Kiến thức

Cách xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa vào tích có hướng

Cách xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa vào tích có hướng

By

Thiên Minh

| 09/02/2020

GiaiToan8.com giới thiệu tới các em cách xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa vào tích có hướng, thông qua tài liệu này, hi vọng các em sẽ hiểu hơn về lý thuyết cũng như cách áp dụng vào các bài tập trong sách giáo khoa cũng như thầy, cô giao.

Bài viết liên quan
  • Sổ tay kiến thức Đại số và Giải tích 11, Phạm Hoàng Long

  • Công thức và Bài tập góc giữa hai mặt phẳng có lời giải

  • Mẹo giải Toán tính nhanh giá trị của biểu thức

  • Lý thuyết và bài tập cực trị của hàm số

  • Đề cương ôn tập học ki 2 Toán 12 trường Kim Liên, Hà Nội năm 2020-2021

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chúng ta sẽ được học trong chương trình Hình học 12, chi tiết hơn là ở chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz. Có nhiều dạng toán xung quanh Vectơ pháp tuyến này, nhưng chủ yếu vẫn là bài toán viết phương trình đường thẳng.

xac dinh vecto phap tuyen cua mat phang dua vao tich co huong

Bạn đang xem: Cách xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa vào tích có hướng

Cách xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa vào tích có hướng.

A. Kiến thức cần ghi nhớ.

Ghi nhớ 1.

Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ phân biệt và không thẳng hàng cho trước. Lúc đó, mặt phẳng $(ABC)$ có một vectơ pháp tuyến là $vec n = [overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ].$

Ghi nhớ 2.

Cho hai vectơ $vec a$ và $vec b$ không cùng phương cho trước.
Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{vec c bot vec a}\
{vec c bot vec b}
end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn $vec c = [vec a,vec b].$

Ghi nhớ 3.

Hai mặt phẳng $(alpha )$, $(beta )$ lần lượt có các vectơ pháp tuyến là ${vec n_alpha }$ và ${vec n_beta }.$
$(alpha )//(beta )$ $ Rightarrow {vec n_alpha }$ và ${vec n_beta }$ cùng phương.
$(alpha ) bot (beta )$ $ Leftrightarrow {vec n_alpha } bot {vec n_beta }.$

B. Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua ba điểm $A(1;1;2)$, $B(2;1;1)$ và $C(0;-1;3).$
A. $(P):x+y+z-4=0.$
B. $(P):x+2y+z-5=0.$
C. $(P):x+z-2=0.$
D. $(P):x+z-3=0.$

Lời giải

Ta có $overrightarrow {AB} = (1;0; – 1)$, $overrightarrow {AC} = ( – 1; – 2;1).$
Mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;1;2)$ và có một vectơ pháp tuyến là $vec n = [overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ]$ $ = ( – 2;0; – 2)$, có phương trình $(P): – 2(x – 1) + 0(y – 1) – 2(z – 2) = 0$ $ Leftrightarrow x + z – 3 = 0.$

Chọn đáp án D.

Ví dụ 2

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(MNP)$ biết $M(1;0;1)$, $N(2;1;-1)$ và $P(0;1;2).$
A. $2x+z-3=0.$
B. $x+y+z-2=0.$
C. $3x + y + 2z-5=0.$
D. $3x +y +2z-1=0.$

Lời giải

Ta có $overrightarrow {MN} = (1;1; – 2)$, $overrightarrow {MP} = ( – 1;1;1).$
Mặt phẳng $(MNP)$ qua $M(1;0;1)$ và có một vectơ pháp tuyến là $vec n = [overrightarrow {MN} ,overrightarrow {MP} ] = (3;1;2)$ có phương trình:
$(MNP):3(x – 1) + 1(y – 0) + 2(z – 1) = 0$ $ Leftrightarrow 3x + y + 2z – 5 = 0.$

Chọn đáp án C.

Ví dụ 3

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;0;1)$ và hai mặt phẳng $(P):x+y-2z=0$, $(Q):-x+y+z+5=0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(alpha )$ qua $A$, đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q).$
A. $x+ 2z-3=0.$
B. $2x+y – 2z-1=0.$
C. $3x + y + 2z – 4=0.$
D. $3x + y + 2z-5=0.$

Lời giải

Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (1;1; – 2).$
Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_Q} = ( – 1;1;1).$
Gọi ${vec n_alpha }$ là một vectơ pháp tuyến của $(alpha ).$ Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{vec n}_alpha } bot {{vec n}_p}}\
{{{vec n}_alpha } bot {{vec n}_Q}}
end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_alpha } = left[ {{{vec n}_P},{{vec n}_Q}} right] = (3;1;2).$
Mặt phẳng $(alpha )$ qua $A(1;0;1)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_alpha } = (3;1;2)$, có phương trình $(alpha ):3(x – 1) + 1(y – 0) + 2(z – 1) = 0$ $ Leftrightarrow 3x + y + 2z – 5 = 0.$

Chọn đáp án D.

Ví dụ 4

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $H(1;1;2)$ và hai mặt phẳng $(P):x-z+1=0$, $(Q):-x-2y+z+1=0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(alpha )$ qua $H$, đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q).$
A. $x + 2z – 3=0.$
B. $x+z-3=0.$
C. $x + z + 3 = 0.$
D. $3x + y + 2z – 5 = 0.$

Lời giải

Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_p} = (1;0; – 1).$
Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_Q} = ( – 1; – 2;1).$
Gọi ${vec n_alpha }$ là một vectơ pháp tuyến của $(alpha ).$ Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{vec n}_alpha } bot {{vec n}_P}}\
{{{vec n}_alpha } bot {{vec n}_Q}}
end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_alpha } = left[ {{{vec n}_P},{{vec n}_Q}} right] = ( – 2;0; – 2).$
Mặt phẳng $(alpha )$ qua $H(1;1;2)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_alpha } = ( – 2;0; – 2)$ có phương trình $(alpha ): – 2(x – 1) + 0(y – 1) – 2(z – 2) = 0$ $ Leftrightarrow x + z – 3 = 0.$

Chọn đáp án B.

Ví dụ 5

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;3;2)$, $B( – 1;1;0)$ và mặt phẳng $(alpha ):x – 4y – z + 10 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A$, $B$ và vuông góc với mặt phẳng $(alpha ).$
A. $x + 2z – 3 = 0.$
B. $3x + 2y – 5z + 1 = 0.$
C. $3x + 2y – 5z – 2 = 0.$
D. $3x + y + 2z – 5 = 0.$

Lời giải

Mặt phẳng $(alpha )$ có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_alpha } = (1; – 4; – 1)$ và $overrightarrow {AB} = ( – 2; – 2; – 2).$
Gọi ${vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$
Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{vec n}_P} bot {{vec n}_alpha }}\
{{{vec n}_P} bot overrightarrow {AB} }
end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_P} = left[ {{{vec n}_alpha },overrightarrow {AB} } right] = (6;4; – 10).$
Mặt phẳng $(P)$ qua $B(-1;1;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (6;4; – 10)$, có phương trình:
$(P):6(x + 1) + 4(y – 1) – 10(z – 0) = 0$ $ Leftrightarrow 3x + 2y – 5z + 1 = 0.$

Chọn đáp án B.

Ví dụ 6

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A(1;2;1)$, $B( – 1;4; – 1)$ và song song với trục $Ox.$
A. $x + 2y + z – 8 = 0.$
B. $y + z – 5 = 0.$
C. $y + z – 3 = 0.$
D. $3x + y + z – 1 = 0.$

Lời giải

Gọi ${vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$
Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{vec n}_P} bot vec i = (1;0;0)}\
{{{vec n}_P} bot overrightarrow {AB} = ( – 2;2; – 2)}
end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_P} = [vec i,overrightarrow {AB} ] = (0;2;2).$
Mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;2;1)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (0;2;2)$ có phương trình $(P):0(x – 1) + 2(y – 2) + 2(z – 1) = 0$ $ Leftrightarrow y + z – 3 = 0$ (thỏa do $O notin (P)$).

Chọn đáp án C.

Ví dụ 7

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A(1;2;1)$, $B(-1;4;-1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oyz).$
A. $x + 2y + z – 8 = 0.$
B. $y + z – 4 = 0.$
C. $y + z – 3 = 0.$
D. $x + y + z – 4 = 0.$

Lời giải

Mặt phẳng $(Oyz):$ $x = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $vec n = (1;0;0)$ và $overrightarrow {AB} = ( – 2;2; – 2).$
Gọi ${vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$
Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{vec n}_P} bot vec n}\
{{{vec n}_P} bot overrightarrow {AB} }
end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_P} = [vec n,overrightarrow {AB} ] = (0;2;2).$
Mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;2;1)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (0;2;2)$, có phương trình $(P):0(x – 1) + 2(y – 2) + 2(z – 1) = 0$ $ Leftrightarrow y + z – 3 = 0.$

Chọn đáp án C.

Ví dụ 8

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $M(1;2;3)$, $N(-1;1;5)$ và song song với trục $Oz.$
A. $x + z – 4 = 0.$
B. $x – 2y + 3 = 0.$
C. $x – 2y + 5 = 0.$
D. $x + 2z – 7 = 0.$

Lời giải

Gọi ${vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$
Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{vec n}_P} bot vec k = (0;0;1)}\
{{{vec n}_P} bot overrightarrow {MN} = ( – 2; – 1;2)}
end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_p} = [vec k,overrightarrow {MN} ] = (1; – 2;0).$
Mặt phẳng $(P)$ qua $M(1;2;3)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (1; – 2;0)$, có phương trình $(P):1(x – 1) – 2(y – 2) + 0(z – 3) = 0$ $ Leftrightarrow x – 2y + 3 = 0$ (thỏa do $O notin (P)$).

Chọn đáp án B.

Ví dụ 9

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $M(1;2;3)$, $N(-1;1;5)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxy).$
A. $x + z – 4 = 0.$
B. $x + 2z – 7 = 0.$
C. $x – 2y + 5 = 0.$
D. $x – 2y + 3 = 0.$

Lời giải

Mặt phẳng $(Oxy):$ $z = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $vec n = (0;0;1)$ và $overrightarrow {MN} = ( – 2; – 1;2).$
Gọi ${vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$
Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{vec n}_P} bot vec n}\
{{{vec n}_P} bot overrightarrow {MN} }
end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_P} = [vec n,overrightarrow {MN} ] = (1; – 2;0).$
Mặt phẳng $(P)$ qua $M(1;2;3)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (1; – 2;0)$, có phương trình $(P):1(x – 1) – 2(y – 2) + 0(z – 3) = 0$ $ Leftrightarrow x – 2y + 3 = 0.$

Chọn đáp án D.

Ví dụ 10

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A(1;2;1)$, vuông góc với mặt phẳng $(alpha ): – 2x + 2y – 2z + 1 = 0$ và song song với trục $Ox.$
A. $x + 2y + z – 8 = 0.$
B. $y + z – 3 = 0.$
C. $y + z – 1 = 0.$
D. $3x + y + z – 1 = 0.$

Lời giải

Mặt phẳng $(alpha )$ có một vectơ pháp tuyến là $vec n = ( – 2;2; – 2).$
Gọi ${vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$
Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{vec n}_P} bot vec i = (1;0;0)}\
{{{vec n}_P} bot vec n}
end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${{{vec n}_P} = [vec i,vec n] = (0;2;2)}.$
Mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;2;1)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (0;2;2)$, có phương trình $(P):0(x – 1) + 2(y – 2) + 2(z – 1) = 0$ $ Leftrightarrow y + z – 3 = 0$ (thỏa do $O notin (P)$).

Chọn đáp án B.

Ví dụ 11

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A(1;2;3)$, vuông góc với mặt phẳng $(alpha ): – 2x + 2y – 2z + 1 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oyz).$
A. $x+2y +z-8=0.$
B. $y +z-5=0.$
C. $y +z-1=0.$
D. $3x+y+z-1=0.$

Lời giải

Mặt phẳng $(Oyz):x = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $vec n = (1;0;0).$
Mặt phẳng $(alpha )$ có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_alpha } = ( – 2;2; – 2).$
Gọi ${vec n_P}$ là một vectơ pháp tuyến của $(P).$
Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{vec n}_P} bot vec n}\
{{{vec n}_P} bot {{vec n}_alpha }}
end{array}} right.$ $ Rightarrow $ chọn ${vec n_P} = left[ {vec n,{{vec n}_alpha }} right] = (0;2;2).$
Mặt phẳng $(P)$ qua $A(1;2;3)$ và có một vectơ pháp tuyến là ${vec n_P} = (0;2;2)$, có phương trình $(P):0(x – 1) + 2(y – 2) + 2(z – 3) = 0$ $ Leftrightarrow y + z – 5 = 0$ (thỏa do $O notin (P)$).

Chọn đáp án B.

C. Bài tập tự giải.

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$ biết $A(1;3;2)$, $B(2;-1;1)$ và $C(-1;1;0).$
A. $x + 2z – 3 = 0.$
B. $2x + y – 2z – 1 = 0.$
C. $3x + 2y – 5z + 4 = 0.$
D. $3x + 2y – 5z + 1 = 0.$

Câu 2

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $K(-1;1;0)$ và hai mặt phẳng $(alpha ):x – 4y – z = 0$, $(beta ): – 2x – 2y – 2z + 1 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $K$, đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(alpha )$ và $(beta ).$
A. $x – 2y + 3 = 0.$
B. $3x + 2y – 5z + 1 = 0.$
C. $3x + 2y – 5z – 2 = 0.$
D. $3x + y + 2z – 5 = 0.$

Câu 3

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;2)$, $B(2;1;1)$ và mặt phẳng $(alpha ): – x – 2y + z + 9 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A$, $B$ và vuông góc với mặt phẳng $(alpha ).$
A. $(P):x + y + z – 4 = 0.$
B. $(P):x + z – 3 = 0.$
C. $(P):x + z – 2 = 0.$
D. $(P):x + 2y + z – 5 = 0.$

Câu 4

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A(1;0;2)$, $B(3;-1;1)$ và song song với trục $Oy.$
A. $x+ 2z-3=0.$
B. $y +z-5=0.$
C. $y +z-1=0.$
D. $x + 2z – 5 = 0.$

Câu 5

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A(1;0;2)$, $B(3;-1;1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxz).$
A. $x + 2z-3=0.$
B. $y +z-5=0.$
C. $y +z-1=0.$
D. $x + 2z-5=0.$

Câu 6

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A(1;0;2)$, vuông góc với mặt phẳng $(alpha ):2x – y – z + 7 = 0$ và song song với trục $Oy.$
A. $x + 2z – 3=0.$
B. $y + z-5=0.$
C. $y +z-1=0.$
D. $x+2z -5=0.$

Câu 7

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $A(1;0;2)$, vuông góc với mặt phẳng $(alpha ):2x – y – z + 7 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxz).$
A. $x + 2z-3=0.$
B. $y +z-5=0.$
C. $y +z-1=0.$
D. $x + 2z-5=0.$

Câu 8

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A(-1;1;5)$, vuông góc với mặt phẳng $(alpha ): – 2x – y + 2z + 11 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxy).$
A. $x+z–4=0.$
B. $x + 2z – 7 = 0.$
C. $x-2y+5=0.$
D. $x – 2y +3=0.$

Câu 9

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua điểm $A(-1;1;5)$, vuông góc với mặt phẳng $(alpha ): – 2x – y + 2z + 11 = 0$ và song song với trục $Oz.$
A. $x+z-4=0.$
B. $x + 2z-7 =0.$
C. $x – 2y +5=0.$
D. $x – 2y +3=0.$

Câu 10

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M(1;0;1)$, $N(2;1;-1)$ và mặt phẳng $(alpha ): – x + y + z + 5 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $M$, $N$ và vuông góc với mặt phẳng $(alpha ).$
A. $2x+z-3=0.$
B. $x+y+z-2=0.$
C. $3x + y + 2z -5=0.$
D. $3x +y + 2z-1=0.$

Câu 1 2 3 4 5
Đáp án D B B D D
Câu 6 7 8 9 10
Đáp án D D D D C

Để ôn tập tốt cho kỳ thi THPT Quốc Gia 2020 sắp tới, các em củng cố thêm kiến thức về

Trắc nghiệm Lũy thừa, mũ và logarit thi THPTQG môn Toán

ở đây

ĐG của bạn?

Bài viết liên quan
  • Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

  • Tìm trung bình cộng các số tự nhiên liên tiếp từ 1,2 … đến 2013?

  • Tìm điểm thuộc đường thẳng nối 2 cực trị của hàm số?

  • Giải bài toán làm chung công việc lớp 9 số 1

  • 3 Bài toán giải bằng phương pháp thử chọn

Từ khóa:
  • xac dinh vecto phap tuyen

  • tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng abc

  • vecto pháp tuyến của mặt phẳng oxy trong không gian

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button