Kiến thức

Số ảo – Wikipedia tiếng Việt

Số ảo

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Số ảo hay số thuần ảo là một

số phức

mà khi

bình phương

lên được kết quả là một

số âm

. Số ảo là tích của một số thực x với i, trong đó i2=-1.

[1]

Được đặt ra vào thế kỷ 17 như là một thuật ngữ mang tính chế giễu và được coi là hư cấu hoặc vô dụng, khái niệm số ảo đã được chấp nhận rộng rãi sau khi các công trình của

Leonhard Euler

Carl Friedrich Gauss

được công bố.

Một số ảo bi có thể được thêm vào một

số thực

a để tạo thành một

số phức

a + bi, trong đó a và b được gọi là phần thực và phần phức của số ảo trên.

Biểu diễn[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Số ảo được biểu diễn như là một đơn thức bi{displaystyle bi} trong đó b{displaystyle b} là số thực khác 0, i{displaystyle i}

đơn vị ảo

có giá trị thỏa mãn phương trình đại số i2=−1{displaystyle i^{2}=-1}.Kết hợp với một số thực a{displaystyle a}, nó tạo thành “

phần ảo

b{displaystyle b} và “

phần thực

a{displaystyle a} của

số phức

a+bi{displaystyle a+bi}.

i=−1{displaystyle i={sqrt {-}}1}
j=−1{displaystyle j={sqrt {-}}1}

[2]

Xem thêm: Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn-Toán lớp 11

Lịch sử[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hero xứ Alexandria

là người đầu tiên đề cập đến số ảo này vào khoảng thế kỷ I trước công nguyên trong khi tính toán khối hình lượng

kim tự tháp

[3]

, tuy nhiên, việc nghiên cứu số ảo chỉ thực sự bắt đầu bởi

nhà toán học

người Ý

Rafael Bombelli

(1526-1572) trong cuốn sách đại số L’Algebra viết năm 1569. Rafael Bombelli là người đưa ra ký hiệu đơn vị ảo i{displaystyle i} và mô tả các tính chất của nó.

Hình học giải tích[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Xem thêm: Khoảng Cách Từ 1 Điểm Đến 1 Đường Thẳng Trong Oxy Và Oxyz, Khoảng Cách Từ 1 Điểm Đến Đường Thẳng Trong Oxyz

Ứng dụng của số ảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Lũy thừa[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Lấy bình phương, lập phương… của hai vế của đẳng thức i=−1{displaystyle i={sqrt {-1}}}, ta có:

i2=−1{displaystyle i^{2}=-1}

i3=−i{displaystyle i^{3}=-i}

i4=1{displaystyle i^{4}=1}

i5=i{displaystyle i^{5}=i}

i6=−1{displaystyle i^{6}=-1}

Vì vậy với n∈N{displaystyle nin mathbb {N} }, ta có thể viết như sau:

i4n=1{displaystyle i^{4n}=1}

i4n+1=i{displaystyle i^{4n+1}=i}

i4n+2=−1{displaystyle i^{4n+2}=-1}

i4n+3=−i{displaystyle i^{4n+3}=-i}

Phương trình bậc hai

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Phương trình bậc hai

với b2 – 4ac < 0 như x2+x+1=0{displaystyle x^{2}+x+1=0}.

Do

công thức nghiệm

tại đẳng thức này,

x1;2=−32{displaystyle x_{1;2}={frac {-1pm {sqrt {-3}}}{2}}}

Tuy nhiên, ta được đơn giản hơn do số ảo.

x1;2=−3.−12=−3−12=−3i2{displaystyle x_{1;2}={frac {-1pm {sqrt {3.-1}}}{2}}={frac {-1pm {sqrt {3}}{sqrt {-1}}}{2}}={frac {-1pm {sqrt {3}}i}{2}}}

Phân tích nhân tử

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Nói chung, đa thức như x2+a2{displaystyle x^{2}+a^{2}} không có thừa số.

Tuy nhiên ta được viết như sau (Tại -(-a)=+a)

x2−(−a2){displaystyle x^{2}-(-a^{2})}

Vì vậy ta có thể viết với số ảo như sau:

x2−(−a2)=x2−((ai)2)=(x+ai)(x−ai).{displaystyle x^{2}-(-a^{2})=x^{2}-((ai)^{2})=(x+ai)(x-ai).}

Căn của số ảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Sử dụng

Công thức Euler

ở x=π,

eiπ=cos⁡)+isin⁡)=−1+0i=−1{displaystyle e^{ipi }=cos(pi )+isin(pi )=-1+0i=-1}

Tiếp theo lấy

căn bậc bốn

 của hai vế.

eiπ4=−14=i{displaystyle e^{frac {ipi }{4}}={sqrt[{4}]{-1}}={sqrt {i}}}

Do Công thức Euler ta có:

eiπ4=cos⁡4)+isin⁡4)=12+12i{displaystyle e^{frac {ipi }{4}}=cos left({frac {pi }{4}}right)+isin left({frac {pi }{4}}right)={frac {1}{sqrt {2}}}+{frac {1}{sqrt {2}}}i}

Vì vậy:

i=1+i2{displaystyle {sqrt {i}}={frac {1+i}{sqrt {2}}}}

Căn bậc ba của số ảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Lấy căn bậc sáu của hai vế của

Công thức Euler

ở x=π.

eiπ6=i3=cos⁡6)+isin⁡6)=32+12i{displaystyle e^{frac {ipi }{6}}={sqrt[{3}]{i}}=cos left({frac {pi }{6}}right)+isin left({frac {pi }{6}}right)={frac {sqrt {3}}{2}}+{frac {1}{2}}i}

Do đó i3=3+i2.{displaystyle {sqrt[{3}]{i}}={frac {{sqrt {3}}+i}{2}}.}

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Người ta ứng dụng số ảo vào để tính toán liên quan đến mạch điện xoay chiều để công việc tính toán dễ dàng hơn.

Xem thêm: Cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm PT bậc 2

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    Uno Ingard, K. (1988). “Chapter 2”.

    Fundamentals of waves & oscillations

    . Cambridge University Press. tr. 38.

    ISBN

     

    0-521-33957-X

    .

  2. ^

    Uno Ingard, K. (1988),

    Fundamentals of waves & oscillations

    , Cambridge University Press, tr. 38,

    ISBN

     

    0-521-33957-X

    ,

    Chapter 2, p 38

  3. ^

    Nahin, Paul.”An Imaginary Tale: The story of [the square root of minus one]. Princeton University Press. 1998″

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • How can one show that imaginary numbers really do exist?

    – an article which discusses the existence of imaginary numbers.

  • In our time: Imaginary numbers

    Discussion of imaginary numbers on BBC Radio 4.

  • 5Numbers programme 4

    BBC Radio 4 programme

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Số_ảo&oldid=65021896

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button