Kiến thức

Tập hợp (toán học) – Wikipedia tiếng Việt

Tập hợp (toán học)

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Một tập hợp hình đa giác trong một

biểu đồ Euler

Trong

toán học

, tập hợp là một khái niệm cơ bản (không định nghĩa). Tập hợp là một trong những khái niệm nền tảng nhất của

toán học

. Ngành toán học nghiên cứu về tập hợp là

lý thuyết tập hợp

.

Trong lý thuyết tập hợp, người ta có thể xem tập hợp là một

khái niệm nguyên thủy

, không

định nghĩa

.

[1]

tồn tại

theo các

tiên đề

được xây dựng một cách chặt chẽ. Khái niệm tập hợp là nền tảng để xây dựng các khái niệm khác như

số

,

hình

,

hàm số

… trong

toán học

. Trong một số hệ thống, tập hợp có thể được định nghĩa thông qua khái niệm

lớp

.

Nếu a là

phần tử

của tập hợp A, ta ký hiệu a {displaystyle in } A. Khi đó, ta cũng nói rằng phần tử a

thuộc

tập hợp A.

Một tập hợp có thể là một phần tử của một tập hợp khác. Tập hợp mà mỗi phần tử của nó là một tập hợp còn được gọi là

họ tập hợp

.

Lý thuyết tập hợp cũng thừa nhận có một tập hợp không chứa phần tử nào, được gọi là

tập hợp rỗng

, ký hiệu là {displaystyle emptyset }. Các tập hợp có chứa ít nhất một phần tử được gọi là tập hợp không rỗng.

Ngày nay, một phần của lý thuyết tập hợp đã được nhiều nước đưa vào

giáo dục phổ thông

, thậm chí ngay từ bậc

tiểu học

.

Nhà toán học

Georg Cantor

được coi là ông tổ của lý thuyết tập hợp. Để ghi nhớ những đóng góp của ông cho lý thuyết tập hợp nói riêng và toán học nói chung, tên ông đã được đặt cho một ngọn núi ở

Mặt Trăng

.

Biểu diễn tập hợp[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Không phải mọi tập hợp đều cần phải liệt kê rành mạch theo

thứ tự

nào đó. Chúng có thể được mô tả bằng các

tính chất đặc trưng

cho các phần tử của chúng mà nhờ đó có thể xác định một

đối tượng

nào đó có thuộc tập hợp này hay không.

  • Tập hợp có thể được xác định bằng lời:
A là tập hợp bốn

số nguyên dương

đầu tiên.

B là tập hợp các màu trên

quốc kỳ Pháp

.

  • Có thể xác định một tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của chúng giữa cặp dấu { }, chẳng hạn:
C = {4, 2, 1, 3}
D = {K;A;T;Y;P;E;R;R;Y}
E = {S;T;R;E;A;M;D;A;I;S;I,E;S}

Các tập hợp có nhiều phần tử có thể liệt kê một số phần tử. Chẳng hạn tập hợp 1000 số tự nhiên đầu tiên có thể liệt kê như sau:

{0, 1, 2, 3,…, 999}.

Tập các số tự nhiên chẵn có thể liệt kê:

{2, 4, 6, 8,… }.

Tập hợp F của 20 số chính phương đầu tiên có thể cho như sau

F = {n2{displaystyle n^{2}} | n là số nguyên và 0 ≤ n ≤ 19}
  • Tập hợp có thể xác định bằng

    đệ quy

    . Chẳng hạn tập các số tự nhiên lẻ L có thể cho như sau:

  1. 1∈L{displaystyle 1in L}
  2. Nếu n∈L{displaystyle nin L} thì n+2∈L.{displaystyle n+2in L.}

Quan hệ giữa các tập hợp[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Quan hệ bao hàm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Tập hợp con

    : Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì tập hợp A được gọi là tập hợp con ({displaystyle subset }) của tập hợp B, ký hiệu là A {displaystyle subset } B, và tập hợp B bao hàm tập hợp A.

Quan hệ bao hàm: A {displaystyle subset } B

Các tập hợp số

Quan hệ A {displaystyle subset } B còn được gọi là

quan hệ bao hàm

. Quan hệ bao hàm là một quan hệ thứ tự trên các tập. Ví dụ:

N{displaystyle mathbb {N} }: Tập hợp

số tự nhiên

Z{displaystyle mathbb {Z} }: Tập hợp

số nguyên

Q{displaystyle mathbb {Q} }: Tập hợp

số hữu tỉ

I{displaystyle mathbb {I} } = R{displaystyle mathbb {R} }{displaystyle setminus }Q{displaystyle mathbb {Q} }: Tập hợp

số vô tỉ

R{displaystyle mathbb {R} }: Tập hợp

số thực

C{displaystyle mathbb {C} }: Tập hợp

số phức

Ta có

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C{displaystyle mathbb {N} subset mathbb {Z} subset mathbb {Q} subset mathbb {R} subset mathbb {C} }

Một tập hợp có n{displaystyle n} phần tử thì có 2n{displaystyle 2^{n}} tập hợp con.

[2]

Quan hệ bằng nhau[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau nếu A là tập hợp con của B (A {displaystyle subset } B) và B cũng là tập hợp con của A(B {displaystyle subset } A), ký hiệu A = B.

Theo định nghĩa, mọi tập hợp đều là tập con của chính nó; tập rỗng là tập con của mọi tập hợp. Mọi tập hợp A không rỗng có ít nhất hai tập con là rỗng và chính nó. Chúng được gọi là các tập con tầm thường của tập A. Nếu tập con B của A khác với chính A, nghĩa là có ít nhất một phần tử của A không thuộc B thì B được gọi là tập con thực sự, tập con chân chính hay tập con đích thực của tập hợp A.

Xem thêm: 18 Bài tập số phức hay và khó chọn lọc, có lời giải-Toán lớp 12

Các phép toán trên các tập hợp[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Các định nghĩa[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Venn A union B.png

  • Hợp

    (Union): Hợp của A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B, ký hiệu A {displaystyle cup } B

Ta có A {displaystyle cup } B = {x: x {displaystyle in } A hoặc x {displaystyle in } B}

Venn A intersect B.svg

  • Giao

    (Intersection): Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B, ký hiệu A {displaystyle cap } B

Ta có A {displaystyle cap } B = {x: x {displaystyle in } A và x {displaystyle in } B}

1+1=3

  • Hiệu

    (Difference): Hiệu của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B, ký hiệu A∖B{displaystyle Asetminus B}

Ta có: A B = {x: x {displaystyle in } A và x {displaystyle notin } B}
Lưu ý, A B {displaystyle neq } B A

Phần bù của A trong B

  • Phần bù

    (Complement): là hiệu của tập hợp con. Nếu A{displaystyle subset }B thì B A được gọi là phần bù của A trong B, ký hiệu CAB (hay CB A)

  • Trong nhiều trường hợp, khi tất cả các tập hợp đang xét đều là tập con của một tập hợp U (được gọi là

    tập vũ trụ

    -đôi khi có nghĩa như

    trường

    hay

    không gian

    – trong

    vật lý

    ; hay cũng gọi là tập phổ dụng, giống như trong

    đại số phổ dụng

    ), người ta thường xét phần bù của mỗi tập A, B, C,… đang xét trong tập U, khi đó ký hiệu phần bù không cần chỉ rõ U mà ký hiệu đơn giản là CA,CB,… hoặc {displaystyle {overline {A}}}, {displaystyle {overline {B}}}

Các tính chất cơ bản[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Các phép toán trên tập hợp có các tính chất sau:

  • Luật luỹ đẳng

    :

A {displaystyle cup } A = A
A {displaystyle cap } A = A

Phát biểu: giao hoặc hợp của một tập hợp với chính nó cho kết quả là chính nó. Mặt khác, hợp của một tập với phần bù của nó cũng là chính nó nhưng giao của một tập với phần bù của nó lại là một tập rỗng.

  • Luật hấp thụ

    (còn gọi là luật bao hàm):

A {displaystyle cup } (A {displaystyle cap } B) = A
A {displaystyle cap } (A {displaystyle cup } B) = A
Luật hấp thụ còn được viết dưới dạng khác như sau:
Nếu A {displaystyle subset } B thì A {displaystyle cup } B = B và A {displaystyle cap } B = A
  • Luật

    giao hoán

    :

A {displaystyle cup } B = B {displaystyle cup } A
A {displaystyle cap } B = B {displaystyle cap } A
  • Luật

    kết hợp

    :

A {displaystyle cap } (B {displaystyle cap } C) = (A {displaystyle cap } B) {displaystyle cap } C
A {displaystyle cup } (B {displaystyle cup } C) = (A {displaystyle cup } B) {displaystyle cup } C
  • Luật

    phân phối

    :

A {displaystyle cap } (B {displaystyle cup } C) = (A {displaystyle cap } B) {displaystyle cup } (A {displaystyle cap } C)
A {displaystyle cup } (B {displaystyle cap } C) = (A {displaystyle cup } B) {displaystyle cap } (A {displaystyle cup } C)
  • Luật

    De Morgan

    :

A∪{displaystyle {overline {Acup B}}}= {displaystyle {overline {A}}cap {overline {B}}}
A∩{displaystyle {overline {Acap B}}}= {displaystyle {overline {A}}cup {overline {B}}}

Lực lượng của tập hợp – Hữu hạn và vô hạn[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Khái quát hoá

khái niệm

số lượng phần tử của các tập hợp hữu hạn là khái niệm

lực lượng của tập hợp

(

Cardinality

).

Hai tập hợp được gọi là có cùng lực lượng nếu có một

song ánh

giữa chúng. Các tập hợp hữu hạn có cùng lực lượng

khi và chỉ khi

chúng có cùng số phần tử theo nghĩa thông thường.

Tập hợp A và tập hợp B có cùng lực lượng

Khác biệt cơ bản của các

tập hữu hạn

với các

tập vô hạn

là mọi tập hữu hạn không có cùng lực lượng với một tập con thực sự của nó. Đối với các tập hợp vô hạn thì không phải như vậy. Sau đây là một vài ví dụ đơn giản:

  • Tập con N∖{0}{displaystyle mathbb {N} setminus {0}} là tập con thực sự của N{displaystyle mathbb {N} }, tuy nhiên ta có thể kiểm tra

    ánh xạ

    sau là song ánh hay không:

ϕ:N→N∖{0}{displaystyle phi :mathbb {N} to mathbb {N} setminus {0}}

n⟼n+1{displaystyle nlongmapsto n+1}

Nghĩa là chúng có cùng lực lượng.

Georg Cantor

đã chứng minh rằng không thể có một song ánh giữa tập các

số tự nhiên

và tập hợp các

số thực

, vì thế lực lượng của tập hợp số tự nhiên là “nhỏ hơn” lực lượng của tập số thực. Các tập có cùng lực lượng với tập số tự nhiên được gọi là các tập đếm được, các tập hợp có cùng lực lượng với tập số thực được gọi là tập có lực lượng

continuum

.

|Z|<|R|{displaystyle |mathbb {Z} |<|mathbb {R} |}
Nếu ký hiệu |Z|{displaystyle |mathbb {Z} |}0{displaystyle aleph _{0}} (“

aleph-null

“) và |R|{displaystyle |mathbb {R} |}2ℵ0{displaystyle 2^{aleph _{0}}},thì ta có:

|Z|{displaystyle |mathbb {Z} |}< 2ℵ0{displaystyle 2^{aleph _{0}}}.

Phân hoạch[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

B(E) là tập các bộ phận của tập E.
Khi đó, P gọi là 1 phân hoạch của E ( Une Partition d’ensemble E ) nếu:

  • P là một bộ phận của B(E).
  • Với mọi tập Ai của P, AiΦ
  • Với mọi phần tử Ai ≠ Aj của P, Ai giao Aj = Φ
  • Với mọi phần tử x của E, luôn tìm thấy phần tử A của P sao cho x là phần tử của A. (Nói cách khác hợp tất cả các phần tử Ai của P ta được E)

Ví dụ: E = {a,b,c}.
P={{a},{b,c}} là 1 phân hoạch của E. Vì:

  • P là một bộ phận của B(E) (Hiển nhiên).
  • Xét tất cả các phần tử của P: A1 = {a} ≠ Φ và A2 = {b,c} ≠ Φ
  • {a} giao với {b,c} = Φ
  • {a} U {b,c} = E

Xem thêm: (PDF) BỘ BIẾN ĐỔI AC-AC

Các khái niệm liên quan[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Vì tập hợp là khái niệm nền tảng của toán học và nhiều ngành khoa học khác như

vật lý

,

hoá học

,

sinh học

, các khoa học xã hội…, nên có rất nhiều thuật ngữ trong các ngành khoa học liên quan đến khái niệm tập hợp như:

Tập hợp chấp nhận được

,

Tập hợp giải tích

,

Tập hợp cơ sở

,

Tập hợp biên

,

Tập hợp bị chặn

,

Tập hợp đóng

,

Tập hợp giới hạn

,…

Trong toán học cũng như một số ngành khoa học, người ta còn dùng một số thuật ngữ khác có cùng ý nghĩa với từ “tập hợp”. Ví dụ như là họ, loài, lớp, bộ, nhóm

Lý thuyết tập hợp tiên đề[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Sử dụng lý thuyết tập hợp một cách trực giác có thể dẫn đến một số nghịch lý:

  • Nghịch lý Russel

    : nó cho thấy “tập hợp tất cả các tập hợp không tự chứa”, i.e. “tập hợp” {x|x là một tập hợp và xx} không tồn tại.

  • Nghịch lý Cantor

    : nó cho thấy “tập hợp tất cả các tập hợp” không tồn tại.

Lý do là khái niệm tập hợp chưa được xác định rõ ràng. Trong khi toán học đang được xây dựng lại dựa theo lý thuyết tập hợp, một điều tối quan trọng là giải quyết những nghịch lý trên. Một cách tiếp cận là xây dựng lý thuyết tập hợp tiên đề dựa trên

logic bậc nhất

. Kết quả là một số hệ tiên đề như

ZF

,

ZFC

,… đã được khai sinh.

Trong đại đa số trường hợp, lý thuyết tập hợp ngây thơ vẫn được sử dụng hữu hiệu.

Giả thuyết Continuum[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Ta đã thấy là lực lượng đếm được nhỏ hơn lực lượng Continuum. Tuy nhiên, có hay không một tập hợp có lực lượng lớn hơn

lực lượng đếm được

và nhỏ hơn

lực lượng continuum

lại là một vấn đề khác, Cantor giả thiết rằng không có điều đó (

giả thiết continuum

– tiếng Anh: continuum hypothesis).

∄A:ℵ0<|A|<2ℵ0.{displaystyle not exists mathbb {A} :aleph _{0}<|mathbb {A} |<2^{aleph _{0}}.}

Điều này tương đương với:

2ℵ0=ℵ1{displaystyle 2^{aleph _{0}}=aleph _{1}}

Cantor phát biểu giả thuyết Continuum năm 1878, và năm 1900 nó là bài toán đầu tiên trong

23 bài toán

Hilbert đưa ra. Kết luận cuối cùng là giả thuyết này độc lập với ZFC, tức là ta có thể khẳng định hay phủ định giả thuyết Continuum, và thêm nó vào như một tiên đề độc lập với ZFC, theo nghĩa nếu ZFC nhất quán thì lý thuyết mới cũng nhất quán. Sự độc lập này được chứng minh năm 1963 bởi Paul Cohen, dựa trên những công trình năm 1940 của Kurt Gödel. Cohen được trao

giải thưởng Fields

năm 1966 cho chứng minh này.

Sau đó, giả thuyết Continuum vẫn tiếp tục được nghiên cứu trên những khía cạnh khác.

Tiên đề chọn

,

định lý bất toàn Godel

và giả thuyết Continuum là vài trong số những khẳng định đầu tiên được chứng minh là độc lập với ZF. Sau này, nhiều khẳng định khác trong giải tích, tô-pô và lý thuyết độ đo cũng được chứng minh là độc lập với ZF.

Xem thêm: Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cộng đại số và Bài tập vận dụng-Toán lớp 9

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Lý thuyết tập hợp

  • Lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel

  • Nghịch lý Russell

  • Trường (toán học)

  • Không gian mêtric

Chú thích[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 31

  2. ^

    “Subset”

    . Truy cập 9 tháng 2 năm 2015.

Thư mục[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Hoàng Xuân Sính

    , 1972, Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám), Nhà xuất bản giáo dục

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Tập hợp (toán học)

    tại

    Từ điển bách khoa Việt Nam

  • Set (mathematics and logic)

    tại

    Encyclopædia Britannica

    (tiếng Anh)

  • Cơ bản về lý thuyết tập hợp (tiếng Anh)

  • Lý thuyết tập hợp

  • Tập hợp trên Mathworld

Các chủ đề chính trong

toán học

Nền tảng toán học

|

Đại số

|

Giải tích

|

Hình học

|

Lý thuyết số

|

Toán học rời rạc

|

Toán học ứng dụng

|

Toán học giải trí

|

Toán học tô pô

|

Xác suất thống kê

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tập_hợp_(toán_học)&oldid=65013107

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button