Kiến thức

Toán học – Wikipedia tiếng Việt

Toán học

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng

Bước tới tìm kiếm

Euclid

, nhà toán học Hy Lạp, thế kỷ thứ 3 trước

Tây lịch

, theo hình dung của họa sĩ

Raphael

, trong một chi tiết của bức họa “Trường Athens”.

[1]

Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các

con số

),

[2]

cấu trúc

,

[3]

không gian

, và

sự thay đổi

.

[4]

[5]

[6]

Các

nhà toán học

triết học

có nhiều quan điểm khác nhau về

định nghĩa

và phạm vi của toán học.

[7]

[8]

Các

nhà toán học

tìm kiếm các

mô thức

[9]

[10]

và sử dụng chúng để tạo ra những

giả thuyết

mới. Họ lý giải tính đúng đắn hay sai lầm của các giả thuyết bằng các

chứng minh toán học

. Khi những cấu trúc toán học là mô hình tốt cho hiện thực, lúc đó suy luận toán học có thể cung cấp sự hiểu biết sâu sắc hay những tiên đoán về

tự nhiên

. Thông qua việc sử dụng những phương pháp trừu tượng và

lôgic

, toán học đã phát triển từ việc đếm, tính toán,

đo lường

, và nghiên cứu có hệ thống những hình dạng và

chuyển động

của các đối tượng vật lý. Con người đã ứng dụng toán học trong đời sống từ xa xưa. Việc tìm lời giải cho những bài toán có thể mất hàng năm, hay thậm chí hàng thế kỷ.

[11]

Những

lập luận chặt chẽ

xuất hiện trước tiên trong nền toán học

Hy Lạp

cổ đại, đáng chú ý nhất là trong tác phẩm

Cơ sở

của

Euclid

. Kể từ những công trình tiên phong của

Giuseppe Peano

(

1858

1932

),

David Hilbert

(

1862

1943

), và của những

nhà toán học

khác trong

thế kỷ 19

về các hệ thống tiên đề, nghiên cứu toán học trở thành việc thiết lập

chân lý

thông qua suy luận lôgic chặt chẽ từ những

tiên đề

định nghĩa

thích hợp. Toán học phát triển tương đối chậm cho tới thời

Phục hưng

, khi sự tương tác giữa những phát minh toán học với những phát kiến khoa học mới đã dẫn đến sự gia tăng nhanh chóng những phát minh toán học vẫn tiếp tục cho đến ngày nay.

[12]

Toán học được sử dụng trên khắp thế giới như một công cụ thiết yếu trong nhiều lĩnh vực, bao gồm

khoa học

,

kỹ thuật

,

y học

, và

tài chính

.

Toán học ứng dụng

, một nhánh toán học liên quan đến việc ứng dụng kiến thức toán học vào những lĩnh vực khác, thúc đẩy và sử dụng những phát minh toán học mới, từ đó đã dẫn đến việc phát triển nên những ngành toán hoàn toàn mới, chẳng hạn như

thống kê

lý thuyết trò chơi

. Các nhà toán học cũng dành thời gian cho

toán học thuần túy

, hay toán học vị toán học. Không có biên giới rõ ràng giữa toán học thuần túy và toán học ứng dụng, và những ứng dụng thực tiễn thường được khám phá từ những gì ban đầu được xem là

toán học thuần túy

.

[13]

Lịch sử[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Nhà toán học Hy Lạp

Pythagoras

(khoảng 570–495 trước

TCN

), được coi là đã phát minh ra

định lý Pythagore

.

Nhà toán học Ba Tư Al-Khwarizmi (Khoảng 780-850 TCN), người phát minh ra

Đại số

.

Từ “mathematics” trong

tiếng Anh

bắt nguồn từ μάθημα (máthēma) trong

tiếng Hy Lạp

cổ, có nghĩa là “thứ học được”,

[14]

“những gì người ta cần biết,” và như vậy cũng có nghĩa là “học” và “khoa học”; còn trong tiếng

Hy Lạp

hiện đại thì nó chỉ có nghĩa là “bài học.” Từ máthēma bắt nguồn từ μανθάνω (manthano), từ tương đương trong tiếng

Hy Lạp

hiện đại là μαθαίνω (mathaino), cả hai đều có nghĩa là “học.” Trong

tiếng Việt

, “toán” có nghĩa là tính; “toán học” là môn học về toán số.

[15]

Trong các

ngôn ngữ

sử dụng từ vựng gốc

Hán

khác, môn học này lại được gọi là

số học

.

Sự tiến hóa của toán học có thể nhận thấy qua một loạt gia tăng không ngừng về những phép trừu tượng, hay qua sự mở rộng của nội dung ngành học. Phép trừu tượng đầu tiên, mà nhiều loài động vật có được,

[16]

có lẽ là về các

con số

, với nhận thức rằng, chẳng hạn, một nhóm hai quả táo và một nhóm hai quả cam có cái gì đó chung, ở đây là số lượng quả trong mỗi nhóm.

Các bằng chứng khảo cổ học cho thấy, ngoài việc biết đếm những vật thể vật lý, con người thời

tiền sử

có thể cũng đã biết đếm những đại lượng trừu tượng như thời gian – ngày, mùa, và năm.

[17]

Đến khoảng năm 3000 trước

Tây lịch

thì toán học phức tạp hơn mới xuất hiện, khi người

Babylon

và người

Ai Cập

bắt đầu sử dụng số học, đại số, và hình học trong việc tính

thuế

và những tính toán tài chính khác, trong xây dựng, và trong quan sát

thiên văn

.

[18]

Toán học được sử dụng sớm nhất trong

thương mại

, đo đạc đất đai, hội họa, dệt, và trong việc ghi nhớ thời gian.

Các phép tính số học căn bản trong toán học Babylon (

cộng

,

trừ

,

nhân

, và

chia

) xuất hiện đầu tiên trong các tài liệu khảo cổ. Giữa năm 600 đến 300 trước

Tây lịch

, người

Hy Lạp

cổ đã bắt đầu nghiên cứu một cách có hệ thống về toán học như một ngành học riêng, hình thành nên toán học Hy Lạp.

[19]

Kể từ đó toán học đã phát triển vượt bậc; sự tương tác giữa toán học và khoa học đã đem lại nhiều thành quả và lợi ích cho cả hai. Ngày nay, những phát minh toán học mới vẫn tiếp tục xuất hiện làm cho toán học ngày càng đa dạng hơn.

Xem thêm: Support Vector Machine (SVM) là gì?

Cảm hứng, thuần túy ứng dụng, và vẻ đẹp[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Isaac Newton

(1643–1727), một trong những người phát minh ra

vi tích phân

.

Toán học nảy sinh ra từ nhiều kiểu bài toán khác nhau. Trước hết là những bài toán trong thương mại, đo đạc đất đai, kiến trúc, và sau này là thiên văn học; ngày nay, tất cả các ngành khoa học đều gợi ý những bài toán để các nhà toán học nghiên cứu, ngoài ra còn nhiều bài toán nảy sinh từ chính bản thân ngành toán. Chẳng hạn, nhà vật lý

Richard Feynman

đã phát minh ra

tích phân lộ trình

(path integral) cho

cơ học lượng tử

bằng cách kết hợp suy luận toán học với sự hiểu biết sâu sắc về mặt

vật lý

, và

lý thuyết dây

– một lý thuyết khoa học vẫn đang trong giai đoạn hình thành với cố gắng thống nhất tất cả các

tương tác cơ bản

trong tự nhiên – tiếp tục gợi hứng cho những lý thuyết toán học mới.

[20]

Một số lý thuyết toán học chỉ có ích trong lĩnh vực đã giúp tạo ra chúng, và được áp dụng để giải các bài toán khác trong lĩnh vực đó. Nhưng thường thì toán học sinh ra trong một lĩnh vực có thể hữu ích trong nhiều lĩnh vực, và đóng góp vào kho tàng các khái niệm toán học.

Các nhà toán học phân biệt ra hai ngành

toán học thuần túy

toán học ứng dụng

. Tuy vậy các chủ đề toán học thuần túy thường tìm thấy một số ứng dụng, chẳng hạn như

lý thuyết số

trong ngành

mật mã học

. Việc ngay cả toán học “thuần túy nhất” hóa ra cũng có ứng dụng thực tế chính là điều mà

Eugene Wigner

gọi là “sự hữu hiệu đến mức khó tin của toán học”.

[21]

Giống như trong hầu hết các ngành học thuật, sự bùng nổ tri thức trong thời đại khoa học đã dẫn đến sự chuyên môn hóa: hiện nay có hàng trăm lĩnh vực toán học chuyên biệt và bảng phân loại các chủ đề toán học đã dài tới 46 trang.

[22]

Một vài lĩnh vực toán học ứng dụng đã nhập vào những lĩnh vực liên quan nằm ngoài toán học và trở thành những ngành riêng, trong đó có

xác suất

,

vận trù học

, và

khoa học máy tính

.

Những ai yêu thích ngành toán thường thấy toán học có một vẻ đẹp nhất định. Nhiều nhà toán học nói về “sự thanh lịch” của toán học,

tính thẩm mỹ

nội tại và vẻ đẹp bên trong của nó. Họ coi trọng sự giản đơn và tính tổng quát. Vẻ đẹp ẩn chứa cả bên trong những

chứng minh toán học

đơn giản và gọn nhẹ, chẳng hạn chứng minh của

Euclid

cho thấy có vô hạn

số nguyên tố

, và trong những

phương pháp số

giúp đẩy nhanh các phép tính toán, như phép

biến đổi Fourier nhanh

. Trong cuốn sách Lời bào chữa của một nhà toán học

[6]

(A Mathematician’s Apology) của mình, G. H. Hardy tin rằng chính những lý do về mặt thẩm mỹ này đủ để biện minh cho việc nghiên cứu toán học thuần túy. Ông nhận thấy những tiêu chuẩn sau đây đóng góp vào một vẻ đẹp toán học: tầm quan trọng, tính không lường trước được, tính không thể tránh được, và sự ngắn gọn.

[23]

Sự phổ biến của toán học vì mục đích giải trí là một dấu hiệu khác cho thấy nhiều người tìm thấy sự sảng khoái trong việc giải toán…

Ký hiệu, ngôn ngữ, tính chặt chẽ[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Leonhard Euler

, người tạo ra và phổ biến hầu hết các ký hiệu toán học được dùng ngày nay.

Hầu hết các ký hiệu toán học đang dùng ngày nay chỉ mới được phát minh vào thế kỷ 16.

[24]

Trước đó, toán học được viết ra bằng chữ, quá trình nhọc nhằn này đã cản trở sự phát triển của toán học.

[25]

Euler

(1707–1783) là người tạo ra nhiều trong số những ký hiệu đang được dùng ngày nay. Ký hiệu hiện đại làm cho toán học trở nên dễ hơn đối với chuyên gia toán học, nhưng người mới bắt đầu học toán thường thấy nản lòng. Các ký hiệu cực kỳ ngắn gọn: một vài biểu tượng chứa đựng rất nhiều thông tin. Giống ký hiệu âm nhạc, ký hiệu toán học hiện đại có cú pháp chặt chẽ và chứa đựng thông tin khó có thể viết theo một cách khác đi.

Ngôn ngữ

toán học có thể khó hiểu đối với người mới bắt đầu. Những từ như hoặcchỉ có nghĩa chính xác hơn so với trong lời nói hàng ngày. Ngoài ra, những từ như

mở

trường

đã được cho những nghĩa riêng trong toán học. Những thuật ngữ mang tính kỹ thuật như

phép đồng phôi

khả tích

có nghĩa chính xác trong toán học. Thêm vào đó là những cụm từ như

nếu và chỉ nếu

nằm trong thuật ngữ chuyên ngành toán học. Có lý do tại sao cần có ký hiệu đặc biệt và vốn từ vựng chuyên ngành: toán học cần sự chính xác hơn lời nói thường ngày. Các nhà toán học gọi sự chính xác này của ngôn ngữ và logic là “tính chặt chẽ.”

Các lĩnh vực toán học[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Nói chung toán học có thể được chia thành các ngành học về lượng, cấu trúc, không gian, và sự thay đổi (tức là

số học

,

đại số

,

hình học

, và

giải tích

). Ngoài những mối quan tâm chính này, toán học còn có những lĩnh vực khác khảo sát mối quan hệ giữa toán học và những ngành khác, như với

logic

lý thuyết tập hợp

, toán học thực nghiệm trong những ngành khoa học khác nhau (

toán học ứng dụng

), và gần đây hơn là sự nghiên cứu chặt chẽ về tính bất định.

Nền tảng và triết học[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Kurt Gödel

là một trong những nhà logic toán học lớn, với

các định lý bất toàn

.

Để làm rõ nền tảng toán học, lĩnh vực

logic toán học

lý thuyết tập hợp

đã được phát triển. Logic toán học bao gồm nghiên cứu toán học về

logic

và ứng dụng của logic hình thức trong những lĩnh vực toán học khác. Lý thuyết tập hợp là một nhánh toán học nghiên cứu các tập hợp hay tập hợp những đối tượng. Lý thuyết phạm trù, liên quan đến việc xử lý các cấu trúc và mối quan hệ giữa chúng bằng phương pháp trừu tượng, vẫn đang tiếp tục phát triển. Cụm từ “khủng hoảng nền tảng” nói đến công cuộc tìm kiếm một nền tảng toán học chặt chẽ diễn ra từ khoảng năm 1900 đến 1930.

[26]

Một số bất đồng về nền tảng toán học vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Cuộc khủng hoảng nền tảng nổi lên từ một số tranh cãi thời đó, trong đó có những tranh cãi liên quan đến lý thuyết tập hợp của

Cantor

và cuộc tranh cãi giữa

Brouwer

Hilbert

.

Khoa học máy tính lý thuyết bao gồm lý thuyết khả tính (computability theory),

lý thuyết độ phức tạp tính toán

, và

lý thuyết thông tin

. Lý thuyết khả tính khảo sát những giới hạn của những mô hình lý thuyết khác nhau về máy tính, bao gồm mô hình

máy Turing

nổi tiếng. Lý thuyết độ phức tạp nghiên cứu khả năng có thể giải được bằng máy tính; một số bài toán, mặc dù về lý thuyết có thể giải được bằng máy tính, cần thời gian hay không gian tính toán quá lớn, làm cho việc tìm lời giải trong thực tế gần như không thể, ngay cả với sự tiến bộ nhanh chóng của

phần cứng

máy tính. Một ví dụ là bài toán nổi tiếng “

P = NP?

“.

[27]

Cuối cùng, lý thuyết thông tin quan tâm đến khối lượng dữ liệu có thể lưu trữ được trong một môi trường lưu trữ nhất định, và do đó liên quan đến những khái niệm như

nén dữ liệu

entropy thông tin

.

p⇒q{displaystyle pRightarrow q,}

Venn A intersect B.svg

Commutative diagram for morphism.svg

DFAexample.svg

Logic toán học

Lý thuyết tập hợp

Lý thuyết phạm trù

Lý thuyết tính toán

Toán học thuần túy[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Lượng[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Việc nghiên cứu về lượng (quantity) bắt đầu với các

con số

, trước hết với

số tự nhiên

số nguyên

và các phép biến đổi số học, nói đến trong lĩnh vực

số học

. Những tính chất sâu hơn về các số nguyên được nghiên cứu trong

lý thuyết số

, trong đó có

định lý lớn Fermat

nổi tiếng. Trong lý thuyết số, giả thiết

số nguyên tố sinh đôi

giả thiết Goldbach

là hai bài toán chưa giải được.

Khi hệ thống số được phát triển thêm, các số nguyên được xem như là

tập con

của các

số hữu tỉ

. Các số này lại được bao gồm trong

số thực

vốn được dùng để thể hiện những đại lượng

liên tục

. Số thực được tổng quát hóa thành

số phức

. Đây là những bước đầu tiên trong phân bố các số, sau đó thì có các

quaternion

(một sự mở rộng của số phức) và

octonion

. Việc xem xét các số tự nhiên cũng dẫn đến các

số vô hạn

(transfinite numbers), từ đó chính thức hóa khái niệm “

vô hạn

“. Một lĩnh vực nghiên cứu khác là kích cỡ (size), từ đó sinh ra số đếm (cardinal numbers) và rồi một khái niệm khác về vô hạn: số aleph, cho phép thực hiện so sánh có ý nghĩa kích cỡ của các tập hợp lớn vô hạn.

0,1,2,3,…{displaystyle 0,1,2,3,ldots !} 0,1,−1,2,−2,3,−3,…{displaystyle 0,1,-1,2,-2,3,-3,ldots } 2, 14, 0.37,…{displaystyle -2, {frac {1}{4}}, 0.37,ldots } e, 2, 3, π,…{displaystyle -e, {sqrt {2}}, 3, pi ,ldots } 1, i,{displaystyle -1, i,} 2+3i, 2ei4π3,…{displaystyle 2+3i, 2e^{i{frac {4pi }{3}}},ldots } 0. ℵ1, ℵ2,…, ℵα,…{displaystyle aleph _{0}. aleph _{1}, aleph _{2},ldots , aleph _{alpha },ldots }

Số tự nhiên

Số nguyên

Số hữu tỉ

Số thực

Số phức

Số siêu hạn

Cấu trúc

[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Nhiều đối tượng toán học, chẳng hạn

tập hợp

những con số và những

hàm số

, thể hiện cấu trúc nội tại toát ra từ những phép biến đổi toán học hay những mối quan hệ được xác định trên tập hợp. Toán học từ đó nghiên cứu tính chất của những tập hợp có thể được diễn tả dưới dạng cấu trúc đó; chẳng hạn

lý thuyết số

nghiên cứu tính chất của tập hợp những số nguyên có thể được diễn tả dưới dạng những phép biến đổi số học. Ngoài ra, thường thì những tập hợp có cấu trúc (hay những cấu trúc) khác nhau đó thể hiện những tính chất giống nhau, khiến người ta có thể xây dựng nên những tiên đề cho một lớp cấu trúc, rồi sau đó nghiên cứu đồng loạt toàn bộ lớp cấu trúc thỏa mãn những tiên đề này. Do đó người ta có thể nghiên cứu các

nhóm

,

vành

,

trường

, và những hệ phức tạp khác; những nghiên cứu như vậy (về những cấu trúc được xác định bởi những phép biến đổi đại số) tạo thành lĩnh vực

đại số trừu tượng

. Với mức độ tổng quát cao của mình, đại số trừu tượng thường có thể được áp dụng vào những bài toán dường như không liên quan gì đến nhau. Một ví dụ về lý thuyết đại số là

đại số tuyến tính

, lĩnh vực nghiên cứu về các

không gian vectơ

, ở đó những yếu tố cấu thành nó gọi là

vectơ

có cả lượng và hướng và chúng có thể được dùng để mô phỏng các điểm (hay mối quan hệ giữa các điểm) trong không gian. Đây là một ví dụ về những hiện tượng bắt nguồn từ những lĩnh vực

hình học

đại số

ban đầu không liên quan gì với nhau nhưng lại tương tác rất mạnh với nhau trong toán học hiện đại.

Toán học tổ hợp

nghiên cứu những cách tính số lượng những đối tượng có thể xếp được vào trong một cấu trúc nhất định.

(1,2,3)(1,3,2)(2,1,3)(2,3,1)(3,1,2)(3,2,1){displaystyle {begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\(2,1,3)&(2,3,1)\(3,1,2)&(3,2,1)end{matrix}}}

Elliptic curve simple.svg

Rubik's cube.svg

Group diagdram D6.svg

Lattice of the divisibility of 60.svg

Braid-modular-group-cover.svg

Toán học tổ hợp

Lý thuyết số

Lý thuyết nhóm

Lý thuyết đồ thị

Lý thuyết trật tự

Đại số

Không gian[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Việc nghiên cứu không gian bắt đầu với

hình học

– cụ thể là

hình học Euclid

.

Lượng giác

là một lĩnh vực toán học nghiên cứu về mối quan hệ giữa các cạnh và góc của

tam giác

và với các hàm lượng giác; nó kết hợp không gian và các con số, và bao gồm

định lý Pythagore

nổi tiếng. Ngành học hiện đại về không gian tổng quát hóa những ý tưởng này để bao gồm hình học nhiều chiều hơn,

hình học phi Euclide

(đóng vai trò quan trọng trong

lý thuyết tương đối tổng quát

), và

tô pô

. Cả lượng và không gian đều đóng vai trò trong

hình học giải tích

,

hình học vi phân

, và

hình học đại số

.

Hình học lồi

hình học rời rạc

trước đây được phát triển để giải các bài toán trong

lý thuyết số

giải tích phiếm hàm

thì nay đang được nghiên cứu cho các ứng dụng trong

tối ưu hóa

(tối ưu lồi) và

khoa học máy tính

(hình học tính toán). Trong hình học vi phân có các khái niệm bó sợi (fiber bundles) và vi tích phân trên các

đa tạp

, đặc biệt là

vi tích phân vectơ

vi tích phân tensor

. Hình học đại số thì mô tả các đối tượng hình học dưới dạng lời giải là những tập hợp phương trình đa thức, cùng với những khái niệm về lượng và không gian, cũng như nghiên cứu về các

nhóm tô-pô

kết hợp cấu trúc và không gian. Các

nhóm Lie

được dùng để nghiên cứu không gian, cấu trúc, và sự thay đổi.

Tô pô

trong tất cả những khía cạnh của nó có thể là một lĩnh vực phát triển vĩ đại nhất của toán học thế kỷ 20; nó bao gồm

tô-pô tập hợp điểm

(point-set topology),

tô-pô lý thuyết tập hợp

(set-theoretic topology),

tô-pô đại số

tô-pô vi phân

(differential topology). Trong đó, những chủ đề của tô-pô hiện đại là

lý thuyết không gian mêtric hóa được

(metrizability theory),

lý thuyết tập hợp tiên đề

(axiomatic set theory),

lý thuyết đồng luân

(homotopy theory), và

lý thuyết Morse

. Tô-pô cũng bao gồm

giả thuyết Poincaré

nay đã giải được, và

giả thuyết Hodge

vẫn chưa giải được. Những bài toán khác trong hình học và tô-pô, bao gồm

định lý bốn màu

giả thiết Kepler

, chỉ giải được với sự trợ giúp của máy tính.

Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg

Sinusvåg 400px.png

Hyperbolic triangle.svg

Torus.png

Mandel zoom 07 satellite.jpg

Measure illustration.png

Hình học

Lượng giác

Hình học vi phân

Tô pô

Hình học fractal

Lý thuyết độ đo

Sự thay đổi[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Hiểu và mô tả sự thay đổi là chủ đề thường gặp trong các ngành

khoa học tự nhiên

.

Vi tích phân

là một công cụ hiệu quả đã được phát triển để nghiên cứu sự thay đổi đó.

Hàm số

từ đây ra đời, như một khái niệm trung tâm mô tả một đại lượng đang thay đổi. Việc nghiên cứu chặt chẽ các

số thực

và hàm số của một biến thực được gọi là

giải tích thực

, với

số phức

thì có lĩnh vực tương tự gọi là

giải tích phức

.

Giải tích phiếm hàm

(functional analysis) tập trung chú ý vào những không gian thường là vô hạn chiều của hàm số. Một trong nhiều ứng dụng của giải tích phiếm hàm là trong

cơ học lượng tử

(ví dụ:

lý thuyết phiếm hàm mật độ

). Nhiều bài toán một cách tự nhiên dẫn đến những mối quan hệ giữa lượng và tốc độ thay đổi của nó, rồi được nghiên cứu dưới dạng các

phương trình vi phân

. Nhiều hiện tượng trong tự nhiên có thể được mô tả bằng những

hệ thống động lực

;

lý thuyết hỗn độn

nghiên cứu cách thức theo đó nhiều trong số những hệ thống động lực này thể hiện những hành vi không tiên đoán được nhưng vẫn có tính tất định.

Integral as region under curve.svg

Vector field.svg

Airflow-Obstructed-Duct.png

Limitcycle.svg

Lorenz attractor.svg

Conformal grid after Möbius transformation.svg

Vi tích phân

Giải tích véc tơ

Phương trình vi phân

Hệ thống động lực

Lý thuyết hỗn độn

Giải tích phức

Toán học ứng dụng[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Toán học ứng dụng

quan tâm đến những phương pháp toán học thường được sử dụng trong

khoa học

,

kỹ thuật

,

kinh doanh

, và

công nghiệp

. Như vậy, “toán học ứng dụng” là một ngành

khoa học toán học

với kiến thức đặc thù. Thuật ngữ toán học ứng dụng cũng được dùng để chỉ lĩnh vực chuyên nghiệp, ở đó các nhà toán học giải quyết các bài toán thực tế. Với tư cách là một ngành nghề chú trọng vào các bài toán thực tế, toán học ứng dụng tập trung vào “việc thiết lập, nghiên cứu, và sử dụng những mô hình toán học” trong khoa học, kỹ thuật, và những lĩnh vực thực hành toán học khác. Trước đây, những ứng dụng thực tế đã thúc đẩy sự phát triển các lý thuyết toán học, để rồi sau đó trở thành chủ đề nghiên cứu trong

toán học thuần túy

, nơi toán học được phát triển chủ yếu cho chính nó. Như vậy, hoạt động của toán học ứng dụng nhất thiết có liên hệ đến nghiên cứu trong lĩnh vực toán học thuần túy.

Thống kê và những lĩnh vực liên quan[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Toán học ứng dụng có nhiều phần chung với

thống kê

, đặc biệt với

lý thuyết xác suất

. Các nhà thống kê, khi làm việc trong một công trình nghiên cứu, “tạo ra số liệu có ý nghĩa” sử dụng phương pháp tạo mẫu ngẫu nhiên (random sampling) và những thí nghiệm được ngẫu nhiên hóa (randomized experiments);

[28]

việc thiết kế thí nghiệm hay mẫu thống kê xác định phương pháp phân tích số liệu (trước khi số liệu được tạo ra). Khi xem xét lại số liệu từ các thí nghiệm và các mẫu hay khi phân tích số liệu từ những nghiên cứu bằng cách quan sát, các nhà thống kê “làm bật ra ý nghĩa của số liệu” sử dụng phương pháp mô phỏng và suy luận – qua việc chọn mẫu và qua ước tính; những mẫu ước tính và những tiên đoán có được từ đó cần được thử nghiệm với những số liệu mới.

[29]

Lý thuyết thống kê

nghiên cứu những bài toán liên quan đến việc quyết định, ví dụ giảm thiểu nguy cơ (sự tổn thất được mong đợi) của một hành động mang tính thống kê, chẳng hạn sử dụng phương pháp thống kê trong ước tính tham số, kiểm nghiệm giả thuyết, và chọn ra tham số cho kết quả tốt nhất. Trong những lĩnh vực truyền thống này của

thống kê toán học

, bài toán quyết định-thống kê được tạo ra bằng cách cực tiểu hóa một hàm mục tiêu (objective function), chẳng hạn giá thành hay sự mất mát được mong đợi, dưới những điều kiện nhất định.

[30]

Vì có sử dụng lý thuyết tối ưu hóa, lý thuyết toán học về thống kê có chung mối quan tâm với những ngành khoa học khác nghiên cứu việc quyết định, như

vận trù học

,

lý thuyết điều khiển

, và

kinh tế học toán

.

[31]

Toán học tính toán[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Toán học tính toán

đưa ra và nghiên cứu những phương pháp giải các bài toán toán học mà con người thường không có khả năng giải số được.

Giải tích số

nghiên cứu những phương pháp giải các bài toán trong

giải tích

sử dụng

giải tích phiếm hàm

lý thuyết xấp xỉ

; giải tích số bao gồm việc nghiên cứu

xấp xỉ

rời rạc hóa

theo nghĩa rộng, với sự quan tâm đặc biệt đến

sai số làm tròn

(rounding errors). Giải tích số và nói rộng hơn tính toán khoa học (scientific computing) cũng nghiên cứu những chủ đề phi giải tích như khoa học toán học, đặc biệt là

ma trận

thuật toán và

lý thuyết đồ thị

. Những lĩnh vực khác của toán học tính toán bao gồm

đại số máy tính

(computer algebra) và

tính toán biểu tượng

(symbolic computation).

Gravitation space source.png

BernoullisLawDerivationDiagram.svg

Composite trapezoidal rule illustration small.svg

Maximum boxed.png

Two red dice 01.svg

Oldfaithful3.png

Caesar3.svg

Vật lý toán học

Thủy động lực học

Giải tích số

Tối ưu hóa

Lý thuyết xác suất

Thống kê

Mật mã học

Market Data Index NYA on 20050726 202628 UTC.png

Arbitrary-gametree-solved.svg

Signal transduction pathways.svg

CH4-structure.svg

Signal transduction pathways.svg

GDP PPP Per Capita IMF 2008.svg

Simple feedback control loop2.svg

Tài chính toán

Lý thuyết trò chơi

Sinh học toán

Hóa học toán

Toán sinh học

Kinh tế toán

Lý thuyết điều khiển

Xem thêm: Axit cacboxylic – Là gì Wiki

Giải thưởng toán học và những bài toán chưa giải được[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Có thể nói giải thưởng toán học danh giá nhất là

Huy chương Fields

,

[32]

[33]

thiết lập vào năm 1936 và nay được trao bốn năm một lần cho 2 đến 4 nhà toán học có độ tuổi dưới 40. Huy chương Fields thường được xem là tương đương với

Giải Nobel

trong những lĩnh vực khác. (Giải Nobel không xét trao thưởng trong lĩnh vực toán học) Một số giải thưởng quốc tế quan trọng khác gồm có:

Giải Wolf về Toán học

(thiết lập vào năm 1978) để ghi nhận thành tựu trọn đời;

Giải Abel

(thiết lập vào năm 2003) dành cho những nhà toán học xuất chúng;

Huy chương Chern

(thiết lập vào năm 2010) để ghi nhận thành tựu trọn đời.

Năm 1900, nhà toán học người Đức

David Hilbert

biên soạn một danh sách gồm 23 bài toán chưa có lời giải (còn được gọi là

Các bài toán của Hilbert

). Danh sách này rất nổi tiếng trong cộng đồng các nhà toán học, và ngày nay có ít nhất chín bài đã được giải. Một danh sách mới bao gồm bảy bài toán quan trọng, gọi là “

Các bài toán của giải thiên niên kỷ

” (Millennium Prize Problems), đã được công bố vào năm 2000, ai giải được một trong số các bài toán này sẽ được trao giải một triệu

đô-la

. Chỉ có một bài toán từ danh sách của Hilbert (cụ thể là

giả thuyết Riemann

) trong danh sách mới này. Tới nay, một trong số bảy bài toán đó (

giả thuyết Poincaré

) đã có lời giải.

Mối quan hệ giữa toán học và khoa học[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

Carl Friedrich Gauss

, người được xem là “hoàng tử của toán học.”

[34]

Gauss

xem toán học là “nữ hoàng của các ngành khoa học”.

[35]

Trong cụm từ

La-tinh

Regina Scientiarum và cụm từ

tiếng Đức

Königin der Wissenschaften (cả hai đều có nghĩa là “nữ hoàng của các ngành khoa học”), từ chỉ “khoa học” có nghĩa là “lĩnh vực tri thức,” và đây cũng chính là nghĩa gốc của từ science (khoa học) trong

tiếng Anh

; như vậy toán học là một lĩnh vực tri thức. Sự chuyên biệt hóa giới hạn nghĩa của “khoa học” vào “khoa học tự nhiên” theo sau sự phát triển của phương pháp luận

Bacon

, từ đó đối lập “khoa học tự nhiên” với

phương pháp kinh viện

, phương pháp luận

Aristotle

nghiên cứu từ những nguyên lý cơ sở. So với các ngành khoa học tự nhiên như sinh học hay vật lý học thì thực nghiệm và quan sát thực tế có vai trò không đáng kể trong toán học.

Albert Einstein

nói rằng “khi các định luật toán học còn phù hợp với thực tại thì chúng không chắc chắn; và khi mà chúng chắc chắn thì chúng không còn phù hợp với thực tại.”

[36]

Mới đây hơn,

Marcus du Sautoy

đã gọi toán học là “nữ hoàng của các ngành khoa học;… động lực thúc đẩy chính đằng sau những phát kiến khoa học.”

[37]

Nhiều triết gia tin rằng, trong toán học, tính có thể chứng minh được là sai (falsifiability) không thể thực hiện được bằng thực nghiệm, và do đó toán học không phải là một ngành khoa học theo như định nghĩa của

Karl Popper

.

[38]

Tuy nhiên, trong thập niên 1930, các định lý về tính không đầy đủ (incompleteness theorems) của

Gödel

đưa ra gợi ý rằng toán học không thể bị quy giảm về logic mà thôi, và Karl Popper kết luận rằng “hầu hết các lý thuyết toán học, giống như các lý thuyết vật lý và sinh học, mang tính giả định-suy diễn: toán học thuần túy do đó trở nên gần gũi hơn với các ngành khoa học tự nhiên nơi giả định mang tính chất suy đoán hơn hơn mức mà người ta nghĩ.”

[39]

Một quan điểm khác thì cho rằng một số lĩnh vực khoa học nhất định (như

vật lý lý thuyết

) là toán học với những tiên đề được tạo ra để kết nối với thực tại. Thực sự, nhà vật lý lý thuyết J. M. Ziman đã cho rằng khoa học là “tri thức chung” và như thế bao gồm cả toán học.

[40]

Dù sao đi nữa, toán học có nhiều điểm chung với nhiều lĩnh vực trong các ngành khoa học vật lý, đáng chú ý là việc khảo sát những hệ quả logic của các giả định. Trực giác và hoạt động thực nghiệm cũng đóng một vai trò trong việc xây dựng nên các giả thuyết trong toán học lẫn trong những ngành khoa học (khác).

Toán học thực nghiệm

ngày càng được chú ý trong bản thân ngành toán học, và việc tính toán và mô phỏng đang đóng vai trò ngày càng lớn trong cả khoa học lẫn toán học.

Ý kiến của các nhà toán học về vấn đề này không thống nhất. Một số cảm thấy việc gọi toán học là khoa học làm giảm tầm quan trọng của khía cạnh thẩm mỹ của nó, và lịch sử của nó trong bảy

môn khai phóng

truyền thống; một số người khác cảm thấy rằng bỏ qua mối quan hệ giữa toán học và các ngành khoa học là cố tình làm ngơ trước thực tế là sự tương tác giữa toán học và những ứng dụng của nó trong

khoa học

kỹ thuật

đã là động lực chính của những phát triển trong toán học. Sự khác biệt quan điểm này bộc lộ trong cuộc tranh luận triết học về chuyện toán học “được tạo ra” (như

nghệ thuật

) hay “được khám phá ra” (như khoa học). Các

viện đại học

thường có một trường hay

phân khoa

“khoa học và toán học”.

[41]

Cách gọi tên này ngầm ý rằng khoa học và toán học gần gũi với nhau nhưng không phải là một.

Xem thêm[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Danh sách các nhà toán học

  • Danh sách các bài toán toán học

Xem thêm: Canxi hydroxit là gì? Tính chất hóa học, ứng dụng-CÔNG TY TNHH SILICA

Chú thích[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  1. ^

    Người đời sau không biết Euclid trông như thế nào, do đó miêu tả về Euclid trong các tác phẩm nghệ thuật tùy thuộc vào trí tượng tượng của người nghệ sĩ (xem

    Euclid

    ).

  2. ^

    “mathematics, n.

    . Oxford English Dictionary. Oxford University Press. 2012. Truy cập ngày 16 tháng 6 năm 2012. The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis ([Toán học là] ngành khoa học nghiên cứu về không gian, các con số, số lượng, và sự sắp xếp, bao gồm hình học, số học, đại số, và giải tích; các phương pháp của toán học liên quan đến suy luận logic và thường sử dụng các ký hiệu tượng trưng).

  3. ^

    Kneebone, G.T. (1963). Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey. Dover. tr. 

    4

    .

    ISBN

     

    0-486-41712-3

    . Mathematics… is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness (Toán học… đơn giản là ngành nghiên cứu về những cấu trúc trừu tượng, hay những mô thức hình thức của sự nối kết).

  4. ^

    LaTorre, Donald R., John W. Kenelly, Iris B. Reed, Laurel R. Carpenter, and Cynthia R Harris (2011). Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change. Cengage Learning. tr. 

    2

    .

    ISBN

     

    1-4390-4957-2

    . Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change (Vi tích phân là lĩnh vực ngiên cứu về sự thay đổi-mọi thứ thay đổi và thay đổi nhanh chậm như thế nào).Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (

    liên kết

    )

  5. ^

    Ramana (2007). Applied Mathematics. Tata McGraw–Hill Education. tr. 

    2.10

    .

    ISBN

     

    0-07-066753-5

    . The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus (Vi tích phân là lĩnh vực toán học nghiên cứu về sự thay đổi, chuyển động, phát triển, hay suy tàn).

  6. ^

    a

    ă

    Ziegler, Günter M.

    (2011). “What Is Mathematics?”. An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research. Springer. tr. 

    7

    .

    ISBN

     

    3-642-19532-6

    .

  7. ^

    Mura, Robert (tháng 12 năm 1993). “Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences”. Educational Studies in Mathematics. 25 (4):

    375–385

    .Quản lý CS1: ref=harv (

    liên kết

    )

  8. ^

    Tobies, Renate and Helmut Neunzert (2012). Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry. Springer. tr. 

    9

    .

    ISBN

     

    3-0348-0229-3

    . It is first necessary to ask what is meant by mathematics in general. Illustrious scholars have debated this matter until they were blue in the face, and yet no consensus has been reached about whether mathematics is a natural science, a branch of the humanities, or an art form (Trước hết cần hỏi “toán học” nói chung có nghĩa là gì. Những học giả có tiếng đã tranh luận gay gắt về vấn đề này, vậy mà chưa ai đồng ý được với nhau chuyện toán học có phải là một ngành khoa học tự nhiên, một nhánh của các ngành nhân văn, hay một dạng nghệ thuật).

  9. ^

    Steen, L.A. (ngày 29 tháng 4 năm 1988). The Science of Patterns

    Science

    , 240: 611–616. And summarized at

    Association for Supervision and Curriculum Development

    , www.ascd.org.

  10. ^

    Devlin, Keith, Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe (Scientific American Paperback Library) 1996,

    ISBN 978-0-7167-5047-5

  11. ^

    Kneebone, G.T. (1963). Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey. Dover. pp. 

    4

    ISBN

     

    0-486-41712-3

    Mathematics… is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness.

  12. ^

    Eves 1990

  13. ^

    Ivars Peterson, The Mathematical Tourist, Freeman, 1988,

    ISBN 0-7167-1953-3

    . p.4 “A few complain that the computer program can’t be verified properly” (Một số người phàn nàn là các chương trình máy tính không thể được xác minh một cách rõ ràng) – khi nhắc đến chứng minh Haken–Apple của Định lý bốn màu.

  14. ^

    “mathematic”

    . Online Etymology Dictionary.

  15. ^

    Hội Khai Trí Tiến Đức,

    Việt-Nam Tự-Điển

    , Trung-Bắc Tân-Văn, 1931.

  16. ^

    Dehaene, Stanislas; Dehaene-Lambertz, Ghislaine; Cohen, Laurent (tháng 8 năm 1998). “Abstract representations of numbers in the animal and human brain”. Trends in Neuroscience. 21 (8): 355–361.

    doi

    :

    10.1016/S0166-2236(98)01263-6

    .

    PMID

     

    9720604

    .Quản lý CS1: ref=harv (

    liên kết

    )

  17. ^

    Xem, chẳng hạn, Raymond L. Wilder, Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study, passim

    ISBN 0486490610

  18. ^

    Kline 1990, Chapter 1.

  19. ^

    A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid

    “. Thomas Little Heath (1981).

    ISBN 0-486-24073-8

  20. ^

    Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L. (2002). The Feynman Integral and Feynman’s Operational Calculus. Oxford University Press.

    ISBN

     

    0-8218-2413-9

    .Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (

    liên kết

    )

  21. ^

    Wigner, Eugene (1960).

    “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences”

    . Communications on Pure and Applied Mathematics. 13 (1): 1–14.

    doi

    :

    10.1002/cpa.3160130102

    .

    Bản gốc

    lưu trữ ngày 28 tháng 2 năm 2011. Truy cập ngày 18 tháng 12 năm 2013.Quản lý CS1: ref=harv (

    liên kết

    )

  22. ^

    “Mathematics Subject Classification 2010”

    (PDF). Truy cập ngày 9 tháng 11 năm 2010.

  23. ^

    Hardy, G.H. (1940). A Mathematician’s Apology. Cambridge University Press.

    ISBN

     

    0-521-42706-1

    .

  24. ^

    Earliest Uses of Various Mathematical Symbols

    (Có thêm nhiều tài liệu tham khảo về chủ đề này).

  25. ^

    Kline, p. 140, on

    Diophantus

    ; p. 261, on Franciscus Vieta.

  26. ^

    Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin, A History of Mathematics, Oxford University Press, 2005.

  27. ^

    P vs NP Problem

    ,

    Viện Toán học Clay

    cập nhật: 28 tháng 5 năm 2015 3:14 pm

  28. ^

    Rao, C.R. (1997) Statistics and Truth: Putting Chance to Work, World Scientific.

    ISBN 981-02-3111-3

  29. ^

    Giống với các khoa học toán học khác như vật lý và khoa học máy tính, thống kê là một ngành độc lập chứ không phải là một nhánh của toán học ứng dụng. Tương tự như các nhà vật lý và nhà khoa học máy tính, những nhà nghiên cứu thống kê là các nhà khoa học toán học. Nhiều nhà thống kê có bằng cấp trong ngành toán học, và một số nhà thống kê cũng là nhà toán học.

  30. ^

    Rao, C.R. (1981). “Foreword”. Trong Arthanari, T.S.; Dodge, Yadolah (biên tập). Mathematical programming in statistics. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics. New York: Wiley. tr. vii–viii.

    ISBN

     

    0-471-08073-X

    .Quản lý CS1: ref=harv (

    liên kết

    )

  31. ^

    Whittle (1994

    , tr. 10–11 and 14–18)Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFWhittle1994 (

    trợ giúp

    ): Whittle, Peter (1994). “Almost home”. Trong Kelly, F.P. (biên tập).

    Probability, statistics and optimisation: A Tribute to Peter Whittle

    . Chichester: John Wiley. tr. 1–28.

    ISBN

     

    0-471-94829-2

    .

    Bản gốc

    lưu trữ ngày 19 tháng 12 năm 2013. Truy cập ngày 17 tháng 12 năm 2013.Quản lý CS1: ref=harv (

    liên kết

    )

  32. ^

    “The Fields Medal is now indisputably the best known and most influential award in mathematics (Hiện nay Fields Medal chắc chắn là giải thưởng toán học có ảnh hưởng nhất và được biết đến nhiều nhất).” Monastyrsky 2001

  33. ^

    Riehm, Carl (tháng 8 năm 2002).

    “The Early History of the Fields Medal”

    (PDF). Notices of the AMS. AMS. 49 (7): 778–782.Quản lý CS1: ref=harv (

    liên kết

    )

  34. ^

    Zeidler, Eberhard (2004).

    Oxford User’s Guide to Mathematics

    . Oxford, UK: Oxford University Press. tr. 

    1188

    .

    ISBN

     

    0-19-850763-1

    .

  35. ^

    Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1856).

    Gauss zum Gedächtniss

    . Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend.

    ISBN

     

    3-253-01702-8

    .

  36. ^

    Einstein, p. 28. Câu trích dẫn nằm trong đoạn Einstein trả lời cho câu hỏi: “How can it be that mathematics, being after all a product of human thought which is independent of experience, is so admirably appropriate to the objects of reality?” (Làm sao mà toán học, nói cho cùng cũng chỉ là một sản phẩm của tư duy con người và độc lập với trải nghiệm, lại có thể mô tả tốt như vậy những đối tượng của thực tại?) Bản thân ông cũng quan tâm đến bài báo The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences (Sự hữu hiệu đến mức khó tin của toán học trong các ngành khoa học tự nhiên) của nhà vật lý Eugene Wigner.

  37. ^

    Marcus du Sautoy,

    A Brief History of Mathematics: 10. Nicolas Bourbaki

    , BBC Radio 4, ngày 1 tháng 10 năm 2010.

  38. ^

    Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists. Springer. tr. 228.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (

    liên kết

    )

  39. ^

    Popper 1995, p. 56

  40. ^

    Ziman, John (1968). Public Knowledge: Essay Concerning the Social Dimension of Science. Cambridge University Press.

    ISBN

     

    978-0-521-06894-9

    .

  41. ^

    Chẳng hạn,

    College of Science and Mathematics

    (Trường Đại học Khoa học và Toán học) ở California State University, Northridge.

Tham khảo[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Toán học là gì?

    , Richard Courant (1888-1972) và Herbert Robbins (1915-2001),

    Nhà xuất bản Đại học Oxford

    1941. Hàn Liên Hải dịch, Nhà xuất bản Khoa học Kỹ thuật 1984.

  • [Tác giả?]. Toán học (Bộ sách Tri thức tuổi hoa niên thế kỷ XXI). Từ Văn Mặc, Từ Thu Hằng dịch. Nhà xuất bản. Văn hóa Thông tin, 2001, 470 tr..
  • Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh

    Toán học cao cấp

    Tập một: Đại số và hình học giải tích. Nhà xuất bản Giáo dục. Tháng 10 năm 2006. 393 trang

  • S. M. Nikol skij (ch.b.). Từ điển bách khoa phổ thông toán học. Hoàng Quý, Nguyễn Văn Ban, và Hoàng Chúng dịch. Nhà xuất bản. Giáo dục, 2001, 454 tr.
  • Howard Eves. Giới thiệu lịch sử toán học. Trần Tất Thắng dịch. Nhà xuất bản. Tp. Hồ Chí Minh, 1993, 518 tr.
  • Benson, Donald C., The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies, Oxford University Press: new ed. (Dec. 14, 2000).

    ISBN 0-19-513919-4

    .

  • Boyer, Carl B. A History of Mathematics. Wiley: 2nd ed. (Mar. 6, 1991).

    ISBN 0-471-54397-7

    .

  • Courant, R. and H. Robbins. What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods. Oxford University Press, USA: 2nd ed. (Jul. 18, 1996).

    ISBN 0-19-510519-2

    .

  • Davis, Philip J. and Hersh, Reuben. The Mathematical Experience. Mariner Books: Reprint ed. (Jan. 14, 1999).

    ISBN 0-395-92968-7

    .

  • Einstein, Albert

    (1923). “Sidelights on Relativity (Geometry and Experience)”. P. Dutton., Co. Chú thích journal cần |journal= (

    trợ giúp

    )

  • Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics. Saunders: 6th ed., 1990.

    ISBN 0-03-029558-0

    .

  • Gullberg, Jan. Mathematics—From the Birth of Numbers. W. W. Norton & Company: 1st ed. (Oct. 1997).

    ISBN 0-393-04002-X

    .

  • Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers, 2000.
  • Jourdain, Philip E. B.. “The Nature of Mathematics,” trong The World of Mathematics. James R. Newman, editor. Dover Publications, 2003.

    ISBN 0-486-43268-8

    .

  • Kline, Morris. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press (Mar. 1, 1990).

    ISBN 0-19-506135-7

    .

  • Monastyrsky, Michael (2001).

    “Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal”

    (PDF). Canadian Mathematical Society. Truy cập ngày 28 tháng 7 năm 2006. Chú thích journal cần |journal= (

    trợ giúp

    )

  • Pappas, Theoni. The Joy Of Mathematics. Wide World Publishing: revised edition (Jun. 1989).

    ISBN 0-933174-65-9

    .

  • Peterson, Ivars. Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics. Owl Books, 2001.

    ISBN 0-8050-7159-8

    .

  • Paulos, John Allen (1996).

    A Mathematician Reads the Newspaper

    . Anchor.

    ISBN

     

    0-385-48254-X

    .

  • Popper, Karl R. (1995). “On knowledge”.

    In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years

    . Routledge.

    ISBN

     

    0-415-13548-6

    .

  • Sevryuk, Mikhail B. (2006).

    “Book Reviews”

    (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 43 (1): 101–109.

    doi

    :

    10.1090/S0273-0979-05-01069-4

    . Truy cập ngày 24 tháng 6 năm 2006. Đã bỏ qua tham số không rõ |month= (

    trợ giúp

    )

Liên kết ngoài[

sửa

|

sửa mã nguồn

]

  • Mathematics

    tại

    Encyclopædia Britannica

    (tiếng Anh)

  • Toán học

    tại

    Từ điển bách khoa Việt Nam

  • Viện Toán học

    . Việt Nam.

  • Mathematics Các khóa học và bài giảng về toán học

    .

    MIT

    OpenCourseWare.

  • Weisstein, Eric W.

    , “

    Mathematics

    ” từ

    MathWorld

    .

  • The Mathematical Atlas

    (Bản đồ các nhánh toán học).

  • Vietnam Journal of Mathematics

  • Acta Mathematica Vietnamica

  • Toán học và tuổi trẻ

Các chủ đề chính trong

toán học

Nền tảng toán học

|

Đại số

|

Giải tích

|

Hình học

|

Lý thuyết số

|

Toán học rời rạc

|

Toán học ứng dụng

|

Toán học giải trí

|

Toán học tô pô

|

Xác suất thống kê

Lấy từ “

https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Toán_học&oldid=64848117

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button