Kiến thức

Phương trình đường thẳng – Wikipedia tiếng Việt

Phương trình đường thẳng

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Một số khái niệm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Bạn đang xem: Phương trình đường thẳng – Wikipedia tiếng Việt

Vectơ chỉ phương của đường thẳng[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Vectơ a→0→{displaystyle {vec {a}}neq {vec {0}}} và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được xem là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Khi đó, với k≠0{displaystyle kneq 0}, vectơ ka→{displaystyle k{vec {a}}} cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Vectơ n→0→{displaystyle {vec {n}}neq {vec {0}}} và có giá vuông góc với đường thẳng được xem là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Khi đó, với k≠0{displaystyle kneq 0}, vectơ kn→{displaystyle k{vec {n}}} cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó

Tương quan giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d có vectơ chỉ phương a→=(a,b){displaystyle {vec {a}}=(a,b)} thì có vectơ pháp tuyến là n→=(−b,a){displaystyle {vec {n}}=(-b,a)} hay n→=(b,−a){displaystyle {vec {n}}=(b,-a)}. Ngược lại, đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n→=(a,b){displaystyle {vec {n}}=(a,b)} thì có vectơ chỉ phương là a→=(−b,a){displaystyle {vec {a}}=(-b,a)} hay a→=(b,−a){displaystyle {vec {a}}=(b,-a)}

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường thẳng d có vectơ n1→=(A1,B1,C1){displaystyle {vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1},C_{1})} và vectơ n2→=(A2,B2,C2){displaystyle {vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2},C_{2})} là 2 vectơ pháp tuyến thì có vectơ chỉ phương là

tích có hướng

giữa n1→{displaystyle {vec {n_{1}}}} với n2→{displaystyle {vec {n_{2}}}} hoặc giữa n2→{displaystyle {vec {n_{2}}}} với n1→{displaystyle {vec {n_{1}}}}.

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Dạng tham số[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d đi qua điểm M(x0,y0){displaystyle M(x_{0},y_{0})} và nhận u→=(u1,u2){displaystyle {vec {u}}=(u_{1},u_{2})} làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là{x=x0+u1ty=y0+u2t{displaystyle {begin{cases}x=x_{0}+u_{1}t\y=y_{0}+u_{2}tend{cases}}} với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị t∈R{displaystyle tin R} ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Xem thêm: Phương Pháp Giải Các Dạng Toán THPT-Lượng Giác

Dạng chính tắc[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Nếu u1≠0{displaystyle u_{1}neq 0}u2≠0{displaystyle u_{2}neq 0}, từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc x−x0u1=y−y0u2{displaystyle {x-x_{0} over u_{1}}={y-y_{0} over u_{2}}}

Đường thẳng song song hoặc vuông góc với các trục tọa độ thì không có phương trình chính tắc

Dạng tổng quát[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Phương trình ax+by+c=0 với a2+b2≠0{displaystyle a^{2}+b^{2}neq 0} được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng, khi đó n→=(a,b){displaystyle {vec {n}}=(a,b)} là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Các trường hợp đặc biệt[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Đường thẳng by+c=0 (a=0) vuông góc với trục Oy tại điểm A(0;−ca){displaystyle A(0;-{c over a})}

Đường thẳng ax+c=0 (b=0) vuông góc với trục Ox tại điểm B(−cb;0){displaystyle B(-{c over b};0)}

Đường thẳng ax+by=0 (c=0) đi qua gốc tọa độ O(0;0)

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Đường thẳng đi qua 2 điểm A(x0;0){displaystyle A(x_{0};0)}(x0≠0{displaystyle x_{0}neq 0}) và B(0;y0){displaystyle B(0;y_{0})}(y0≠0{displaystyle y_{0}neq 0}) thì có thể được viết dưới dạng phương trình xx0+yy0=1{displaystyle {x over x_{0}}+{y over y_{0}}=1}

Hệ số góc của đường thẳng[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho đường thẳng d cắt trục Ox tại M và tia Mt là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục Ox mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia Mt hợp với tia Mx một góc α{displaystyle alpha }. Đặt k=tan⁡α{displaystyle k=tan alpha }, khi đó k được gọi là hệ số góc của đường thẳng d.

Đường thẳng có vecto chỉ phương u→=(u1,u2){displaystyle {vec {u}}=(u_{1},u_{2})} thì có hệ số góc k=u2u1{displaystyle k={u_{2} over u_{1}}}

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến n→=(a,b){displaystyle {vec {n}}=(a,b)} thì có hệ số góc k=−ab{displaystyle k=-{a over b}}

Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.

Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là -1.

Xem thêm: Using mail merge in Word 2016 for Mac – Smart Sourced IT

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho 2 đường thẳng: (D) Ax+By+C=0 và (d) ax+by+c=0

(D) cắt (d) {displaystyle Leftrightarrow } Aa≠Bb{displaystyle {A over a}neq {B over b}} khi đó tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình {Ax+By+C=0ax+by+c=0{displaystyle {begin{cases}Ax+By+C=0\ax+by+c=0end{cases}}}

(D) // (d){displaystyle Leftrightarrow } Aa=Bb≠Cc{displaystyle {A over a}={B over b}neq {C over c}}

(D){displaystyle equiv } (d){displaystyle Leftrightarrow }A:B:C = a:b:c

Góc giữa 2 đường thẳng[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho đường thẳng (D) và (d) cắt nhau tại điểm M. Gọi n1→=(A1,B1){displaystyle {vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1})} là vectơ pháp tuyến của (D) và n2→=(A2,B2){displaystyle {vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2})} là vectơ pháp tuyến của (d). Gọi α{displaystyle alpha } là góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng, khi đó cos⁡α=|n1→.n2→||n1→||n2→|=|A1A2+B1B2|(A12+B12)(A22+B22){displaystyle cos alpha ={leftvert {vec {n_{1}}}.{vec {n_{2}}}rightvert over leftvert {vec {n_{1}}}rightvert leftvert {vec {n_{2}}}rightvert }={leftvert A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}rightvert over {sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2})}}}}

2 đường thẳng vuông góc thì α=90∘{displaystyle alpha =90^{circ }}

2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì α=0∘{displaystyle alpha =0^{circ }}

Cách tính trên cũng đúng khi sử dụng vectơ chỉ phương

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho đường thẳng (d) ax+by+c=0 và M(x0,y0)∉(d){displaystyle M(x_{0},y_{0})not in (d)}, khoảng cách từ điểm M đến (d) được tính theo công thức d(M,d)=|ax0+by0+c|a2+b2{displaystyle d(M,d)={frac {leftvert ax_{0}+by_{0}+crightvert }{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}

Vị trí của 2 điểm đối với đường thẳng[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho đường thẳng (d) ax+by+c=0 và 2 điểm M(xM,yM){displaystyle M(x_{M},y_{M})}, N(xN,yN){displaystyle N(x_{N},y_{N})} không nằm trên (d). Xét các biểu thức m=axM+byM+c{displaystyle m=ax_{M}+by_{M}+c}n=axN+byN+c{displaystyle n=ax_{N}+by_{N}+c}, khi đó M và N nằm cùng phía với d khi m và n cùng dấu, khác phía khi m và n trái dấu

Phương trình đường thẳng trong không gian[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Xem thêm: Vì sao tên lửa có thể bay ra ngoài vũ trụ còn máy bay phản lực thì không?-ADComputer

Dạng tham số[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(x0,y0,z0){displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})} và nhận u→=(u1,u2,u3){displaystyle {vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})} làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là {x=x0+u1ty=y0+u2tz=z0+u3t{displaystyle {begin{cases}x=x_{0}+u_{1}t\y=y_{0}+u_{2}t\z=z_{0}+u_{3}tend{cases}}} với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị t∈R{displaystyle tin R} ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắc[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Nếu cả u1{displaystyle u_{1}}, u2{displaystyle u_{2}}, u3{displaystyle u_{3}} đều khác 0, từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc x−x0u1=y−y0u2=z−z0u3{displaystyle {x-x_{0} over u_{1}}={y-y_{0} over u_{2}}={z-z_{0} over u_{3}}}

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương u→=(u1,u2,u3){displaystyle {vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})} và (d’) có vectơ chỉ phương u′→=(u1′,u2′,u3′){displaystyle {vec {u’}}=(u’_{1},u’_{2},u’_{3})} . Gọi M(x,y,z) là một điểm nằm trên (d) và M'(x’,y’,z’) là một điểm nằm trên (d’). Ta có:

(d){displaystyle equiv }(d’) {displaystyle Leftrightarrow }[u→,u′→]=[u→,MM′→]=0→{displaystyle [{vec {u}},{vec {u’}}]=[{vec {u}},{vec {MM’}}]={vec {0}}}

(d)//(d’){displaystyle Leftrightarrow }[u→,u′→]=0→{displaystyle [{vec {u}},{vec {u’}}]={vec {0}}}[u→,MM′→]≠0→{displaystyle [{vec {u}},{vec {MM’}}]neq {vec {0}}}

(d) cắt (d’){displaystyle Leftrightarrow }{[u→;u′→]≠0→MM′→.[u→;u′→]=0{displaystyle {begin{cases}[{vec {u}};{vec {u’}}]neq {vec {0}}\{vec {MM’}}.[{vec {u}};{vec {u’}}]=0end{cases}}}

(d) và (d’) chéo nhau {displaystyle Leftrightarrow }MM′→.[u→;u′→]≠0{displaystyle {vec {MM’}}.[{vec {u}};{vec {u’}}]neq 0}

Khoảng cách[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho đường thẳng (d) đi qua điểm M0{displaystyle M_{0}} và có vectơ chỉ phương u→{displaystyle {vec {u}}}. Gọi h là khoảng cách từ điểm M đến (d), khi đó h=|[M0M→,u→]||u→|{displaystyle {leftvert [{vec {M_{0}M}},{vec {u}}]rightvert over leftvert {vec {u}}rightvert }}

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho 2 đường thẳng chéo nhau (d) và (d’). Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương u→=(u1,u2,u3){displaystyle {vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})} và đường thẳng (d’) có vectơ chỉ phương u′→=(u1′,u2′,u3′){displaystyle {vec {u’}}=(u’_{1},u’_{2},u’_{3})}. Gọi M(x,y,z) là một điểm nằm trên (d) và M'(x’,y’,z’) là một điểm nằm trên (d’). Khi đó khoảng cách giữa (d) và (d’) là h=|[u→,u′→].MM′→||[u→,u′→]|{displaystyle {leftvert [{vec {u}},{vec {u’}}].{vec {MM’}}rightvert over leftvert [{vec {u}},{vec {u’}}]rightvert }}

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Đường thẳng

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. Nhà xuất bản giáo dục – Bộ giáo dục và đào tạo – Sách giáo khoa Hình học 10

  2. Nhà xuất bản giáo dục – Bộ giáo dục và đào tạo – Sách giáo khoa Hình học 10 Nâng cao

  3. Nhà xuất bản giáo dục – Bộ giáo dục và đào tạo – Sách giáo khoa Hình học 12

  4. Nhà xuất bản giáo dục – Bộ giáo dục và đào tạo – Sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Phương_trình_đường_thẳng&oldid=63042323

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button