đốt tất cả sách trong nước. Cho dù lệnh này không được tuân thủ hoàn toàn, nhưng ta vẫn biết rất ít về toán học Trung Hoa cổ đại.

Từ

triều Tây Chu

(từ 1046), công trình toán học cổ nhất còn tồn tại sau cuộc đốt sách là

Kinh Dịch

, trong đó sử dụng 64

quẻ

6

hào

cho mục đích triết học hay tâm linh. Các hào là các bộ hình vẽ gồm các đường gạch đậm liền hoặc đứt nét, đại diện cho dương và âm.

Sau cuộc đốt sách,

nhà Hán

(

202 TCN

) –

220

đã lập các công trình về toán học có thể là phát triển dựa trên các công trình mà hiện nay đã mất. Phần quan trọng nhất trong số đó là

Cửu chương toán thuật

, tiêu đề của nó xuất hiện trước

179 CN

, nhưng là nằm trong các tiêu đề khác tồn tại trước đó. Nó bao gồm 264 bài toán chữ, chủ yếu là nông nghiệp, thương nghiệp, áp dụng của hình học để đo chiều cao và tỉ lệ trong các

chùa chiền

, công trình,

thăm dò

, và bao gồm các kiến thức về

tam giác vuông

và số

π

. Nó cũng áp dụng

nguyên lý Cavalieri

(

Cavalieri’s principle

) về thể tích hơn một nghìn năm trước khi

Cavalieri

đề xuất ở phương Tây. Nó đặt ra chứng minh toán học cho

Định lý Pythagore

, và công thức toán học cho

phép khử Gauss

. Công trình này đã được chú thích bởi

Lưu Huy

(Liu Hui) vào thế kỉ thứ 3 trước Công nguyên.

Ngoài ra, các công trình toán học của nhà thiên văn học, nhà phát minh

Trương Hành

(

Zhang Heng

,

78

139

) đã có công thức cho số

pi

, khác so với tính toán của Lưu Huy. Trương Hành sử dụng công thức của ông cho số pi để tính

thể tích

hình cầu

V theo

đường kính

D.

V=916{displaystyle {tfrac {9}{16}}}D3 + 116{displaystyle {tfrac {1}{16}}}D3 = 58{displaystyle {tfrac {5}{8}}}D3

Người Trung Quốc cũng sử dụng biểu đồ tổ hợp phức còn gọi là ‘

hình vuông thần kì

‘, được mô tả trong các thời kì cổ đại và được hoàn chỉnh bởi

Dương Huy

(

1238

1398

).

Toán học Trung Hoa cổ điển (khoảng 400-1300)[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Tổ Xung Chi

(Zu Chongzhi) (thế kỉ 5) vào thời

Nam Bắc Triều

đã tính được giá trị của số π chính xác tới bảy chữ số thập phân, trở thành kết quả chính xác nhất của số π trong gần 1000 năm.

Tam giác Pascal

Trong hàng nghìn năm sau nhà Hán, bắt đầu từ

nhà Đường

và kết thúc vào

nhà Tống

, toán học Trung Quốc phát triển thịnh vượng, nhiều bài toán phát sinh và giải quyết trước khi xuất hiện ở châu Âu. Các phát triển trước hết được nảy sinh ở Trung Quốc, và chỉ rất lâu sau mới được biết đến ở

phương Tây

, bao gồm

số âm

,

định lý nhị thức

, phương pháp

ma trận

để giải hệ

phương trình tuyến tính

và [[Định lý

số dư

Trung Quốc]] về nghiệm của hệ

phương trình đồng dư

bậc nhất.

  • Số âm được đề cập đến trong bảng cửu chương từ thời nhà Hán, 200TCN

    [18]

  • Định lý nhị thức và

    tam giác

    Pascal được

    Yang Hui

    nghiên cứu từ thế kỷ 13

  • Ma trận được người Trung Quốc nghiên cứu và thành lập bảng ma trận từ những năm 650 TCN

    [19]

Người Trung Quốc cũng đã phát triển

tam giác Pascal

luật ba

rất lâu trước khi nó được biết đến ở châu Âu. Ngoài Tổ Xung Chi ra, một số nhà toán học nổi tiếng ở Trung Quốc thời kì này là

Nhất Hành

,

Shen Kuo

,

Chin Chiu-Shao

,

Zhu Shijie

, và những người khác. Nhà khoa học Shen Kuo sử dụng các bài toán liên quan đến

giải tích

,

lượng giác

,

khí tượng học

,

hoán vị

, và nhờ đó tính toán được lượng không gian địa hình có thể sử dụng với các dạng trận đánh cụ thể, cũng như doanh trại giữ được lâu nhất có thể với lượng phu có thể mang lương cho chính họ và binh sĩ.

Thậm chí sau khi toán học châu Âu bắt đầu nở rộ trong

thời kì Phục hưng

, toán học châu Âu và Trung Quốc khác nhau về truyền thống, với sự sụt giảm của toán học Trung Quốc, cho tới khi các nhà truyền đạo

Thiên Chúa giáo

mang các ý tưởng toán học tới và đi giữa hai nền văn hóa từ thế kỉ 16 đến thế kỉ 18.

Toán học Ấn Độ cổ điển (khoảng 400-1600)[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Aryabhata

Cuốn

Surya Siddhanta

(khoảng

400

) giới thiệu các

hàm lượng giác

như

sin

,

cosin

, và sin ngược, và đưa ra các luật để xác định chuyển động chính xác của các thiên thể, tuân theo vị trí thật của chúng trên bầu trời. Thời gian vũ trụ tuần hoàn được giải thích trong cuốn sách, được sao chép từ một công trình trước đó, tương ứng với

năm thiên văn

với 365,2563627 ngày, chỉ dài hơn 1,4 giây so với giá trị hiện đại. Công trình này đã được dịch ra tiếng Ả Rập và

Latin

trong thời

Trung Cổ

.

Aryabhata

vào năm

499

giới thiệu hàm

versin

, đưa ra bản sin đầu tiên, phát triển các kĩ thuật và

thuật toán

của

đại số

,

vô cùng nhỏ

,

phương trình vi phân

, và đạt được lời giải hoàn chỉnh cho các phương trình tuyến tính bằng một phương pháp ứng với phương pháp hiện đại, cùng với các tính toán

thiên văn

chính xác dựa trên

thuyết nhật tâm

. Một bản dịch

tiếng Ả Rập

của cuốn Aryabhatiya có từ thế kỉ 8, sau đó là bản

Latin

vào thế kỉ 13. Ông cũng tính giá trị

π

chính xác tới bốn chữ số sau dấu phẩy.

Madhava

sau đó vào thế kỉ 14 đã tính giá tị của số π chính xác tới chữ số thập phân thứ mười một là 3.14159265359.

Chứng minh của Brahmagupta rằng AF=FD{displaystyle AF=FD}

Vào

thế kỉ 7

,

Brahmagupta

đã đưa ra

định lý Brahmagupta

,

đẳng thức Brahmagupta

công thức Brahmagupta

lần đầu tiên, trong cuốn

Brahma-sphuta-siddhanta

, ông đã giải thích một cách rõ ràng cách sử dụng

số 0

vừa là

ký hiệu thay thế

vừa là

chữ số thập phân

và giải thích

hệ ghi số Hindu-Arabic

. Theo một bản dịch của văn bản tiếng Ấn về toán học này (khoảng

770

), các nhà toán học

Hồi giáo

đã được giới thiệu hệ ghi số này, mà họ gọi là

hệ ghi số Ả Rập

. Các nhà học giả Hồi giáo đã mang kiến thức về hệ ghi số này tới châu Âu trước thế kỉ 12, và nó đã thay thế toàn bộ các hệ ghi số cũ hơn trên toàn thế giới. Vào thế kỉ 10, bình luận của

Halayudha

về công trình của

Pingala

bao gồm một nghiên cứu về

dãy Fibonacci

tam giác Pascal

, và mô tả dạng của một

ma trận

.

Vào thế kỉ 12,

Bhaskara

lần đầu tiên đặt ra ý tưởng về giải tích vi phân, cùng với khái niệm về

đạo hàm

, hệ số

vi phân

phép lấy vi phân

. Ông cũng đã chứng minh

định lý Rolle

(một trường hợp đặc biệt của

định lý giá trị trung bình

), nghiên cứu

phương trình Pell

, và xem xét đạo hàm của hàm sin. Từ thế kỉ 14,

Madhava

và các nhà toán học khác của

Trường phái Kerala

, phát triển thêm các ý tưởng của ông. Họ đã phát triển các khái niệm về

thống kê toán học

và số

dấu phẩy động

, và khái niệm căn bản cho việc phát triển của toàn bộ

giải tích

, bao gồm định lý giá trị trung bình,

tích phân

từng phần, quan hệ giữa diện tích dưới một đường cong và nguyên hàm của nó,

kiểm tra tính hội tụ

,

phương pháp lặp

để giải nghiệm

phương trình phi tuyến

, và một số

chuỗi vô hạn

,

chuỗi hàm mũ

,

chuỗi Taylor

và chuỗi lượng giác. Vào thế kỉ 16,

Jyeshtadeva

đã củng cố thêm rất nhiều định lý và phát triển của Trường Kerala trong cuốn Yuktibhasa, văn bản về đạo hàm đầu tiên trên thế giới, cũng đưa ra khái niệm

tích phân

. Phát triển toán học ở Ấn Độ chững lại từ cuối thế kỉ 16 do các rắc rối về chính trị.

Toán học Ả Rập và đạo Hồi (khoảng 800-1500)[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī

Đế chế Ả Rập

Đạo Hồi

được thiết lập trên toàn bộ

Trung Đông

,

Trung Á

,

Bắc Phi

,

Iberia

, và một số phần của

Ấn Độ

trong thế kỉ 8 đã tạo nên những cống hiến quan trọng cho toán học. Mặc dù phần lớn các văn bản Đạo Hồi được viết bằng

tiếng Ả Rập

, chúng không hoàn toàn được viết bởi những người

Ả Rập

, rất có thể do vị thế của Hy Lạp trong thế giới Hellenistic, tiếng Ả Rập được sử dụng như là ngôn ngữ viết của các học giả không phải người Ả Rập trong thế giới Đạo Hồi thời bấy giờ. Một số trong những nhà toán học Đạo Hồi quan trọng nhất là

người Ba Tư

.

Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī

, một nhà toán học và thiên văn học Ba Tư

thế kỉ thứ 9

, đã viết một vài cuốn sách quan trọng về hệ ghi số Hindu-Arabic và về các phương pháp

giải phương trình

. Cuốn sách của ông Về tính toán với hệ ghi số Hindu, được viết khoảng năm 825, cùng với công trình của nhà toán học Ả Rập Al-Kindi, là những công cụ trong việc truyền bá

toán học Ấn Độ

hệ ghi số Hindu-Arabic

tới phương Tây. Từ algorithm (

thuật toán

) bắt nguồn từ sự Latin hóa của tên ông, Algoritmi, và từ algebra (

đại số

) từ tên của một trong những công trình của ông,

Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala

(Cuốn cẩm nang về tính toán bằng hoàn thiện và cân đối). Al-Khwarizmi thường được gọi là “cha đẻ của đại số”, bởi sự bảo tồn các phương pháp đại số cổ đại của ông và các cống hiến của ông đối với lĩnh vực này.

[20]

Các phát triển thêm của

đại số

được thực hiện bởi

Abu Bakr al-Karaji

(953—1029) trong học thuyết của ông al-Fakhri, ở đó ông mở rộng các quy tắc để thêm cả lũy thừa số nguyên và nghiệm nguyên vào các đại lượng chưa biết. Vào

thế kỉ 10

,

Abul Wafa

đã dịch công trình của

Diophantus

thành tiếng Ả Rập và phát triển hàm

tang

.

Chứng minh

đầu tiên bằng

quy nạp toán học

xuất hiện trong một cuốn sách viết bởi

Al-Karaji

khoảng

1000

CN, người đã sử dụng nó để chứng minh

định lý nhị thức

,

tam giác Pascal

, và tổng của các

lập phương

nguyên

.

[21]

Nhà

nghiên cứu lịch sử

toán học, F. Woepcke,

[22]

đã ca ngợi Al-Karaji là “người đầu tiên giới thiệu các

định lý

của

các phép tính

đại số

.”

Ibn al-Haytham

là người đầu tiên bắt nguồn sử dụng các công thức tính tổng của lũy thừa bậc bốn sử dụng phương pháp quy nạp, từ đó phát triển thành phương pháp tính tích phân.

[23]

Omar Khayyam

,

nhà thơ

thế kỉ 12, cũng là một nhà toán học, viết Bàn luận về những khó khăn của Euclid, một cuốn sách về các thiếu sót của cuốn

Cơ sở của Euclid

, đặc biệt là

tiên đề về đường thẳng song song

, và do đó ông đặt ra nền móng cho

hình học giải tích

hình học phi Euclid

. Ông cũng là người đầu tiên tìm ra nghiệm hình học của

phương trình bậc ba

. Ông cũng có ảnh hưởng lón trong việc

cải tổ lịch

.

Nasir al-Din Tusi và bảng Ilkhanic

Bút tích của Jamshīd al-Kāshī

Nhà toán học

Ba Tư

Nasir al-Din Tusi

(Nasireddin) vào thế kỉ 13 đã tạo nên những bước tiến trong

lượng giác

hình cầu

. Ông cũng viết các công trình có ảnh hưởng lớn tới

tiên đề về đường thẳng song song

của

Euclid

.

Vào thế kỉ 15,

Ghiyath al-Kashi

đã tính giá trị số

π

tới chữ số thập phân thứ 16. Kashi cũng có một thuật toán cho phép tính căn bậc n, là trường hợp đặc biệt của các phương pháp đã đưa ra hàng thế kỉ sau bởi

Ruffini

Horner

. Các nhà toán học Hồi giáo đáng lưu ý khác bao gồm

al-Samawal

,

Abu’l-Hasan al-Uqlidisi

,

Jamshid al-Kashi

,

Thabit ibn Qurra

,

Abu Kamil

Abu Sahl al-Kuhi

.

Đến thời

Đế chế Ottoman

(từ thế kỉ 15), sự phát triển của toán học Hồi giáo bị chững lại. Điều này song song với sự chững lại của toán học khi người Roma chinh phục được thế giới Hellenistic.

John J. O’Connor và Edmund F. Robertson viết trong cuốn

MacTutor History of Mathematics archive

:

“Những nghiên cứu gần đây vẽ ra một bức tranh mới về những thứ mà ta nợ toán học Đạo Hồi. Hiển nhiên rất nhiều các ý tưởng nghĩ ra trước đó đã trở thành những khái niệm tuyệt vời do toán học châu Âu của thế kỉ mười sáu, mười bảy, mười tám theo ta biết là đã được phát triển bởi các nhà toán học Ả Rập/Đạo Hồi bốn thế kỉ trước đó. Trong nhiều khía cạnh, toán học được nghiên cứu ngày nay còn gần hơn về phong cách đối với những thứ đó của toán học Đạo Hồi hơn là những thức của toán học

Hellenistic

.”

Toán học châu Âu Trung cổ (khoảng 300-1400)[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Mối quan tâm đến toán học của châu Âu Trung cổ là do nhiều lý do rất khác so với của các nhà toán học hiện đại. Một lý do đó là niềm tin rằng toán học là chìa khóa để hiểu được thứ bậc trong tự nhiên, thường được đánh giá trong cuộc đối thoại

Timaeus

của

Plato

và chuyến đi lớn mà Chúa đã “sắp xếp tất cả mọi thứ theo kích thước, số lượng, và cân nặng” (Wisdom 11:21).

Thời kì Trung cổ sơ khai (khoảng 300-1100)[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Boethius và các học trò

Boethius

(480–524) đã dành một nơi cho toán học trong môn học khi ông đưa ra khái niệm “quadrivium” (tiếng Latinh: bốn con đường) để chỉ các môn số học, hình học, thiên văn học, và âm nhạc. Ông viết De institutione arithmetica, dịch thoáng nghĩa từ tiếng Hy Lạp tiêu đề của cuốn Introduction to Arithmetic của

Nicomachus

; De institutione musica, cũng phát triển từ gốc Hy Lạp; và một loạt các đoạn lấy từ cuốn

Cơ sở

của

Euclid

. Công trình của ông mang tính lý thuyết hơn là thực hành, và là công trình nền tảng của toán học cho đến khi các công trình toán học của Hy Lạp và A Rập được phục hồi.

[24]

[25]

Sự hồi sinh của toán học tại châu Âu (1100-1400)[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Fibonacci

Vào thế kỉ 12, các nhà học giả châu Âu đã chu du đến Tây Ban Nha và Sicilia để tìm các văn bản tiếng A Rập, trong số chúng là cuốn

Al-Jabr wa-al-Muqabilah

của Al-Khwarizmi, được dịch thành tiếng Latinh bởi

Robert of Chester

và văn bản đầy đủ của cuốn Cơ sở của Euclid, được dịch thành rất nhiều phiên bản bởi

Adelard of Bath

,

Herman of Carinthia

, và

Gerard of Cremona

.

[26]

[27]

Những nguồn mới này lóe lên một thời kì hồi sinh của toán học.

Fibonacci

, vào đầu thế kỉ 13, đưa ra công trình toán học quan trọng đầu tiên ở châu Âu kể từ thời của

Eratosthenes

, một khoảng thời gian hơn một nghìn năm. Thế kỉ mười bốn đã chứng kiến sự phát triển của các khái niệm toán học mới để giải quyết một loạt bài toán.

[28]

Một lĩnh vực quan trọng cống hiến cho sự phát triển của toán học đó là phân tích các chuyển động địa phương.

Thomas Bradwardine

đưa ra rằng vận tốc (V) tăng theo tỉ lệ số học khi tỉ số của lực (F) với lực cản (R) tăng theo số mũ. Bradwardine diễn tả điều này bằng một loạt các ví dụ cụ thể, nhưng mặc dù

lôgarít

thời đó chưa xuất hiện, ta có thể biểu diễn kết luận của ông dưới dạng V = log (F/R).

[29]

Phân tích của Bradwardine là một ví dụ của việc chuyển đổi kĩ thuật toán học được sử dụng bởi

al-Kindi

Arnald of Villanova

để định tính bản chất của thuốc trộn thành một bài toán vật lý khác.

[30]

Là một người trong nhóm

Oxford Calculators

vào

thế kỉ 14

,

William Heytesbury

, thiếu

giải tích vi phân

và khái niệm

giới hạn

, đã đưa ra việc đo vận tốc tức thời “bằng con đường mà có thể được mô tả bởi một

vật thể

nếu… nó được dịch chuyển đi theo cùng một tốc độ mà với điều đó nó được di chuyển trong thời khắc đã cho”.

[31]

Heytesbury và những người khác đã xác định bằng toán học khoảng cách đi được của một vật thể chuyển động có gia tốc không đổi (mà ta có thể giải dễ dàng bằng

Tích phân

), nói rằng “một vật thể chuyển động mà nhận vận tốc giảm hoặc tăng không đổi sẽ đi trong một thời gian nào đó cho trước một

khoảng cách

hoàn toàn bằng với khoảng cách ấy mà sẽ đi được nếu nó đang chuyển động liên tục trong cùng một thời gian với tốc độ trung bình”.

[32]

Nicole Oresme

Oresme đã đi trước Galileo trong việc nghiên cứu tích phân

Nicole Oresme

tại

Đại học Paris

Giovanni di Casali

người Italia độc lập với nhau đưa ra biểu diễn đồ thị của quan hệ này, thêm vào diện tích dưới đường thẳng biểu thị gia tốc không đổi, thể hiện tổng quãng đường đi được.

[33]

Trong một buổi thảo luận sau đó về cuốn Hình học của Euclid, Oresme đưa ra một phân tích chi tiết tổng quát trong đó ông nói rằng một vật thể sẽ nhận được trong mỗi số gia của thời gian một số gia của bất kì tính chất nào mà tăng như số lẻ. Do Euclid đã chứng minh tổng của các số lẻ là các số chính phương, tổng các tính chất đạt được bởi vật thể tăng theo bình phương thời gian.

[34]

Xem thêm: Số phức là gì? Giải thích dễ hiểu về số phức

Toán học hiện đại sơ khai châu Âu[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Isaac Newton

Cuốn sách của

Georg von Peuerbach

Ở châu Âu vào buổi bình minh của

thời kì Phục Hưng

, toán học vẫn còn bị hạn chế bởi các ký hiệu cồng kềnh sử dụng

hệ ghi số La Mã

và diễn đạt các quan hệ bằng từ ngữ, hơn là bằng ký hiệu: không có dấu cộng, không có dấu bằng, và không sử dụng x thay cho đại lượng chưa biết.

Vào thế kỉ 16 các nhà toán học châu Âu bắt đầu tạo nên những bước tiến mới mà không cần biết đến những nơi khác trên thế giới, tới mức như ngày nay. Bước tiến đầu tiên trong số đó là nghiệm tổng quát của

phương trình bậc ba

, thông thường được ghi công cho

Scipione del Ferro

vào khoảng

1510

, nhưng xuất bản lần đầu tiên bởi

Johannes Petreius

Nürnberg

trong cuốn Ars magna của

Gerolamo Cardano

, trong đó cũng có nghiệm tổng quát của

phương trình bậc bốn

từ học trò của Cardano

Lodovico Ferrari

.

Từ thời điểm này, toán học phát triển nhanh chóng, bổ trợ cho và lấy lợi ích từ các tiến bộ mới cùng thời của

vật lý học

. Quá trình này càng được thúc đẩy bởi những tiến bộ trong

ngành in

. Cuốn sách toán học sớm nhất được in là cuốn

Theoricae nova planetarum

của

G. v. Peuerbach

vào

1472

, theo sau là một cuốn sách về số học thương mại

Treviso Arithmetic

năm 1478 và cuốn sách toán học thực sự của

Euclid

, cuốn

Cơ sở

được in và xuất bản bởi

Ratdolt

năm

1482

.

Do nhu cầu cấp thiết về định hướng và vẽ bản đồ chính xác cho những khu vực rộng lớn,

lượng giác

đã phát triển thành một ngành lớn của toán học.

Bartholomaeus Pitiscus

là người đầu tiên sử dụng từ Trigonometria (lượng giác) trong cuốn sách cùng tên của ông vào năm 1595. Bảng

sin

cosin

của Regiomontanus được xuất bản vào 1533.

[35]

Đến cuối thế kỉ, nhờ có

Johannes Müller von Königsberg

(1436-1476) và

François Viète

(1540-1603), cùng với những người khác, mà toán học đã được viết bằng hệ ghi số Hindu-Arabic và theo một dạng mà không quá khác xa so với các ký hiệu sử dụng ngày nay.

Thế kỉ 17[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Thế kỉ 17 chứng kiến sự bùng nổ chưa từng thấy của các ý tưởng toán học và khoa học trên toàn châu Âu.

Galileo

, một người Italia, đã quan sát các

Mặt Trăng của Sao Mộc

trên quỹ đạo quanh hành tinh đó, sử dụng kính viễn vọng dựa trên một đồ chơi nhập khẩu từ Hà Lan.

Mô tả của Tychoo về quỹ đạo của Mặt Trăng, Mặt Trời và các hành tinh

Tycho Brahe

, ở vương quốc Đan Mạch, đã thu thập một lượng lớn các dữ liệu toán học mô tả các vị trí của các hành tinh trên bầu trời. Học trò của ông, nhà toán học người Đức

Johannes Kepler

, bắt đầu làm việc với các dữ liệu này. Một phần bởi vì muốn giúp Kepler trong việc tính toán,

John Napier

, ở Scotland, là người đầu tiên nghiên cứu

logarit tự nhiên

. Kepler thành công trong việc lập công thức toán học các định luật của chuyển động hành tinh.

Hình học giải tích

được phát triển bởi

René Descartes

(1596-1650), một nhà toán học và triết học người Pháp, đã cho phép những quỹ đạo này có thể vẽ được trên đồ thị, trong

hệ toạ độ Descartes

. Xây dựng dựa trên những công trình đi trước bởi rất nhiều nhà toán học,

Isaac Newton

, người Anh, đã khám phá ra các định luật của vật lý để giải thích

định luật Kepler

, và cùng đưa đến một khái niệm bây giờ ta gọi là

giải tích

. Một cách độc lập,

Gottfried Wilhelm Leibniz

, ở Đức, đã phát triển giải tích và rất nhiều các ký hiệu giải tích vẫn còn được sử dụng cho đến ngày nay. Khoa học và toán học đã trở thành một nỗ lực quốc tế, nhanh chóng lan ra toàn thế giới.

[36]

Thêm vào ứng dụng của toán học đối với ngành thần học,

toán học ứng dụng

bắt đầu mở rộng ra các lĩnh vực mới khác, với các lá thư giữa

Pierre de Fermat

Blaise Pascal

. Pascal và Fermat đã đặt nền móng cho việc nghiên cứu

lý thuyết xác suất

và các định luật

tổ hợp

tương ứng trong các thảo luận của họ về trò

đánh bạc

. Pascal, với

Sự đánh cuộc Pascal

, đã cố gắng sử dụng lý thuyết xác suất mới của mình để tranh luận về một cuộc sống theo tôn giáo, thực tế là dù xác suất thành công có nhỏ đi nữa, phần lợi vẫn là vô cùng. Trong hoàn cảnh này, điều đó đã dự báo trước sự phát triển của

lý thuyết thỏa dụng

ở nửa sau thế kỉ 18-19

Thế kỉ 18[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Leonhard Euler

hình vẽ của

J. E. Handmann

.

Như ta đã thấy, sự hiểu biết về các số tự nhiên 1, 2, 3,… còn trước bất kì văn bản viết nào. Những nền văn minh sớm nhất – ở Lưỡng Hà, Ai Cập, Ấn Độ và Trung Quốc – đều đã biết đến số học.

Một cách để xem xét sự phát triển của rất nhiều hệ toán học hiện đại khác nhau là xem các hệ mới được nghiên cứu để trả lời các câu hỏi về số học của các hệ cũ hơn. Trong thời tiền sử, phân số trả lời được câu hỏi: số nào, khi nhân với 3, thì được kết quả là 1. Ở Ấn Độ và Trung Quốc, và rất lâu sau ở Đức, các số âm được phát triển đề trả lời câu hỏi: bạn nhận được kết quả là gì khi lấy một số nhỏ trừ đi số lớn. Việc phát minh ra số không có thể là để trả lời câu hỏi: bạn nhận được kết quả là gì khi trừ một số cho chính nó.

Một câu hỏi tự nhiên khác là: căn bậc hai của số hai là kiểu số gì? Người Hy Lạp đã biết rằng nó không phải một phân số, và câu hỏi này đã đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển

liên phân số

. Nhưng một câu trả lời tốt hơn xuất hiện cùng với sự phát minh ra chữ số thập phân, phát triển bởi

John Napier

(1550-1617) và được hoàn chỉnh sau đó bởi

Simon Stevin

. Sử dụng các chữ số thập phân, và một ý tưởng mà tiên đoán trước được khái niệm về

giới hạn

, Napier cũng đã nghiên cứu một hằng số mới, mà

Leonhard Euler

(1707-1783) đã đặt tên là

số e

.

[37]

Euler có rất nhiều ảnh hưởng tới việc chuẩn hóa các ký hiệu và thuật ngữ toán học. Ông đã đặt tên

căn bậc hai

của

âm

một

bằng ký hiệu

i

. Ông cũng phổ biến việc sử dụng chữ cái Hy Lạp

π{displaystyle pi }

để chỉ tỉ số của

chu vi

một

đường tròn

đối với

đường kính

của nó. Sau đó ông còn phát triển thêm một trong những

công thức đáng chú ý nhất của toán học

:

eiπ+1=0{displaystyle e^{ipi }+1=0,}

Thế kỉ 19[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Carl Friedrich Gauss

Xuyên suốt thế kỉ 19 toán học nhanh chóng trở nên trừu tượng. Trong thế kỉ này đã sống một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại,

Carl Friedrich Gauss

(1777-1855). Không kể đến rất nhiều cống hiến cho khoa học, trong toán học lý thuyết ông đã làm nên các công trình có tính cách mạng về

hàm số

với

biến phức

trong

hình học

và về sự hội tụ của các

chuỗi

. Ông đã đưa ra chứng minh đầu tiên của

định lý cơ bản của đại số

và của

luật tương hỗ bậc hai

.

Thế kỉ này chứng kiến sự phát triển của hai dạng

hình học phi Euclid

, trong đó

tiên đề về đường thẳng song song

của

hình học Euclid

không còn đúng nữa. Trong hình học Euclid, cho một đường thẳng và một điểm không nằm trên đường thẳng đó, thì chỉ có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho và đi qua điểm đó mà thôi.

Nhà toán học Nga

Nikolai Ivanovich Lobachevsky

và đối thủ của ông, nhà toán học Hungary

Janos Bolyai

, độc lập với nhau sáng lập ra

hình học hyperbolic

, trong đó sự duy nhất của các đường thẳng song song không còn đúng nữa, mà qua một điểm ngoài đường thẳng có thể kẻ được vô số đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Trong hình học này tổng các góc của một

tam giác

có thể nhỏ hơn 180°.

Các hình học mới xuất hiện thế kỷ 19:
Hình học Hyperbolic của Lobachevsky
Hình học cổ điển Euclid
Hình học Elliptic

Hình học Elliptic

đã được phát triển sau đó vào thế kỉ 19 bởi nhà toán học người Đức

Bernhard Riemann

; ở đây không thể tìm thấy đường thẳng song song và tổng các góc của một

tam giác

có thể lớn hơn 180°. Riemann cũng phát triển

hình học Riemann

, trong đó hợp nhất và tổng quát hóa cao độ ba loại hình học, và ông định nghĩa khái niệm một

đa tạp

, trong đó tổng quát hóa khái niệm về

đường

mặt

. Các khái niệm này rất quan trọng trong

Thuyết tương đối

của

Albert Einstein

.

Cũng trong thế kỉ 19

William Rowan Hamilton

đã phát triển

noncommutative algebra

, nền móng của

lý thuyết vòng

.

Thêm vào những hướng mới trong toán học, các nền toán học cũ hơn được đưa vào các nền tảng logic mạnh hơn, đặc biệt là trong trường hợp của

giải tích

với các công trình của

Augustin Louis Cauchy

Karl Weierstrass

.

Một dạng đại số mới được phát triển vào thế kỉ 19 gọi là

Đại số Boole

, được phát minh bởi nhà toán học người Anh

George Boole

. Nó là một hệ chỉ gồm các số 0 và 1, một hệ mà ngày nay có những ứng dụng quan trọng trong

khoa học máy tính

.

Cũng lần đầu tiên, các giới hạn của toán học đã được khám phá.

Niels Henrik Abel

, một người Na Uy, và

Évariste Galois

, một người Pháp, đã chứng minh được rằng không có

phương pháp đại số

để giải

phương trình đại số

với

bậc

lớn hơn bốn. Các nhà toán học thế kỉ 19 khác áp dụng kết quả này trong chứng minh của họ rằng

thước kẻ

compa là không đủ để

chia ba một góc

, để dựng cạnh của một hình lập phương mà thể tích của nó gấp đôi thể tích một hình lập phương cho trước, hay để dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích hình tròn cho trước (còn gọi là phép

cầu phương hình tròn

). Các nhà toán học đã tốn công vô ích để giải tất cả các bài toán này từ thời Hy Lạp cổ đại.

Các nghiên cứu của Abel và Galois về nghiệm của rất nhiều loại phương trình đa thức khác nhau đã đặt nền móng cho các phát triển sâu hơn về

lý thuyết nhóm

, và các lĩnh vực liên quan của

đại số trừu tượng

. Trong thế kỉ 20 các nhà vật lý va các nhà khoa học khác đã thấy lý thuyết nhóm là một cách lý tưởng để nghiên cứu

symmetry

.

Thế kỉ 19 cũng chứng kiến sự thành lập của các hội toán học đầu tiên:

Hội toán học London

vào năm 1865,

Hội toán học Pháp

vào năm 1872,

Hội toán học Palermo

vào năm 1884,

Hội toán học Edinburgh

vào năm 1864 và

Hội toán học Mỹ

vào năm 1888.

Trước thế kỉ 20, có rất ít các nhà toán học thật sự sáng tạo trên thế giới ở bất kì thời điểm nào. Phần lớn vì các nhà toán học hoặc sinh ra trong gia đình giàu có, như

Napier

, hoặc được hậu thuẫn bởi các nhân vật giàu có, như Gauss. Có rất ít người cảm thấy cuộc sống nghèo nàn dạy học ở trường đại học, như

Fourier

.

Niels Henrik Abel

, không thể nhận được một vị trí nào, đã chết với tài sản là sự suy dinh dưỡng.

Thế kỉ 20[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

David Hilbert

Tính chuyên nghiệp của nhà toán học ngày càng trở nên quan trọng vào thế kỉ 20. Mỗi năm, hàng trăm bằng tiến sĩ trong toán học được trao, và các ngành nghề đều có trong giảng dạy và công nghiệp. Phát triển toán học đã tăng với một tốc độ cực nhanh, với quá nhiều phát triển mới về khảo sát để thậm chí động chạm tới hầu hết các lĩnh vực quan trọng nhất.

Vào 1900,

David Hilbert

đưa ra danh sách

23 bài toán

chưa có lời giải trong toán học tại

Hội nghị các nhà toán học quốc tế

. Các bài toán này bao trùm rất nhiều lĩnh vực của toán học và đã tạo nên sự chú ý đặc biệt trong toán học thế kỉ 20. Hiện nay mười bài toán đã có lời giải, bảy đã giải được một phần và hai bài vẫn còn mở. Bốn bài còn lại quá lỏng để nói rằng liệu đã giải được chưa. Hilbert cũng đã đặt nền móng cho việc tiên đề hóa hình học với cuốn sách “Grundlagen der Geometrie” (Nền tảng của Hình học) bao gồm 21 tiên đề, thay cho các tiên đề Euclid truyền thống. Chúng tránh đi những điểm yếu đã được chỉ ra trong các tiên đề Euclid, mà các tác phẩm của ông (Euclid) lúc đó vẫn được xem như sách giáo khoa. Ông mong muốn hệ thống hóa toán học trên một nền tảng logic vững chắc và đầy đủ, tin rằng:

  1. Tất cả toán học có thể suy ra từ một hệ thống hữu hạn các tiên đề được chọn ra một cách đúng đắn
  2. Rằng một hệ thống tiên đề như vậy là có thể chứng minh được

    tính nhất quán

    (tính không

    mâu thuẫn

    ) của nó

Cũng chính Hilbert đã đưa ra khái niệm

không gian Hilbert

, một cơ sở cho

giải tích hàm

.

Kurt Gödel

Những năm 1930

,

Kurt Gödel

đã đưa ra định lý bất toàn (

en:Gödel’s incompleteness theorems

) khẳng định rằng bất kì một hệ tiên đề hình thức độc lập nào đủ mạnh để miêu tả số học cũng hàm chứa những mệnh đề không thể khẳng định mà cũng không thể phủ định; tính nhất quán của một

hệ thống tiên đề

không thể được chứng minh bên trong hệ thống đó. Mở rộng ra, không thể đi tìm tính

chân lý của toán học

(và của

khoa học

nói chung) bên trong cấu trúc duy lý của bản thân toán học hay của khoa học đó; cái đúng của toán học phải tìm ngoài toán học.

Trong

những năm 1900

,

Srinivasa Aiyangar Ramanujan

(1887-1920) đã phát triển hơn 3000 định lý, bao gồm lý thuyết về tính chất của các

siêu hợp số

(highly composite number),

hàm phần chia

(partition function) và

các tiệm cận

của nó, rồi các

hàm theta Ramanujan

. Ông cũng tạo nên những đột phá và phát hiện trong lĩnh vực

hàm gamma

,

dạng modular

,

chuỗi phân kì

,

chuỗi siêu hình học

lý thuyết số nguyên tố

.

Năm 1947, tác phẩm “Cơ sở phân tích kinh tế” của

Paul Samuelson

công bố được xem là khởi đầu của

toán kinh tế

đương đại.

[38]

Năm 1952,

Sir John Anthony Pople

(31/10/1925-15/3/2004) nhà hóa học người Anh tại

đại học Cambridge

đã vận dụng toán học trong hóa học, lập ra công thức cho một sơ đồ cơ bản để phát triển những mô hình toán học phục vụ nghiên cứu phân tử mà không cần tiến hành thí nghiệm. Ông đã sử dụng máy tính phục vụ cho việc kiểm tra và xác định cấu trúc hóa học cũng như các chi tiết của vật chất.

Walter Kohn

người Áo (9/3/1923-19/4/2016), làm việc tại

đại học Santa Barbara

(Mỹ) người nghiên cứu

lý thuyết về mật độ

, đã đơn giản hóa mô tả toán học về sự liên kết giữa các nguyên tử tạo nên phân tử.

Những năm 60-70 của thế kỷ 20, việc giáo dục toán học đã bắt đầu sử dụng các phương pháp mới, trong đó nghiên cứu toán được bắt đầu từ những lĩnh vực cơ sở như lý thuyết tập hợp, logic sơ cấp, hệ thống số và hệ thống đếm, số học đồng nhất mô-đun (

modular consistency arithmetic

).

[39]

Các phỏng đoán nổi tiếng trong quá khứ tạo nên các kĩ thuật mới và mạnh.

Wolfgang Haken

Kenneth Appel

đã sử dụng một chiếc máy tính để chứng minh

định lý bốn màu

vào năm 1976.

[40]

FourColorMapEx.png

Andrew wiles1-3.jpg

Phuong trinh Fermat-Fermat equation.jpg

Minh họa

Định lý bốn màu

Andrew Wiles và

phương trình Fermat

Andrew Wiles

, làm việc một mình trong văn phòng trong nhiều năm trời, cuối cùng đã chứng minh được

Định lý lớn Fermat

vào năm 1995, kết thúc hơn 300 năm đi tìm lời giải.

Toàn bộ các lĩnh vực mới của toán học như

logic toán

,

topo học

,

lý thuyết độ phức tạp

, và

lý thuyết trò chơi

đã thay đổi các thể loại câu hỏi mà có thể trả lời được bởi các phương pháp toán học.

Nhóm Bourbaki

của Pháp đã cố gắng đưa toàn bộ toán học thành một thể thống nhất chung, xuất bản dưới

bút danh

Nicolas Bourbaki. Công trình khổng lồ của họ đã gây rất nhiều tranh luận trong giáo dục toán học.

Đến cuối thế kỉ, toán học đã thậm chí thâm nhập vào nghệ thuật, như hình học

fractal

đã tạo nên

những hình thù đẹp đẽ

chưa từng thấy bao giờ.

Xem thêm: Hợp chất Đồng (II) Clorua CuCl2-Cân bằng phương trình hóa học-Hóa học lớp 8-Từ điển Phương trình hóa học

Thế kỉ 21[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Vào buổi bình minh của thế kỉ 21, rất nhiều nhà giáo dục đã bày tỏ quan ngại về một lớp người nghèo, không được học hành về toán học và khoa học.

[41]

Trong khi đó toán học, khoa học, công trình sư và công nghệ đã cùng nhau tạo nên những tri thức, kết nối, và tài sản mà các triết gia cổ đại không dám mơ đến.

Năm 2005,

Peter David Lax

(1/5/1926, Viện Khoa học Toán Courant,

Đại học New York

) đã nghiên cứu thành công lý thuyết và ứng dụng của

phương trình vi phân riêng phần

cũng như tính toán nghiệm của chúng.

Vào giữa tháng 3 năm 2007, một đội các nhà nghiên cứu khắp Bắc Mĩ và châu Âu đã sử dụng các mạng máy tính để vẽ sơ đồ

E8

thuộc

nhóm Lie

.

[42]

Mặc dù ta chưa thể biết chính xác việc này có ứng dụng gì, nhưng khám phá này đánh dấu một mốc quan trọng về cả tinh thần hợp tác và công nghệ máy tính trong toán học hiện đại, khi xây dựng mô hình vật thể phức tạp nhất mà con người từng biết đến với 248 chiều, với dung lượng thể hiện lớn hơn cả bộ gen con người.

[43]

Những vấn đề toán học còn chờ đợi trong tương lai[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Bảy bài toán thiên niên kỷ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Ngày 24/5/2000,

Viện Toán học Clay

công bố danh sách bảy bài toán chưa giải được với giải thưởng cho việc giải quyết mấu chốt trong việc giải mỗi bài là 1

triệu

đô la Mỹ

:

[44]

  1. Giả thuyết Poincaré

  2. Bài toán P=NP

  3. Giả thuyết Hodge

  4. Phương trình Navier-Stokes

  5. Giả thuyết Riemann

  6. Giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer

  7. Lý thuyết Yang-Mill

Các bài toán của Hilbert[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

23 bài toán

được nhà toán học người Đức

David Hilbert

đưa ra trong Hội nghị Quốc tế về Toán học (

International Congress of Mathematicians ICM

) lần thứ hai năm 1900 tại

Paris

, trong đó một số đã được giải quyết trong thế kỷ 20.

[45]

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Toán học Việt Nam

  • Niên biểu toán học

    (tiếng Anh)

  • Danh sách các xuất bản toán học quan trọng

  • Lịch sử đại số

  • Lịch sử hình học

  • Lịch sử các ký hiệu toán học

  • Lịch sử các hàm lượng giác

  • Lịch sử chữ số

  • Bartel Leendert van der Waerden

  • Danh sách các nhà toán học

  • Lịch sử hình học

  • Lịch sử số học

  • Lịch sử đại số

  • Vẻ đẹp của toán học

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    Adelphi University.

    “Mathematics”

    (bằng tiếng Anh).

    Adelphi University

    . Truy cập ngày 22 tháng 3 năm 2017. Mathematics is the art and science of abstraction; it is the systematic study of quantity, structure, space, and change; to paraphrase Newton, it is the language in which the universe is written.

  2. ^

    Sir Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p 1, “In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science.”

  3. ^

    Henahan, Sean (2002).

    “Art Prehistory”

    . Science Updates. The National Health Museum. Truy cập ngày 6 tháng 5 năm 2006.

  4. ^

    a

    ă

    Williams, Scott W. (2005).

    “An Old Mathematical Object”

    . MATHEMATICIANS OF THE AFRICAN DIASPORA. SUNY Buffalo mathematics department. Truy cập ngày 6 tháng 5 năm 2006.

  5. ^

    “Mathematics in (central) Africa before colonization”

    (PDF) (Thông cáo báo chí). Dirk HUYLEBROUCK,. 2006.

    Bản gốc

    (PDF) lưu trữ ngày 7 tháng 2 năm 2012. Truy cập ngày 24 tháng 10 năm 2011.Quản lý CS1: dấu chấm câu dư (

    liên kết

    )

  6. ^

    Kellermeier, John (2003).

    “How Menstruation Created Mathematics”

    . Ethnomathematics. Tacoma Community College.

    Lưu trữ

    bản gốc ngày 23 tháng 12 năm 2005. Truy cập ngày 6 tháng 5 năm 2006.

  7. ^

    Williams, Scott W. (2005).

    “The Oledet Mathematical Object is in Swaziland”

    . MATHEMATICIANS OF THE AFRICAN DIASPORA. SUNY Buffalo mathematics department. Truy cập ngày 6 tháng 5 năm 2006.

  8. ^

    Thom, Alexander and Archie Thom, “The metrology and geometry of Megalithic Man”, pp 132-151 in C.L.N. Ruggles, ed., Records in Stone: Papers in memory of Alexander Thom, (Cambridge: Cambridge Univ. Pr., 1988)

    ISBN 0-521-33381-4

  9. ^

    Pearce, Ian G. (2002).

    “Early Indian culture – Indus civilisation”

    . Indian Mathematics: Redressing the balance. School of Mathematical and Computational Sciences University of St Andrews.

    Bản gốc

    lưu trữ ngày 28 tháng 12 năm 2008. Truy cập ngày 6 tháng 5 năm 2006.

  10. ^

    Duncan J. Melville (2003).

    Third Millennium Chronology

    , Third Millennium Mathematics.

    St. Lawrence University

    .

  11. ^

    Aaboe, Asger (1998). Episodes from the Early History of Mathematics. New York: Random House. tr. 30–31.

  12. ^

    Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990,

    ISBN 0-03-029558-0

  13. ^

    Martin Bernal, “Animadversions on the Origins of Western Science”, pp. 72-83 in Michael H. Shank, ed., The Scientific Enterprise in Antiquity and the Middle Ages, (Chicago: Nhà in Đại học Chicago) 2000, về các chứng minh toán học xem trang 75.

  14. ^

    Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990,

    ISBN 0-03-029558-0

    p. 141 “No work, except

    The Bible

    , has been more widely used….”

  15. ^

    Indian Mathematics: Redressing the balance – 4: Mathematics in the service of religion: I. Vedas and Vedangas

    Ian G Pearce

  16. ^

    Development of Mathematics in Ancient China

    bản lưu 30/1/1998

  17. ^

    The use of the decimal system

    Jeff

  18. ^

    Struik, page 32-33. ““In these matrices we find negative numbers, which appear here for the first time in history.”

  19. ^

    Swaney, Mark.

    History of Magic Squares

    ,

    bản lưu

    ngày 16/1/2006.

  20. ^

    The History of Algebra

    Lưu trữ

    2014-10-09 tại

    Wayback Machine

    .

    Louisiana State University

    .

  21. ^

    Victor J. Katz (1998). History of Mathematics: An Introduction, p. 255-259.

    Addison-Wesley

    .

    ISBN 0-321-01618-1

    .

  22. ^

    F. Woepcke (1853). Extrait du Fakhri, traité d’Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi.

    Paris

    .

  23. ^

    Victor J. Katz (1995). “Ideas of Calculus in Islam and India”, Mathematics Magazine 68 (3), p. 163-174.

  24. ^

    Caldwell, John (1981) “The De Institutione Arithmetica and the De Institutione Musica“, pp. 135-154 in Margaret Gibson, ed., Boethius: His Life, Thought, and Influence, (Oxford: Basil Blackwell).

  25. ^

    Folkerts, Menso, “Boethius” Geometrie II, (Wiesbaden: Franz Steiner Verlag, 1970).

  26. ^

    Marie-Thérèse d’Alverny, “Translations and Translators”, pp. 421-462 in Robert L. Benson and Giles Constable, Renaissance and Renewal in the Twelfth Century, (Cambridge: Harvard Univ. Pr., 1982)

  27. ^

    Guy Beaujouan, The Transformation of the Quadrivium”, pp. 463-487 in Robert L. Benson and Giles Constable, Renaissance and Renewal in the Twelfth Century, (Cambridge: Harvard Univ. Pr., 1982)

  28. ^

    Grant, Edward and John E. Murdoch (1987), eds., Mathematics and its applications to science and natural philosophy in the Middle Ages, (Cambridge: Cambridge University Press)

    ISBN 0-521-32260-X

    .

  29. ^

    Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.), pp. 421-440.

  30. ^

    Murdoch, John E. (1969) “Mathesis in Philosophiam Scholasticam Introducta: The Rise and Development of the Application of Mathematics in Fourteenth Century Philosophy and Theology”, pp. 215-254 in Arts libéraux et philosophie au Moyen Âge (Montréal: Institut d’Études Médiévales), at pp. 224-227.

  31. ^

    Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.), pp. 210, 214-15, 236.

  32. ^

    Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.), p. 284.

  33. ^

    Clagett, Marshall (1961) The Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr.), pp. 332-45, 382-91.

  34. ^

    Nicole Oresme, “Questions on the Geometry of Euclid” Q. 14, pp. 560-5 in Marshall Clagett, ed., Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions, (Madison: Univ. of Wisconsin Pr., 1968).

  35. ^

    Grattan-Guinness, Ivor (1997). The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences. W.W. Norton.

    ISBN 0-393-32030-8

    .

  36. ^

    Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990,

    ISBN 0-03-029558-0

    , p. 379, “…the concepts of calculus…(are) so far reaching and have exercised such an impact on the modern world that it is perhaps correct to say that without some knowledge of them a person today can scarcely claim to be well educated.”

  37. ^

    J J O’Connor

    &

    E F Robertson

    (tháng 9 năm 2001).

    “History topic: The number e”

    (bằng tiếng Anh).

    MacTutor History of Mathematics archive

    . Truy cập ngày 22 tháng 3 năm 2017. The number e first comes into mathematics in a very minor way. This was in 1618 when, in an appendix to Napier’s work on logarithms, a table appeared giving the natural logarithms of various numbers

  38. ^

    “Lịch sử của toán trong kinh tế học” của Trần Nam Bình

  39. ^

    Dạy toán – suy nghĩ từ kinh nghiệm của các nước

    Phạm Việt Hưng 11/05/2007

  40. ^

    Four Colors Suffice: How the Map Problem Was Solved

    Robin Wilson, 11/6/2011

  41. ^

    Estela A. Gavosto, Steven G. Krantz, William McCallum, Editors, Contemporary Issues in Mathematics Education, Cambridge University Press, 1999,

    ISBN 0-521-65471-8

  42. ^

    “Mathematicians Map E8”

    (Thông cáo báo chí). Harminka, Hareyan Publishing LLC. 20 tháng 3 năm 2007.

  43. ^

    Mathematicians Map E8

  44. ^

    “Videos of 2000 Millennium Event”

    .

    Bản gốc

    lưu trữ ngày 24 tháng 10 năm 2011. Truy cập ngày 22 tháng 10 năm 2011.

  45. ^

    Hilbert’s Problems

    Lưu trữ

    2012-04-06 tại

    Wayback Machine

    mathacademy.com

Đọc thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Aaboe, Asger (1964). Episodes from the Early History of Mathematics. New York: Random House.
  • Boyer, C. B., A History of Mathematics, 2nd ed. rev. by Uta C. Merzbach. New York: Wiley, 1989

    ISBN 0-471-09763-2

    (1991 pbk ed.

    ISBN 0-471-54397-7

    ).

  • Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990,

    ISBN 0-03-029558-0

    ,

  • Hoffman, Paul

    , The Man Who Loved Only Numbers: The Story of

    Paul Erdős

    and the Search for Mathematical Truth. New York: Hyperion, 1998

    ISBN 0-7868-6362-5

    .

  • Grattan-Guinness, Ivor (2003). Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences. The Johns Hopkins University Press.

    ISBN 0-8018-7397-5

    .

  • van der Waerden, B. L., Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer, 1983,

    ISBN 0-387-12159-5

    .

  • O’Connor, John J. and Robertson, Edmund F.

    The MacTutor History of Mathematics Archive

    . (See also

    MacTutor History of Mathematics archive

    .) This website contains biographies, timelines and historical articles about mathematical concepts; at the School of Mathematics and Statistics,

    University of St. Andrews

    , Scotland. (Or see the

    alphabetical list of history topics

    Lưu trữ

    2011-08-09 tại

    Wayback Machine

    .)

  • Stigler, Stephen M.

    (1990). The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900. Belknap Press.

    ISBN 0-674-40341-X

    .

  • Bell, E.T. (1937).

    Men of Mathematics

    . Simon and Schuster.

  • Gillings, Richard J. (1972). Mathematics in the time of the pharaohs. Cambridge, MA: M.I.T. Press.
  • Heath, Sir Thomas (1981).

    A History of Greek Mathematics

    . Dover.

    ISBN 0-486-24073-8

    .

  • Menninger, Karl W. (1969). Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. MIT Press.

    ISBN 0-262-13040-8

    .

  • Burton, David M. The History of Mathematics: An Introduction. McGraw Hill: 1997.
  • Katz, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction, 2nd Edition.

    Addison-Wesley

    : 1998.

  • Toán học là gì? của

    Richard Courant

    Herbert Robbins

    xuất bản năm 1941, tái bản năm 1996 có sửa chữa của

    Ian Stewart

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Tiếng nước ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Mathematics

    tại

    Encyclopædia Britannica

    (tiếng Anh)

  • MacTutor History of Mathematics archive

    (John J. O’Connor and Edmund F. Robertson; University of St Andrews, Scotland). Một website đã đạt một số giải thưởng có chứa các tiểu sử chi tiết về rất nhiều nhà toán học lịch sử và cùng thời, cũng như các thông tin về các đường cong nổi tiếng và rất nhiều chủ để về lịch sử toán học.

  • History of Mathematics Home Page

    (David E. Joyce; Clark University). Bài báo về rất nhiều chủ đề trong lịch sử toán học với một danh sách tài liệu liên quan phong phú.

  • The History of Mathematics

    (David R. Wilkins; Trinity College, Dublin). Tập hợp các bài về toán học giữa thế kỉ 17 và 19.

  • History of Mathematics

    Lưu trữ

    2013-08-27 tại

    Wayback Machine

    (Simon Fraser University).

    Bản lưu trữ 29/4/2001

  • Mathematics Pages

    (Jeff Miller). Chứa các thông tin về sự sử dụng các ký hiệu và thuật ngữ thời kì sơ khai trong toán học cũng như tập hợp các tem thư có hình các nhà toán học.

    Bản lưu

  • Biographies of Women Mathematicians

    (Larry Riddle; Agnes Scott College).

  • Mathematicians of the African Diaspora

    (Scott W. Williams; University at Buffalo).

  • Fred Rickey’s History of Mathematics Page

    Lưu trữ

    2012-09-12 tại

    Wayback Machine

  • A Bibliography of Collected Works and Correspondence of Mathematicians

    (Steven W. Rockey; Cornell University Library).

    Bản lưu

  • Links to Web Sites on the History of Mathematics

    (The British Society for the History of Mathematics)

  • History of Mathematics

    Math Archives (University of Tennessee, Knoxville)

  • History/Biography

    The Math Forum (Drexel University)

  • History of Mathematics

    (Courtright Memorial Library).

  • History of Mathematics Web Sites

    (David Calvis; Baldwin-Wallace College)

  • Science: Math: History

    (DMOZ)

  • Historia de las Matemáticas

    (Universidad de La Laguna)

    bản lưu 22/7/2011

  • História da Matemática

    (Universidade de Coimbra)

  • Using History in Math Class

    bản lưu 19/7/2011

  • Mathematical Resources: History of Mathematics

    (Bruno Kevius)

Tiếng Việt[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Lịch sử toán học trên Diễn đàn toán học VN

    Lưu trữ

    2009-02-18 tại

    Wayback Machine

  • Lịch sử toán học trên tạp chí Toán học và Tuổi trẻ

    [

    liên kết hỏng

    ]

  • Toán học

    tại

    Từ điển bách khoa Việt Nam

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Lịch_sử_toán_học&oldid=64945478

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button