Kiến thức

Logarit tự nhiên – Wikipedia tiếng Việt

Logarit tự nhiên

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Đồ thị hàm số của logarit tự nhiên.

Logarit tự nhiên (còn gọi là logarit Nêpe) là

logarit

số e

do nhà toán học

John Napier

sáng tạo ra. Ký hiệu là: ln(x), loge(x).

Logarit

tự nhiên của một số x là bậc của

số e

để

số e

lũy thừa lên bằng x. Tức là ln(x)=a ⇔ ea=x. Ví dụ, ln(7.389) bằng 2 vì e2=7.389… Trong đó logarit tự nhiên của e bằng 1 và logarit tự nhiên của 1 bằng 0

Logarit tự nhiên được xác định với mọi

số thực

a (trừ số 0) là vùng dưới

đồ thị

y=1x{displaystyle y={1 over x}} từ 1 đến a. Sự đơn giản của định nghĩa được sánh với các

công thức

khác kéo theo logarit tự nhiên, dẫn đến thuật ngữ “tự nhiên”. Định nghĩa có thể được mở rộng đến

số phức

, được giải thích dưới đây.

Hàm số của logarit tự nhiên, nếu được coi là hàm số có nghĩa của biến thực, là

hàm số

của

hàm mũ

. Điều này dẫn đến sự đồng nhất:

eln⁡(x)=xkhi x>0{displaystyle e^{ln(x)}=xqquad {mbox{khi }}x>0,!}
ln⁡(ex)=x{displaystyle ln(e^{x})=x,!}

Như tất cả các

logarit

, logarit tự nhiên biến nhân thành cộng:

ln⁡(xy)=ln⁡(x)+ln⁡(y){displaystyle ln(xy)=ln(x)+ln(y)!,}

Do đó, hàm số logarit là một

hàm số đơn điệu

đi từ tập

số thực

dương dưới phép nhân vào tập số thực dưới phép cộng. Được miêu tả:

ln:R+→R{displaystyle ln :mathbb {R} ^{+}to mathbb {R} }

Logarit được định nghĩa cho cơ số dương khác 1, không chỉ là

số e

. Tuy nhiên,

logarit

của các cơ số khác chỉ khác nhau bởi hàm số nhân liên tục từ logarit tự nhiên và thường được định nghĩa bằng

thuật ngữ

sau cùng. Logarit được sử dụng để giải các

phương trình

có số mũ là biến số. Ví dụ, Logarit được sử dụng để tính

chu kì bán rã

,

hằng số phân rã

, hoặc thời gian chưa biết trong những vấn đề phân rã chứa mũ. Logarit rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực của

toán học

và khoa học và được sử dụng trong

tài chính

để giải quyết những vấn đề liên quan đến lãi suất kép.

Lịch sử[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Người đầu tiên đề cập đến logarit tự nhiên là

Nicholas Mercator

trong tác phẩm Logarithmotechnia được công bố vào năm

1668

, mặc dù giáo viên toán John Speidell đã biên soạn một bản về logarit tự nhiên. Ban đầu nó được gọi là

logarit

hyperbol

, vì nó tương ứng với

diện tích

của một

hyperbol

. Nó cũng đôi khi được gọi là logarit Nêpe, mặc dù ý nghĩa ban đầu của thuật ngữ này là hơi khác nhau.

Xem thêm: Các dạng bài tập chứng minh đẳng thức véc tơ

Nguồn gốc của thuật ngữ logarit tự nhiên[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Ban đầu, logarit tự nhiên được coi là logarit cơ số 10, cơ số này “tự nhiên” hơn cơ số e. Nhưng theo toán học thì số 10 không có ý nghĩa đặc biệt. Ứng dụng của nó về

văn hóa

– làm cơ sở cho nhiều hệ thống đánh số xã hội, có khả năng phát sinh từ đặc trưng các ngón tay của con người. Các

nền văn hóa

khác đã dựa trên hệ thống số đếm của họ cho sự lựa chọn chẳng hạn như 5, 8, 12, 20, và 60.

Loge là logarit tự nhiên bởi vì nó được bắt nguồn và xuất hiện thường xuyên trong toán học. Ví dụ hãy xem xét các vấn đề phân biệt một hàm lôgarit:

ddxlogb⁡(x)=ddx(1ln⁡(b)ln⁡x)=1ln⁡(b)ddxln⁡x=1xln⁡(b){displaystyle {frac {d}{dx}}log _{b}(x)={frac {d}{dx}}left({frac {1}{ln(b)}}ln {x}right)={frac {1}{ln(b)}}{frac {d}{dx}}ln {x}={frac {1}{xln(b)}}}

Nếu cơ số b bằng e, thì đạo hàm chỉ đơn giản là 1x{displaystyle {1 over x}}, và tại x=1 thì đạo hàm bằng 1. Mặt khác logarit cơ số e là logarit tự nhiên nhất vì có thể định nghĩa nó dễ dàng trong thuật ngữ của tích phân đơn giản hay dãy Taylor và điều này lại không đúng đối với logarit khác.

Những chiều hướng sau của sự tự nhiên không có ứng dụng trong tính toán. Như ví dụ sau, có một số dãy số đơn giản liên quan đến logarit tự nhiên.

Pietro Mengoli

Nicholas Mercator

gọi nó là logarithmus naturalis trong vài thập kỷ trước khi

Isaac Newton

Gottfried Leibniz

phát triển phép tính.

Những định nghĩa[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

ln(x) được định nghĩa là diện tích dưới đường cong f(x)=1x{displaystyle f(x)={1 over x}} từ 1 đến x.

ln(x) được định nghĩa chính là diện tích dưới đường cong f (x) = 1x{displaystyle {1 over x}} từ 1 đến x, gần giống như

tích phân

.

ln⁡(a)=∫1a1xdx.{displaystyle ln(a)=int _{1}^{a}{frac {1}{x}},dx.}

Điều này định nghĩa một logarit vì nó đáp ứng các đặc tính cơ bản của một logarit:

ln⁡(ab)=ln⁡(a)+ln⁡(b){displaystyle ln(ab)=ln(a)+ln(b),!}

Điều này có thể được chứng minh bằng cách cho phép: t=xa{displaystyle t={tfrac {x}{a}}} như sau:

ln⁡(ab)=∫1ab1xdx=∫1a1xdx+∫aab1xdx=∫1a1xdx+∫1b1tdt=ln⁡(a)+ln⁡(b){displaystyle ln(ab)=int _{1}^{ab}{frac {1}{x}};dx=int _{1}^{a}{frac {1}{x}};dx;+int _{a}^{ab}{frac {1}{x}};dx=int _{1}^{a}{frac {1}{x}};dx;+int _{1}^{b}{frac {1}{t}};dt=ln(a)+ln(b)}

Số e

sau đó được định nghĩa là số thực duy nhất để ln(a) = 1.

Ngoài ra, nếu

hàm số mũ

được định nghĩa bằng cách sử dụng

chuỗi vô hạn

, thì logarit tự nhiên được định nghĩa là

hàm ngược

của nó, tức ln là hàm số sao cho eln⁡(x)=x{displaystyle e^{ln(x)}=x!}. Vì phạm vi của hàm mũ trên những đối số thực là tất cả các số thực dương và vì hàm số mũ là hàm luôn tăng, nên hàm log được xác định cho tất cả số dương x.

Tính chất[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • ln⁡(1)=0{displaystyle ln(1)=0,}
  • ln⁡(−1)=iπ{displaystyle ln(-1)=ipi quad ,}
  • ln⁡(x)<ln⁡(y),0<x<y{displaystyle ln(x)<ln(y)quad {rm {,}}quad 0<x<y;}
  • h1+h≤ln⁡(1+h)≤h,h>−1{displaystyle {frac {h}{1+h}}leq ln(1+h)leq hquad {rm {,}}quad h>-1;}
  • limx→0ln⁡(1+x)x=1{displaystyle lim _{xto 0}{frac {ln(1+x)}{x}}=1,}

Xem thêm: Sóng điện từ là gì-Phukienmattroi

Logarit tự nhiên trong giải tích[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Logarit tự nhiên thừa nhận

hàm số

của

giải tích

đơn giản theo dạng: g(x) = f ‘(x)/f(x): một nguyên hàm của g(x) được cho bởi ln(|f(x)|). Đó là một trường hợp bởi vì những quy tắc của chuỗi và thực tế sau đây:

 ddx(ln⁡|x|)=1x{displaystyle {d over dx}left(ln left|xright|right)={1 over x}}

cách khác

1xdx=ln⁡|x|+C{displaystyle int {1 over x}dx=ln |x|+C}

f′(x)f(x)dx=ln⁡|f(x)|+C.{displaystyle int {{frac {f'(x)}{f(x)}},dx}=ln |f(x)|+C.}

Đây là một ví dụ trong trường hợp của g(x) = tan(x):

tan⁡(x)dx=∫sin⁡(x)cos⁡(x)dx{displaystyle int tan(x),dx=int {sin(x) over cos(x)},dx}
tan⁡(x)dx=∫ddxcos⁡(x)cos⁡(x)dx.{displaystyle int tan(x),dx=int {-{d over dx}cos(x) over {cos(x)}},dx.}

Đặt f(x) = cos(x) và f’(x)= – sin(x):

tan⁡(x)dx=−ln⁡|cos⁡(x)|+C{displaystyle int tan(x),dx=-ln {left|cos(x)right|}+C}
tan⁡(x)dx=ln⁡|sec⁡(x)|+C{displaystyle int tan(x),dx=ln {left|sec(x)right|}+C}

với C là một

hằng số tùy ý của tích phân

.

Logarit tự nhiên có thể được tích hợp bằng cách sử dụng

tích phân của các bộ phận

:

ln⁡(x)dx=xln⁡(x)−x+C.{displaystyle int ln(x),dx=xln(x)-x+C.}

Giá trị số[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Để tính giá trị số logarit tự nhiên của một số, dãy số Taylor mở rộng có thể được viết lại như sau:

ln⁡(1+x)=x(11−x(12−x(13−x(14−x(15−)))))for|x|<1.{displaystyle ln(1+x)=x,left({frac {1}{1}}-x,left({frac {1}{2}}-x,left({frac {1}{3}}-x,left({frac {1}{4}}-x,left({frac {1}{5}}-cdots right)right)right)right)right)quad {rm {for}}quad left|xright|<1.,!}

Để đạt được tốc độ tốt hơn của độ hội tụ, tính đồng nhất sau đây có thể được sử dụng:

ln⁡(x)=ln⁡(1+y1−y){displaystyle ln(x)=ln left({frac {1+y}{1-y}}right)} =2y(11+13y2+15y4+17y6+19y8+⋯){displaystyle =2,y,left({frac {1}{1}}+{frac {1}{3}}y^{2}+{frac {1}{5}}y^{4}+{frac {1}{7}}y^{6}+{frac {1}{9}}y^{8}+cdots right)}
=2y(11+y2(13+y2(15+y2(17+y2(19+⋯))))){displaystyle =2,y,left({frac {1}{1}}+y^{2},left({frac {1}{3}}+y^{2},left({frac {1}{5}}+y^{2},left({frac {1}{7}}+y^{2},left({frac {1}{9}}+cdots right)right)right)right)right)}

với y=x−1x+1{displaystyle y={x-1 over x+1}} và x>0

Cho ln(x) vào x>1, giá trị của x càng gần 1, tốc độ của sự hội tụ càng nhanh. Những sự đồng nhất kết hợp với logarit tự nhiên có thể được đẩy lên để khai thác điều này:

ln⁡(123.456){displaystyle ln(123.456)!} =ln⁡(1.23456×102){displaystyle =ln(1.23456times 10^{2}),!}
=ln⁡(1.23456)+ln⁡(102){displaystyle =ln(1.23456)+ln(10^{2}),!}
=ln⁡(1.23456)+2×ln⁡(10){displaystyle =ln(1.23456)+2times ln(10),!}
ln⁡(1.23456)+2×2.3025851{displaystyle approx ln(1.23456)+2times 2.3025851,!}

Kỹ thuật này đã được sử dụng trước

máy tính

, bằng cách tham khảo bảng số và thực hiện các thao tác như trên.

Độ chính xác cao[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Để tính logarit tự nhiên với nhiều chữ số chính xác, hướng tiếp cận của dãy số Taylor không có hiệu quả vì sự hội tụ rất chậm. Vì vậy, các nhà toán học đã thay thế hướng này và sử dụng phương pháp

Newton

để đảo ngược hàm mũ để có sự hội tụ của dãy nhanh hơn.

Cách tính khác cho kết quả có độ chính xác khá cao là công thức:

ln⁡x≈π2M(1,4/s)−mln⁡2{displaystyle ln xapprox {frac {pi }{2M(1,4/s)}}-mln 2}

với M là dãy truy hồi giữa

trung bình cộng

trung bình nhân

của 1 và 4/s và:

s=x2m>2p/2,{displaystyle s=x,2^{m}>2^{p/2},}

với m được chọn sao cho p đạt đến sự chính xác. (Đối với hầu hết các kết quả, giá trị 8 của m là đúng.) Trong thực tế, nếu phương pháp này được sử dụng, phép nghịch đảo

Newton

đối với logarit tự nhiên có thể được tính toán

hàm mũ

có hiệu quả. (Hằng số ln2 và

pi

có thể được tính toán trước với độ chính xác mong muốn để sử dụng nhiều

dãy số

cho trước một cách nhanh chóng.)

Xem thêm: Hiểu đúng về “tính đòn bẩy” của Chứng quyền có bảo đảm

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • John Napier

    – nhà phát minh ra logarit

  • Logarit

  • hàm số

  • số e

  • Nicholas Mercator

    – người đầu tiên sử dụng thuật ngữ lôgarit tự nhiên

  • Leonhard Euler

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BetterExplained

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Logarit_tự_nhiên&oldid=64024374

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button