Kiến thức

Tích phân Monte-Carlo – Wikipedia tiếng Việt

Tích phân Monte-Carlo

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Tích phân Monte Carlo là một phương pháp tìm giá trị số của

tích phân

, đặc biệt là các tích phân đa chiều có dạng:

I=∫Vf(x→)dx→{displaystyle I=int _{V}f({vec {x}}),d{vec {x}}}

trên một miền

không gian đa chiều

V sử dụng một số hữu hạn các lần gọi hàm f.

Các phương pháp tích phân Monte-Carlo bao gồm phương pháp cơ bản, phương pháp lấy mẫu có trọng tâm,… Các phương pháp này cũng cho biết ước lượng sai số thống kê của phép tính, tuy rằng ước lượng này có thể không chính xác do việc khảo sát ngẫu nhiên hàm số trên miền không gian đa chiều có thể không cho thấy hết mọi biểu hiện của hàm.

Xem thêm: Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Bài 3: Công Thức Lượng Giác

Tích phân Monte Carlo cơ bản[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Tích phân một chiều[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Ở dạng cơ bản nhất, giá trị của tích phân một chiều:

I=∫abf(x)dx{displaystyle I=int _{a}^{b}f(x),dx}

được dự đoán là tổng:

E(I)=V<f>=VN∑i=1Nf(xi){displaystyle E(I)=V<f>={frac {V}{N}}sum _{i=1}^{N}f(x_{i})}

trong đó

V

thể tích mở rộng

của miền tích phân

V=∫abdx{displaystyle V=int _{a}^{b},dx}
xi là các giá trị lấy

ngẫu nhiên đều

trong khoảng [a, b].

N là tổng số lần lấy mẫu xi

Sai số của dự đoán được tính bằng căn của phương sai của giá trị trung bình:

σ2(E(I))=VN∑i=1N(f(xi)−<f>)2{displaystyle sigma ^{2}(E(I))={frac {V}{N}}sum _{i=1}^{N}(f(x_{i})-<f>)^{2}}

Khi số lần lấy mẫu, N, tăng, phương sai giảm theo 1/N, tức là sai số của phép tính giảm theo 1N{displaystyle {frac {1}{sqrt {N}}}}.

Tích phân đa chiều[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Phương pháp trên được mở rộng cho tích phân đa chiều:

VfdV≈V<f>±<f2>−<f>2N{displaystyle int _{V}f,dVapprox V<f>pm {sqrt {frac {<f^{2}>-<f>^{2}}{N}}}}

với:_{i=1}^N f^2(x_i)</math>

N.

Xem thêm: Cách học bài nhanh thuộc và nhớ lâu môn Sinh học

Lấy mẫu có trọng tâm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Tích phân một chiều[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Nếu biết hàm cần tích phân f(x) cư xử như nào, ta có thể chọn được một hàm g(x) có giá trị biến đổi gần giống |f(x)| trên miền cần tích phân, ta có thể biến đổi tích phân thành:

I=∫abf(x)dx=∫abf(x)g(x)g(x)dx=∫abf(x)g(x)dG(x){displaystyle I=int _{a}^{b}f(x),dx=int _{a}^{b}{frac {f(x)}{g(x)}}g(x),dx=int _{a}^{b}{frac {f(x)}{g(x)}},dG(x)}

với:

g(x)=dG(x)dx{displaystyle g(x)={frac {dG(x)}{dx}}}

g(x) thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa:

abg(x)dx=1{displaystyle int _{a}^{b}g(x),dx=1}

Lúc này có thể lấy các điểm xi ngẫu nhiên trong khoảng [a, b] theo

phân bố xác suất

g(x’) để tìm giá trị tích phân:

I≈1N∑i=1Nf(xi)g(xi){displaystyle Iapprox {frac {1}{N}}sum _{i=1}^{N}{frac {f(x_{i})}{g(x_{i})}}}

Hàm g(x) càng giống f(x) thì phương sai của f(x)/g(x) càng nhỏ và sai số của phép tính càng nhỏ.

Một bất lợi của phương pháp này là sai số có thể lớn nếu hàm g(x) được chọn gần bằng 0 tại những điểm mà f(x) khác 0. Lúc đó, phương sai của f(x)/g(x) có thể lớn đến vô cùng. Lỗi này có thể khó phát hiện khi miền giá trị tại đó g(x) bằng 0 là rất nhỏ.

Xem thêm: Công thức tính nồng độ phần trăm – Thuật toán đơn giản, dễ áp dụng  – Nước sinh hoạt gia đình

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Thư viện phần mềm khoa học GNU

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • W.H. Press, G.R. Farrar, Recursive Stratified Sampling for Multidimensional Monte Carlo Integration, Computers in Physics, v4 (1990), pp190–195.
  • Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. “Simple Monte Carlo Integration” and “Adaptive and Recursive Monte Carlo Methods.” §7.6 and 7.8 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 295–299 and 306-319, 1992.
  • G.P. Lepage, A New Algorithm for Adaptive Multidimensional Integration, Journal of Computational Physics 27, 192-203, (1978)
  • G.P. Lepage, VEGAS: An Adaptive Multi-dimensional Integration Program, Cornell preprint CLNS 80-447, March 1980
  • Ueberhuber, C. W. “Monte Carlo Techniques.” §12.4.4 in Numerical Computation 2: Methods, Software, and Analysis. Berlin: Springer-Verlag, pp. 124–125 and 132-138, 1997.
  • York Acad. Sci. 86, 844-874, 1960.
  • Weinzierl, S. “Introduction to Monte Carlo Methods.” 23 Jun 2000.

    http://arxiv.org/abs/hep-ph/0006269/

    .

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tích_phân_Monte-Carlo&oldid=39483131

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button