Kiến thức

Quy tắc l’Hôpital – Wikipedia tiếng Việt

Quy tắc l’Hôpital

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Trong

giải tích

, Quy tắc l’Hôpital (phát âm như Lô-pi-tan) (cũng được gọi là quy tắc

Bernoulli

) là quy tắc sử dụng

đạo hàm

để tính toán các

giới hạn

dạng vô định

. Ứng dụng của quy tắc này là đưa dạng vô định trở thành dạng hữu hạn, cho phép tính toán giới hạn một cách dễ dàng. Quy tắc này được đặt theo tên của

nhà toán học

người

Pháp

Guillaume de l’Hôpital

. Ông đã phát biểu quy tắc này trong cuốn sách Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes (1696) của mình – cuốn sách đầu tiên về

phép tính vi phân

.

[1]

Tuy nhiên, công thức này được cho là do nhà toán học người Thụy Sĩ

Johann Bernoulli

phát hiện.

[2]

Định lý Stolz-Cesàro

là một kết quả tương tự về giới hạn của các

dãy

, nhưng nó chỉ sử dụng

sai phân hữu hạn

thay vì

đạo hàm

.

Dạng đơn giản nhất của quy tắc l’Hôpital được phát biểu như sau: Cho hai hàm số ƒg:

Nếu limx→cf(x)=limx→cg(x)=0{displaystyle lim _{xto c}f(x)=lim _{xto c}g(x)=0} hoặc ±{displaystyle pm infty }limx→cf′(x)g′(x){displaystyle lim _{xto c}{frac {f'(x)}{g'(x)}}} tồn tại,

thì limx→cf(x)g(x)=limx→cf′(x)g′(x){displaystyle lim _{xto c}{frac {f(x)}{g(x)}}=lim _{xto c}{frac {f'(x)}{g'(x)}}}.

Việc lấy đạo hàm của tử số và mẫu số thường làm đơn giản thương số, hoặc làm khử dạng vô định.

Dạng tổng quát[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Dạng chung của quy tắc l’Hôpital bao gồm nhiều trường hợp khác. Giả sử cL là các số thuộc tập số thực mở rộng (tức là bao gồm tập số thực và hai giá trị dương vô cùng và âm vô cùng). Nếu

limx→cf(x)=limx→cg(x)=0{displaystyle lim _{xto c}{f(x)}=lim _{xto c}g(x)=0}

hoặc

limx→cf(x)=±limx→cg(x)=±{displaystyle lim _{xto c}{f(x)}=pm lim _{xto c}{g(x)}=pm infty }.

Và giả sử

limx→cf′(x)g′(x)=L{displaystyle lim _{xto c}{frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}.

thì

limx→cf(x)g(x)=L{displaystyle lim _{xto c}{frac {f(x)}{g(x)}}=L}.

Quy tắc này vẫn đúng đối với

giới hạn một bên

.

Xem thêm: Tổng hợp dao động điều hòa-Hoc24

Điều kiện tồn tại giới hạn[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Điều kiện giới hạn

limx→cf′(x)g′(x){displaystyle lim _{xto c}{frac {f'(x)}{g'(x)}}}

tồn tại là cần thiết. Thực hiện phép lấy vi phân của một giới hạn dạng vô định có thể dẫn đến một giới hạn không tồn tại, và nếu điều này xảy ra thì quy tắc l’Hôpital sẽ không đúng. Ví dụ, nếu ƒ(x) = x + sin(x) và g(x) = x, thì

limx→f′(x)g′(x)=limx→1+cos⁡x1{displaystyle lim _{xto infty }{frac {f'(x)}{g'(x)}}=lim _{xto infty }{frac {1+cos x}{1}}},

không tồn tại, trong khi

limx→f(x)g(x)=limx→(1+sin⁡xx)=1{displaystyle lim _{xto infty }{frac {f(x)}{g(x)}}=lim _{xto infty }left(1+{frac {sin x}{x}}right)=1}.

Ví dụ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Đây là một ví dụ liên quan đến

    hàm sinc

    và dạng vô định 0/0:

limx→0sinc⁡(x)=limx→0sin⁡πx=limy→0sin⁡yy=limy→0cos⁡y1=1{displaystyle {begin{aligned}lim _{xto 0}operatorname {sinc} (x)&=lim _{xto 0}{frac {sin pi x}{pi x}}\&=lim _{yto 0}{frac {sin y}{y}}\&=lim _{yto 0}{frac {cos y}{1}}\&=1end{aligned}}}.
Như vậy, giới hạn trên là định nghĩa của đạo hàm hàm số

sin

tại 0.

  • Đây là một ví dụ phức tạp hơn về dạng 0/0: sau khi áp dụng quy tắc l’Hôpital vẫn dẫn tới một dạng vô định. Trong những trường hợp này, ta có thể áp dụng quy tắc l’Hôpital nhiều lần để tính giới hạn:
limx→02sin⁡x−sin⁡2xx−sin⁡x=limx→02cos⁡x−2cos⁡2×1−cos⁡x=limx→0−2sin⁡x+4sin⁡2xsin⁡x=limx→0−2cos⁡x+8cos⁡2xcos⁡x=−2+81=6{displaystyle {begin{aligned}lim _{xto 0}{frac {2sin x-sin 2x}{x-sin x}}&=lim _{xto 0}{frac {2cos x-2cos 2x}{1-cos x}}\&=lim _{xto 0}{frac {-2sin x+4sin 2x}{sin x}}\&=lim _{xto 0}{frac {-2cos x+8cos 2x}{cos x}}\&={frac {-2+8}{1}}=6end{aligned}}}.
  • Ví dụ sau cũng về dạng vô định 0/0. Giả sử b > 0. Khi đó
limx→0bx−1x=limx→0bxln⁡b1=ln⁡blimx→0bx=ln⁡b{displaystyle lim _{xto 0}{frac {b^{x}-1}{x}}=lim _{xto 0}{frac {b^{x}ln b}{1}}=ln blim _{xto 0}{b^{x}}=ln b}.
  • Một ví dụ khác về dạng 0/0:
limx→0ex−1−xx2=limx→0ex−12x=limx→0ex2=12{displaystyle lim _{xto 0}{frac {e^{x}-1-x}{x^{2}}}=lim _{xto 0}{frac {e^{x}-1}{2x}}=lim _{xto 0}{frac {e^{x}}{2}}={frac {1}{2}}}.
  • Ví dụ sau liên quan đến dạng ∞/∞. Giả sử n là một số nguyên dương. Khi đó
limx→xne−x=limx→xnex=limx→nxn−1ex=nlimx→xn−1ex{displaystyle lim _{xto infty }x^{n}e^{-x}=lim _{xto infty }{frac {x^{n}}{e^{x}}}=lim _{xto infty }{frac {nx^{n-1}}{e^{x}}}=nlim _{xto infty }{frac {x^{n-1}}{e^{x}}}}.
Sau đó áp dụng liên tiếp quy tắc l’Hôpital cho đến khi số mũ là 0, ta kết luận giới hạn bằng 0.
  • Một ví dụ khác về dạng ∞/∞:
limx→0+xln⁡x=limx→0+ln⁡x1x=limx→0+1/x−1×2=limx→0+−x=0{displaystyle lim _{xto 0^{+}}xln x=lim _{xto 0^{+}}{frac {ln x}{frac {1}{x}}}=lim _{xto 0^{+}}{frac {1/x}{-{frac {1}{x^{2}}}}}=lim _{xto 0^{+}}-x=0}.
  • Người ta cũng sử dụng quy tắc l’Hôpital để chứng minh định lý sau: Nếu f” liên tục tại x thì
limh→0f(x+h)+f(x−h)−2f(x)h2=limh→0f′(x+h)−f′(x−h)2h=f″(x){displaystyle {begin{aligned}lim _{hto 0}{frac {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}}&=lim _{hto 0}{frac {f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}}\&=f”(x)end{aligned}}}.
  • Đôi khi quy tắc L’Hôpital được sử dụng một cách khéo léo như sau: Cho f(x)+f′(x){displaystyle f(x)+f'(x)} hội tụ khi x→{displaystyle xto infty }. Khi đó:
limx→f(x)=limx→exf(x)ex=limx→ex(f(x)+f′(x))ex=limx→(f(x)+f′(x)){displaystyle lim _{xto infty }f(x)=lim _{xto infty }{frac {e^{x}f(x)}{e^{x}}}=lim _{xto infty }{frac {e^{x}(f(x)+f'(x))}{e^{x}}}=lim _{xto infty }(f(x)+f'(x))}
và do đó limx→f(x){displaystyle lim _{xto infty }f(x)} tồn tại và limx→f′(x)=0{displaystyle lim _{xto infty }f'(x)=0}.

Các dạng vô định khác[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Các dạng vô định khác, bao gồm 1, 00, ∞0, 0.∞, and ∞ − ∞, đôi lúc có thể tính được dựa vào quy tắc l’Hôpital. Ví dụ, để tính giới hạn dạng ∞ − ∞, chuyển hiệu của hai hàm số thành một thương hai hàm số:

limx→1(xx−1−1ln⁡x)=limx→1xln⁡x−x+1(x−1)ln⁡x=limx→1ln⁡xx−1x+ln⁡x(1)=limx→1xln⁡xx−1+xln⁡x=limx→11+ln⁡x1+1+ln⁡x(2)=limx→11+ln⁡x2+ln⁡x=12{displaystyle {begin{aligned}lim _{xto 1}left({frac {x}{x-1}}-{frac {1}{ln x}}right)&=lim _{xto 1}{frac {xln x-x+1}{(x-1)ln x}}=lim _{xto 1}{frac {ln x}{{frac {x-1}{x}}+ln x}}quad (1)\&=lim _{xto 1}{frac {xln x}{x-1+xln x}}=lim _{xto 1}{frac {1+ln x}{1+1+ln x}}quad (2)\&=lim _{xto 1}{frac {1+ln x}{2+ln x}}={frac {1}{2}}end{aligned}}}.

Ở trên quy tắc l’Hôpital đã được áp dụng ở các bước (1) và (2).

Quy tắc l’Hôpital có thể được dùng đối với dạng vô định liên quan đến

số mũ

bằng cách sử dụng phép tính

logarit

để chuyển số mũ xuống dưới. Đây là một ví dụ về dạng 00:

limx→0+xx=limx→0+eln⁡xx=limx→0+exln⁡x=elimx→0+xln⁡x{displaystyle lim _{xto 0^{+}}x^{x}=lim _{xto 0^{+}}e^{ln x^{x}}=lim _{xto 0^{+}}e^{xln x}=e^{lim _{xto 0^{+}}xln x}}.

Ta được phép chuyển giới hạn vào trong

hàm số mũ

vì hàm mũ là

hàm liên tục

. Số mũ x đã được “chuyển xuống dưới”. Giới hạn limx→0+xln⁡x{displaystyle scriptstyle lim _{xto 0^{+}}xln x} thuộc dạng vô định 0•(−∞), nhưng như ta thấy ở trên, quy tắc l’Hôpital có thể được dùng để xác định giới hạn này:

limx→0+xln⁡x=0{displaystyle lim _{xto 0^{+}}xln x=0}.

Do đó

limx→0+xx=e0=1{displaystyle lim _{xto 0^{+}}x^{x}=e^{0}=1}.

Xem thêm: Tính chất hóa học của muối: Lý thuyết và Các dạng bài tập – Định nghĩa mọi thứ.

Trường hợp fg khả vi tại c[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Chứng minh của quy tắc l’Hôpital rất đơn giản trong trường hợp ƒg

khả vi

tại điểm c. Đây không phải là chứng minh của quy tắc l’Hôpital tổng quát.

Cho hai hàm số ƒg liên tục và khả vi tại c, ƒ(c) = g(c) = 0, và g′(c) ≠ 0. Khi đó

limx→cf(x)g(x)=limx→cf(x)−f(c)g(x)−g(c)=limx→cf(x)−f(c)x−cg(x)−g(c)x−c=limx→cf(x)−f(c)x−climx→cg(x)−g(c)x−c=limx→cf′(x)g′(x){displaystyle lim _{xto c}{frac {f(x)}{g(x)}}=lim _{xto c}{frac {f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}=lim _{xto c}{frac {frac {f(x)-f(c)}{x-c}}{frac {g(x)-g(c)}{x-c}}}={frac {lim _{xto c}{frac {f(x)-f(c)}{x-c}}}{lim _{xto c}{frac {g(x)-g(c)}{x-c}}}}=lim _{xto c}{frac {f'(x)}{g'(x)}}}.

(chú ý là ƒ(c) = g(c) = 0). Điều này bắt nguồn từ quy tắc tính giới hạn của thương và định nghĩa đạo hàm.

Điều này gợi một cách chứng minh cho quy tắc l’Hôpital tổng quát, không yêu cầu hai hàm ƒg phải khả vi tại điểm c. Xem chứng minh bên dưới.

Cách hiểu hình học[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho đường cong trong mặt phẳng, trong đó trục Ox được cho bởi g(t) và trục Oy cho bởi ƒ(t) – ví dụ

t↦[g(t),f(t)]{displaystyle tmapsto [g(t),f(t)]}.

Giả sử ƒ(c) = g(c) = 0. Giới hạn của tỉ số ƒ(t)/g(t) khi tc là slope của tiếp tuyến đến đường cong tại điểm [0, 0]. Tiếp tuyến của đường cong tại điểm t được cho bởi [g′(t),f′(t)]{displaystyle [g'(t),f'(t)]}. Quy tắc l’Hôpital nói rằng slope của tiếp tuyến tại 0 là giới hạn của các slope của các tiếp tuyến tại các điểm “rất gần” 0.

Chứng minh của quy tắc l’Hôpital[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Một chứng minh phổ biến của quy tắc l’Hôpital là sử dụng

định lý giá trị trung gian Cauchy

. Chứng minh quy tắc l’Hôpital có một số điểm khác nhau trong các trường hợp khác nhau như: cL hữu hạn hay vô hạn, ƒg hội tụ về 0 hay về vô cùng, giới hạn là một bên hay hai bên. Tuy nhiên, tất cả chúng đều dựa theo hai trường hợp chính sau:

[3]

0/0[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Giả sử cL là các số thực và ƒg hội tụ về 0.

Trước hết, ta có ƒ(c) = g(c) = 0. Vì thế ƒg liên tục tại c, nhưng không thay đổi giới hạn (vì theo định nghĩa, giới hạn không phụ thuộc vào giá trị hàm tại điểm c). Vì limx→cf′(x)g′(x){displaystyle scriptstyle lim _{xto c}{frac {f'(x)}{g'(x)}}} tồn tại nên có một khoảng (cδ, c + δ) mà với mọi x thuộc khoảng, với trường hợp ngoại lệ x = c, cả f′(x){displaystyle scriptstyle f'(x)}g′(x){displaystyle g'(x)} tồn tại và g′(x){displaystyle g'(x)} khác 0.

Nếu x nằm trong khoảng (c, c + δ), thì theo định lý giá trị trung gian và định lý giá trị trung gian Cauchy đều áp dụng đúng với khoảng [c, x] (và tương tự trong trường hợp x thuộc khoảng (cδ, c)). Định lý giá trị trung gian nói rằng g(x) khác 0 (vì nếu ngược lại thì tồn tại y trong khoảng (c, x) mà g’(y) = 0). Từ định lý giá trị trung gian Cauchy, ta suy ra có một ξx thuộc (c, x) thỏa mãn

f(x)g(x)=f′(ξx)g′(ξx){displaystyle {frac {f(x)}{g(x)}}={frac {f'(xi _{x})}{g'(xi _{x})}}}.

Nếu x tiến đến c, thì ξx tiến tới c (theo

nguyên lý kẹp

). Do limx→cf′(x)g′(x){displaystyle scriptstyle lim _{xto c}{frac {f'(x)}{g'(x)}}} tồn tại, suy ra

limx→cf(x)g(x)=limx→cf′(ξx)g′(ξx)=limx→cf′(x)g′(x){displaystyle lim _{xto c}{frac {f(x)}{g(x)}}=lim _{xto c}{frac {f'(xi _{x})}{g'(xi _{x})}}=lim _{xto c}{frac {f'(x)}{g'(x)}}}.

Vô cực trên vô cực[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Giả sử L là một số hữu hạn, c là một số hữu hạn dương, ƒg hội tụ về dương vô cực.

Với mọi ε > 0, tồn tại một số m sao cho

|f′(x)g′(x)−L|<ε{displaystyle left|{frac {f'(x)}{g'(x)}}-Lright|<varepsilon } (với x≥m{displaystyle xgeq m}).

Theo định lý giá trị trung gian, nếu x > m, thì g(x) ≠ g(m) (vì nếu ngược lại thì tồn tại y trong khoảng (m, x) sao cho g′(y)=0{displaystyle g'(y)=0}). Áp dụng

định lý giá trị trung gian Cauchy

cho khoảng [m, x], ta có

|f(x)−f(m)g(x)−g(m)−L|<ε{displaystyle left|{frac {f(x)-f(m)}{g(x)-g(m)}}-Lright|<varepsilon } (với x>m{displaystyle x>m}).

ƒ hội tụ về dương vô cực nên nếu x đủ lớn, ta có ƒ(x) ≠ ƒ(m). Viết

f(x)g(x)=f(x)−f(m)g(x)−g(m)⋅f(x)f(x)−f(m)⋅g(x)−g(m)g(x){displaystyle {frac {f(x)}{g(x)}}={frac {f(x)-f(m)}{g(x)-g(m)}}cdot {frac {f(x)}{f(x)-f(m)}}cdot {frac {g(x)-g(m)}{g(x)}}}.

Khi đó,

|f(x)−f(m)g(x)−g(m)⋅f(x)f(x)−f(m)⋅g(x)−g(m)g(x)−f(x)−f(m)g(x)−g(m)|≤|f(x)−f(m)g(x)−g(m)||f(x)f(x)−f(m)⋅g(x)−g(m)g(x)−1|<(|L|+ε)|f(x)f(x)−f(m)⋅g(x)−g(m)g(x)−1|{displaystyle {begin{aligned}&left|{frac {f(x)-f(m)}{g(x)-g(m)}}cdot {frac {f(x)}{f(x)-f(m)}}cdot {frac {g(x)-g(m)}{g(x)}}-{frac {f(x)-f(m)}{g(x)-g(m)}}right|\&quad leq left|{frac {f(x)-f(m)}{g(x)-g(m)}}right|left|{frac {f(x)}{f(x)-f(m)}}cdot {frac {g(x)-g(m)}{g(x)}}-1right|\&quad <(|L|+varepsilon )left|{frac {f(x)}{f(x)-f(m)}}cdot {frac {g(x)-g(m)}{g(x)}}-1right|end{aligned}}}.

Với x đủ lớn, cái này nhỏ hơn ε và do đó

|f(x)g(x)−L|<2ε{displaystyle left|{frac {f(x)}{g(x)}}-Lright|<2varepsilon }. *
  • (*) Chú ý: Có một số bước bị bỏ qua.

Xem thêm: Hướng dẫn về học phí dành cho Khóa 26 của Trường Đại học Văn Lang-Van Lang University

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Johann Bernoulli

Chú thích[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    John J. O’Connor & Robertson, Edmund F.

    “De_L’Hopital biography”

    . The MacTutor History of Mathematics archive. Scotland: School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews. Truy cập ngày 21 tháng 12 năm 2008.Quản lý CS1: sử dụng tham số tác giả (

    liên kết

    )

  2. ^

    Weisstein, Eric W.

    , “

    L’Hospital’s Rule

    ” từ

    MathWorld

    .

  3. ^

    Spivak, Michael

    (1994).

    Calculus

    . Houston, Texas: Publish or Perish. tr. 

    201

    –202, 210–211.

    ISBN

     

    0-914098-89-6

    .

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Quy tắc l’Hôpital’s tại PlanetMath

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Quy_tắc_l%27Hôpital&oldid=64545063

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button