Kiến thức

Phương trình – Wikipedia tiếng Việt

Đây là một bài viết cơ bản. Nhấn vào đây để biết thêm thông tin.

Phương trình

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Lần sử dụng đầu tiên của một dấu bằng, tương đương với 14x + 15 = 71 trong ký hiệu hiện đại. Xuất hiện trong

The Whetstone of Witte

của

Robert Recorde

xứ Wales (1557).

[1]

Trong

toán học

, phương trình là một phát biểu khẳng định sự

bằng nhau

của hai

biểu thức

. Phương trình trong các ngôn ngữ khác có thể có nhiều ý nghĩa khác nhau; ví dụ, trong

tiếng Pháp

, một équation được định nghĩa là chứa một hoặc nhiều

biến

, còn trong

tiếng Anh

bất kỳ sự đẳng thức nào đều là một equation.

[2]

Giải một phương trình

chứa biến là việc xác định giá trị nào của các biến làm cho đẳng thức trở nên đúng. Biến còn được gọi là ẩn số và các giá trị của ẩn số thỏa mãn được gọi là

nghiệm

của phương trình. Có hai loại phương trình:

đồng nhất thức

và phương trình có điều kiện. Một đồng nhất thức đúng cho tất cả các giá trị của biến. Phương trình có điều kiện chỉ đúng với các giá trị nhất định của các biến số, hoặc không đúng với giá trị nào.

[3]

[4]

Một phương trình được viết dưới dạng hai

biểu thức

, nối với nhau bằng

dấu bằng

(“=”). Các biểu thức ở hai

bên

của dấu bằng được gọi là “vế trái” và “vế phải” của phương trình.

Loại phương trình phổ biến nhất là

phương trình đại số

, trong đó hai vế là các

biểu thức đại số

. Mỗi bên của một phương trình đại số chứa một hoặc nhiều

số hạng

. Ví dụ, phương trình

Ax2+Bx+C=y{displaystyle Ax^{2}+Bx+C=y}

có vế trái là Ax2 + Bx + C với ba số hạng, và vế phải là y chỉ có một số hạng. Các ẩn số là xy, còn các tham số là A, B, C.

Một phương trình tương tự như một cái cân mà trọng lượng được đặt vào. Khi đặt một vật gì đó có trọng lượng bằng nhau (ví dụ như hạt) vào hai chảo, thì hai bên cân đó cân bằng và được cho là bằng nhau. Nếu một lượng hạt được lấy ra từ một chảo của cân thì một lượng hạt có trọng lượng tương đương phải được lấy ra khỏi chảo kia để giữ cho cân được cân bằng. Tương tự như vậy, để giữ cho một phương trình ở trạng thái cân bằng, các phép toán cộng, trừ, nhân và chia giống nhau phải được thực hiện trên cả hai vế của một phương trình để nó vẫn đúng.

Trong

hình học

, phương trình được sử dụng để mô tả các hình dạng khác nhau. Các phương trình được xem xét, chẳng hạn như

phương trình ẩn

hoặc

Phương trình tham số

, có vô số nghiệm, thay vì xác định cụ thể các nghiệm hoặc liệt kê chúng, người ta sử dụng phương trình để nghiên cứu tính chất của những hình dạng. Đây là ý tưởng khởi đầu của

hình học đại số

, một lĩnh vực quan trọng của toán học.

Đại số

nghiên cứu hai họ phương trình chính: phương trình

đa thức

và trường hợp đặc biệt,

phương trình tuyến tính

. Khi chỉ có một biến, phương trình đa thức có dạng P(x) = 0, trong đó P là một

đa thức

; còn phương trình tuyến tính có dạng ax + b = 0, trong đó ab là các

tham số

. Để giải các phương trình dạng này, người ta sử dụng các kỹ thuật hình học hoặc thuật toán bắt nguồn từ

giải tích

hoặc

đại số tuyến tính

. Đại số cũng nghiên cứu

phương trình Diophantine

trong đó các hệ số và nghiệm là các

số nguyên

. Có nhiều kỹ thuật khác nhau được sử dụng, chủ yếu đến từ

lý thuyết số

.

Phương trình vi phân

là phương trình liên quan đến một hoặc nhiều hàm và đạo hàm của chúng. Chúng được giải khi ta tìm được một biểu thức cho hàm không phụ thuộc vào đạo hàm của nó. Phương trình vi phân được sử dụng để mô hình hóa các quá trình liên quan đến tốc độ thay đổi của biến số và được sử dụng trong các lĩnh vực như

vật lý

,

hóa học

,

sinh học

kinh tế

.

Ký hiệu ”

=

“, xuất hiện trong mọi phương trình, được phát minh vào năm 1557 bởi

Robert Recorde

, người cho rằng không gì bằng nhau hơn hai đường thẳng song song có cùng độ dài.

[1]

Giới thiệu[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Bạn đang xem: Phương trình – Wikipedia tiếng Việt

Minh họa[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Minh họa một phương trình đơn giản; x, y, z là các số thực, tương tự như trọng số.

Một phương trình tương tự như

cái cân

, cân bằng hoặc chênh lệch.

Mỗi vế của phương trình tương ứng với một vế của sự cân bằng. Các đại lượng khác nhau có thể được đặt ở mỗi bên: nếu trọng lượng ở hai bên bằng nhau thì cái cân sẽ cân bằng, và tương tự như vậy thì cân bằng biểu thị số dư cũng là cân bằng (nếu không, thì cân bằng tương ứng với một

bất đẳng thức được

biểu thị bằng một

bất phương trình

).

Trong hình minh họa, x, yz là tất cả các đại lượng khác nhau (trong trường hợp này

là số thực

) được biểu diễn dưới dạng trọng số tròn và mỗi x, yz có trọng số khác nhau. Phép cộng tương ứng với việc thêm trọng lượng, trong khi phép trừ tương ứng với việc loại bỏ trọng lượng khỏi những gì đã có. Khi bình đẳng giữ nguyên, tổng trọng lượng của mỗi bên là như nhau.

Tham số và ẩn số[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Phương trình thường chứa các số hạng khác với ẩn số. Các thuật ngữ khác này, được giả định là đã biết, thường được gọi là hằng số, hệ số hoặc tham số.

Một ví dụ về phương trình bao gồm xy là ẩn số và tham số R

x2+y2=R2.{displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.}

Khi R được chọn có giá trị là 2 (R = 2), phương trình này sẽ được thấy, khi được phác thảo trong

hệ tọa độ Descartes

, là phương trình cho một đường tròn cụ thể có bán kính là 2. Do đó, phương trình với R không xác định là phương trình tổng quát của đường tròn.

Thông thường, các ẩn số được ký hiệu bằng các chữ cái ở cuối bảng chữ cái: x, y, z, w,…, trong khi các hệ số (tham số) được ký hiệu bằng các chữ cái ở đầu bảng: a, b, c, d,…. Ví dụ,

phương trình bậc hai

tổng quát thường được viết ax2 + bx + c = 0. Quá trình tìm nghiệm, hoặc, trong trường hợp tham số, biểu diễn ẩn số dưới dạng tham số được gọi là

giải phương trình

. Biểu thức của nghiệm như vậy diễn đạt bằng các thông số còn được gọi là nghiệm số.

Hệ phương trình

là một tập hợp các phương trình đồng thời, thường có một số ẩn số, mà các nghiệm chung được tìm kiếm. Do đó, một nghiệm của hệ phương trình là một tập hợp các giá trị cho mỗi ẩn số, chúng cùng nhau tạo thành một nghiệm cho mỗi phương trình trong hệ thống. Ví dụ, hệ phương trình:

3x+5y=25x+8y=3{displaystyle {begin{aligned}3x+5y&=2\5x+8y&=3end{aligned}}}

có nghiệm duy nhất x = −1; y = 1.

Đồng nhất thức[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Đồng nhất thức là một phương trình đúng với tất cả các giá trị có thể có của (các) biến mà nó chứa. Nhiều danh tính được biết đến trong đại số và giải tích. Trong quá trình giải một phương trình, một đồng nhất thức thường được sử dụng để đơn giản hóa một phương trình làm cho nó dễ giải hơn.

Trong đại số, một ví dụ về đồng nhất thức là

hiệu của hai bình phương

:

x2−y2=(x+y)(x−y){displaystyle x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)}

là đúng với mọi xy.

Lượng giác

là một lĩnh vực tồn tại nhiều đồng nhất thức; chúng rất hữu ích trong việc vận dụng hoặc giải

các phương trình lượng giác

. Hai trong số nhiều đồng nhất thức liên quan đến

hàm sin

côsin

là:

sin2⁡)+cos2⁡)=1{displaystyle sin ^{2}(theta )+cos ^{2}(theta )=1}

sin⁡(2θ)=2sin⁡)cos⁡){displaystyle sin(2theta )=2sin(theta )cos(theta )}

là đúng với mọi θ.

Ví dụ, để tìm giá trị của θ thỏa mãn phương trình:

3sin⁡)cos⁡)=1,{displaystyle 3sin(theta )cos(theta )=1,,}

trong đó θ được biết là giới hạn trong khoảng từ 0 đến 45 độ, chúng ta có thể sử dụng đồng nhất thức cho tích ở trên để tạo ra:

32sin⁡(2θ)=1,{displaystyle {frac {3}{2}}sin(2theta )=1,,}

cho kết quả

θ=12arcsin⁡(23)≈20.9∘.{displaystyle theta ={frac {1}{2}}arcsin left({frac {2}{3}}right)approx 20.9^{circ }.}

Vì hàm sin là một

hàm tuần hoàn

nên có vô số nghiệm nếu không có giới hạn nào trên cho θ. Trong ví dụ này, giới hạn θ nằm trong khoảng từ 0 đến 45 độ ngụ ý rằng chỉ có một nghiệm duy nhất.

Thuộc tính[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hai phương trình hoặc hai hệ phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. Các phép toán sau đây biến một phương trình hoặc một hệ phương trình thành một phương trình tương đương – với điều kiện là các phép toán đó có ý nghĩa đối với các biểu thức mà chúng được áp dụng:

  • Cộng

    ,

    trừ

    ,

    nhân

    ,

    chia

    cả hai vế với cùng một số với điều kiện phép nhân và chia cùng một số khác 0 và không chứa ĐKXĐ.

  • Bậc của phương trình là bậc của các

    đa thức

    , ở phương trình (4) thì nó là

    phương trình bậc II

    .

  • Rút gọn phương trình về tối giản tương tự như rút gọn đa thức không vi phạm ĐKXĐ.
  • Căn bậc n hoặc nâng

    lũy thừa

    bậc n nếu các đa thức đều không âm hoặc cùng âm và không vi phạm ĐKXĐ.

  • Các nghiệm phải thỏa mãn ĐKXĐ và làm 2 vế phương trình bằng nhau.

Nếu một số

hàm

được áp dụng cho cả hai vế của một phương trình, thì phương trình thu được có các nghiệm của phương trình ban đầu trong số các nghiệm của nó, nhưng có thể có các nghiệm khác được gọi là các nghiệm

không liên quan

. Ví dụ, phương trình x=1{displaystyle x=1} có nghiệm x=1.{displaystyle x=1.} Nâng cả hai vế lên số mũ của 2 (có nghĩa là áp dụng hàm f(s)=s2{displaystyle f(s)=s^{2}} về cả hai vế của phương trình) thay đổi phương trình thành x2=1{displaystyle x^{2}=1}, không chỉ có nghiệm trước đó mà còn tạo ra nghiệm không liên quan, x=−1.{displaystyle x=-1.} Hơn nữa, nếu hàm không được xác định tại một số giá trị (chẳng hạn như 1/x, không được xác định cho x = 0), các nghiệm tồn tại tại các giá trị đó có thể bị mất. Vì vậy, cần phải thận trọng khi áp dụng một phép biến đổi như vậy cho một phương trình.

Các phép biến đổi trên là cơ sở của hầu hết các phương pháp cơ bản để giải phương trình cũng như một số phương pháp ít cơ bản hơn, như phương pháp

khử Gauss

.

Đại số[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Xem thêm: Lý thuyết + Bài tập: Mạch điện xoay chiều 3 pha-Chăm Học Bài

Phương trình đa thức[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Các nghiệm –1 và 2 của phương trình đa thức x2x + 2 = 0 là các điểm

đồ thị

của

hàm bậc hai

y = x2x + 2 cắt trục x.

Nói chung, một phương trình đại số hoặc

phương trình đa thức

là một phương trình có dạng

P=0{displaystyle P=0}

hoặc

P=Q{displaystyle P=Q}

trong đó PQ là các

đa thức

với hệ số trong một số tập hợp số nào đó (

số thực

,

số phức

, v.v.), thường là tập hợp các

số hữu tỉ

. Một phương trình đại số là đơn biến nếu nó chỉ chứa một

biến

. Mặt khác, một phương trình đa thức có thể bao gồm một số biến, trong trường hợp đó nó được gọi là đa biến (nhiều biến, x, y, z, v.v.). Thuật ngữ phương trình đa thức thường được ưu tiên hơn phương trình đại số.

Ví dụ,

x5−3x+1=0{displaystyle x^{5}-3x+1=0}

là một phương trình đại số (đa thức) đơn biến với các hệ số nguyên và

y4+xy2=x33−xy2+y2−17{displaystyle y^{4}+{frac {xy}{2}}={frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{frac {1}{7}}}

là một phương trình đa thức nhiều biến trên trường các số hữu tỉ.

Một số nhưng không phải tất cả các phương trình đa thức với

hệ số hữu tỉ

đều có nghiệm là

biểu thức đại số

với một số hữu hạn các phép toán chỉ liên quan đến các hệ số đó (nghĩa là nó có thể được

giải bằng đại số

). Điều này có thể được thực hiện cho tất cả các phương trình

cấp

một, hai, ba hoặc bốn; nhưng đối với bậc năm trở lên, nó có thể được giải cho một số phương trình, nhưng, như

định lý Abel-Ruffini

chứng minh, không phải cho tất cả. Một lượng lớn nghiên cứu đã được dành để tính toán các giá trị gần đúng chính xác hiệu quả của các nghiệm

thực

hoặc nghiệm

phức

của một phương trình đại số đơn biến (xem phần

Tìm nghiệm nguyên của đa thức

) và các nghiệm chung của một số phương trình đa thức nhiều biến (xem

Hệ phương trình đa thức

).

Hệ phương trình tuyến tính[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cửu chương toán thuật

là một cuốn sách ẩn danh của Trung Quốc đề xuất phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính.

Hệ phương trình tuyến tính

(hay hệ tuyến tính) là một tập hợp các

phương trình tuyến tính

liên quan đến cùng một tập các

biến

.

[a]

Ví dụ:

3x+2y−z=12x−2y+4z=−2−x+12y−z=0{displaystyle {begin{alignedat}{7}3x&&;+;&&2y&&;-;&&z&&;=;&&1&\2x&&;-;&&2y&&;+;&&4z&&;=;&&-2&\-x&&;+;&&{tfrac {1}{2}}y&&;-;&&z&&;=;&&0&end{alignedat}}}

là một hệ ba phương trình theo ba biến x, y, z. Một nghiệm số cho một hệ thống tuyến tính là một phép gán các số cho các biến sao cho tất cả các phương trình được thỏa mãn đồng thời. Một

nghiệm số

cho hệ phương trình trên là

x=1y=−2z=−2{displaystyle {begin{alignedat}{2}x&,=,&1\y&,=,&-2\z&,=,&-2end{alignedat}}}

vì nó làm cho cả ba phương trình cùng đúng. Từ “hệ” chỉ ra rằng các phương trình được xem xét chung, thay vì riêng lẻ.

Trong toán học, lý thuyết về hệ tuyến tính là cơ sở và là một phần cơ bản của

đại số tuyến tính

, một chủ đề được sử dụng trong hầu hết các phần của toán học hiện đại. Các

thuật toán

tính

toán

để tìm ra lời giải là một phần quan trọng của

đại số tuyến tính số

và đóng một vai trò nổi bật trong

vật lý

,

kỹ thuật

,

hóa học

,

khoa học máy tính

kinh tế

. Một

hệ phương trình phi tuyến tính

thường có thể được

xấp xỉ

bằng một hệ thống tuyến tính (xem

tuyến tính hóa

), một kỹ thuật hữu ích khi tạo

mô hình toán học

hoặc

mô phỏng máy tính

của một hệ thống tương đối phức tạp.

Hình học[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hình học giải tích[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Đường conic

là giao tuyến của mặt phẳng và mặt nón.

Trong

hình học Euclide

, có thể liên kết một tập hợp các tọa độ với mỗi điểm trong không gian, ví dụ bằng một lưới trực giao. Phương pháp này cho phép người ta mô tả các hình hình học bằng các phương trình. Một mặt phẳng trong không gian ba chiều có thể được biểu diễn dưới dạng tập nghiệm của một phương trình có dạng ax+by+cz+d=0{displaystyle ax+by+cz+d=0}, Ở đâu a,b,c{displaystyle a,b,c}d{displaystyle d} là số thực và x,y,z{displaystyle x,y,z} là các ẩn số tương ứng với tọa độ của một điểm trong hệ được cho bởi lưới trực giao. Giá trị a,b,c{displaystyle a,b,c} là tọa độ của một vectơ vuông góc với mặt phẳng được xác định bởi phương trình. Một đường được biểu thị là giao của hai mặt phẳng, đó là tập nghiệm của một phương trình tuyến tính duy nhất với các giá trị trong R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}} hoặc dưới dạng tập nghiệm của hai phương trình tuyến tính với các giá trị trong R3.{displaystyle mathbb {R} ^{3}.}

Đường conic

là tập hợp các giao điểm của một

mặt nón

có phương trình x2+y2=z2{displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}} và một mặt phẳng. Nói cách khác, trong không gian, mọi hình nón được định nghĩa là tập nghiệm của phương trình mặt phẳng và phương trình của hình nón vừa cho. Chủ nghĩa hình thức này cho phép người ta xác định vị trí và thuộc tính của trọng tâm trong một đường conic.

Việc sử dụng các phương trình cho phép người ta sử dụng một lĩnh vực toán học rộng lớn để giải các câu hỏi hình học. Hệ

tọa độ Descartes

biến một bài toán hình học thành một bài toán phân tích, một khi các hình được biến đổi thành phương trình; do đó tên

hình học giải tích

. Quan điểm này do

Descartes

nêu ra đã làm phong phú và sửa đổi loại hình học được các nhà toán học Hy Lạp cổ đại hình thành.

Hiện nay, hình học giải tích chỉ định một nhánh hoạt động của toán học. Mặc dù nó vẫn sử dụng các phương trình để mô tả các số liệu, nó cũng sử dụng các kỹ thuật phức tạp khác như

giải tích hàm

đại số tuyến tính

.

Xem thêm: Đột Quỵ (Stroke)-Family Caregiver Alliance

Phương trình Descartes[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Một

hệ tọa độ Descartes

là một

hệ tọa độ

mà quy định cụ thể từng

điểm

duy nhất trong một

mặt phẳng

bởi một cặp

số

tọa độ, đó là những khoảng cách có dấu từ điểm đến hai trục cố định

vuông góc với nhau

, được đánh dấu bằng cách sử dụng cùng một

vector đơn vị chiều dài.

Người ta có thể sử dụng cùng một nguyên tắc để xác định vị trí của bất kỳ điểm nào trong

không gian

ba

chiều

bằng cách sử dụng ba tọa độ Descartes, là những khoảng cách có dấu đến ba mặt phẳng vuông góc với nhau (hoặc tương đương, bằng phép chiếu vuông góc của nó lên ba đường vuông góc với nhau).

Hệ tọa độ Descartes với đường tròn bán kính là 2 với tâm ở gốc được đánh dấu màu đỏ. Phương trình của đường tròn là (xa)2 + (yb)2 = r2 trong đó ab là tọa độ của tâm (a, b)r là bán kính.

Việc phát minh ra hệ tọa độ Descartes vào thế kỷ 17do

René Descartes

(tên

Latinh

: Cartesius) đã cách mạng hóa toán học bằng cách cung cấp mối liên hệ có hệ thống đầu tiên giữa

hình học Euclid

đại số

. Sử dụng hệ tọa độ Descartes, các hình dạng hình học (chẳng hạn như

đường cong

) có thể được mô tả bằng phương trình Descartes: phương trình đại số liên quan đến tọa độ của các điểm nằm trên hình dạng. Ví dụ, một đường tròn bán kính 2 trong một mặt phẳng, có tâm tại một điểm cụ thể được gọi là điểm gốc, có thể được mô tả là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ xy thỏa mãn phương trình x2 + y2 = 4.

Phương trình tham số[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Phương trình tham số

cho

đường cong

biểu thị

tọa độ

của các điểm trên đường cong dưới dạng hàm của một

biến số

, được gọi là

tham số

.

[5]

[6]

Ví dụ,

x=cos⁡ty=sin⁡t{displaystyle {begin{aligned}x&=cos t\y&=sin tend{aligned}}}

là phương trình tham số của đường

tròn đơn vị

, trong đó t là tham số. Cùng với nhau, những phương trình này được gọi là biểu diễn tham số của đường cong.

Khái niệm về phương trình tham số đã được tổng quát hóa cho

các bề mặt

,

đa tạp

và các

dạng

đại số

số chiều

cao hơn, với số lượng tham số bằng thứ nguyên của đa tạp hoặc đa dạng, và số phương trình bằng thứ nguyên của không gian trong đó đa tạp hoặc đa dạng được xem xét (đối với đường cong, kích thước là mộtmột tham số được sử dụng, đối với bề mặt có kích thước haihai tham số, v.v.).

Lý thuyết số[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Phương trình Diophantine[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Một phương trình Diophantine là một

phương trình đa thức

trong hai hay nhiều ẩn số mà chỉ cần quan tâm đến các

nghiệm

là các

số nguyên

(một nghiệm số nguyên là một nghiệm mà tất cả các ẩn số là các số nguyên). Phương trình Diophantine tuyến tính là một phương trình giữa hai tổng

đơn thức

bậc không hoặc bậc nhất. Một ví dụ về phương trình Diophantine tuyến tínhax + by = c trong đó a, bc là các hằng số. Phương trình Diophantine hàm mũ là một phương trình mà số mũ của các số hạng của phương trình có thể là ẩn số.

Các bài toán Diophantine có ít phương trình hơn các biến chưa biết và liên quan đến việc tìm số nguyên cho kết quả chính xác cho tất cả các phương trình. Trong ngôn ngữ kỹ thuật hơn, các nghiệm này xác định một

đường cong đại số

,

bề mặt đại số

hoặc đối tượng tổng quát hơn, và hỏi về các

điểm lưới

trên đó.

Từ Diophantine dùng để chỉ

nhà toán học Hy Lạp

ở thế kỷ thứ 3,

Diophantus

Alexandria

, người đã nghiên cứu các phương trình như vậy và là một trong những nhà toán học đầu tiên đưa

chủ nghĩa ký hiệu

vào

đại số

. Nghiên cứu toán học về các vấn đề Diophantine mà Diophantus khởi xướng hiện nay được gọi là giải tích Diophantine.

Xem thêm: Hướng dẫn 4 cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong excel

Đại số và số siêu việt[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Một

số đại số

là một số mà là nghiệm của một phương trình đa thức khác 0 một biến với các hệ số hữu tỉ (hoặc tương đương – bằng cách xóa các mẫu số – với các hệ số nguyên). Các số như

pi

không phải là đại số được gọi là

số siêu việt

. Hầu hết tất cả các

số thực

số phức

đều là các số siêu việt.

Hình học đại số[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hình học đại số

là một nhánh của

toán học

, nghiên cứu một cách cổ điển các nghiệm của

phương trình đa thức

. Hình học đại số hiện đại dựa trên các kỹ thuật trừu tượng hơn của

đại số trừu tượng

, đặc biệt là

đại số giao hoán

, với ngôn ngữ và các vấn đề của

hình học

.

Đối tượng nghiên cứu cơ bản của hình học đại số là

các dạng đại số

, là các biểu hiện hình học của

các nghiệm

của

hệ phương trình đa thức

. Ví dụ về các lớp đa dạng đại số được nghiên cứu nhiều nhất là:

đường cong đại số phẳng

, bao gồm

đường thẳng

,

đường

tròn

,

parabol

,

hình elip

,

hypebol

,

đường cong hình khối

như

đường cong elliptic

và đường cong

tứ phương

như hình

chanh

, và

hình bầu dục Cassini

. Một điểm của mặt phẳng thuộc một đường cong đại số nếu tọa độ của nó thỏa mãn một phương trình đa thức đã cho. Các câu hỏi cơ bản liên quan đến việc nghiên cứu các điểm quan tâm đặc biệt như

điểm kỳ dị

,

điểm uốn

điểm ở vô cùng

. Các câu hỏi nâng cao hơn liên quan đến

cấu trúc liên kết

của đường cong và quan hệ giữa các đường cong được cho bởi các phương trình khác nhau.

Phương trình vi phân[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Một

hình hấp dẫn kỳ lạ

, phát sinh khi giải một

phương trình vi phân

nhất định

Phương trình vi phân

là một phương trình

toán học

liên hệ một số

hàm

với các

đạo hàm

của nó. Trong các ứng dụng, các hàm thường đại diện cho các đại lượng vật lý, các đạo hàm đại diện cho tốc độ thay đổi của chúng và phương trình xác định mối quan hệ giữa hai hàm. Bởi vì các mối quan hệ như vậy là rất phổ biến, phương trình vi phân đóng một vai trò quan trọng trong nhiều ngành bao gồm

vật lý

,

kỹ thuật

,

kinh tế

sinh học

.

Trong

toán học thuần túy

, phương trình vi phân được nghiên cứu từ nhiều khía cạnh khác nhau, chủ yếu quan tâm đến nghiệm của chúng – tập các hàm thỏa mãn phương trình. Chỉ những phương trình vi phân đơn giản nhất mới có thể giải được bằng công thức tường minh; tuy nhiên, một số tính chất của nghiệm của một phương trình vi phân đã cho có thể được xác định mà không cần tìm dạng chính xác của chúng.

Nếu không có công thức riêng cho giải pháp, thì lời giải có thể được tính gần đúng về mặt số học bằng máy tính. Lý thuyết

hệ động lực

tập trung vào phân tích định tính các hệ được mô tả bằng phương trình vi phân, trong khi nhiều

phương pháp số

đã được phát triển để xác định các nghiệm với một mức độ chính xác nhất định.

Phương trình vi phân thường[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Một

phương trình vi phân thông thường

hoặc ODE là một phương trình chứa một hàm của một

biến độc lập

và các đạo hàm của nó. Thuật ngữ ” thông thường ” được sử dụng trái ngược với thuật ngữ

phương trình vi phân riêng phần

, có thể liên quan đến nhiều hơn một biến độc lập.

Phương trình vi phân tuyến tính, có các nghiệm có thể được thêm và nhân với hệ số, được xác định và hiểu rõ, đồng thời thu được các nghiệm dạng đóng chính xác. Ngược lại, các ODE thiếu các giải pháp cộng là phi tuyến tính và việc giải chúng phức tạp hơn nhiều, vì người ta hiếm khi có thể biểu diễn chúng bằng

các hàm cơ bản

ở dạng đóng: Thay vào đó, các giải pháp chính xác và giải tích của ODE ở dạng chuỗi hoặc tích phân. Các phương pháp đồ thị và

số

, được áp dụng bằng tay hoặc bằng máy tính, có thể ước tính các giải pháp của ODE và có thể mang lại thông tin hữu ích, thường chỉ đủ trong trường hợp không có các nghiệm số tích phân chính xác.

Phương trình vi phân riêng phần[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Phương trình đạo hàm riêng

(PDE) là một

phương trình vi phân

có chứa các

hàm nhiều biến

chưa biết và các

đạo hàm riêng của chúng

. (Điều này trái ngược với

các phương trình vi phân thông thường

, xử lý các hàm của một biến duy nhất và các đạo hàm của chúng.) PDE được sử dụng để xây dựng các vấn đề liên quan đến các hàm của một số biến và được giải quyết bằng tay hoặc được sử dụng để tạo ra một

mô hình máy tính

có liên quan.

PDE có thể được sử dụng để mô tả một loạt các hiện tượng như

âm thanh

,

nhiệt

,

tĩnh điện

,

điện động lực học

,

dòng chất lỏng

,

độ đàn hồi

, hoặc

cơ học lượng tử

. Các hiện tượng vật lý có vẻ khác biệt này có thể được hình thức hóa tương tự về mặt PDE. Cũng giống như phương trình vi phân thông thường thường mô hình

hệ động lực

một chiều, phương trình đạo hàm riêng thường mô hình

hệ thống nhiều chiều

. PDE tìm thấy tổng quát của chúng trong

các phương trình vi phân riêng ngẫu nhiên

.

Các loại phương trình[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Các phương trình có thể được phân loại theo các loại hoạt động và số lượng liên quan. Các loại quan trọng bao gồm:

  • Một 

    phương trình đại số

     hay đa thức phương trình là một phương trình mà trong đó cả hai bên đều đa thức (xem thêm 

    hệ phương trình đa thức

     ). Đây là những

    phân loại

    tiếp theo theo bậc:

    • Phương trình tuyến tính

       cho bậc một

    • Phương trình bậc hai

    • Phương trình bậc ba

    • Phương trình bậc bốn

    • Phương trình bậc năm
    • Phương trình bậc sáu
    • Phương trình nhiễm khuẩn cho mức độ bảy
  • Một 

    phương trình Diophantine

     là một phương trình mà ẩn số bắt buộc phải là 

    số nguyên

  • Một phương trình siêu nghiệm là một phương trình liên quan đến một 

    hàm siêu việt

     của những cái chưa biết của nó

  • Một 

    phương trình tham số

     là một phương trình mà các giải pháp được tìm kiếm như các hàm của một số biến khác, được gọi là các 

    tham số

     xuất hiện trong các phương trình

  • Một phương trình chức năng là một phương trình trong đó các ẩn số là các 

    chức năng

     chứ không phải là các số đơn giản

  • Một 

    phương trình vi phân

     là một phương trình chức năng 

    liên

     quan đến các dẫn xuất của các chức năng không biết

  • Một phương trình tích phân là một phương trình chức năng liên quan đến các 

    phản nghịch

     của các chức năng không biết

  • Một phương trình vi phân phân cực là một phương trình chức năng 

    liên quan đến

     cả các 

    dẫn xuất

     và các 

    chất chống lại

     các chức năng không biết

  • Một phương trình khác biệt là một phương trình mà trong đó hàm không biết là một hàm f xảy ra trong phương trình thông qua f ( x ), f ( x -1),…, f ( x – k ) cho một số nguyên k được gọi là bậc của Phương trình. Nếu x được giới hạn là một số nguyên, một phương trình khác biệt là giống như một 

    mối quan hệ tái phát

    .

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Phương trình Pythagore

  • Bất phương trình

  • Phương trình đại số

  • Phương trình tuyến tính

  • Phương trình vi phân

  • Phương trình tích phân

Ghi chú[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    The subject of this article is basic in mathematics, and is treated in a lot of textbooks. Among them, Lay 2005, Meyer 2001, and Strang 2005 contain the material of this article.

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    a

    ă

    Recorde, Robert, The Whetstone of Witte … (London, England: Jhon Kyngstone, 1557),

    trang thứ ba của chương “The rule of equation, commonly called Algebers Rule.”

  2. ^

    Marcus, Solomon; Watt, Stephen M.

    “What is an Equation?”

    . Truy cập ngày 27 tháng 2 năm 2019.

  3. ^

    Lachaud, Gilles.

    “Équation, mathématique”

    . Encyclopædia Universalis (bằng tiếng Pháp).Quản lý CS1: ngôn ngữ không rõ (

    liên kết

    )

  4. ^

    “A statement of equality between two expressions. Equations are of two types, identities and conditional equations (or usually simply “equations”)”. « Equation », in Mathematics Dictionary,

    Glenn James (mathematician)

     (

    de

    ) et

    Robert C. James

     (

    de

    ) (éd.), Van Nostrand, 1968, 3 ed. 1st ed. 1948, tr. 131.

  5. ^

    Thomas, George B., and Finney, Ross L., Calculus and Analytic Geometry, Addison Wesley Publishing Co., fifth edition, 1979, p. 91.

  6. ^

    Weisstein, Eric W. “Parametric Equations.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource.

    http://mathworld.wolfram.com/ParametricEquations.html

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Phương_trình&oldid=64898830

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button