Kiến thức

Mặt tròn xoay – Wikipedia tiếng Việt

Mặt tròn xoay

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Mặt tạo bởi quay một phần của đường cong x = 2 + cos z xung quanh trục z.

Một mặt tròn xoay là một

bề mặt

trong

không gian Euclid

tạo bằng cách quay một

đường cong

(đường sinh) xung quanh một

trục cố định

.

[1]

Ví dụ các mặt tròn xoay tạo từ một

đường thẳng

bao gồm

hình trụ tròn

mặt nón

phụ thuộc vào đường thẳng đó có song song với trục quay hay không. Khi quay một

đường tròn

xung quanh một

đường kính

của nó thu được một

mặt cầu

mà đường tròn chính là

đường tròn lớn

của nó, và nếu quay đường tròn xung quanh một trục nằm bên ngoài nó thì sẽ thu được

mặt xuyến

không tự cắt chính nó (hay còn gọi là

vòng xuyến

).

Các tính chất[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Giao tuyến của mặt phẳng đi qua trục quay của mặt tròn xoay gọi là tiết diện kinh tuyến (meridional sections). Bất kỳ tiết diện kinh tuyến nào cũng được coi là phần tử sinh trong mặt phẳng xác định bởi tiết diện và trục quay.

[2]

Giao tuyến của mặt phẳng vuông góc với trục quay và mặt tròn xoay là các đường tròn.

Một số trường hợp đặc biệt như

hypeboloit

(hyperboloid) (một phần hay hai phần) và

elip paraboloit

(elliptic paraboloid) là những mặt tròn xoay. Đây là những mặt bậc hai mà tiết diện vuông góc với trục quay là đường tròn.

Xem thêm: tự động gửi bảng lương cá nhân?-Mạng xã hội Webketoan

Công thức tính diện tích[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Quay một đường cong xung quanh một trục cho ra mặt tròn xoay.

Nếu một đường cong xác định bằng

phương trình tham số

x(t), y(t), với t xác định trên đoạn [a,b], và trục tròn xoay là trục y, thì diện tích của mặt Ay xác định bằng

tích phân

Ay=2πabx(t)(dxdt)2+(dydt)2dt,{displaystyle A_{y}=2pi int _{a}^{b}x(t),{sqrt {left({dx over dt}right)^{2}+left({dy over dt}right)^{2}}},dt,}

cho thấy x(t) luôn không âm giữa hai điểm a and b. Công thức này có dạng tương đương với

định lý trọng tâm Pappus

(Pappus’s centroid theorem).

[3]

Đại lượng

(dxdt)2+(dydt)2{displaystyle {sqrt {left({dx over dt}right)^{2}+left({dy over dt}right)^{2}}}}

xuất phát từ

định lý Pythagore

và đại diện cho một đoạn nhỏ của cung của đường cong, giống như trong công thức

độ dài cung

. Đại lượng x(t) là quỹ đạo của trọng tâm của đoạn nhỏ này, như đòi hỏi bởi định lý Pappus.

Tương tự, khi trục quay là trục x và cho thấy hàm y(t) luôn không âm, diện tích mặt tròn xoay được tính bằng

[4]

Ax=2πaby(t)(dxdt)2+(dydt)2dt.{displaystyle A_{x}=2pi int _{a}^{b}y(t),{sqrt {left({dx over dt}right)^{2}+left({dy over dt}right)^{2}}},dt.}

Nếu đường cong được miêu tả bằng hàm y = f(x), axb, thì tích phân trở thành

Ax=2πaby1+(dydx)2dx=2πabf(x)1+(f′(x))2dx{displaystyle A_{x}=2pi int _{a}^{b}y{sqrt {1+left({frac {dy}{dx}}right)^{2}}},dx=2pi int _{a}^{b}f(x){sqrt {1+{big (}f'(x){big )}^{2}}},dx}

đối với trục xoay là trục x

Ay=2πabx1+(dxdy)2dy{displaystyle A_{y}=2pi int _{a}^{b}x{sqrt {1+left({frac {dx}{dy}}right)^{2}}},dy}

đối với trục xoay là trục y (sử dụng ayb). Các công thức này được rút ra từ công thức ở trên.

Ví dụ,

mặt cầu

bán kính đơn vị có đường sinh là đường cong xác định bởi tham số y(t) = sin(t), x(t) = cos(t), khi t thuộc đoạn [0,π]. Diện tích bề mặt của nó bằng

A=2πsin⁡(t)(cos⁡(t))2+(sin⁡(t))2dt=2πsin⁡(t)dt=4π.{displaystyle {begin{aligned}A&{}=2pi int _{0}^{pi }sin(t){sqrt {{big (}cos(t){big )}^{2}+{big (}sin(t){big )}^{2}}},dt\&{}=2pi int _{0}^{pi }sin(t),dt\&{}=4pi .end{aligned}}}

Đối với trường hợp mặt cầu bán kính r, phương trình đường cong y(x) = r2x2 quay xung quanh trục x

A=2πrrr2−x21+x2r2−x2dx=2πr∫rrr2−x21r2−x2dx=2πr∫rrdx=4πr2{displaystyle {begin{aligned}A&{}=2pi int _{-r}^{r}{sqrt {r^{2}-x^{2}}},{sqrt {1+{frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}},dx\&{}=2pi rint _{-r}^{r},{sqrt {r^{2}-x^{2}}},{sqrt {frac {1}{r^{2}-x^{2}}}},dx\&{}=2pi rint _{-r}^{r},dx\&{}=4pi r^{2},end{aligned}}}

Mặt tròn xoay cực tiểu

là mặt tròn xoay của đường cong đi qua hai điểm cho trước mà

diện tích bề mặt

của nó là

cực tiểu

.

[5]

Một vấn đề cơ bản trong

phép tính biến phân

đó là tìm đường cong giữa hai điểm cho trước mà tạo ra mặt tròn xoay cực tiểu.

[5]

Chỉ tồn tại có hai mặt tròn xoay cực tiểu đó là

mặt phẳng

mặt catinoit

(catenoid, mặt có đường sinh là đường dây xích (catenary)).

[6]

Quay một hàm số[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Để tạo ra một mặt tròn xoay từ hàm số y = f(x), thực hiện bằng cách tham số hóa u hàm số đó, và đặt trục quay của hàm số là trục u, sau đó sử dụng v để quay hàm xung quanh trục bằng cách đặt hai hàm số khác bằng f(u) sin vf(u) cos v. Ví dụ, để quay hàm số y = f(x) xung quanh trục x bắt đầu từ phía trên mặt phẳng xz, viết tham số hóa của nó bằng

r→(u,v)=⟨u,f(u)sin⁡v,f(u)cos⁡v⟩{displaystyle {vec {r}}(u,v)=langle u,f(u)sin v,f(u)cos vrangle }

với u = x and v ∈ [0,2π].

Đường trắc địa trên một mặt tròn xoay[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Kinh tuyến

trên mặt tròn xoay luôn luôn là đường trắc địa của mặt này. Các đường trắc địa khác bị chi phối bởi

liên hệ Clairaut

.

[7]

Xem thêm: [2019] Một số câu hỏi thường gặp về kỳ thi Đánh giá năng lực (ĐGNL) tại ĐHQG

Hình phỏng xuyến[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hình phỏng xuyến sinh từ một hình vuông.

Một mặt tròn xoay có lỗ ở bên trong và trục xoay không cắt bề mặt của nó, được gọi là hình phỏng xuyến (toroid).

[8]

Ví dụ, khi quay một hình chữ nhật quanh một trục song song với 1 cạnh của nó thì sẽ thu được hình phỏng xuyến có tiết diện là hình chữ nhật. Nếu xoay một

đường tròn

, thì sẽ thu được

hình xuyến

(torus).

Ứng dụng của mặt tròn xoay[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Mặt tròn xoay và các tính chất của nó được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực

vật lý

kỹ thuật

. Khi một đối tượng hình học được thiết kế bằng máy tính, từ các mặt tròn xoay có thể xác định được diện tích bề mặt mà không cần sử dụng đến đo độ dài và bán kính của vật được thiết kế.

Xem thêm: Số phức là gì? Giải thích dễ hiểu về số phức

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Mặt kênh

    (Channel surface, một dạng tổng quát hóa của mặt tròn xoay)

  • Sừng Gabriel

  • Mặt Liouville

    , một mặt tổng quát hóa khác của mặt tròn xoay

  • Khối tròn xoay

  • Tích phân mặt

  • Helicoit tổng quát

    (Generalized helicoid)

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    Middlemiss; Marks; Smart. “15-4. Surfaces of Revolution”. Analytic Geometry (ấn bản 3). tr. 378.

    LCCN

     

    68015472

    .

  2. ^

    Wilson, W.A.; Tracey, J.I. (1925), Analytic Geometry , D.C. Heath and Co., tr. 227

  3. ^

    Thomas, George B. “6.7: Area of a Surface of Revolution; 6.11: The Theorems of Pappus”. Calculus (ấn bản 3). tr. 206–209, 217–219.

    LCCN

     

    69016407

    .

  4. ^

    Singh, R.R. (1993).

    Engineering Mathematics

    (ấn bản 6). Tata McGraw-Hill. tr. 6.90.

    ISBN

     

    0-07-014615-2

    .

  5. ^

    a

    ă

    Weisstein, Eric W.

    , “

    Minimal Surface of Revolution

    ” từ

    MathWorld

    .

  6. ^

    Weisstein, Eric W.

    , “

    Catenoid

    ” từ

    MathWorld

    .

  7. ^

    Pressley, Andrew. “Chapter 9 – Geodesics.” Elementary Differential Geometry, 2nd ed., Springer, London, 2012, pp. 227–230.

  8. ^

    Weisstein, Eric W.

    , “

    Toroid

    ” từ

    MathWorld

    .

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Weisstein, Eric W.

    , “

    Surface of Revolution

    ” từ

    MathWorld

    .

  • “Surface de révolution”

    . Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (bằng tiếng Pháp).Quản lý CS1: ngôn ngữ không rõ (

    liên kết

    )

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Mặt_tròn_xoay&oldid=36756576

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button