Kiến thức

Tích phân từng phần – Wikipedia tiếng Việt

Tích phân từng phần

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Trong

vi tích phân

nói riêng, và trong

giải tích toán học

nói chung, tích phân từng phần là quá trình tìm

tích phân

của

tích

các hàm dựa trên tích phân các đạo hàm và nguyên hàm của chúng. Nó thường được sử dụng để biến đổi nguyên hàm của tích các hàm thành một nguyên hàm mà đáp án có thể được tìm thấy dễ dàng hơn. Quy tắc có thể suy ra bằng cách tích hợp

quy tắc nhân

của

đạo hàm

.

Nếu u = u(x) và du = u′(xdx, trong đó v = v(x) và dv = v′(xdx, thì tích phân từng phần phát biểu rằng:

abu(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]ab−abu′(x)v(x)dx=u(b)v(b)−u(a)v(a)−abu′(x)v(x)dx{displaystyle {displaystyle {begin{aligned}int _{a}^{b}u(x)v'(x),dx&=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-int _{a}^{b}u'(x)v(x)dx\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-int _{a}^{b}u'(x)v(x),dxend{aligned}}}}

hay gọn hơn:

udv=uv−vdu.{displaystyle int u,dv=uv-int v,du.!}

Có các công thức tổng quát hơn của tích phân từng phần cho

tích phân Riemann-Stieltjes

tích phân Lebesgue-Stieltjes

. Chuỗi số cũng có mô hình rời rạc tương tự gọi là

tổng từng phần

.

Định lý[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Tích của hai hàm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Định lý có thể được suy ra như sau. Giả sử u(x) và v(x) là hai

hàm

khả vi liên tục

.

Quy tắc nhân

phát biểu rằng (theo

ký hiệu của Leibniz

):

ddx(u(x)v(x))=v(x)ddx(u(x))+u(x)ddx(v(x)).{displaystyle {frac {d}{dx}}{Big (}u(x)v(x){Big )}=v(x){frac {d}{dx}}left(u(x)right)+u(x){frac {d}{dx}}left(v(x)right).!}

Tích phân cả hai vế đối với x,

ddx(u(x)v(x))dx=∫u′(x)v(x)dx+∫u(x)v′(x)dx{displaystyle int {frac {d}{dx}}left(u(x)v(x)right),dx=int u'(x)v(x),dx+int u(x)v'(x),dx}

sau đó áp dụng định nghĩa của

nguyên hàm

,

u(x)v(x)=∫u′(x)v(x)dx+∫u(x)v′(x)dx{displaystyle u(x)v(x)=int u'(x)v(x),dx+int u(x)v'(x),dx}
u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−u′(x)v(x)dx{displaystyle int u(x)v'(x),dx=u(x)v(x)-int u'(x)v(x),dx}

cho ta công thức tích phân từng phần.

Bởi vì du và dv là các

vi phân

của một hàm một biến x,

du=u′(x)dxdv=v′(x)dx{displaystyle du=u'(x)dxquad dv=v'(x)dx}
u(x)dv=u(x)v(x)−v(x)du{displaystyle int u(x),dv=u(x)v(x)-int v(x),du}

Tích phân gốc ∫uv′ dx chứa v′ (

đạo hàm

của v); để áp dụng định lý, phải tim

nguyên hàm

v (của v′), và tính tích phân ∫vu′ dx.

Mở rộng cho các trường hợp khác[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Điều kiện u và v khả vi liên tục là không thực cần thiết. Tích phân từng phần chỉ được áp dụng nếu u là

liên tục tuyệt đối

và hàm được chọn v’ phải

khả tích Lebesgue

(nhưng không nhất thiết là liên tục).

[1]

(Nếu v’ có một điểm gián đoạn thì nguyên hàm v của nó có thể không có đạo hàm tại điểm đó.)

Nếu khoảng tích phân không phải là không gian

compact

thì u không cần thiết phải hoàn toàn liên tục trong toàn khoảng hoặc v ‘ không cần thiết phải là khả tích Lebesgue trong khoảng, như một vài ví dụ sẽ cho thấy, trong đó u và v là liên tục và khả vi liên tục. Ví dụ nếu

u(x)=exp⁡(x)/x2,v′(x)=exp⁡(−x){displaystyle u(x)=exp(x)/x^{2},,v'(x)=exp(-x)}

u không liên tục hoàn toàn trên khoảng [1, +∞), tuy nhiên

1∞u(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]1∞1∞u′(x)v(x)dx{displaystyle int _{1}^{infty }u(x)v'(x),dx=left[u(x)v(x)right]_{1}^{infty }-int _{1}^{infty }u'(x)v(x),dx}

miễn là [u(x)v(x)]1∞{displaystyle left[u(x)v(x)right]_{1}^{infty }} có nghĩa là giới hạn u(L)v(L)−u(1)v(1){displaystyle u(L)v(L)-u(1)v(1)} khiL→{displaystyle Lto infty } và miễn là hai số hạng ở vế phải hữu hạn. Điều này chỉ đúng khi chúng ta chọn v(x)=−exp⁡(−x).{displaystyle v(x)=-exp(-x).} Tương tự, nếu

u(x)=exp⁡(−x),v′(x)=x−1sin⁡(x){displaystyle u(x)=exp(-x),,v'(x)=x^{-1}sin(x)}

v’ không khả vi Lebesgue trên khoảng [1, +∞), tuy nhiên

1∞u(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]1∞1∞u′(x)v(x)dx{displaystyle int _{1}^{infty }u(x)v'(x),dx=left[u(x)v(x)right]_{1}^{infty }-int _{1}^{infty }u'(x)v(x),dx}

với giải thích tương tự.

Người ta cũng có thể dễ dàng đưa ra những ví dụ như thế này nhưng trong đó u và v không khả vi liên tục.

Tích của nhiều hàm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Áp dụng quy tắc tích để tìm tích phần cho ba hàm nhân nhau, u(x), v(x), w(x), cho kết quả tương tự:

abuvdw=[uvw]ab−abuwdv−abvwdu.{displaystyle int _{a}^{b}uv,dw=[uvw]_{a}^{b}-int _{a}^{b}uw,dv-int _{a}^{b}vw,du.}

Tổng quát với n thừa số

ddx(∏i=1nui(x))=∑j=1n∏i≠jnui(x)duj(x)dx,{displaystyle {frac {d}{dx}}left(prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)right)=sum _{j=1}^{n}prod _{ineq j}^{n}u_{i}(x){frac {du_{j}(x)}{dx}},}

dẫn đến

[∏i=1nui(x)]ab=∑j=1n∫ab∏i≠jnui(x)duj(x),{displaystyle {Bigl [}prod _{i=1}^{n}u_{i}(x){Bigr ]}_{a}^{b}=sum _{j=1}^{n}int _{a}^{b}prod _{ineq j}^{n}u_{i}(x),du_{j}(x),}

trong đó

tích

thuộc tất cả các hàm ngoại trừ một hàm được lấy đạo hàm trong cùng số hạng.

Xem thêm: D10-D Bag End Musical Instrument Professional Loudspeaker

Sự hình dung[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Giải thích bằng đồ họa của định lý. Đường cong trong hình được tham số hoá bởi biến t.

Xem xét đường cong tham số bởi (x, y) = (f(t), g(t)). Giả sử rằng đường cong là

đơn ánh

cục bộ và

khả tích cục bộ

, ta định nghĩa

x(y)=f(g−1(y)){displaystyle x(y)=f(g^{-1}(y))}
y(x)=g(f−1(x)){displaystyle y(x)=g(f^{-1}(x))}

Diện tích vùng màu xanh là

A1=∫y1y2x(y)dy{displaystyle A_{1}=int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)dy}

Tương tự như vậy, diện tích của vùng màu đỏ là

A2=∫x1x2y(x)dx{displaystyle A_{2}=int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)dx}

Tổng diện tích A1 + A2 bằng diện tích của hình chữ nhật lớn hơn, x2y2, trừ đi diện tích của hình chữ nhật nhỏ hơn, x1y1:

y1y2x(y)dy⏞A1+∫x1x2y(x)dx⏞A2=x.y(x)|x1x2=y.x(y)|y1y2{displaystyle overbrace {int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)dy} ^{A_{1}}+overbrace {int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)dx} ^{A_{2}}={biggl .}x.y(x){biggl |}_{x1}^{x2}={biggl .}y.x(y){biggl |}_{y1}^{y2}}

Hoặc theo tham số t

t1t2x(t)dy(t)+∫t1t2y(t)dx(t)=x(t)y(t)|t1t2{displaystyle {displaystyle int _{t_{1}}^{t_{2}}x(t)dy(t)+int _{t_{1}}^{t_{2}}y(t)dx(t)={biggl .}x(t)y(t){biggl |}_{t_{1}}^{t_{2}}}}

Hoặc biễu diễn theo nguyên hàm:

xdy+∫ydx=xy{displaystyle int xdy+int ydx=xy}

Chỉnh lại:

xdy=xy−ydx{displaystyle int xdy=xy-int ydx}

Từ đó tích phân từng phần có thể coi là diện tích của vùng màu xanh trong tổng diện tích và diện tích của vùng đỏ.

Sự hình dung này cũng lý giải việc tích phân từng phần có thể tính tích phân của hàm nghịch đảo f−1(x) khi đã biết tích phân của f(x). Thật vậy, nếu hàm x(y) và y(x) là nghịch đảo của nhau thì có thể tìm tích phân ∫x dy khi đã biết tích phân ∫y dx. Cụ thể, điều này giải thích việc kết hợp sử dụng tích phân từng phần với

hàm logarithm

hàm lượng giác nghịch đảo

.

Ứng dụng để tìm nguyên hàm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Kịch bản[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Tích phân từng phần là một quá trình

suy nghiệm

hơn là một quá trình máy móc thuần tuý để tính toán tích phân; cho một hàm đơn để tích phân, các chiến lược điển hình là cẩn thận tách nó thành tích của hai hàm u(x)v(x) sao cho tích phân được tạo bởi công thức tích phân từng phần dễ tính toán hơn so với tích phân gốc. Công thức sau minh họa kịch bản trường hợp tốt nhất:

uv dx=u∫v dx−(u′∫v dx) dx.{displaystyle int uv dx=uint v dx-int left(u’int v dxright) dx.}

Lưu ý rằng ở vế phải, u được lấy đạo hàm và v được lấy tích phân; do đó sẽ hữu ích khi chọn u là một hàm có thể giản hóa khi lấy đạo hàm, hoặc khi chọn v là hàm đơn giản hóa được khi được lấy tích phân. Xét ví dụ đơn giản sau:

ln⁡(x)x2 dx .{displaystyle {displaystyle int {frac {ln(x)}{x^{2}}} dx .}}

Do đạo hàm của ln(x) là 1/x, ta chọn (ln(x)) là u; do nguyên hàm của1/x2 là –1/x, chọn 1/x2dx làm dv. Từ đó ta có:

ln⁡(x)x2 dx=−ln⁡(x)x−(1x)(−1x) dx .{displaystyle {displaystyle int {frac {ln(x)}{x^{2}}} dx=-{frac {ln(x)}{x}}-int {biggl (}{frac {1}{x}}{biggr )}{biggl (}-{frac {1}{x}}{biggr )} dx .}}

Nguyên hàm của 1×2{displaystyle -{frac {1}{x^{2}}}} có thể được tìm thấy bằng

quy tắc luỹ thừa

và bằng 1x{displaystyle {frac {1}{x}}}.

Ngoài ra, người ta có thể chọn u và v sao cho tích u’ (∫v dx) triệt tiêu nhau. Ví dụ, giả sử ta muốn tích phân:

sec2⁡(x)⋅ln⁡(|sin⁡(x)|) dx.{displaystyle int sec ^{2}(x)cdot ln {Big (}{bigl |}sin(x){bigr |}{Big )} dx.}

Nếu chúng ta chọn u(x) = ln(|sin(x)|) và v(x) = sec2x, thì u được lấy vi phân tới 1/ tan x bằng cách sử dụng

quy tắc chuỗi

và v được lấy tích phân tan x; do đó công thức cho:

sec2⁡(x)⋅ln⁡(|sin⁡(x)|) dx=tan⁡(x)⋅ln⁡(|sin⁡(x)|)−tan⁡(x)⋅1tan⁡(x)dx .∫sec2⁡(x)⋅ln⁡(|sin⁡(x)|) dx=tan⁡(x)⋅ln⁡(|sin⁡(x)|)−tan⁡(x)⋅1tan⁡(x)dx .{displaystyle {displaystyle int sec ^{2}(x)cdot ln {Big (}{bigl |}sin(x){bigr |}{Big )} dx=tan(x)cdot ln {Big (}{bigl |}sin(x){bigr |}{Big )}-int tan(x)cdot {frac {1}{tan(x)}}dx .}{displaystyle int sec ^{2}(x)cdot ln {Big (}{bigl |}sin(x){bigr |}{Big )} dx=tan(x)cdot ln {Big (}{bigl |}sin(x){bigr |}{Big )}-int tan(x)cdot {frac {1}{tan(x)}}dx .}}

Hàm lấy tích phân trở thành 1 và có nguyên hàm là x. Tìm ra sự kết hợp co thể giản hóa thường cần thử sai.

Trong một số trường hợp, không đảm bảo rằng tích phân tạo bởi tích phân từng phần sẽ có dạng đơn giản; Ví dụ, trong

giải tích số

, ta có thể chấp nhận khi chỉ tạo ra một số sai sót nhỏ. Một số kỹ thuật đặc biệt khác được chứng minh trong các ví dụ dưới đây.

Hàm đa thức và hàm lượng giác

Để tính

I=∫xcos⁡(x) dx{displaystyle I=int xcos(x) dx,}

đặt:

u=x ⇒ du=dx{displaystyle u=x Rightarrow du=dx}
dv=cos⁡(x) dx ⇒ v=∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x){displaystyle dv=cos(x) dx Rightarrow v=int cos(x) dx=sin(x)}

thì:

xcos⁡(x) dx=∫u dv=u⋅v−vdu=xsin⁡(x)−sin⁡(x) dx=xsin⁡(x)+cos⁡(x)+C,{displaystyle {begin{aligned}int xcos(x) dx&=int u dv\&=ucdot v-int v,du\&=xsin(x)-int sin(x) dx\&=xsin(x)+cos(x)+C,end{aligned}}!}

với C

hằng số tích phân

.

Đối với bậc cao hơn của x trong dạng

xnex dx, ∫xnsin⁡(x) dx, ∫xncos⁡(x) dx{displaystyle int x^{n}e^{x} dx, int x^{n}sin(x) dx, int x^{n}cos(x) dx,}

sử dụng nhiều lần tích phân từng phần có thể tính các tích phân thuộc loại này; mỗi lần sử dụng sẽ giảm một bậc của x.

Hàm mũ và hàm lượng giác

Một ví dụ thường dùng để tính tích phân từng phần là

I=∫excos⁡(x) dx.{displaystyle I=int e^{x}cos(x) dx.}

Ở đây, ta thực hiện tích phân từng phần hai lần. Đầu tiên đặt

u=cos⁡(x) ⇒ du=−sin⁡(x) dx{displaystyle u=cos(x) Rightarrow du=-sin(x) dx}
dv=ex dx ⇒ v=∫ex dx=ex{displaystyle dv=e^{x} dx Rightarrow v=int e^{x} dx=e^{x}}

thì:

excos⁡(x) dx=excos⁡(x)+∫exsin⁡(x) dx.{displaystyle int e^{x}cos(x) dx=e^{x}cos(x)+int e^{x}sin(x) dx.}

Giờ, để tính tích phân còn lại, chúng ta sử dụng tích phân từng phần một lần nữa, với:

u=sin⁡(x) ⇒ du=cos⁡(x) dx{displaystyle u=sin(x) Rightarrow du=cos(x) dx}
dv=ex dx ⇒ v=∫ex dx=ex.{displaystyle dv=e^{x} dx Rightarrow v=int e^{x} dx=e^{x}.}

thì:

exsin⁡(x) dx=exsin⁡(x)−excos⁡(x) dx.{displaystyle int e^{x}sin(x) dx=e^{x}sin(x)-int e^{x}cos(x) dx.}

Kết hợp lại,

excos⁡(x) dx=excos⁡(x)+exsin⁡(x)−excos⁡(x) dx.{displaystyle int e^{x}cos(x) dx=e^{x}cos(x)+e^{x}sin(x)-int e^{x}cos(x) dx.}

Tích phân giống nhau xuất hiện trên cả hai vế của phương trình này. Thêm tích phân cần tính vào 2 vế, ta có

2∫excos⁡(x) dx=ex(sin⁡(x)+cos⁡(x))+C{displaystyle 2int e^{x}cos(x) dx=e^{x}{bigl (}sin(x)+cos(x){bigr )}+C}

mà trở thành:

excos⁡(x) dx=ex(sin⁡(x)+cos⁡(x))2+C′{displaystyle int e^{x}cos(x) dx={frac {e^{x}{bigl (}sin(x)+cos(x){bigr )}}{2}}+C’}

trong đó C (và C‘ = C/2) là các

hằng số tích phân

.

Phương pháp tương tự được sử dụng để tìm

tích phân của hàm sec bậc ba

.

Các hàm được nhân với phần tử đơn vị

Hai ví dụ nổi tiếng khác khi áp dụng tích phân từng phần cho một hàm được biểu diễn là tích của 1 và chính nó. Có thể tính tích phân này nếu biết đạo hàm của hàm đó và tích phân của đạo hàm này nhân x.

Ví dụ đầu tiên là ∫ ln(x) dx. Chúng ta viết tích phân này như:

I=∫ln⁡(x)⋅1 dx .{displaystyle {displaystyle I=int ln(x)cdot 1 dx .}}

Đặt:

u=ln⁡(x) ⇒ du=dxx{displaystyle u=ln(x) Rightarrow du={frac {dx}{x}}}
dv=dx ⇒ v=x{displaystyle dv=dx Rightarrow v=x}

thì:

ln⁡(x) dx=xln⁡(x)−xx dx=xln⁡(x)−1 dx=xln⁡(x)−x+C{displaystyle {begin{aligned}int ln(x) dx&=xln(x)-int {frac {x}{x}} dx\&=xln(x)-int 1 dx\&=xln(x)-x+Cend{aligned}}}

trong đó C là

hằng số tích phân

.

Ví dụ thứ hai là hàm tan nghịch arctan(x):

I=∫arctan⁡(x) dx.{displaystyle I=int arctan(x) dx.}

Viết lại

arctan⁡(x)⋅1 dx.{displaystyle int arctan(x)cdot 1 dx.}

Đặt:

u=arctan⁡(x) ⇒ du=dx1+x2{displaystyle u=arctan(x) Rightarrow du={frac {dx}{1+x^{2}}}}
dv=dx ⇒ v=x{displaystyle dv=dx Rightarrow v=x}

thì

arctan⁡(x) dx=x⋅arctan⁡(x)−x1+x2 dx=x⋅arctan⁡(x)−ln⁡(1+x2)2+C{displaystyle {begin{aligned}int arctan(x) dx&=xcdot arctan(x)-int {frac {x}{1+x^{2}}} dx\[8pt]&=xcdot arctan(x)-{frac {ln(1+x^{2})}{2}}+Cend{aligned}}}

sử dụng kết hợp giữa

phương pháp quy tắc chuỗi đảo

điều kiện tích phân của hàm logarit tự nhiên

.

Quy tắc LIATE[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Ứng dụng trong toán học thuần tuý[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Tích phân từng phần thường được sử dụng như một công cụ để chứng minh các định lý trong

giải tích toán học

. Phần này đưa ra vài ví dụ.

Dùng trong các hàm đặc biệt[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Dùng trong giải tích điều hòa[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Biến đổi Fourier của đạo hàm
Phân rã của biến đổi Fourier

Dùng trong lý thuyết toán tử[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Các ứng dụng khác[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Để xác định

    điều kiện biên

    trong

    lý thuyết Sturm-Liouville

  • Đạo hàm của

    phương trình Euler-Lagrange

    trong

    giải tích của biến thể

Xem thêm: Cách viết phương trình tiếp tuyến đầy đủ, có hướng dẫn chi tiết từng dạng

Tích phân đệ quy từng phần[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Bảng tích phân từng phần[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Các chiều cao hơn[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Integration by parts for the Lebesgue–Stieltjes integral
  • Integration by parts for semimartingales, involving their quadratic covariation.
  • Integration by substitution

  • Legendre transformation

Xem thêm: Cách sử dụng hàm GCD để tìm ước số chung lớn nhất

Ghi chú[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    “Integration by parts”

    . Encyclopedia of Mathematics.

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Evans, Lawrence C. (1998). Partial Differential Equations. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society.

    ISBN

     

    0-8218-0772-2

    .

  • Arbogast, Todd

    ; Bona, Jerry (2005).

    Methods of Applied Mathematics

    (PDF).

  • Horowitz, David (tháng 9 năm 1990). “Tabular Integration by Parts”. The College Mathematics Journal. 21 (4): 307–311.

    doi

    :

    10.2307/2686368

    .

    JSTOR

     

    2686368

    .“Tabular Integration by Parts”. The College Mathematics Journal 21 (4): 307–311.

    doi

    :

    10.2307/2686368

    .

    JSTOR

     

    2686368

    . 

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Hazewinkel, Michiel biên tập (2001),

    “Integration by parts”

    ,

    Bách khoa toàn thư Toán học

    ,

    Springer

    ,

    ISBN

     

    978-1-55608-010-4

  • Integration by parts—from MathWorld

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tích_phân_từng_phần&oldid=63209713

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button