Kiến thức

Nguyên hàm – Wikipedia tiếng Việt

Nguyên hàm

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Trong bộ môn

giải tích

, một nguyên hàm của một

hàm

số thực

cho trước f là một hàm F

đạo hàm

bằng f, nghĩa là, F′ = f. Quá trình tìm nguyên hàm được gọi là tích phân bất định. Tìm một biểu thức cho nguyên hàm là công việc khó hơn so với việc tìm đạo hàm, và không phải luôn luôn thực hiện được.

Tuy nhiên, bất kỳ hàm số liên tục trên đoạn hay khoảng từ giá trị a đến b, thì đều tồn tại nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn/khoảng từ a đến b nêu trên.

[1]

Nguyên hàm được liên hệ với

tích phân

thông qua

định lý cơ bản của giải tích

, cung cấp một phương tiện tiện lợi để tính toán tích phân của nhiều hàm số. Gg

Xem thêm: Chuyên đề hàm số bậc nhất

Định nghĩa[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của hàm số f trên K nếu F(x) khả vi trên KF’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Thí dụ:

(1) Hàm số f (x) = cos x có nguyên hàm là F (x) = sin x vì (sin x)’ = cos x (tức F ‘(x) = f (x)).

(2) Hàm số f (x) = ax có nguyên hàm là F(x) = axln⁡a{displaystyle {frac {a^{x}}{ln a}}}(axln⁡a)′{displaystyle left({frac {a^{x}}{ln a}}right)’} = ax.

Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K. Khi đó: với mỗi hằng số C, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f trên K và ngược lại với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K. Do đó ta thấy nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng F(x) + C với số thực C. Vậy F(x) + C với số thực C là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K. Kí hiệu: f(x)dx.{displaystyle int f(x),dx.}

Người ta chứng minh được mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

Tính chất[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Nếu fg là hai hàm số liên tục trên K thì

(1) [f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx{displaystyle int [f(x)+g(x)],dx=int f(x)dx+int g(x)dx}

(2) kf(x)dx=k∫f(x){displaystyle int kf(x)dx=kint f(x)}(với mọi số thực k khác 0).

Ví dụ: sin2⁡xdx=∫1−cos⁡2x2dx=12∫dx−12∫cos⁡2xdx=x2−sin⁡2×4+C{displaystyle int sin ^{2}x,dx=int {frac {1-cos 2x}{2}}dx={frac {1}{2}}int dx-{frac {1}{2}}int cos 2xdx={frac {x}{2}}-{frac {sin 2x}{4}}+C}.

Xem thêm: Acid Formic-Hóa chất Văn Cao

Ý nghĩa[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Các nguyên hàm có ý nghĩa quan trọng vì chúng được dùng để tính toán các

tích phân

, sử dụng

định lý cơ bản của giải tích

: nếu F là một nguyên hàm của f, thì:

abf(x)dx=F(b)−F(a).{displaystyle int limits _{a}^{b}f(x),dx=F(b)-F(a).}

Vì lý do này,

tập hợp

tất cả các nguyên hàm của một hàm f cho trước đôi khi được gọi là tích phân bất định của f và được ký hiệu bằng dấu tích phân, không có các cận:

f(x)dx.{displaystyle int f(x),dx.}

Nếu F là một nguyên hàm của f, và hàm f xác định trên một

khoảng

nào đó, thì mọi nguyên hàm G khác của f khác với F bởi một hằng số: tồn tại một số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x. Nếu tập xác định của F gồm hai hay nhiều khoảng, thì có thể chọn những hằng số khác nhau trên mỗi khoảng. Ví dụ

F(x)={−1x+C1x<0−1x+C2x>0{displaystyle F(x)={begin{cases}-{frac {1}{x}}+C_{1}quad x<0\-{frac {1}{x}}+C_{2}quad x>0end{cases}}}

là nguyên hàm tổng quát nhất của f(x)=1/x2{displaystyle f(x)=1/x^{2}} trên tập xác định (−,0)∪(0,∞).{displaystyle (-infty ,0)cup (0,infty ).} của nó.

Mọi

hàm liên tục

f đều có nguyên hàm.

Có nhiều hàm số có nguyên hàm nhưng không thể biểu diễn dưới dạng các

hàm sơ cấp

. Ví dụ:e−x2dx,∫sin⁡(x)xdx,∫1ln⁡xdx.{displaystyle int e^{-x^{2}},dx,qquad int {frac {sin(x)}{x}},dx,qquad int {frac {1}{ln x}},dx.}

Xin xem

lý thuyết vi phân Galois

để thảo luận chi tiết hơn.

Xem thêm: Cách giải phương trình bậc hai nhanh nhất-Học Toán lớp 9

Danh sách nguyên hàm của một số hàm số cơ bản, thường gặp[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Nguồn:

[2]

Tich phan co ban.png

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    Nguyễn Cam, Nguyễn Văn Phước, tr.184

  2. ^

    Nguyễn Cam, Nguyễn Văn Phước, tr. 185

  • Nguyễn Cam, Nguyễn Văn Phước. Phương pháp giải toán Giải tích 12 theo chương trình mới nhất (Tái bản lần 1). Nhà xuất bản Đại học sư phạm,, Hà Nội 2011.

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Nguyên_hàm&oldid=64909419

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button