Kiến thức

Số phức – Wikipedia tiếng Việt

Đây là một bài viết cơ bản. Nhấn vào đây để biết thêm thông tin.

Số phức

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Biểu diễn số phức trên

mặt phẳng phức

, với Re (viết tắt cho Real, nghĩa là thực) là trục thực, Im (viết tắt cho Imaginary, nghĩa là ảo) là trục ảo.

Số phức (

tiếng Anh

: Complex number) là

số

có thể viết dưới dạng a+bı{displaystyle a+bimath }, trong đó ab là các

số thực

, ı{displaystyle imath }

đơn vị ảo

, với ı2=−1{displaystyle imath ^{2}=-1} hay ı=−1{displaystyle imath ={sqrt {-1}}}.

[1]

Trong biểu thức này, số a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức. Số phức có thể được biểu diễn trên

mặt phẳng phức

với

trục hoành

là trục số thực và

trục tung

là trục số ảo, do đó một số phức a+bı{displaystyle a+bimath } được xác định bằng một điểm có tọa độ (a,b). Một số phức nếu có phần thực bằng không thì gọi là số thuần ảo (số ảo), nếu có phần ảo bằng không thì trở thành số thực R. Việc mở rộng trường số phức để giải những

bài toán

mà không thể giải trong trường số thực.

Số phức được sử dụng trong nhiều lĩnh vực

khoa học

, như

khoa học kỹ thuật

,

điện từ học

,

cơ học lượng tử

,

toán học ứng dụng

chẳng hạn như trong

lý thuyết hỗn loạn

. Nhà toán học người Ý

Gerolamo Cardano

là người đầu tiên đưa ra số phức. Ông sử dụng số phức để giải các

phương trình bậc ba

trong

thế kỉ 16

.

[2]

Lịch sử[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Nhà toán học

người Ý

R. Bombelli

(

1526

1573

) đã đưa định nghĩa đầu tiên về số phức, lúc đó được gọi là số “không thể có” hoặc “

số ảo

” trong công trình

Đại số

(Bologne,

1572

) công bố ít lâu trước khi ông mất. Ông đã định nghĩa các số đó (số phức) khi nghiên cứu các

phương trình bậc ba

và đã đưa ra

căn bậc hai

của 1{displaystyle -1}.

Nhà toán học

người Pháp

D’Alembert

vào năm

1746

đã xác định được dạng tổng quát “a+bı{displaystyle a+bimath }” của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một

phương trình bậc n

. Nhà toán học

Thụy Sĩ

L. Euler

(

1707

1783

) đã đưa ra

ký hiệu

ı{displaystyle imath }” để chỉ căn bậc hai của 1{displaystyle -1}, năm

1801

Gauss

đã dùng lại ký hiệu này.

Xem thêm: Vừa có nhà, vừa có đất nhờ xài đòn bẩy-VnExpress

Tổng quan[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Số phức cho phép giải một

phương trình

nhất định mà không giải được trong trường

số thực

. Ví dụ, phương trình

(x+1)2=−9{displaystyle left(x+1right)^{2}=-9,}

không có nghiệm thực, vì

bình phương

của một số thực không thể âm. Các số phức cho phép

giải phương trình

này. Ý tưởng là mở rộng trường số thực sang

đơn vị ảo

ı{displaystyle imath } với ı2=−1{displaystyle imath ^{2}=-1}, vì vậy phương trình trên được giải. Trong trường hợp này các nghiệm là −1 + 3i−1 − 3i, có thể kiểm tra lại nghiệm khi thế vào phương trình và với ı2=−1{displaystyle imath ^{2}=-1}:

[(−1+3i)+1]2=(3i)2=(32)(i2)=9⋅(−1)=−9{displaystyle {big [}left(-1+3iright)+1{big ]}^{2}=left(3iright)^{2}=left(3^{2}right)left(i^{2}right)=9cdot left(-1right)=-9}
[(−1−3i)+1]2=(−3i)2=(−3)2(i2)=9⋅(−1)=−9{displaystyle {big [}left(-1-3iright)+1{big ]}^{2}=left(-3iright)^{2}=left(-3right)^{2}left(i^{2}right)=9cdot (-1)=-9}

Thực tế không chỉ các

phương trình bậc hai

mà tất cả các phương trình

đa thức

có số thực hoặc số ảo với một biến số có thể giải bằng số phức.

Định nghĩa[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Số phức được biểu diễn dưới dạng a+bı{displaystyle a+bimath }, với ab là các

số thực

i{displaystyle i}

đơn vị ảo

, thỏa mãn điều kiện ı2=−1{displaystyle imath ^{2}=-1}. Ví dụ 3,5+2ı{displaystyle -3,5+2imath } là một số phức.

Số thực a được gọi là phần thực của a+bı{displaystyle a+bimath }; số thực b được gọi là phần ảo của a+bı{displaystyle a+bimath }. Theo đó, phần ảo không có chứa đơn vị ảo: do đó b, không phải bi, là phần ảo.

[3]

[4]

Phần thực của số phức z được ký hiệu là Re(z) hay ℜ(z); phần ảo của phức z được ký hiệu là Im(z) hay ℑ(z). Ví dụ:

Re⁡(−3.5+2i)=−3.5Im⁡(−3.5+2i)=2{displaystyle {begin{aligned}operatorname {Re} left(-3.5+2iright)&=-3.5\operatorname {Im} (-3.5+2i)&=2end{aligned}}}

Do đó, nếu xét theo phần thực và phần ảo, một số phức z sẽ được viết là Re⁡(z)+Im⁡(z)⋅i{displaystyle operatorname {Re} (z)+operatorname {Im} (z)cdot i}. Biểu thức này đôi khi được gọi là dạng Cartesi của z.

Một số thực a có thể được biểu diễn ở dạng phức là a+0ı{displaystyle a+0imath } với phần ảo là 0. Số thuần ảo {displaystyle bimath } là một số phức được viết là 0+bı{displaystyle 0+bimath } với phần thực bằng 0. Ngoài ra, khi phần ảo âm, nó được viết là a−{displaystyle a-bimath } với b>0{displaystyle b>0} thay vì a+(−b)ı{displaystyle a+(-b)imath }, ví dụ 3−{displaystyle 3-4imath } thay vì 3+(−4)ı{displaystyle 3+(-4)imath }.

Tập hợp tất cả các số phức hay trường số phức được ký hiệu là , C{displaystyle mathbf {C} } hay C{displaystyle mathbb {C} }. Có nhiều phương pháp xây dựng trường số phức một cách chặt chẽ bằng

phương pháp tiên đề

.

Gọi R{displaystyle mathbb {R} } là trường số thực. Ký hiệu C{displaystyle mathbb {C} } là tập hợp các cặp (a,b) với a,b∈R{displaystyle a,bin mathbb {R} }.

Trong C{displaystyle mathbb {C} }, định nghĩa hai

phép cộng

phép nhân

như sau:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d){displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}
(a,b)∗(c,d)=(ac−bd,ad+bc){displaystyle (a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)}

thì C{displaystyle mathbb {C} } là một

trường

(xem

cấu trúc đại số

).

Ta có thể lập một

đơn ánh

từ tập số thực R{displaystyle mathbb {R} } vào C{displaystyle mathbb {C} } bằng cách cho mỗi số thực a ứng với cặp (a,0)∈C{displaystyle (a,0)in mathbb {C} }. Khi đó 0→(0,0),1→(1,0),−1→(−1,0){displaystyle 0to (0,0),1to (1,0),-1to (-1,0)}… Nhờ

phép nhúng

, ta

đồng nhất

tập các số thực R{displaystyle mathbb {R} } với tập con các số phức dạng (a,0){displaystyle (a,0)}, khi đó tập các số thực R{displaystyle mathbb {R} }

tập con

của tập các số phức C{displaystyle mathbb {C} }C{displaystyle mathbb {C} } được xem là một mở rộng của R{displaystyle mathbb {R} }.

Ký hiệu ı{displaystyle imath } là cặp (0,1) C{displaystyle in mathbb {C} }. Ta có

ı2=(0,1)×(0,1)=(−1,0)=−1{displaystyle imath ^{2}=(0,1)times (0,1)=(-1,0)=-1}.

Tất cả các số phức dạng {displaystyle bimath } được gọi là các số thuần ảo.

Một số khái niệm quan trọng trong trường số phức[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Dạng đại số của số phức[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Trong trường số phức, tính chất của

đơn vị ảo

ı{displaystyle imath } đặc trưng bởi biểu thức

i2=−1{displaystyle i^{2}=-1}
i=−1{displaystyle i={sqrt {-1}}}

Mỗi số phức z đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng:

z=a+bi{displaystyle z=a+bi}

trong đó a, b là các số thực. Dạng biểu diễn này được gọi là dạng đại số của số phức z.

Với cách biểu diễn dưới dạng đại số, phép cộng và nhân các số phức được thực hiện như phép cộng và nhân các

nhị thức bậc nhất

với lưu ý rằng i2 = –1. Như vậy, ta có:

(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d){displaystyle (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)}
(a+ib)−(c+id)=(a−c)+i(b−d){displaystyle (a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d)}
(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+i(ad+bc){displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+i(ad+bc)}
a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i{displaystyle {frac {a+bi}{c+di}}={frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i}

Mặt phẳng phức[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Complex.png

Trong

hệ toạ độ Descartes

, có thể dùng trục hoành chỉ tọa độ phần thực còn trục tung cho tọa độ phần ảo để biểu diễn một số phức

z=x+iy.{displaystyle z=x+iy.}

Khi đó

mặt phẳng tọa độ

được gọi là

mặt phẳng phức

.

Số thực và số thuần ảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Mỗi số thực a{displaystyle a} được xem là một số phức có b=0{displaystyle b=0}.

Ta có: R{displaystyle mathbb {R} }{displaystyle subset }C{displaystyle mathbb {C} }

Nếu a=0{displaystyle a=0}, số phức bi{displaystyle bi} được gọi là thuần ảo.

Số phức liên hợp[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho số phức dưới dạng đại số Z=a+bi{displaystyle Z=a+bi,}, số phức =a−bi{displaystyle {overline {Z}}=a-bi} được gọi là

số phức liên hợp

của z.

Một số tính chất của số phức liên hợp:

  1. =a2+b2{displaystyle Ztimes {overline {Z}}=a^{2}+b^{2}} là một số thực.
  2. Z+Z¯=2a{displaystyle Z+{overline {Z}}=2a} là một số thực
  3. Z+Z′¯{displaystyle {overline {Z+Z’}}} =+Z′¯{displaystyle {overline {Z}}+{overline {Z’}}}
  4. Z′¯{displaystyle {overline {Ztimes Z’}}} =×Z′¯{displaystyle {overline {Z}}times {overline {Z’}}}

Module và Argument[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Cho z=a+bi{displaystyle z=a+bi,}. Khi đó =a2+b2{displaystyle ztimes {overline {z}}=a^{2}+b^{2},}. Căn bậc hai của {displaystyle ztimes {overline {z}},} được gọi là

    module

    của z, ký hiệu là |z|{displaystyle |z|}. Như vậy |z|=a2+b2{displaystyle |z|={sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.

Xem thêm:

giá trị tuyệt đối

  • Có thể biểu diễn số phức z=a+bi{displaystyle z=a+bi} trên mặt phẳng tọa độ bằng điểm M(a,b){displaystyle M(a,b)}, góc φ{displaystyle varphi } giữa chiều dương của trục Ox và vec tơ OM→{displaystyle {overrightarrow {OM}}} được gọi là argumen{displaystyle argumen} của số phức z{displaystyle z}, ký hiệu là arg(z){displaystyle arg(z)}.
  • Một vài tính chất của module và argument

|z¯|=|z|,|z1∗z2|=|z1|∗|z2|,|zn|=|z|n,{displaystyle |{bar {z}}|=|z|,|z_{1}*z_{2}|=|z_{1}|*|z_{2}|,|z^{n}|=|z|^{n},}

arg⁡(z1∗z2)=arg⁡(z1)+arg⁡(z2),{displaystyle arg(z_{1}*z_{2})=arg(z_{1})+arg(z_{2}),}

arg⁡z1z2=arg⁡(z1)−arg⁡(z2), arg⁡(zn)=narg⁡(z){displaystyle arg {frac {z_{1}}{z_{2}}}=arg(z_{1})-arg(z_{2}), arg(z^{n})=n,arg(z),}

Dạng lượng giác của số phức[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Định nghĩa[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Số phức z=a+bi{displaystyle z=a+bi} có thể viết dưới dạng

z=a+bi=a2+b2(aa2+b2+ba2+b2⋅i){displaystyle z=a+bi={sqrt {a^{2}+b^{2}}}left({frac {a}{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+{frac {b}{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}cdot iright)}

Khi đặt

r=|z|,φ=arg⁡(z){displaystyle r=|z|,varphi =arg(z)},

ta có

z=r(cosφ+isinφ){displaystyle z=r(cosvarphi +i,sinvarphi )}

Cách biểu diễn này được gọi là dạng

lượng giác

của số phức z{displaystyle z}.

Phép toán trên các số phức viết dưới dạng lượng giác[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Phép nhân

    phép chia

    các số phức dưới dạng lượng giác

Cho hai số phức dưới dạng lượng giác

z=r(cos⁡φ+isin⁡φ){displaystyle z=rleft(cos varphi +isin varphi right)}
z′=r′(cos⁡φ′+isin⁡φ′){displaystyle z’=r’left(cos varphi ‘+isin varphi ‘right)}

Khi đó

z⋅z′=rr′(cos⁡′)+isin⁡′)){displaystyle zcdot z’=rr’left(cos left(varphi +varphi ‘right)+isin left(varphi +varphi ‘right)right)}
zz′=rr′[cos⁡φ′)+isin⁡φ′){displaystyle {frac {z}{z’}}={frac {r}{r’}}left[cos(varphi -{varphi }’right)+isin left(varphi -{varphi }’right)}
  • Lũy thừa

    tự nhiên của số phức dưới dạng lượng giác (

    công thức Moirve

    ).

zn=rn(cos⁡+isin⁡){displaystyle z^{n}=r^{n}{Bigg (}cos n,varphi +isin n,varphi {Bigg )}}
  • Khai căn

    số phức dưới dạng lượng giác.

Mọi số phức z khác 0 đều có đúng n căn bậc n, là các số dạng

ωk=rn(cos⁡ψk+isin⁡ψk){displaystyle {omega }_{k}={sqrt[{n}]{r}}left(cos {psi }_{k}+isin {psi }_{k}right)}

trong đó ψk=φ+k2πn{displaystyle {psi }_{k}={frac {varphi +k,2,pi }{n}}}, k=0,1,…n−1{displaystyle k=0,1,…n-1}

Xem thêm: Bài tập chứng minh đẳng thức vectơ

Một số ứng dụng[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Ứng dụng của số phức trong

    hình học phẳng

    : phép quay 90

    độ

    bình phương

    bằng -1. Quay hai lần 90 độ thì bằng quay 180 độ, mà quay 180 độ có nghĩa là lấy điểm ngược lại, cũng có nghĩa là nhân với -1. Vậy ta có thể nói rằng

    số ảo

    ı{displaystyle imath } đại diện cho sự quay, sự chuyển hướng 90 độ. Chính vì “ı{displaystyle imath } chẳng qua là quay 90 độ” nên số phức rất hiệu nghiệm trong hình học phẳng và trong

    lượng giác

    . Nhiều vấn đề của hình học phẳng rất phức tạp, hay nhiều

    công thức

    lượng giác phức tạp, trở nên đơn giản hơn hẳn khi sử dụng số phức để giải quyết.

  • Phân tích

    đa thức

    ra thừa số.

  • Tính toán các

    tích phân

    .

  • Tìm dạng chuẩn và phân loại các cấu trúc

    toán học

    .

  • Trong

    vật lý

    ngày nay, số phức xuất hiện rất nhiều. Bởi vì vật lý liên quan đến

    hình học

    , có nhiều

    đại lượng

    không chỉ có độ lớn mà còn có

    hướng

    . Mà đã nói đến hướng là dễ đụng đến số phức, vì số ảo thể hiện sự quay 90 độ. Ví dụ như để mô tả dòng

    điện xoay chiều

    (là thứ

    điện

    ta dùng chủ yếu ngày nay) hay một số thứ trong mạng điện nói chung, người ta có thể dùng số phức.

Các tập hợp số[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Các tập hợp số

N{displaystyle mathbb {N} }: Tập hợp

số tự nhiên

Z{displaystyle mathbb {Z} }: Tập hợp

số nguyên

Q{displaystyle mathbb {Q} }: Tập hợp

số hữu tỉ

I=R∖Q{displaystyle mathbb {I} =mathbb {R} setminus mathbb {Q} }: Tập hợp

số vô tỉ

R{displaystyle mathbb {R} }: Tập hợp

số thực

C{displaystyle mathbb {C} }: Tập hợp số phức

Xem thêm: Đường huyết tăng và những điều cần biết-Omron

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Hình học phức

  • Mặt cầu Riemann

    (

    mặt phẳng phức

    mở rộng)

  • Giải tích phức

  • Số siêu phức

  • Số nguyên Gauss

  • Căn bậc hai

  • Công thức Euler

Chú thích[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    Charles P. McKeague (2011).

    Elementary Algebra

    . Brooks/Cole. tr. 524.

    ISBN

     

    978-0-8400-6421-9

    .

  2. ^

    Burton (1995

    , tr. 294)Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFBurton1995 (

    trợ giúp

    )

  3. ^

    Complex Variables (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum’s Outline Series, Mc Graw Hill (USA),

    ISBN 978-0-07-161569-3

  4. ^

    Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007),

    College Algebra and Trigonometry

    (ấn bản 6), Cengage Learning, tr. 66,

    ISBN

     

    0-618-82515-0

    ,

    Chapter P, p. 66

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Số phức

    tại

    Encyclopædia Britannica

    (tiếng Anh)

Các chủ đề chính trong

toán học

Nền tảng toán học

|

Đại số

|

Giải tích

|

Hình học

|

Lý thuyết số

|

Toán học rời rạc

|

Toán học ứng dụng

|

Toán học giải trí

|

Toán học tô pô

|

Xác suất thống kê

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Số_phức&oldid=64972607

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button