Kiến thức

Các cách xét tính chẵn lẻ của hàm số và bài tập

Các cách xét tính chẵn lẻ của hàm số và bài tập

Mục lục bài viết
  1. Khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ

  2. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ

  3. Cách xét tính chẵn lẻ của hàm số

  4. Bài tập xét tính chẵn lẻ của hàm số

Bài viết xét tính chẵn lẻ của hàm số bao gồm: cách xét tính chẵn lẻ của hàm số, bài tập xét tính chẵn lẻ của hàm số…
Xét tính chẵn lẻ của hàm số

Bạn đang xem: Các cách xét tính chẵn lẻ của hàm số và bài tập

Khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y = fleft( x right)có tập xác định D.

Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu với forall x in D thì - x in Dfleft( x right) = fleft( { - x} right) .

Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu với forall x in Dthì - x in Dfleft( x right) = - fleft( { - x} right)

Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ.

Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

Cách xét tính chẵn lẻ của hàm số

Cho hàm số y = fleft( x right) xác định trên D

f là hàm số chẵn Leftrightarrow left{ begin{array}{l}forall x in D Rightarrow - x in D\fleft( { - x} right) = fleft( x right)end{array} right.

f là hàm số lẻ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}forall x in D Rightarrow - x in D\fleft( { - x} right) = - fleft( x right)end{array} right.

Các bước xét tính chẵn, lẻ của hàm số:

Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số.

Bước 2. Kiểm tra:

+ Nếu forall x in D Rightarrow - x in D thì chuyển qua bước 3.

+ Nếu tồn tại {x_0} in D- {x_0} notin D thì kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.

Bước 3. Xác định fleft( { - x} right) và so sánh với fleft( x right):

+ Nếu fleft( { - x} right) = fleft( x right) thì kết luận hàm số là chẵn.

+ Nếu fleft( { - x} right) = - fleft( x right)thì kết luận hàm số là lẻ.

Bài tập xét tính chẵn lẻ của hàm số

Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) fleft( x right) = 3{x^3} + 2sqrt[3]{x}

b) fleft( x right) = {x^4} + sqrt {{x^2} + 1}

c) fleft( x right) = sqrt {x + 5} + sqrt {5 - x}

d) fleft( x right) = sqrt {2 + x} + frac{1}{{sqrt {2 - x} }}

Giải

a) Tập xác định của hàm số: D = R

Với mọi x in R ta có - x in Rfleft( { - x} right) = 3{left( { - x} right)^3} + 2sqrt[3]{{ - x}} \= - left( {3{x^3} + 2sqrt[3]{x}} right) = - fleft( x right)

Do đó fleft( x right) = 3{x^3} + 2sqrt[3]{x}là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số: D = R

Với mọi x in Rta có - x in Rfleft( { - x} right) = {left( { - x} right)^4} + sqrt {{{left( { - x} right)}^2} + 1} \= {x^4} + sqrt {{x^2} + 1} = fleft( x right)

Do đó fleft( x right) = {x^4} + sqrt {{x^2} + 1} là hàm số chẵn.

c) Điều kiện xác định: left{ begin{array}{l}x + 5 ge 0\5 - x ge 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x ge - 5\x le 5end{array} right. Leftrightarrow - 5 le x le 5

Suy ra tập xác định của hàm số là: D = left[ { - 5;5} right]

Với mọi x in left[ { - 5;5} right]ta có - x in left[ { - 5;5} right]fleft( { - x} right) = sqrt { - x + 5} + sqrt {5 - left( { - x} right)} \= sqrt {5 - x} + sqrt {x + 5} = fleft( x right)

Do đó fleft( x right) = sqrt {x + 5} + sqrt {5 - x} là hàm số chẵn.

d) Điều kiện xác định:

    [left{ begin{array}{l}2 + x ge 0\2 - x > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x ge - 2\x < 2end{array} right. Leftrightarrow - 2 le x < 2]

Suy ra tập xác định của hàm số là: D = left[ { - 2;2} right)

Ta có {x_0} = - 2 in left[ { - 2;2} right) nhưng - {x_0} = 2 notin left[ { - 2;2} right)

Vậy hàm số fleft( x right) = sqrt {2 + x} + frac{1}{{sqrt {2 - x} }} không chẵn và không lẻ.

Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) fleft( x right) = {x^4} - 4x + 2

b) fleft( x right) = left| {left| {x + 2} right| - left| {x - 2} right|} right|

c) fleft( x right) = frac{{x + sqrt {{x^2} + 1} }}{{sqrt {{x^2} + 1} - x}}

d) fleft( x right) = left{ begin{array}{l} - 1,,khi,,x < 0\0,,khi,,x = 0\1,,khi,,x > 0end{array} right.

Giải

a) Tập xác định của hàm số: D = R

Ta có

    [fleft( { - 1} right) = 7;,,fleft( 1 right) = - 1 Rightarrow left{ begin{array}{l}fleft( { - 1} right) ne fleft( 1 right)\fleft( { - 1} right) ne - fleft( 1 right)end{array} right.]

Vậy hàm số không chẵn và không lẻ.

b) Tập xác định của hàm số: D = R

Với mọi x in R ta có - x in Rfleft( { - x} right) = left| {left| { - x + 2} right| - left| { - x - 2} right|} right| \= left| {left| {2 - x} right| - left| {x + 2} right|} right| = left| {left| {x - 2} right| - left| {x + 2} right|} right|

Suy ra fleft( { - x} right) = fleft( x right)

Do đó fleft( x right) = left| {left| {x + 2} right| - left| {x - 2} right|} right| là hàm số chẵn.

c) Ta có sqrt {{x^2} + 1} > sqrt {{x^2}} = left| x right| ge x \Rightarrow sqrt {{x^2} + 1} - x ne 0,,forall x

Suy ra tập xác định của hàm số là: D = R .

Mặt khác sqrt {{x^2} + 1} > sqrt {{x^2}} = left| x right| ge - x \Rightarrow sqrt {{x^2} + 1} + x ne 0,,forall x do đó fleft( x right) = frac{{{{left( {x + sqrt {{x^2} + 1} } right)}^2}}}{{left( {x + sqrt {{x^2} + 1} } right)left( {sqrt {{x^2} + 1} - x} right)}} - 2{x^2} - 1 \= 2xsqrt {{x^2} + 1}

Với mọi x in R ta có - x in Rfleft( { - x} right) = 2left( { - x} right)sqrt {{{left( { - x} right)}^2} + 1} = - 2xsqrt {{x^2} + 1} \= - fleft( x right)

Do đó fleft( x right) = frac{{x + sqrt {{x^2} + 1} }}{{sqrt {{x^2} + 1} - x}}là hàm số lẻ.

d) Tập xác định của hàm số: D = R

Dễ thấy với mọi x in R ta có - x in R

Với mọi x > 0 ta có - x < 0 suy ra fleft( { - x} right) = - 1, fleft( x right) = 1 Rightarrow fleft( { - x} right) = - fleft( x right)

Với mọi x < 0 ta có - x > 0 suy ra fleft( { - x} right) = 1;,,fleft( x right) = - 1 Rightarrow fleft( { - x} right) = - fleft( x right)

fleft( { - 0} right) = - fleft( 0 right) = 0

Do đó với mọi x in Rta có fleft( { - x} right) = - fleft( x right)
Vậy hàm số fleft( x right) = left{ begin{array}{l} - 1,,khi,,x < 0\0,,khi,,x = 0\1,,khi,,x > 0end{array} right.là hàm số lẻ.

Ví dụ 3. Tìm m để hàm số fleft( x right) = frac{{{x^2}left( {{x^2} - 2} right) + left( {2{m^2} - 2} right)x}}{{sqrt {{x^2} + 1} - m}}là hàm số chẵn.

Điều kiện xác định: sqrt {{x^2} + 1} ne m
Giả sử hàm số fleft( x right) là hàm số chẵn suy ra fleft( { - x} right) = fleft( x right)với mọi x thỏa mãn điều kiện sqrt {{x^2} + 1} ne m
Ta cófleft( { - x} right) = frac{{{x^2}left( {{x^2} - 2} right) - left( {2{m^2} - 2} right)x}}{{sqrt {{x^2} + 1} - m}}
Suy ra fleft( { - x} right) = fleft( x right) Leftrightarrow fleft( x right) = frac{{{x^2}left( {{x^2} - 2} right) - left( {2{m^2} - 2} right)x}}{{sqrt {{x^2} + 1} - m}} \= frac{{{x^2}left( {{x^2} - 2} right) + left( {2{m^2} - 2} right)x}}{{sqrt {{x^2} + 1} - m}} Leftrightarrow 2left( {2{m^2} - 2} right)x = 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định Leftrightarrow 2{m^2} - 2 = 0 Leftrightarrow m = pm 1.

+ Với m = 1 ta có hàm số là fleft( x right) = frac{{{x^2}left( {{x^2} - 2} right)}}{{sqrt {{x^2} + 1} - 1}}
Điều kiện xác định: sqrt {{x^2} + 1} ne 1 Leftrightarrow x ne 0
Suy ra tập xác định của hàm số là: D = Rbackslash left{ 0 right}
Dễ thấy với mọi x in Rbackslash left{ 0 right} ta có - x in Rbackslash left{ 0 right}fleft( { - x} right) = fleft( x right)
Do đó fleft( x right) = frac{{{x^2}left( {{x^2} - 2} right)}}{{sqrt {{x^2} + 1} - 1}} là hàm số chẵn.
+ Với m = - 1 ta có hàm số là fleft( x right) = frac{{{x^2}left( {{x^2} - 2} right)}}{{sqrt {{x^2} + 1} + 1}}
Tập xác định của hàm số D = R
Dễ thấy với mọi x in R ta có - x in Rfleft( { - x} right) = fleft( x right)
Do đó fleft( x right) = frac{{{x^2}left( {{x^2} - 2} right)}}{{sqrt {{x^2} + 1} + 1}} là hàm số chẵn.
Vậy m = pm 1 là giá trị cần tìm.
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

4 / 5 ( 3 bình chọn )

Bài viết cùng chuyên mục

  • Chuyên đề số chính phương

  • Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức

  • Nhị thức Newton, cách khai triển và một số dạng bài tập áp dụng

  • Những hằng đẳng thức đáng nhớ, hằng đẳng thức mở rộng và dạng toán áp dụng

  • Hàm số liên tục và bài toán xét tính liên tục của hàm số

  • Cách tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit

  • Góc giữa 2 vecto trong không gian

  • Công thức Hê Rông (Heron) – Chứng minh và bài tập áp dụng

  • Dấu hiệu chia hết cho 2 3 5 9 4 8 25 125 11

  • Ước số là gì – Bội số là gì?

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button