Kiến thức

Tổng Riemann – Wikipedia tiếng Việt

Tổng Riemann

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Bốn phương pháp của tổng Riemann cho diện tích được ước tính dưới đường cong. Phương pháp phải trái ước tính điểm cuối phải và trái của mỗi khoảng con, lần lượt. Phương pháp cực đạicực tiểu ước tính bằng cách sử dụng giá trị điểm cuối lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi khoảng con, lần lượt. Giá trị của tổng như là các khoảng con chia đều từ trái trên tới phải dưới.

Trong

toán học

, một tổng Riemann là một thể loại của

phép tính gần đúng

của tích phân bởi một tổng hữu hạn. Nó được đặt tên theo sau nhà toán học người Đức thế kỷ 19

Bernhard Riemann

. Một ứng dụng thường thấy không những là phép tính gần đúng diện tích của hàm số hoặc đường thẳng trên đồ thị, mà còn là độ dài đường cong và một số phép tính gần đúng khác.

Tổng được tính toán bằng

sự phân chia

các vùng thành các dạng hình (

hình chữ nhật

,

hình thang

,

parabol

, hoặc

hình hàm bậc ba

) mà cùng nhau tạo thành những vùng giống với những vùng đã có được công thức tính toán, sau đó tính diện tích của mỗi vùng này, và cuối cùng cộng tất cả diện tích của những vùng nhỏ này với nhau. Phương pháp này có thể được dùng để tìm một số gần đúng cho

tích phân xác định

mặc dù

định lý cơ bản của giải tích

cho rằng nó không dễ để tìm một

kết quả dạng đóng

.

Bởi vì có những trường hợp những vùng này không phải là những vùng đã có được công thức tính toán từ trước, nên tổng Riemann sẽ khác với diện tích được tính toán. Lỗi này có thể được giảm đi bằng cách chia khoảng một cách chính xác nhất (nhỏ hơn và nhỏ hơn nữa). Khi mà hình dạng được chia nhỏ hơn và nhỏ hơn, tổng sẽ tiến tới

tích phân Riemann

.

Xem thêm: Phương trình tiếp tuyến-Các phương pháp viết và ví dụ

Khái niệm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Cho f:[a,b]→R{displaystyle f:[a,b]rightarrow mathbb {R} } là hàm số xác định đoạn [a,b]{displaystyle [a,b]} của tập hợp số thực, R{displaystyle mathbb {R} }, và

P={[x0,x1],[x1,x2],…,[xn−1,xn]}{displaystyle P=left{[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],dots ,[x_{n-1},x_{n}]right}}⁠,

là sự phân chia của I

, khi

a=x0<x1<x2<⋯<xn=b{displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<cdots <x_{n}=b}.

Tổng Riemann S{displaystyle S} của f trên I với sự phân chia P (độ dài) được định nghĩa bởi:

S=∑i=1nf(xi∗xi{displaystyle S=sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*}),Delta x_{i}}

khi Δxi=xi−xi−1{displaystyle Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}} và một đoạn xi∗[xi−1,xi]{displaystyle x_{i}^{*}in [x_{i-1},x_{i}]}.

[1]

Chú ý từ “một đoạn” của câu trước. Một cách nghĩ khác về dấu hoa thị này là ta đang chọn một điểm bất kỳ trên đoạn này, và không cần quan tâm đến là chọn điểm nào; khi mà hiệu hoặc độ dài của đoạn tiến tới không, hiệu giữa hai điểm trong đoạn hình chữ nhật này cũng tiến tới không. Đây là bởi vì sự lựa chọn xi∗{displaystyle x_{i}^{*}} trong đoạn [xi−1,xi]{displaystyle [x_{i-1},x_{i}]} là bất kỳ, nên bất kỳ hàm số f nào xác định trên khoảng I và khoảng chia P, mỗi một hàm số sẽ cho ra các tổng khác nhau phụ thuộc vào xi∗{displaystyle x_{i}^{*}} được chọn, miễn là xi−1≤xi∗xi{displaystyle x_{i-1}leq x_{i}^{*}leq x_{i}} vẫn đúng.

Một số dạng đặc trưng của tổng Riemann[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Mỗi sự lựa chọn xi∗{displaystyle x_{i}^{*}} cho ta dạng tổng Riemann khác nhau:

  • Nếu xi∗=xi−1{displaystyle x_{i}^{*}=x_{i-1}} với mọi i, thì S được gọi là quy tắc trái

    [2]

    [3]

    hoặc tổng Riemann trái.

  • Nếu xi∗=xi{displaystyle x_{i}^{*}=x_{i}} với mọi i, thì S được gọi là quy tắc phải

    [2]

    [3]

    hoặc tổng Riemann phải.

  • Nếu xi∗=(xi+xi−1)/2{displaystyle x_{i}^{*}=(x_{i}+x_{i-1})/2} với mọi i, thì S được gọi là quy tắc điểm giữa

    [2]

    [3]

    hoặc tổng Riemann giữa.

  • Nếu f(xi∗)=supf([xi−1,xi]){displaystyle f(x_{i}^{*})=sup f([x_{i-1},x_{i}])} (nó là,

    cận trên đúng

    của f trên [xi−1,xi]{displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}), thì S được định nghĩa là tổng Riemann cao hoặc tổng Darboux cao.

  • Nếu f(xi∗)=inff([xi−1,xi]){displaystyle f(x_{i}^{*})=inf f([x_{i-1},x_{i}])} (nó là,

    cận dưới đúng

    của f trên [xi−1,xi]{displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}), thì S được định nghĩa là tổng Riemann thấp hoặc tổng Darboux thấp.

Những phương pháp này là những phương pháp cơ bản nhất để đạt được

phép lấy tích phân bằng số

. Nói dễ hơn, hàm số có thể

tích phân Riemann

được nếu tất cả các tổng Riemann cũng như các khoảng chia “chính xác và nhỏ hơn”.

Nếu nó không phải là tổng Riemann, tổng trung bình của trái và phải Riemann là

quy tắc hình thang

và là một trong những cách chung đơn giản nhất để tính gần đúng tích phân bằng cách sử dụng trung bình trọng số. Điều này theo sau tính phức tạp bởi

quy tắc Simpson

công thức Newton–Cotes

.

Bất kỳ tổng Riemann với khoảng chia (đó là, với bất kỳ sự lựa chọn nào của xi∗{displaystyle x_{i}^{*}} giữa xi−1{displaystyle x_{i-1}}xi{displaystyle x_{i}}) đều ở trong tổng Darboux cao và thấp. Điều này làm cơ sở cho

tích phân Darboux

, khi nó tương đương với tích phân Riemann.

Xem thêm: Vật lí 9 Tiết 38 MÁY PHÁT ĐIỆN

Phương pháp[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Bốn phương pháp của tổng Riemann là những pháp cơ bản nhất. Đoạn [a, b] được chia thành n khoảng con, có độ dài

Δx=b−an.{displaystyle Delta x={frac {b-a}{n}}.}

Điểm trong khoảng chia này sẽ là

a,a+Δx,a+2Δx,…,a+(n−2)Δx,a+(n−1)Δx,b.{displaystyle a,a+Delta x,a+2,Delta x,ldots ,a+(n-2),Delta x,a+(n-1),Delta x,b.}

Tổng Riemann trái[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Tổng Riemann trái của hàm x3 trên đoạn [0,2] với 4 khoảng con

Với tổng Riemann trái, phép tính gần đúng hàm số bằng cách sử dụng giá trị của nó tại điểm trái cùng cho nhiều hình chữ nhật với chiều dài Δx và chiều cao f(a + iΔx). Làm điều này đối với i = 0, 1,…, n − 1, và cộng vào diện tích thu được cho

Δx[f(a)+f(a+Δx)+f(a+2Δx)+⋯+f(b−Δx)].{displaystyle Delta xleft[f(a)+f(a+Delta x)+f(a+2,Delta x)+cdots +f(b-Delta x)right].}

Tổng Riemann trái lên cao hơn giá trị nếu f

sự nghịch biến

trên đoạn này, và thấp hơn giá trị nếu có

sự đồng biến

.

Tổng Riemann phải[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Tổng Riemann phải của hàm x3 trên đoạn [0,2] với 4 khoảng con

f ở đây được tính gần đúng bởi giá trị của điểm cuối bên phải. Cho nhiều hình chữ nhật với chiều dài Δx và độ cao f(a + i Δx). Làm điều này đối với i = 1,…, n, và cộng vào diện tích thu được cho

Δx[f(a+Δx)+f(a+2Δx)+⋯+f(b)].{displaystyle Delta xleft[f(a+Delta x)+f(a+2,Delta x)+cdots +f(b)right].}

Tổng Riemann phải này là thấp hơn nếu f nghịch biến, và cao hơn nếu nó đồng biến. Sai số của công thức này sẽ là

|∫abf(x)dx−Aright|≤M1(b−a)22n{displaystyle leftvert int _{a}^{b}f(x),dx-A_{mathrm {right} }rightvert leq {frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}}},

với M1{displaystyle M_{1}} là giá trị lớn nhất của

giá trị tuyệt đối

của f′(x){displaystyle f^{prime }(x)} trên đoạn này.

Quy tắc điểm giữa[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Tổng Riemann giữa của hàm x3 trên đoạn [0,2] với 4 khoảng con

Phép tính gần đúng f tại điểm giữa của đoạn cho f(a + Δx/2) của khoảng thứ nhất, kế tiếp là f(a + 3Δx/2), và tiếp tục cho đến f(b − Δx/2). Tổng diện tích thu được cho

Δx[f(a+Δx2)+f(a+3Δx2)+⋯+f(b−Δx2)]{displaystyle Delta xleft[f(a+{tfrac {Delta x}{2}})+f(a+{tfrac {3,Delta x}{2}})+cdots +f(b-{tfrac {Delta x}{2}})right]}.

Sai số của công thức này sẽ là

|∫abf(x)dx−Amid|≤M2(b−a)324n2{displaystyle leftvert int _{a}^{b}f(x),dx-A_{mathrm {mid} }rightvert leq {frac {M_{2}(b-a)^{3}}{24n^{2}}}},

với M2{displaystyle M_{2}} là giá trị lớn nhất của

giá trị tuyệt đối

của f′(x){displaystyle f^{prime prime }(x)} trên đoạn này.

Quy tắc hình thang[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Tổng Riemann hình thang của hàm x3 trên đoạn [0,2] với 4 khoảng con

Trong trường hợp này, giá trị của hàm f trên đoạn này được tính gần đúng bởi trung bình giá trị của điểm cuối trái và phải. Tương tự như những phương pháp trên, tính toán diện tích thu được

A=12h(b1+b2){displaystyle A={tfrac {1}{2}}h(b_{1}+b_{2})}

cho một

hình thang

với hai cạnh song song b1, b2 và chiều cao h cho

12Δx[f(a)+2f(a+Δx)+2f(a+2Δx)+2f(a+3Δx)+⋯+f(b)].{displaystyle {tfrac {1}{2}},Delta xleft[f(a)+2f(a+Delta x)+2f(a+2,Delta x)+2f(a+3,Delta x)+cdots +f(b)right].}

Sai số của công thức này sẽ là

|∫abf(x)dx−Atrap|≤M2(b−a)312n2,{displaystyle leftvert int _{a}^{b}f(x),dx-A_{mathrm {trap} }rightvert leq {frac {M_{2}(b-a)^{3}}{12n^{2}}},}

với M2{displaystyle M_{2}} là giá trị lớn nhất của giá trị tuyệt đối của f′(x){displaystyle f^{prime prime }(x)}.

Phép tính gần đúng thu được với quy tắc hình thang cho một hàm số là giống với trung bình của tổng phía bên trái và phải của hàm số đó.

Sự liên quan với tích phân[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Tổng Riemann một bằng phẳng trên đoạn [a,b]{displaystyle [a,b]}, với khoảng chia lớn nhất gần bằng không (đó là giới hạn của khoảng chia bình thường), một số hàm số sẽ có các tổng Riemann giống nhau. Giá trị giới hạn này, nếu nó tồn tại, được định nghĩa là tích phân Riemann xác định của hàm số trên tập xác định,

abf(x)dx=lim‖Δx‖0∑i=1nf(xi∗xi.{displaystyle int _{a}^{b}!f(x),dx=lim _{|Delta x|rightarrow 0}sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*}),Delta x_{i}.}

Trong trường hợp tập xác định hữu hạn, nếu giá trị lớn nhất của khoảng chia tiến tới không, điều này nhấn mạnh số lượng phần tử chia tiến tới vô cực. Với khoảng chia hữu hạn, tổng Riemann luôn luôn là phép tính gần đúng tới giá trị giới hạn và phép tính gần đúng này sẽ chính xác hơn nếu nó có khoảng chia nhỏ hơn nữa. Đồ thị hoạt hóa sau đây giúp minh họa số lượng của khoảng chia tăng thì diện tích được ước tính chính xác hơn như thế nào dưới đường cong (trong khi giảm dần độ dài khoảng chia):

Bởi vì hàm số của đường màu đỏ ở đây được cho rằng là một hàm số trơn, nên tất cả những tổng Riemann sẽ cho ra giá trị giống nhau cũng như số lượng khoảng chia tiến tới vô cực.

Xem thêm: Hóa Học 11: Tổng Hợp Lí Thuyết Chương Nitơ-Photpho Đầy Đủ Và Dễ Học

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    Hughes-Hallett, Deborah; McCullum, William G. (2005). Calculus (ấn bản 4). Wiley. tr. 252. Đã bỏ qua tham số không rõ |displayauthors= (gợi ý |display-authors=) (

    trợ giúp

    ) (Among many equivalent variations on the definition, this reference closely resembles the one given here.)

  2. ^

    a

    ă

    â

    Hughes-Hallett, Deborah; McCullum, William G. (2005). Calculus (ấn bản 4). Wiley. tr. 340. So far, we have three ways of estimating an integral using a Riemann sum: 1. The left rule uses the left endpoint of each subinterval. 2. The right rule uses the right endpoint of each subinterval. 3. The midpoint rule uses the midpoint of each subinterval. Đã bỏ qua tham số không rõ |displayauthors= (gợi ý |display-authors=) (

    trợ giúp

    )

  3. ^

    a

    ă

    â

    Ostebee, Arnold; Zorn, Paul (2002). Calculus from Graphical, Numerical, and Symbolic Points of View . tr. M-33. Left-rule, right-rule, and midpoint-rule approximating sums all fit this definition.

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Weisstein, Eric W.

    , “

    Riemann Sum

    ” từ

    MathWorld

    .

  • Mô phỏng sự hội tụ của tổng Riemann

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tổng_Riemann&oldid=64419912

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button